高中必修5：基本不等式綜合

1、.3.4 基本不等式基本不等式2baab.思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎思考：這會(huì)標(biāo)中含有怎樣的幾何圖形？樣的幾何圖形？思考：你能否在這個(gè)圖思考：你能否在這個(gè)圖案中找出一些相等關(guān)系案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？或不等關(guān)系？探究探究1 1.abab22+ +問(wèn)問(wèn)2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三角是全等三角形，它們的面積和是形，它們的面積和是S S= =問(wèn)問(wèn)1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,設(shè)設(shè)AF=a,BF=b,AF=a,BF=b,則正方形的面積則正方形的面積為為S=S=，問(wèn)問(wèn)3 3：S S與與S S有什么樣的關(guān)

2、系？有什么樣的關(guān)系？ 22ab2ab2 22 2a a + +b b 2 2a ab b從圖形中易得，從圖形中易得，s ss s, ,即即探究探究1 1.探究探究2 2問(wèn)題問(wèn)題1 1：s,s, S有相等的情況嗎？有相等的情況嗎？何時(shí)相等？何時(shí)相等？ 圖片說(shuō)明：當(dāng)直角三角形圖片說(shuō)明：當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切危醋優(yōu)榈妊苯侨切?，即a=ba=b時(shí)，正方形時(shí)，正方形EFGHEFGH縮為一個(gè)點(diǎn)，縮為一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)有這時(shí)有 22=2ababu形的角度形的角度u數(shù)的角度數(shù)的角度 當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)時(shí)a2+b22ab=(ab)2=0.結(jié)論：結(jié)論：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a a、b b，我們有

3、，我們有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立222aba b此不等式稱(chēng)為此不等式稱(chēng)為重要不等式重要不等式探究探究2 2問(wèn)題問(wèn)題2 2：當(dāng)當(dāng) a,ba,b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)時(shí)， 成成 立嗎？立嗎？2 22 2a a + +b b2 2a ab b. 類(lèi)類(lèi) 比比 聯(lián)聯(lián) 想想 推推 理理 論論 證證 （特別的）如果（特別的）如果 也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成 ,abab用用和和代代替替 、 可可得得abab2 2a0 ,b0 ,(,)002ababab 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a=b a=b 時(shí)時(shí)“”號(hào)成號(hào)成立立 此不等式稱(chēng)為此不等式稱(chēng)為基本不等式基本不等式探究探究3 3.算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)

4、幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)2baaba0 ,b0 ,(,)002ababab當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a=b a=b 時(shí)時(shí)“”號(hào)成立號(hào)成立 此不等式稱(chēng)為此不等式稱(chēng)為基本不等式基本不等式概念：概念： .一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，我們有，我們有abba222當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立證明：證明：abba2222)(ba0abba222特別的，如果a0，b0，我們用ab,分別代替a，b，可得abba22baab（ a0，b0）基本不等式基本不等式分析法證明基本不等式分析法證明基本不等式要證2abab只要證2abab要證，只要證要證 ，只要證20abab2()0ab顯然， 是成立的，當(dāng)且僅當(dāng)a=

5、b時(shí)， 中的等號(hào)成立運(yùn)用基本不等式證明：.1. 基本不等式：基本不等式：.2abba a=b基本不等式的變形：基本不等式的變形：知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)要點(diǎn)：（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)取時(shí)取“”號(hào)）號(hào)）.2, 0, 0abbaba 則則如果如果（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取時(shí)取“”號(hào)）號(hào)）.2baab 或或.)2(2baab 或或如果如果a0，b0，那么，那么 . 重要變形重要變形22220,0,22ababababababab若則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)?；A(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)（由小到大）（由小到大）.應(yīng)用基本不等式求最值的條件：應(yīng)用基本不等式求最值的條件： a a與與b b為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù)若等號(hào)成立，若等號(hào)成立，

6、a a與與b b必須能必須能夠相等夠相等一正一正二定二定三相等三相等積定和最小積定和最小和定積最大和定積最大2baab（ a0，b0）.注意注意1、兩個(gè)不等式的、兩個(gè)不等式的適用范圍適用范圍不同不同;2、一般情況下若、一般情況下若“=”存在時(shí)，要存在時(shí)，要注明等注明等號(hào)成立的條件；號(hào)成立的條件；3、運(yùn)用重要不等式時(shí)，要把一端化為、運(yùn)用重要不等式時(shí)，要把一端化為常數(shù)常數(shù)（定值）。（定值）。一一正正 、二二定定 、三三相等相等.（1）如果）如果a，b0，且，且abP（定值定值），那么），那么a+b有最有最_值值_(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)取時(shí)取“=”）.（2）如果）如果a，b0，且，且abS （定值定

7、值），那么），那么ab有最有最_值值_(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)取時(shí)取“=”）.2. 利用基本不等式求最值問(wèn)題：利用基本不等式求最值問(wèn)題：.)2(2, 0, 02baababbaba 或或那那么么如如果果p2241s小小大大利用基本不等式求最值的條件：利用基本不等式求最值的條件：一正、二定、三相等。一正、二定、三相等。一知識(shí)要點(diǎn)一知識(shí)要點(diǎn)a=ba=b.（1）把）把36寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最小？寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最小？（2）把）把18寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？寫(xiě)成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積

8、最大？ab=36當(dāng)a=b=6時(shí)，和a+b最小為122abab2()2ababa+b=18當(dāng)a=b=9時(shí)，積ab最大為81不等式不等式2abab是一個(gè)基本不等式，它在解決實(shí)際問(wèn)題中由廣泛的應(yīng)用，是一個(gè)基本不等式，它在解決實(shí)際問(wèn)題中由廣泛的應(yīng)用，是解決是解決最大（?。┲底畲螅ㄐ。┲祮?wèn)題的有力工具。問(wèn)題的有力工具?！緫?yīng)用練習(xí)】.;1, 0)1(1的的最最值值求求已已知知：例例xxx . 21xx1x2121:時(shí)時(shí)原原式式有有最最小小值值即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)解解 xxxx;1, 0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。為為何何值值時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)若若xxx

9、yx,31, 3)3( 結(jié)論結(jié)論1 1：兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個(gè)正數(shù)積為定值，則和有最小值.5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值為為時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值，即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)54,313 xxx. 21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 時(shí)時(shí)有有最最大大值值即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)、解解xxxx.一利用基本不等式證明不等式一利用基本不等式證明不等式44441. 14;114.0,0,1abcdabcdababab 例 （ ）證明不等式： （2）已知：且， 求證：.44422222244224422442244422222244

10、4222222222222()2222)2()(), ,abca bb cc aabc abcaba bbcb ccaa cabca bb cc aabca bb cc aa bb cc aabc abca b c成立證明：三式相加得（即同理可證：又互不相等，所以等號(hào)不成立所以444222222, ,()a b cabca bb cc aabc abc舉一反三：若是互不相等的正數(shù)，求證:.122. 10( )3120( )30,0,41,42,2490,0,1,xf xxxxf xxxaba babxxxxyxyxy 例 （）若，求的最小值。 (2)若，求的最大值。 （3）已知且求 的最大值。

11、 （4）已知求的最小值。 （5）已知且求的最小值。二、利用基本不等式求函數(shù)的最值二、利用基本不等式求函數(shù)的最值.例例: :某工廠(chǎng)要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池某工廠(chǎng)要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池, ,其容積為其容積為4800m4800m3 3, ,深為深為3m.3m.如果池底每平方米如果池底每平方米的造價(jià)為的造價(jià)為150150元元, ,池壁每平方米的造價(jià)為池壁每平方米的造價(jià)為120120元元, ,怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低? ?最低總造最低總造價(jià)是多少價(jià)是多少? ?分析分析: :水池呈長(zhǎng)方體形水池呈長(zhǎng)方體形, ,它的高是它的高是3m,3m,底面的長(zhǎng)底面的長(zhǎng)與寬沒(méi)有確定與寬

12、沒(méi)有確定. .如果底面的長(zhǎng)與寬確定了如果底面的長(zhǎng)與寬確定了, ,水池的總造價(jià)也就確定了水池的總造價(jià)也就確定了. .因此應(yīng)當(dāng)考察底因此應(yīng)當(dāng)考察底面的長(zhǎng)與寬取什么值時(shí)水池總造價(jià)最低。面的長(zhǎng)與寬取什么值時(shí)水池總造價(jià)最低。.解解: :設(shè)底面的長(zhǎng)為設(shè)底面的長(zhǎng)為xm,xm,寬為寬為ym,ym,水池總造價(jià)為水池總造價(jià)為z z元元. .根據(jù)題意根據(jù)題意, ,有有: :由容積為由容積為4800m4800m3 3, ,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式與不等式的性質(zhì)由基本不等式與不等式的性質(zhì), ,可得可得即即 當(dāng)當(dāng)x=y,x=y,即即x=y=40 x=

13、y=40時(shí)時(shí), ,等號(hào)成立等號(hào)成立 所以所以, ,將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為40m40m的正方形的正方形時(shí)總造價(jià)最低時(shí)總造價(jià)最低, ,最低總造價(jià)為最低總造價(jià)為297600297600元元. .4800z150120(2 3x2 3y)3240000720(xy) 240000720(xy)240000720 2 xyz240000720 2 1600z297600. 設(shè)計(jì)一副宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為設(shè)計(jì)一副宣傳畫(huà)，要求畫(huà)面面積為4840cm4840cm2 2，畫(huà)面，畫(huà)面的寬與高的比為的寬與高的比為a(a1)a(a1)，畫(huà)面的上下各留出，畫(huà)面的上下各留出8cm8cm的的空白，

14、左右各留空白，左右各留5cm5cm的空白，怎樣確定畫(huà)面的高與的空白，怎樣確定畫(huà)面的高與寬的尺寸，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最??？寬的尺寸，能使宣傳畫(huà)所用紙張面積最??？4 48 84 40 03 30 02 25 5S S = =( (x x + + 1 10 0) )( (+ + 1 16 6) )= = 5 50 00 00 0 + + 1 16 6( (x x + +) )x xx x3 30 02 25 55 50 00 00 0 + + 1 16 62 2x x= = 6 67 76 60 0 x x3 30 02 25 5只只有有x x = =即即x x = = 5 55 5取取 = =

15、 x x4 48 84 40 05 55 5= = 8 88 8, ,a a = = 0， 0，若，若 是是 與與 的等比中項(xiàng)，則的等比中項(xiàng)，則ab3a3b3ba11得最小值為（得最小值為（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理年天津理6）B.a2.（2009山東理山東理12T)設(shè)設(shè) 滿(mǎn)足約束條件滿(mǎn)足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)若目標(biāo)函數(shù)yx, , 0y, 0 x, 02yx, 06yx3byaxz （ 0， 0）的最大值為的最大值為12，則，則 的最小值為（的最小值為（ ）bb3a2 A. B. C. D. 4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxby

16、axz(4,6)點(diǎn)選把把（4 4，6 6）代代入入z z= = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A.1. 1. 兩個(gè)不等式兩個(gè)不等式（1 1）（2 2） 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=ba=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立注意：注意：1.1.兩公式條件，前者要求兩公式條件，前者要求a,ba,b為實(shí)數(shù)；后者要求為實(shí)數(shù)；后者要求a,ba,b為正數(shù)。為正數(shù)。 2.2.公式的正向、逆向使用的條件以及公式的正向、逆向使用的條件以及“= =”的成立條件。的成立條件。2.2.不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用：主要