2021屆高三復(fù)習(xí)專練,13三視圖與體積

1、2021屆高三復(fù)習(xí)專練,13三視圖與體積 1 13 三視圖與體積、表面積 例 1：我國南北朝時期數(shù)學(xué)家祖暅，提出了著名的祖暅原理："緣冪勢既同，則積不容異也'"冪'是截面積，"勢'是幾何體的高，意思是兩等高幾何體，若在同一等高處的截面積都相等，則兩幾何體題意相等已知某不規(guī)則與右側(cè)三視圖所對應(yīng)的幾何體滿足"冪勢既同'，其中俯視圖中的圓弧為 圓周，則該不規(guī)則幾何體的體積為（ ） a b c d 【答案】b 【解析】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱錐與 圓錐體的組合體，如圖所示： 則該組合體的體積為 ， 所以對應(yīng)不規(guī)則幾何體的體積為

2、 ，故選 b 例 2：九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的三棱柱稱之為"塹堵'，已知某"塹堵'的三視圖如圖所示，則該"塹堵'的表面積為（ ） 1412+1 3 6+ 1 2 +1 23 3+1421 1 1 1 1 1 1 2 1 23 2 3 4 3 6v = ´ ´ ´ ´ + ´ ´ ´ = +1 3 6+1、與三視圖有關(guān)的幾個方面的應(yīng)用 a b c d 【答案】b 【解析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以主視圖為底面的三棱柱， 底面面積為 ，底面周長為 ， 故棱

3、柱的表面積 ，故選 b 一、選擇題 1已知某幾何體三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是邊長為 的正方形，則該幾何體外接球的體積是（ ） a b c d 【答案】d 【解析】由幾何體正視圖、側(cè)視圖均是邊長為 的正方形， 結(jié)合俯視圖可得此幾何體是棱長為 的正方體的一部分，如圖， 4 6 4 2 + 4 4 2 + 212 1 12´ ´ = 2 2 2 2 2 2 + ´ = +2 1 2 (2 2 2) 6 4 2 s = ´ + ´ + = +22 34 234 334 322 四棱錐 ，所以此四面體的外接球即為此正方體的外接球， 外接球的直

4、徑等于正方體的體對角線長，即 ， 所以外接球的半徑 ，此幾何體的外接球的體積 2一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） a b c d 【答案】c 【解析】由三視圖可知，原幾何體為一個三棱柱截去一個三棱錐（如下圖）， 三棱柱的底面是邊長為 的等邊三角形，高為 ， 三棱錐的底面為 ， ， 可求出等腰三角形 的面積為 ， 該幾何體的表面積為 e abcd -2 2 3 r =3 r =344 33v r = ´ =6 7 3 + 10 3 + 12 3 + 122 21 1pc b21 11 2 5 pc pb = = + =1 1pc b 21 3 22 2 (1 2)

5、 2 2 2 2 12 32 2 2= ´ ´ ´ + + ´ ´ + ´ + = + 3已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的外接球體積為 ，則 （ ） a b c d 【答案】c 【解析】由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的一個側(cè)面與底面垂直，其直觀圖如圖： 為 的中點(diǎn)， 正視圖和俯視圖都是等腰直角三角形， 底面 ， ， 幾何體的外接球的球心為 是 的外心，半徑為 ，該幾何體的外接球體積為 ， 外接球的體積 ， ， 4某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（ ） a b c d 【答案】a 323h=13 2 6 2

6、3 3o acfo abc 1 ob oc oa = = =e acd r32334 323 3v r = ? 2 r = 2 3 h =56 2 34 + 32 2 34 + 56 8 3 + 32 8 2 + 【解析】該幾何體的直觀圖如圖所示易知 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ， 所以該幾何體的表面積 5"斗拱'是中國古代建筑中特有的構(gòu)件，從最初的承重作用，到明清時期集承重與裝飾作用于一體，在立柱頂、額枋和檐檁間或構(gòu)架間，從枋上加的一層層探出成弓形的承重結(jié)構(gòu)叫拱，拱與拱之間墊的方形木塊叫斗，如圖所示，是"散斗'（又名"三才升'）

7、的三視圖，則它的體積為（ ） a b c d 【答案】b 【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體下半部分是一個下底面邊長為 上底面邊長為 的正方形、高為 的棱臺，上半部分為一個棱柱，截去中間一個小棱柱，所得的組合體，如圖， 棱臺的體積為 ， pb bc pd dc 5 pd pa = =4 2 ad = 8 ab = 3 pe =14 5 102pbc pcds s = = ´ ´ = 14 2 17 2 342pads = ´ ´ =18 3 122pabs = ´ ´ =1(4 8) 4 242abcds = ´ + &#

8、180; =56 2 34 s = +973853537333 4111 371 (3 3 4 4 3 3 4 4)3 3v = ´ ´ ´ + ´ + ´ ´ ´ = 上半部分的體積為 ， 6已知某幾何體的三視圖如下所示，若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 ，則該幾何體的表面積為（ ） a b c d 【答案】d 【解析】依題意，該幾何體為長方體里面挖掉了一個圓錐，故所求表面積 二、填空題 7一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 21.5 4 4 1 2 4 24 8 16 v = ´ ´ - &#

9、180; ´ = - =37 85163 3v = + =115112 ( 1)3+ -17112 ( 1)3+ -112 ( 15 1) + - 112 ( 17 1) + -24 5 4 4 4 2 1 1 17 112 ( 17 1) s = ´ ´ + ´ ´ - ´ + ´ ´ = + - 【答案】 【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個圓柱，圓柱的底面半徑 ，圓柱的高 ， 所以圓柱的表面積為 8如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 ，粗實(shí)線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖， 則該多面體的體積為_ 【答案】 【解

10、析】根據(jù)幾何體的三視圖找到對應(yīng)的幾何體原圖是如圖所示的三棱錐 ， 其中 ， 的面積為 ， 所以三棱錐 的體積為 三、解答題 81 r = 3 h=22 2 2 1 2 1 3 8 r rh + = ´ + ´ ´ =2163c abd -2 bd= abd 12 4 42× × =c abd -1 1 162 4 43 2 3v = × × × × = 9已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的側(cè)視圖與正視圖相同 （1）求此幾何體的體積； （2）求幾何體的表面積 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由題知該

11、幾何體是一個正四棱柱（上面）和半個球（下面）構(gòu)成的幾何體 正四棱柱的底面對角線為 ，所以底面邊長為 ，高為 ，半球的半徑為 所以 （2） 10已知一個幾何體的三視圖如圖所示 168 2 3+ 16 12 +4 2 2 2 231 1 4 16= 4 4 2 2 8 2 2 2 3 3v v v = + ´ ´ ´ + ´ ´ = +四棱柱 半球2 21+ 4 2 2 2 4 2 2 16 122s s s s = + = ´ ´ + ´ ´ + ´ = +圓 四棱柱側(cè) 半球 （1）求此幾何體的表面積； （2）如果點(diǎn) ， 在正視圖中所示位置， 為所在線段中點(diǎn)， 為頂點(diǎn)，求在幾何體側(cè)面的表面上，從 點(diǎn)到 點(diǎn)的最短路徑的長 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體， 其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和 ， ， ， 所以 （2）沿 點(diǎn)與 點(diǎn)所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖 則 ， 所以從 點(diǎn)到 點(diǎn)在側(cè)面上的最短路徑的長為 pqpqpq( )22