高校(理工類)數(shù)學拉格朗日插值公式教學(課堂講義)

1、3.3 拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式 線性插值僅僅利用兩個結(jié)點上的信息，精度很低。線性插值僅僅利用兩個結(jié)點上的信息，精度很低。下面考察下述三點插值問題：給定含有三個結(jié)點的函下面考察下述三點插值問題：給定含有三個結(jié)點的函數(shù)表：數(shù)表：作二次多項式作二次多項式y(tǒng)=p2(x)，使，使y=p2(x)在結(jié)點在結(jié)點x0，x1，x2分別分別取函數(shù)值取函數(shù)值y0，y1，y2，即滿足條件：，即滿足條件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2問題的提出問題的提出已知已知y=f(x)在結(jié)點在結(jié)點x0，x1，x2分別取函數(shù)值分別取函數(shù)值y0，y1，y2，求二次多項式求二次多項式y(tǒng)=p2(x)=a

2、0+a1x+a2x2，滿足條件：，滿足條件：p2(x0)=y0，p2(x1)=y1，p2(x2)=y2a0，a1，a2滿足 222210221211012020100 xaxaayxaxaayxaxaay基本插值多項式基本插值多項式為了得到插值多項式為了得到插值多項式y(tǒng)=p2(x)，先解決一個比較簡單的，先解決一個比較簡單的插值問題：尋求二次式插值問題：尋求二次式A0(x)，使?jié)M足條件，使?jié)M足條件A0(x0)=1，A0(x1)=0，A0(x2)=0或者說，使適合下列函數(shù)表或者說，使適合下列函數(shù)表這樣的插值多項式不難直接構(gòu)造出來。這樣的插值多項式不難直接構(gòu)造出來。基本插值多項式基本插值多項式由條

3、件由條件A0(x1)=A0(x2)=0知，知，A0(x)含有含有xx1和和xx2兩個因兩個因子，令子，令A0(x)=(xx1)(xx2)再用條件再用條件A0(x0)=1確定其中的系數(shù)確定其中的系數(shù)，結(jié)果得到：，結(jié)果得到：20101xxxx基本插值多項式基本插值多項式類似地作出滿足條件類似地作出滿足條件A1(x0)=0，A1(x1)=1，A1(x2)=0與與A2(x0)=0，A2(x1)=0，A2(x2)=1的插值多項式的插值多項式A1(x)與與A2(x)：得到的三個插值多項式得到的三個插值多項式Ak(x)（k=0,1,2）統(tǒng)稱以）統(tǒng)稱以x0，x1，x2為結(jié)點的基本插值多項式。為結(jié)點的基本插值多

4、項式。二次插值二次插值用這些基本插值多項式作出的線性組合用這些基本插值多項式作出的線性組合y=y0A0(x)+y1A1(x)+y2A2(x)顯然是個不超過顯然是個不超過2次的多項式，并且滿足條件（次的多項式，并且滿足條件（7），），因而即為所求的插值多項式因而即為所求的插值多項式y(tǒng)=p2(x)。基本插值多項式?；静逯刀囗検紸k(x)的表達式上面已經(jīng)導出，代入上式得到：的表達式上面已經(jīng)導出，代入上式得到：二次插值的幾何意義二次插值的幾何意義這種二次插值的幾何解釋是，用通過三點這種二次插值的幾何解釋是，用通過三點(x0,y0)，(x1,y1)，(x2,y2)所作的拋物線來近似曲線所作的拋物線來近

5、似曲線y=f(x)，因此二，因此二次插值亦稱拋物插值次插值亦稱拋物插值(圖圖3-2)。舉例舉例例例3-3-1 利用利用100，121和和144的平方根，求的平方根，求 。解解 利用拋物插值公式利用拋物插值公式其中，其中，x0=100，y0=10；x1=121，y1=11；x2=144，y2=12；又又x=115，代入求得，代入求得再同所求平方根的實際值再同所求平方根的實際值10.7238比較，得到了具有比較，得到了具有4位有位有效數(shù)字的結(jié)果。效數(shù)字的結(jié)果。一般形式的插值問題（一般形式的插值問題（n次插值）次插值）進一步討論一般形式的插值問題。進一步討論一般形式的插值問題。y=f(x)x0, x

6、1, , xnf(x)P(x) 0111axaxaxaxpnnnnn niyxpiii, 1 , 0,一般形式的插值問題（一般形式的插值問題（n次插值）次插值）仿照線性插值和二次插值所采用的辦法，仍從構(gòu)造所仿照線性插值和二次插值所采用的辦法，仍從構(gòu)造所謂基本插值多項式著手。謂基本插值多項式著手。先對某個固定的下標先對某個固定的下標k，作，作n次多項式次多項式Ak(x)，使?jié)M足條，使?jié)M足條件：件：或者說，使適合下列簡單形式的函數(shù)表：或者說，使適合下列簡單形式的函數(shù)表：一般形式的插值問題一般形式的插值問題如果對每個下標如果對每個下標k(k=0,1,2,n)能作出這樣的基本插值能作出這樣的基本插值多

7、項式多項式Ak(x)，那么它們的線性組合：，那么它們的線性組合：就是所求的插值多項式。事實上，由于就是所求的插值多項式。事實上，由于Ak(x)都是都是n次次的，的，pn(x)的次數(shù)不會超過的次數(shù)不會超過n。另外，利用。另外，利用(8)式，得式，得即即y=pn(x)確實滿足所給條件。確實滿足所給條件。一般形式的基本插值多項式一般形式的基本插值多項式于是，問題歸結(jié)為具體求出基本插值多項式于是，問題歸結(jié)為具體求出基本插值多項式Ak(x)。根。根據(jù)據(jù)(8)式，式，xk以外的所有結(jié)點都是以外的所有結(jié)點都是Ak(x)的零點，因此，的零點，因此，令令這里符號這里符號的含義是累乘，的含義是累乘， 表示乘積遍取

8、表示乘積遍取j從從0到到n除除j=k以外的全部正整數(shù)值。以外的全部正整數(shù)值。式中的式中的為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。拉格朗日插值公式拉格朗日插值公式待定系數(shù)待定系數(shù)通過通過(8)式中尚未用過的一個條件式中尚未用過的一個條件Ak(xk)=1來確定來確定它，結(jié)果得：它，結(jié)果得：稱為拉格朗日基函數(shù)，代入稱為拉格朗日基函數(shù)，代入(9)式，即得所求插值多項式式，即得所求插值多項式y(tǒng)=pn(x)的表達式：的表達式：上式就是所謂拉格朗日（上式就是所謂拉格朗日（Lagrange）插值公式。）插值公式。拉格朗日插值的實現(xiàn)拉格朗日插值的實現(xiàn)在給定點在給定點x，用插值公式，用插值公式(10)計算計算y=pn(x)的值作

9、為函數(shù)的值作為函數(shù)f(x)在在x點處的近似值，這個過程稱作插值。插值多項式的次數(shù)點處的近似值，這個過程稱作插值。插值多項式的次數(shù)稱作插值的階。點稱作插值的階。點x稱作插值點。如果插值點稱作插值點。如果插值點x位于插值區(qū)位于插值區(qū)間內(nèi)，這種插值過程稱內(nèi)插，否則稱作外推。間內(nèi)，這種插值過程稱內(nèi)插，否則稱作外推。拉格朗日公式拉格朗日公式(10)在邏輯結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為二重循環(huán)。內(nèi)循環(huán)在邏輯結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為二重循環(huán)。內(nèi)循環(huán)(j循環(huán)循環(huán))由累乘求得系數(shù)：由累乘求得系數(shù)：然后再通過外循環(huán)然后再通過外循環(huán)(k循環(huán)循環(huán))由累加得到結(jié)果：由累加得到結(jié)果：拉格朗日插值拉格朗日插值對于拉格朗日插值公式，特別地對于拉格朗日插值

10、公式，特別地, 當當n =1時又叫線性插時又叫線性插值值,其幾何意義為過兩點的直線其幾何意義為過兩點的直線. 當當n =2時又叫拋物插值時又叫拋物插值, 其幾何意義為過三點的拋物線其幾何意義為過三點的拋物線.應注意應注意, ,對于插值節(jié)點對于插值節(jié)點, ,只要求它們互異只要求它們互異, ,與與大小次序無關(guān)。大小次序無關(guān)。拉格朗日插值多項式的唯一性拉格朗日插值多項式的唯一性 證證 ：設所求的插值多項式為：設所求的插值多項式為：pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn則由插值條件式則由插值條件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得關(guān)于系數(shù)可得關(guān)于系數(shù)a0 ,a1 , ,an

11、的線性代數(shù)方程組的線性代數(shù)方程組 設節(jié)點設節(jié)點xi (i=0,1, ,n)互異互異, 則則滿足插值條件滿足插值條件pn(xi)=yi 的的n次多項式次多項式pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn 存在且唯一。存在且唯一。定理定理拉格朗日插值多項式的唯一性拉格朗日插值多項式的唯一性 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010 此方程組有此方程組有n n+1+1個方程個方程, , n n+1+1個未知數(shù)個未知數(shù), , 其系數(shù)行其系數(shù)行列式是范德蒙行列式，即：列式是范德蒙行列式，即：拉格朗日插值多項式的唯一性拉格朗日插值多項式的唯一性nnnnnnxxxxxxxxx212110200111拉格朗日插值多項式的唯一性拉格朗日插值多項式的唯一性由于插值節(jié)點由于插值節(jié)點 xi 互不相同互不相同, 所有因子所有因子 xj-xi 0, 所以上述行所以上述行列式不等于零列式不等于零,故由克萊姆法則知方程組的解存在且唯一故由克萊姆法則知方程組的解存在且唯一. 即滿足條件式即滿足條件式 的的n次多項式存在且唯一。次多項式存在且唯一。證畢。證畢。 0110 niijjixx ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(111212110200拉格朗日插值多項式的唯一性拉格朗日插值多項式的唯一性反證反證：若不唯一