知識講解離散型隨機變量的均值與方差(理)(基礎(chǔ))

1、離散型隨機變量的均值與方差【學習目標】會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出均值1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值或期望的概念,或期望，并能解決一些實際問題;2.理解取有限個值的離散型隨機變量的方差、標準差的概念，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出方差或標準差，【要點梳理】并能解決一些實際問題;要點一、離散型隨機變量的期望1.定義:般地,X1X2XiPPP:> PXiPiX2P2若離散型隨機變量的概率分布為則稱EXnPn為 的均值或數(shù)學期望，簡稱期望.要點詮釋:(1)均值(期望)是隨機變量的一個重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機變量取值的平均水平.(2) 般地，在有限取值離散型隨機變量的概率

2、分布中，令P-iP2Pn ,則有 PiP21 1Pn , E(X1 X2 Xn),所以的數(shù)學期望又稱為平均數(shù)、均值。nn(3)隨機變量的均值與隨機變量本身具有相同的單位.2.性質(zhì):E(若b(a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，有 E(a b) aE b ；E(ab)aE b的推導過程如下：的分布列為X1X2Xiax1bax2 bax bPPP2P于是 E (axi b) Pi (ax2 b)p2 (axi b)piPi )=aE b=a(Xi Pi X2P2 XPi)b(pi P2 E(a b) aE b。要點二：離散型隨機變量的方差與標準差1. 一組數(shù)據(jù)的方差的概念:已知一組數(shù)據(jù)Xi

3、 , x2,Xn ,它們的平均值為 X，那么各數(shù)據(jù)與 X的差的平方的平均數(shù)2 1 2S - (Xi X)+(X2 n2.離散型隨機變量的方差：X)2 + (Xn X)2叫做這組數(shù)據(jù)的方差。般地，若離散型隨機變量XiX2XipP1P2Pi的概率分布為2 2 2則稱D =(XiE ) P1 +(X2E )P2 +(XnE )Pi+稱為隨機變量的方差，式中的E 是隨機變量 的期望.D的算術(shù)平方根(礦叫做隨機變量的標準差，記作要點詮釋:隨機變量 的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的;隨機變量 的方差、標準差也是隨機變量E的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；方差(標

4、準差)越小，隨機變量的取值就越穩(wěn)定(越靠近平均值)標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛。3.期望和方差的關(guān)系:2 2D E( ) (E )4.方差的性質(zhì):若 a b (a、b是常數(shù))，是隨機變量，則也是隨機變量，D D(a b) a2D ；要點三：常見分布的期望與方差1、二點分布:若離散型隨機變量服從參數(shù)為P的二點分布，則期望E p方差 D p(1P).若離散型隨機變量服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布，則證明:/ P( 0)q，P(1) p, 0 p 1, p E(0 P)2(1 P)2P P(1 P).2、二項分布:若離散型隨機變量服從參數(shù)為n, P的二項分布，即-B

5、(n, P),則期望E nP方差D np(1P)期望公式證明:,/I k k z, nkk k nk-P(k)CnP (1p) CnP q.k k n kk Cn p qn n 0.n Cn p q ,c00 n ._ 11 n 1 小 _ 22 n 20 Cn p q 1 Cn p q 2 Cn p q又kn!kCnk k!n (n 1)!k!( n k)! (k 1)!(n1) (k 1)!nC： 11 , E/小00 n 1_ 11 n 21np( Cn 1 p q + Cn 1 p q + Cn 1 P(n1)c n 1 n 10Cn 1 P q )np(P q)n 1 np .3、幾

6、何分布：獨立重復試驗中， 若事件A在每一次試驗中發(fā)生的概率都為P ,事件A第一次發(fā)生時所做的試驗次數(shù)是隨機變量，且 P( k) (1 p)k 1 p , k 0,123, L,n丄，稱離散型隨機變量服從幾何分布，記作： P( k) g(k, P)。若離散型隨機變量 服從幾何分布，且 P( k) g(k,P),則期望E方差D1- P2P要點詮釋:隨機變量是否服從二項分布或者幾何分布，要從取值和相應概率兩個角度去驗證。4、超幾何分布:期望E( ) nMN要點四：離散型隨機變量的期望與方差的求法及應用1求離散型隨機變量的期望、方差、標準差的基本步驟:理解的意義，寫出可能取的全部值;X1X2XipP1

7、P2Pi寫出分布列;方差的定義求出求 取各個值的概率,根據(jù)分布列，由期望、為 PlX2 P2 LXn Pn L亡 2X1EP12X2 EP2 L亡 2Xn EPn注意:常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計算即可.2.離散型隨機變量的期望與方差的實際意義及應用 離散型隨機變量的期望，反映了隨機變量取值的平均水平; 隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)波動越大。 對于兩個隨機變量1和2，當需要了解他們的平均水平時，可比較 E 1和E 2的大小。E 1和E 2相等或很接近，當需要進一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時，比較值大時，則表明

8、E比較離散，反之，則表明E比較集中.品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預報的準確與否、武器的性能等很多指標都與這兩個特征數(shù)(數(shù)學期望、方差)有關(guān).【典型例題】類型一、離散型隨機變量的期望例1.某射手射擊所得環(huán)數(shù)E的分布列如下:E78910PX0.10.3y貝U y的值為.X、y,應先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出X、y的值，再利用期望的定義求解;已知E的期望EE= 8.9 ,【思路點撥】分布列中含有字母【解析】X+ 0.1 + 0.3 + y= 1,即卩X+ y = 06又 7x+ 0.8 + 2.7 + 10y = 8.9，化簡得 7x + 10y = 5.4. 由聯(lián)立解得 x = 0.2 , y= 0.4.

9、【總結(jié)升華】求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解,E (E) =1.5，則 a b 為( ).舉一反三:E0123P0.1ab0.1【變式1】某一離散型隨機變量E的概率分布如下，且A . 0.1 B . 0 C . 0.1 D . 0.2【答案】B由分布列的性質(zhì)知：0.1+a+b+0.1=1 , a+b=0.8 .又 E (E)=0X 0.1+1X a+2 X b+3X 0.1=1.5，即 a+2b=1.2 .【答案】0.1 ；解得 a=0.4 , b=0.4 , a b=0.E024P0.40.30.3D. 2.3【變式2】隨機變量E的分布列為，貝y

10、E(5 E + 4)等于()A. 13B. 11 C . 2.2【答案】A由已知得：E( E ) = 0X 0.4 + 2X 0.3 + 4X 0.3 =1.8 , E(5 E + 4) = 5E( E ) + 4= 5X 1.8 + 4 = 13.1.6【變式3】節(jié)日期間，某種鮮花進貨價是每束2.5元，銷售價每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束A.706 元C. 754 元元價格處理.根據(jù)前五年銷售情況預測，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進這種鮮 花500束，則期望利潤是E200300400500P0.200.350.300.15B. 690 元D. 720 元【答案】A節(jié)日

11、期間預售的量:EE= 200X 0.2 + 300X 0.35 + 400X 0.3 + 500X 0.15 =40 + 105 + 120 + 75= 340(束),則期望的利潤：n= 5E+ 1.6(500 E ) 500X 2.5 = 3.4 E 450, En= 3.4E E 450= 3.4 X 340 450 = 706.期望利潤為706元.【變式4】設(shè)離散型隨機變量的可能取值為1,2,3, 4,且P( k) ak b( k 1,2,3,4 ) , E由分布列的概率和為1,有(a b) (2a b) (3a b) (4a b) 1 ,又 E 3，即 1 (a b) 2 (2a b)

12、 3 (3a b) 4 (4a b) 3,解得 a 0.1, b 0，故 a b 0.1。例2.某同學參加科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得一100分假設(shè)這名同學回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響.(1 )求這名同學回答這三個問題的總得分X的概率分布和數(shù)學期望;(2)求這名同學總得分不為負分(即X> 0)的概率.【思路點撥】本題顯然為獨立重復試驗的問題，因此求各個情況的概率直接用公式即可。(1)求X的可能取值，即求得分，答對0道題得300分，答對1道題得100- 200= 100分，答對2道題得2X 100 100=

13、100分，答對3道題得300分；(2)總分不為負分包括 100分和300分兩種情況.【解析】(1)X的可能取值為300, 100, 100, 3(X= 300) =0.2 =0.008 。300.(X= 100) =C3 X 0.22X 0.8=0.096 ,2 2(X=100) =C； X 0.2 X 0.8 =0.384 ,3(X=300) =0.8 =0.512 .所以X的概率分布為X300100100300P0.0080.0960.3840.512 E ( X)=( 300) X 0.008+( 100) X 0.096+100 X 0.384+300 X 0.512=180.(2)這

14、名同學總得分不為負分的概率為(X> 0) =P (X=100) +P (X=300) =0.384+0.512=0.896 .【總結(jié)升華】求離散型隨機變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表.舉一反三:【變式11籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7 ,求他罰球一次得分的期望*【答案1因為P( 1)0.7, P( 0)0.3 ,所以E0.70 0.30.7*【答案1【變式21一盒中裝有零件12個，其中有9個正品，3個次品，從中任取一個，如果每次取出次品就不設(shè)取得正品之前已取出的次品數(shù)為，顯然所有可能取的值為0, 1 , 2, 3再放回去，再取一個零件，直到取

15、得正品為止求在取得正品之前已取出次品數(shù)的期望.P(p(0時，即第一次取得正品，試驗停止，則930) 1? 41時，即第一次取出次品，第二次取得正品，試驗停止，則P(2時，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，試驗停止，則10 220P(3時，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，試驗停止，則211191109220【答案】9220分布列為0123P3991444220220- E 0 34【變式31某城市出租汽車的起步價為10元，行駛路程不超出4km時租車費為 10元，若行駛路程超出4km,則按每超出Ikm加收2元計費(超出不足Ikm的部分按Ikm計).從這個城市的民航機場到某賓館的路程為

16、15km 某司機經(jīng)常駕車在機場與此賓館之間接送旅客，由于行車路線的不同以及途中停車時間要轉(zhuǎn)換成行車路程(這個城市規(guī)定，每停車5分鐘按Ikm路程計費)，這個司機一次接送旅客的行車路程是一個隨機變量設(shè)他所收租車費為(I)求租車費關(guān)于行車路程 E的關(guān)系式;(n)若隨機變量E的分布列為E15161718P0.10.50.30.1求所收租車費 n的數(shù)學期望.(n)已知某旅客實付租車費38元，而出租汽車實際行駛了15km，問出租車在途中因故停車累計最多幾分鐘(I )依題意得n =2( E-4)十 10，即 n =2E +2;(n ) E 15 0.1 160.5 17 0.3 18 0.1 16.4n =

17、2 E +2E 2E E +2 =34.8(元)故所收租車費 n的數(shù)學期望為34.8元.(川)由 38= 2 E +2,得E =18, 5(18-15)=15所以出租車在途中因故停車累計最多15分鐘例3.若某批產(chǎn)品共100件，其中有20件二等品，從中有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差?！舅悸伏c撥】3次有放回的抽取就是3次獨立重復試驗，取出二等品的件數(shù)這一隨機變量服從二項分布?！窘馕?由題知一次取出二等品的概率為0.2，有放回地抽取 3件，可以看作3次獨立重復試驗,即取出二等品的件數(shù)-B(3,0.2),所以Enp 3 0.20.6，【總結(jié)升華】舉一反三:【變式11np(1 p) 3

18、 0.2 (1 0.2)0.48.在確定隨機變量服從特殊分布以后，可直接運用公式求其均值.英語考試有100道選擇題，每個題有 4個選項，選對得1分，否則得0分，學生甲會其中的20道，學生乙會其中的 80道，不會的均隨機選擇，求甲、乙在這次測驗中得分的數(shù)學期望.【答案1設(shè)甲、乙不會的題的得分分別為隨機變量X和Y,由題意知XB( 80, 0.25 ), 丫B (20, 0.25 ), E (X)=80X 0.25=20 , E (Y) =20X 0.25=5 .故甲、乙的數(shù)學期望成績分別為40分和85 分.12【變式21 甲、乙兩人各進行 3次射擊，甲每次擊中目標的概率為一，乙每次擊中目標的概率為

19、 一，記2 3甲擊中目標的次數(shù)為 X,乙擊中目標的次數(shù)為丫,(1)求X的概率分布;(2)求X和丫的數(shù)學期望.【答案1甲、乙擊中目標的次數(shù)均服從二項分布.(1)P(X0)P(X1)c3P(X2)Cl1 3 1p(x3)C33 -8O所以X的概率分布如下表:(2)由(1 )知 E(X)°11|28i5，1或由題意X : B 3,2，Y ：B3，IE(Y)3 2【變式3】一次單元測驗由20個選擇題構(gòu)成,- E(X) 3 1 1.5,2每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分+學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在

20、測驗中對每題都從4個選擇中隨機地選擇一個，求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望*【答案】設(shè)學生甲和乙在這次英語測驗中正確答案的選擇題個數(shù)分別是，貝y : B(20,0.9),-B(20,0.25),E 20 0.918,E20 0.255 由于答對每題得5分,學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5和5*所以，他們在測驗中的成績的期望分別是:E(5 )5E( )51890, E(5 )5E( )5 525 >類型二、離散型隨機變量的方差D( X).X-101P11-2q2 q2例4.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其概率分布如下表，試求E( X)和q的值后，再計算 E (X), D (

21、X).【思路點撥】由概率分布的性質(zhì)求出【解析】由概率分布的性質(zhì)，得:X0123P1331888820(1 2q) q2 11 2q 1 q2 1，得q- E(X)120(721)1D(X)(272)272)2 (近 1)(廂【總結(jié)升華】求隨機變量的方差,應先明確隨機變量的概率分布。然后利用均值與方差的定義列式計算.舉一反三:X12np111nnn【變式11設(shè)隨機變量X的概率分布為X的期望求 D(X)。【答案1本題考查方差的求法可由分布列先求出E(X)，再利用方差的定義求之.也可直接利用公式D (X) =E (X2) E(X) 2來解.解法一:E(X)n(n21)2 - Lnn 1T，(1n)-

22、(12n22L n2)(n1)(1n)n2n2 1o12解法二：由解法一可求得E(X)又 E(X2)12 1 22nn22 1n n1(12n1 Ln22 L n2)(n 1)(2n 1)E(X2) E(X)2 (n 1)(2n1)(n【變式211)242n12E101P111236(2)設(shè)耳=2E +3,求 E (n) , D (n).1 .已知隨機變量E的分布列如下表:(1 )求 E (E) , D(E) ,n；【答案】(1) E()XiPiX2 P2X3 P3(1)D( ) X1E( )2P1X2 E( )2P2X3E()2P3(2) E()2E()73， D( ) 4D(例5.設(shè)某運動

23、員投籃投中的概率為P=0.6 .(1)求一次投籃時，投中次數(shù)X的數(shù)學期望和方差;(2)求重復5次投籃時，投中次數(shù) 丫的數(shù)學期望和方差.【思路點撥】(1 )投籃一次可能中，也可能不中，投中次數(shù)X服從兩點分布；(2)重復投籃5次的投中次數(shù)丫服從二項分布.【解析】(1)X服從兩點分布，其分布列如下:X01P0.40.6所以E( X)=p=0.6，D(X)=p (1 p) =0.24 .(2)由題設(shè)，丫B (5, 0.6 ).所以E (Y) =np=5X 0.6=3 ,D(Y) =np (1 P) =5X 0.6 X 0.4=1.2 .【總結(jié)升華】對于兩點分布、二項分布，可直接運用公式計算.舉一反三:

24、【變式1】籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分，已知他命中的概率為0.7，求他罰球三次得分 的期望和方差?！敬鸢浮苛P球三次可以看作3次獨立重復試驗，即罰球三次得分-B(3,0.7),所以Enp 3 0.72.1np(1 p) 30.7 (1 0.7)0.63.【變式2】有10件產(chǎn)品，其中【答案】3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為 X,求X的分布列，期望和方差.10件產(chǎn)品中有3件次品從中任取兩件T次品數(shù)X可 能取值為0.1.2.“心詈看心”醤君pg罟X旳井布列為X012P715715115X的數(shù)學期望是+= 1151515 5方差為 Z)(X) = (p-|fx2 + (l

25、-|yx2 +=515515515 75X012P0.1a0.4類型三、離散型隨機變量的期望和方差的應用(1 )求a，b的值;(2)計算Xi和X2的數(shù)學期望和方差，并以此分析甲、乙兩射手的技術(shù)狀況.例6.甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分是兩個隨機變量，分別記為X2012P0.20.2bX和X2,它們的概率分布分別為(1)可直接由分布列的性質(zhì)列式【思路點撥】本題考查分布列的性質(zhì)、期望與方差的求法及對期望與方差的理解.求解.(2)利用定義求期望與方差.【解析】(1)由分布列的性質(zhì)知,0.1+a+0.4=1 , 0.2+0.2+b=1 ,即 a=0.5 , b=0.6。(2) E ( X) =0X

26、0.1+1 X 0.5+2 X 0.4=1.3 ,E (Xa)=0X 0.2+1X 0.2+2 X 0.6=1.4 ,D (X)=(0 1.3)2X 0.1+(1 1.3) 2X0.5+(2 1.3)2X0.4=0.41,D (Xa)=(0 1.4)2X 0.2+(1 1.4) 2X0.2+(2 1.4)2X0.6=0.64。由上述計算的結(jié)果可知，乙的平均水平較甲好一點，但乙的穩(wěn)定性不如甲.【總結(jié)升華】離散型隨機變量的期望與方差分別反映了隨機變量的取值的平均水平和波動大小(或離散 程度).舉一反三:【變式1】A、B兩臺機床同時加工零件， 每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示: 問

27、哪一臺機床加工質(zhì)量較好B機床A 機床次品數(shù)E 10123概率P0.70.20.060.04次品數(shù)E 10123概率P0.80.060.040.10它們的期望相同,DE 1= (0-0.44 )DE 2= (0-0.44 )再比較它們的方差 .2 2 2X 0.7+ (1-0.44 ) X 0.2+ ( 2-0.44 ) X 0.06+2 2 2X 0.8+ (1-0.44 ) X 0.06+ (2-0.44 ) X 0.04+2(3-0.44 ) X 0.04=0.6064,(3-0.44 ) 2X 0.10=0.9264. de 1< D E 2 故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好甲單位不同

28、職位月工資 X/兀1 2001 4001 6001 800獲得相應職位的概率 P10.40.30.20.1【變式2】有甲乙兩個單位都愿意聘用你，而你能獲得如下信息:乙單位不同職位月工資 X兀1 0001 4001 8002 200獲得相應職位的概率 P20.40.30.20.1根據(jù)工資待遇的差異情況，你愿意選擇哪家單位?【答案】根據(jù)月工資的分布列，利用計算器可算得E(X1)= 1 200 X 0.4 + 1 400 X 0.3 + 1 600 X 0.2 + 1 800 X 0.12 2D(X1)= (1 200 1 400) X 0.4 + (1 400 1 400) X 0.3 + (1=

29、1 400 ,600 1 400)2X 0.2 + (1 800 1400)2X 0.1=40 000 ;E(X2) = 1 000 X 0.4 + 1 400 X 0.3 + 1 800 X 0.2 + 2 200 X 0.1D(X2)= (1 000 1 400)2 X 0.4 + (1 400 1 400)2 X 0.3 + (1=1 400 ,800 1 400)2X 0.2 + (2 200 1400)2X 0.1=160 000.因為E(X1)= E(X2), D(X1)<D(X2),所以兩家單位的工資均值相等，但甲單位不同職位的工資相對集中,乙單位不同職位的工資相對分散.這樣，如果你希望不同職位的工資差距小一些，就選擇甲單位；如果你希望不同職位的工資差距大一些，就選擇乙單位.【變式3】某單位有三輛汽車參加某種事故保險，單位年初向保險公司繳納每