向量難題附加解析

1、 第1頁（共11頁） 2016年02月12日高中數(shù)學組卷 一選擇題（共4小題） 1（2015?天津校級一模）在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，P為EF上的任一點，實數(shù)x，y 滿足，設ABC，PBC，PCA，PAB的面積分別為S，S1，S2，S3， 記，則2?3取到最大值時，2x+y的值為（ ） A1 B1 C D 2（2015?哈爾濱校級三模）已知O為正三角形ABC 內(nèi)一點，且滿足，若OAB的面積與OAC的面積比值為3，則的值為（ ） A B1 C2 D3 3（2014?安慶三模）如圖所示，設P為ABC 所在平面內(nèi)的一點，并且 = +，則ABP與ABC的面積之比等于（ ） A B C

2、D 4（2013? 重慶）在平面上， ， | |=|=1 ， = +若 |，則 |的取值范圍是（ ） A（0 ， B （ ， C （ ， D （ ， 二填空題（共6小題） 5（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC 上的動點，則的最小值為 第2頁（共11頁） 6（2012?湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3 ，則= 7（2014?余杭區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為4的正方形，動點P在以AB為直徑的圓弧APB 上，則的取值范圍是 8（2014?韶關(guān)模擬）已知AD是ABC的中線，若A=120&#

3、176; ， ，則的最小值是 9（2010?武昌區(qū)模擬）ABC的面積為1 ，P為ABC 內(nèi)一點，且，則BCP的面積為 10（2014?江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5 ， =3 ， ?=2， 則 ?的值是 第3頁（共11頁） 2016年02月12日MISAYA的高中數(shù)學組卷 參考答案與試題解析 一選擇題（共4小題） 1（2015?天津校級一模）在ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，P為EF上的任一點，實數(shù)x，y 滿足，設ABC，PBC，PCA，PAB的面積分別為S，S1，S2，S3， 記，則2?3取到最大值時，2x+y的值為（ ） A1 B1 C D 【考點】平面

4、向量的基本定理及其意義；三角形的面積公式 【專題】計算題；壓軸題；不等式的解法及應用；平面向量及應用 【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得P到BC的距離等于ABC的BC邊上高的一半，從而得到S1=S=S2+S3由此結(jié)合基本不等式求最值，得到當2?3取最大值時點P在EF 的中點再由向量的加法的四邊形法則，算出，結(jié)合已知條件的等式，可求出x、y的值，從而算出2x+y的值 【解答】解：由題意，可得 EF是ABC的中位線， P到BC的距離等于ABC的BC邊上高的一半，可得S1=S=S2+S3 由此可得2?3 = = 當且僅當S2=S3時，即P為EF的中點時，等號成立 += 由向量的加法的四邊形法則可得

5、， ， 兩式相加，得 由已知得 根據(jù)平面向量基本定理，得x=y=，從而得到2x+y= 綜上所述，可得當2?3取到最大值時，2x+y的值為 故選：D 第4頁（共11頁） 【點評】本題給出三角形中的向量等式，在已知面積比2、3的積達到最大值的情況下求參數(shù)x、y的值，著重考查了運用基本不等式求最值、平面向量的加法法則和平面向量基本定理等知識，屬于中檔題 2（2015?哈爾濱校級三模）已知O為正三角形ABC 內(nèi)一點，且滿足，若OAB的面積與OAC的面積比值為3，則的值為（ ） A B1 C2 D3 【考點】向量在幾何中的應用；平面向量的基本定理及其意義 【專題】計算題；壓軸題 【分析】如圖D，E分別是

6、對應邊的中點，對所給的向量等式進行變形，根據(jù)變化后的條件 得到；由于正三角形ABC ，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到 =，由可得O分DE所成的比，從而得出的值 【解答】 解：， 變?yōu)?如圖，D，E分別是對應邊的中點， 由平行四邊形法則知 故 在正三角形ABC中， = =， 且三角形AOC與三角形ADC同底邊AC， 故O點到底邊AC的距離等于D到底邊AC的距離的三分之一， 故 =， ?= 由得= 故選A 第5頁（共11頁） 【點評】本小題主要考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于基礎題 3（2014?安慶三模）如圖所示，設P為ABC

7、 所在平面內(nèi)的一點，并且 = +，則ABP與ABC的面積之比等于（ ） A B C D 【考點】向量在幾何中的應用 【專題】計算題；壓軸題 【分析】本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，及三角形面積的性質(zhì)，由ABP與ABC為同底不等高的三角形，故高之比即為兩個三角面積之間，連接CP并延長后，我們易得到CP與CD長度的關(guān)系，進行得到ABP的面積與ABC面積之比 【解答】解：連接CP并延長交AB于D， P、C、D 三點共線，= + ，且+=1 設 =k ，結(jié)合 = + ，得 = + 由平面向量基本定理解之，得=，k=3且=， = + ，可得 =， ABP的面積與ABC有相同的底邊AB 高的比等于

8、|與 |之比 ABP的面積與ABC面積之比為， 故選：C 第6頁（共11頁） 【點評】三角形面積性質(zhì)：同（等）底同（等）高的三角形面積相等；同（等）底三角形面積這比等于高之比；同（等）高三角形面積之比等于底之比 4（2013? 重慶）在平面上， ， | |=|=1 ， = +若 |，則 |的取值范圍是（ ） A（0 ， B （ ， C （ ， D （ ， 【考點】向量在幾何中的應用；平面向量的基本定理及其意義 【專題】壓軸題；平面向量及應用 【分析】建立坐標系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量模的計算公式，即可得到結(jié)論 【解答】解：根據(jù)條件知A，B1，P，B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2，以

9、AB1，AB2所在直線為坐標軸建立直角坐標系，設|AB1|=a，|AB2|=b，點O的坐標為（x，y），則點P的坐標為（a，b）， 由=1 ，得 ，則 | ， （xa）2+y2=1，y2=1（xa）21， y21 同理x21 x2+y22 由 知， | |= ， | 故選D 第7頁（共11頁） 【點評】本題考查向量知識的運用，考查學生轉(zhuǎn)化問題的能力，考查學生的計算能力，屬于難題 二填空題（共6小題） 5（2011?天津）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC 上的動點，則的最小值為 5 【考點】向量的模 【專題】平面向量及應用 【分析】根據(jù)題

10、意，利用解析法求解，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系，則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），設P（0，b）（0ba） ，求出，根 據(jù)向量模的計算公式，即可求得，利用完全平方式非負，即可求得其最小值 【解答】解：如圖，以直線DA，DC分別為x，y軸建立平面直角坐標系， 則A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0） 設P（0，b）（0ba） 則=（2，b） ，=（1，ab）， =（5，3a4b） =5 故答案為5 【點評】此題是個基礎題考查向量在幾何中的應用，以及向量模的求法，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力 6（2012?湖南）如圖，在平

11、行四邊形ABCD中，APBD，垂足為P，且AP=3， 則= 18 第8頁（共11頁） 【考點】平面向量數(shù)量積的運算 【專題】計算題；壓軸題 【分析】設AC與BD交于O，則AC=2AO，在RtAPO中，由三角函數(shù)可得AO與AP的 關(guān)系，代入向量的數(shù)量積 =| |cosPAO可求 【解答】解：設AC與BD交于點O，則AC=2AO APBD，AP=3， 在RtAPO中，AOcosOAP=AP=3 |cos OAP=2|×cos OAP=2|=6， 由向量的數(shù)量積的定義可知， =| |cosPAO=3×6=18 故答案為： 18 【點評】本題主要考查了向量的數(shù)量積 的定義的應用，解

12、題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AC×cosOAP=2×AOcosOAP=2AP 7（2014?余杭區(qū)校級模擬）如圖，ABCD是邊長為4的正方形，動點P在以AB為直徑的圓弧APB 上，則的取值范圍是 0，16 【考點】平面向量數(shù)量積的運算 【專題】計算題；綜合題；壓軸題 【分析】以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖坐標系，可得C（2，4），D（2，4），P（2cos，2sin）， 得到 、坐標，用向量數(shù)量積的坐標公式化簡， 得=1616sin，再結(jié)合0， ，不難得到的取值范圍 【解答】解：以AB中點為坐標原點，AB所在直線為x軸建立如圖坐標系 第9頁（共11頁） 則圓弧A

13、PB方程為x2+y2=4，（y0），C（2，4），D（2，4） 因此設P（2cos，2sin），0， =（22cos，42sin） ，=（22cos，42sin）， 由此可得=（22cos）（22cos）+（42sin）（42sin） =4cos24+1616sin+4sin2=1616sin 化簡得=1616sin 0，sin0，1 當=0或 時，取最大值為16；當 = 時，取最小值為0 由此可得的取值范圍是0，16 故答案為：0，16 【點評】本題給出正方形內(nèi)半圓上一個動點，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)和圓的參數(shù)方程等知識，屬于中檔題 8（2014?韶關(guān)模擬）

14、已知AD是ABC的中線，若A=120° ， ，則的最小值是 1 【考點】向量在幾何中的應用 【專題】壓軸題；平面向量及應用 【分析】利用向量的數(shù)量積公式，及三角形中線向量的表示，利用基本不等式， 即可求的最小值 【解答】 解： =| |cosA，A=120°，（7分） | |=4（8分） =（ +）， |2=（ |2 +|2 +2 ?）=（ |2 +|24） 第10頁（共11頁） （ 2| |4）=1（10分） min=1（12分） 故答案為：1 【點評】本題考查向量的數(shù)量積，基本不等式，考查學生的計算能力，屬于中檔題 9（2010?武昌區(qū)模擬）ABC的面積為1 ，P為AB

15、C 內(nèi)一點，且，則BCP的面積為 【考點】向量在幾何中的應用 【專題】計算題；壓軸題 【分析】在ABC 中，作出向量，由向量的幾何意義，三角形的面積公式，且ABC的面積為1，可以求出BCP的面積 【解答】解：如圖，在ABC 中，作出， 平移 ，其中， ABC的面積為： S= =sinA=1， 而ADE，CEP，平行四邊形BDEP的面積和為： = | ? sinA+ + =， 所以BCP的面積為：1= 本題也可以通過左移點P ： 個單位，下移個單位，到點A知BCP邊BC上的高h2是ABC邊BC上的高h1的，即BCP的面積是ABC的 故答案為： 【點評】本題通過作圖得出向量的關(guān)系，從而求出三角形的面積 第11頁（共11頁） 10（2014?江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8，AD=5 ， =3 ， ?=2， 則 ?的值是