卷積的物理意義

1、卷積的物理意義卷積是“信號與系統(tǒng)”中論述系統(tǒng)對輸入信號的響應(yīng)而提出的。因為是對模擬信號論述的,所以常常帶有繁瑣的算術(shù)推倒,很簡單的問題的本質(zhì)常常就被一大堆公式淹沒了,那么卷積究竟物理意義怎么樣呢?卷積表示為y(n) = x(n)*h(n)使用離散數(shù)列來理解卷積會更形象一點,我們把y(n)的序列表示成y(0),y(1),y(2) and so on; 這是系統(tǒng)響應(yīng)出來的信號。同理,x(n)的對應(yīng)時刻的序列為x(0),x(1),x(2).and so on;其實我們?nèi)绻麤]有學(xué)過信號與系統(tǒng),就常識來講,系統(tǒng)的響應(yīng)不僅與當(dāng)前時刻系統(tǒng)的輸入有關(guān),也跟之前若干時刻的輸入有關(guān),因為我們可以理解為這是之前時刻

2、的輸入信號經(jīng)過一種過程(這種過程可以是遞減,削弱,或其他)對現(xiàn)在時刻系統(tǒng)輸出的影響,那么顯然,我們計算系統(tǒng)輸出時就必須考慮現(xiàn)在時刻的信號輸入的響應(yīng)以及之前若干時刻信號輸入的響應(yīng)之“殘留”影響的一個疊加效果。假設(shè)0時刻系統(tǒng)響應(yīng)為y(0),若其在1時刻時,此種響應(yīng)未改變,則1時刻的響應(yīng)就變成了y(0)+y(1),叫序列的累加和(與序列的和不一樣)。但常常系統(tǒng)中不是這樣的,因為0時刻的響應(yīng)不太可能在1時刻仍舊未變化,那么怎么表述這種變化呢,就通過h(t)這個響應(yīng)函數(shù)與x(0)相乘來表述,表述為x(m)×h(m-n),具體表達(dá)式不用多管,只要記著有大概這種關(guān)系,引入這個函數(shù)就能夠表述y(0)

3、在1時刻究竟削弱了多少,然后削弱后的值才是y(0)在1時刻的真實值,再通過累加和運算,才得到真實的系統(tǒng)響應(yīng)。再拓展點,某時刻的系統(tǒng)響應(yīng)往往不一定是由當(dāng)前時刻和前一時刻這兩個響應(yīng)決定的,也可能是再加上前前時刻,前前前時刻,前前前前時刻,等等,那么怎么約束這個范圍呢,就是通過對h(n)這個函數(shù)在表達(dá)式中變化后的h(m-n)中的m的范圍來約束的。即說白了,就是當(dāng)前時刻的系統(tǒng)響應(yīng)與多少個之前時刻的響應(yīng)的“殘留影響”有關(guān)。當(dāng)考慮這些因素后,就可以描述成一個系統(tǒng)響應(yīng)了,而這些因素通過一個表達(dá)式(卷積)即描述出來不得不說是數(shù)學(xué)的巧妙和迷人之處了。對于非數(shù)學(xué)系學(xué)生來說,只要懂怎么用卷積就可以了,研究什么是卷積

4、其實意義不大,它就是一種微元相乘累加的極限形式。卷積本身不過就是一種數(shù)學(xué)運算而已。就跟“蝶形運算”一樣,怎么證明,這是數(shù)學(xué)系的人的工作。在信號與系統(tǒng)里,f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)可用f(t)與其單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分求解得,即y(t)=f(t)*h(t)。學(xué)過信號與系統(tǒng)的都應(yīng)該知道,時域的卷積等于頻域的乘積,即有 Y(s)=F(s)×H(s)。(s=jw,拉氏變換后等到的函數(shù)其實就是信號的頻域表達(dá)式)有一點你必須明白,在通信系統(tǒng)里,我們關(guān)心的以及 要研究的是信號的頻域,不是時域,原因是因為信號的頻率是攜帶有信息的量。所以,我們需要的是Y(s)這個表達(dá)式,但是實際上,我們往往

5、不能很容易的得到F(s)和H(s)這兩個表達(dá)式,但是能直接的很容易的得到f(t)和h(t),所以為了找到Y(jié)(s)和y(t)的對應(yīng)關(guān)系,就要用到卷積運算。復(fù)頻域s=jw,當(dāng)中的j是復(fù)數(shù)單位,所以使用的是復(fù)頻域。通俗的解釋方法是,因為系統(tǒng)中有電感X=jwL、電容X=1/jwC,物理意義是,系統(tǒng)H(s)對不同的頻率分量有不同的衰減,即這種衰減是發(fā)生在頻域的,所以為了與時域區(qū)別,引入復(fù)數(shù)的運算。但是在復(fù)頻域計算的形式仍然滿足歐姆定理、KCL、KVL、疊加法。負(fù)的頻率之所以會出現(xiàn)負(fù)的頻率,這只是數(shù)學(xué)運算的結(jié)果,只存在于數(shù)學(xué)運算 中,實際中不會有負(fù)的頻率。卷積的過程就是相當(dāng)于把信號分解為無窮多的沖擊信號,

6、然后進(jìn)行沖擊響應(yīng)的疊加。以下我們舉四個現(xiàn)實生活的例子來理解卷積的物理意義:例1:有一個七品縣令,喜歡用打板子來懲戒那些市井無賴,而且有個慣例:如果沒犯大罪,只打一板,釋放回家,以示愛民如子。有一個無賴,想出人頭地卻沒啥指望,心想:既然揚不了善名,出惡名也成啊。怎么出惡名?炒作唄!怎么炒作?找名人呀!他自然想到了他的行政長官縣令。無賴于是光天化日之下,站在縣衙門前撒了一泡尿,后果是可想而知地,自然被請進(jìn)大堂挨了一板子,然后昂首挺胸回家,躺了一天,嘿!身上啥事也沒有!第二天如法炮制,全然不顧行政長管的仁慈和衙門的體面,第三天、第四天.每天去縣衙門領(lǐng)一個板子回來,還喜氣洋洋地,堅持一個月之久!這無賴

7、的名氣已 經(jīng)和衙門口的臭氣一樣,傳遍八方了!縣令大人噤著鼻子,呆呆地盯著案子上的驚堂木,擰著眉頭思考一個問題:這三十個大板子怎么不好使捏?.想當(dāng)初,本老爺金榜題名時,數(shù)學(xué)可是得了滿分,今天好歹要解決這個問題:人(系統(tǒng)!)挨板子(脈沖!)以后,會有什么表現(xiàn)(輸出!)?費話,疼唄!我問的是:會有什么表現(xiàn)?看疼到啥程度。像這無賴的體格,每天挨一個板子啥事都不會有,連哼一下都不可能,你也看到他那得意洋洋的嘴臉了(輸出0);如果一次連揍他十個板子,他可能會皺皺眉頭,咬咬牙,硬挺著不哼(輸出1);揍到二十個板子,他會疼得臉部扭曲,象豬似地哼哼(輸出3);揍到三十個板子,他可能會象驢似地嚎叫,一把鼻涕一把淚

8、地求你饒他一命(輸出5);揍到四十個板子,他會大小便失禁,勉強(qiáng)哼出聲來(輸出1);揍到五十個板子,他連哼一下都不可能(輸出0)死啦!縣令鋪開坐標(biāo)紙,以打板子的個數(shù)作為X軸,以哼哼的程度(輸出)為Y軸,繪制了一條曲線:嗚呼呀!這曲線象一座高山,弄不懂弄不懂。為啥那個無賴連挨了三十天大板卻不喊繞命呀?呵呵,你打一次的時間間隔(=24小時)太長了,所以那個無賴承受的痛苦程度一天一利索,沒有疊加,始終是一個常數(shù);如果縮短打板子的時間間隔(建議=0.5秒),那他的痛苦程度可就迅速疊加了;等到這無賴挨三十個大板(t=30)時,痛苦程度達(dá)到了他能喊叫的極限,會收到最好的懲戒效果, 再多打就顯示不出您的仁慈了

9、。還是不太明白,時間間隔小,為什么痛苦程度會疊加呢?這與人(線性時不變系統(tǒng))對板子(脈沖、輸入、激勵)的響應(yīng)有關(guān)。什么是響應(yīng)?人挨一個板子后,疼痛的感覺會在一天(假設(shè)的,因人而異)內(nèi)慢慢消失(衰減),而不可能突然消失。這樣一來,只要打板子的時間間隔很小,每一個板子引起的疼痛都來不及完全衰減,都會對最終的痛苦程度有不同的貢獻(xiàn):t個大板子造成的痛苦程度=(第個大板子引起的痛苦*衰減系數(shù))衰減系數(shù)是(t-)的函數(shù),仔細(xì)品味數(shù)學(xué)表達(dá)為:y(t)=T()H(t-)拿人的痛苦來說卷積的事,太殘忍了。除了人以外,其他事物也符合這條規(guī)律嗎?呵呵,縣令大人畢竟仁慈。其實除人之外,很多事情也遵循此道。好好想一想,

10、鐵絲為什么彎曲一次不折,快速彎曲多次卻會輕易折掉呢?恩,一時還弄不清,容本官慢慢想來但有一點是明確地來人啊,將撒尿的那個無賴抓來,狠打40大板!例2:張三剛剛應(yīng)聘到了一個電子產(chǎn)品公司做測試人員,他沒有學(xué)過"信號與系統(tǒng)"這門課程。一天,他拿到了一個產(chǎn)品,開發(fā)人員告訴他,產(chǎn)品有一個輸入端,有一個輸出端,有限的輸入信號只會產(chǎn)生有限的輸出。 然后,經(jīng)理讓張三測試當(dāng)輸入sin(t)(t<1秒)信號的時候(有信號發(fā)生器),該產(chǎn)品輸出什么樣的波形。張三照做了,花了一個波形圖。"很好!"經(jīng)理說。然后經(jīng)理給了張三一疊A4紙: "這里有幾千種信號,都用公式說

11、明了,輸入信號的持續(xù)時間也是確定的。你分別測試以下我們產(chǎn)品的輸出波形是什么吧!"這下張三懵了,他在心理想"上帝,幫幫我把,我怎么畫出這些波形圖呢?"于是上帝出現(xiàn)了: "張三,你只要做一次測試,就能用數(shù)學(xué)的方法,畫出所有輸入波形對應(yīng)的輸出波形"。上帝接著說:"給產(chǎn)品一個脈沖信號,能量是1焦耳,輸出的波形圖畫出來!"張三照辦了,"然后呢?"上帝又說,"對于某個輸入波形,你想象把它微分成無數(shù)個小的脈沖,輸入給產(chǎn)品,疊加出來的結(jié)果就是你的輸出波形。你可以想象這些小脈沖排著隊進(jìn)入你的產(chǎn)品,每個產(chǎn)生一個小的

12、輸出,你畫出時序圖的時候,輸入信號的波形好像是反過來進(jìn)入系統(tǒng)的。"張三領(lǐng)悟了:" 哦,輸出的結(jié)果就積分出來啦!感謝上帝。這個方法叫什么名字呢?"上帝說:"叫卷積!"從此,張三的工作輕松多了。每次經(jīng)理讓他測試一些信號的輸出結(jié)果,張三都只需要在A4紙上做微積分就是提交任務(wù)了!張三愉快地工作著,直到有一天,平靜的生活被打破。經(jīng)理拿來了一個小的電子設(shè)備,接到示波器上面,對張三說:"看,這個小設(shè)備產(chǎn)生的波形根本沒法用一個簡單的函數(shù)來說明,而且,它連續(xù)不斷的發(fā)出信號!不過幸好,這個連續(xù)信號是每隔一段時間就重復(fù)一次的。張三,你來測試以下,連到我們的

13、設(shè)備上,會產(chǎn)生什么輸出波形!"張三擺擺手:"輸入信號是無限時長的,難道我要測試無限長的時間才能得到一個穩(wěn)定的,重復(fù)的波形輸出嗎?"經(jīng)理怒了:"反正你給我搞定,否則炒魷魚!"張三心想:"這次輸入信號連公式都給出出來,一個很混亂的波形;時間又是無限長的,卷積也不行了,怎么辦呢?"及時地,上帝又出現(xiàn)了:"把混亂的時間域信號映射到另外一個數(shù)學(xué)域上面,計算完成以后再映射回來""宇宙的每一個原子都在旋轉(zhuǎn)和震蕩,你可以把時間信號看成若干個震蕩疊加的效果,也就是若干個可以確定的,有固定頻率特性的東西。"

14、;"我給你一個數(shù)學(xué)函數(shù)f,時間域無限的輸入信號在f域有限的。時間域波形混亂的輸入信號在f域是整齊的容易看清楚的。這樣你就可以計算了""同時,時間域的卷積在f域是簡單的相乘關(guān)系,我可以證明給你看看""計算完有限的程序以后,取f(-1)反變換回時間域,你就得到了一個輸出波形,剩下的就是你的數(shù)學(xué)計算了!"張三謝過了上帝,保住了他的工作。后來他知道了,f域的變換有一個名字,叫做傅利葉,什么什么. .再后來,公司開發(fā)了一種新的電子產(chǎn)品,輸出信號是無限時間長度的。這次,張三開始學(xué)拉普拉斯了.例3:比如說你的老板命令你干活,你卻到樓下打臺球去了,后

15、來被老板發(fā)現(xiàn),他非常氣憤,扇了你一巴掌(注意,這就是輸入信號,脈沖),于是你的臉上會漸漸地(賤賤地)鼓起來一個包,你的臉就是一個系統(tǒng),而鼓起來的包就是你的臉對巴掌的響應(yīng),好,這樣就和信號系統(tǒng)建立起來意義對應(yīng)的聯(lián)系。下面還需要一些假設(shè)來保證論證的嚴(yán)謹(jǐn):假定你的臉是線性時不變系統(tǒng),也就是說,無論什么時候老板打你一巴掌,打在你臉的同一位置(這似乎要求你的臉足夠光滑,如果你說你長了很多青春痘,甚至整個臉皮處處連續(xù)處處不可導(dǎo),那難度太大了,我就無話可說了哈哈),你的臉上總是會在相同的時間間隔內(nèi)鼓起來一個相同高度的包來,并且假定以鼓起來的包的大小作為系統(tǒng)輸出。好了,那么,下面可以進(jìn)入核心內(nèi)容卷積了!如果你

16、每天都到地下去打臺球,那么老板每天都要扇你一巴掌,不過當(dāng)老板打一巴掌后,你5分鐘就消腫了,所以時間長了,你甚至就適應(yīng)這種生活了如果有一天,老板忍無可忍,以0.5秒的間隔開始不間斷的扇你的過程,這樣問題就來了,第一次扇你鼓起來的包還沒消腫,第二個巴掌就來了,你臉上的包就可能鼓起來兩倍高,老板不斷扇你,脈沖不斷作用在你臉上,效果不斷疊加了,這樣這些效果就可以求和了,結(jié)果就是你臉上的包的高度隨時間變化的一個函數(shù)了(注意理解);如果老板再狠一點,頻率越來越高,以至于你都辨別不清時間間隔了,那么,求和就變成積分了。可以這樣理解,在這個過程中的某一固定的時刻,你的臉上的包的鼓起程度和什么有關(guān)呢?和之前每次

17、打你都有關(guān)!但是各次的貢獻(xiàn)是不一樣的,越早打的巴掌,貢獻(xiàn)越小,所以這就是說,某一時刻的輸出是之前很多次輸入乘以各自的衰減系數(shù)之后的疊加而形成某一點的輸出,然后再把不同時刻的輸出點放在一起,形成一個函數(shù),這就是卷積,卷積之后的函數(shù)就是你臉上的包的大小隨時間變化的函數(shù)。本來你的包幾分鐘就可以消腫,可是如果連續(xù)打,幾個小時也消不了腫了,這難道不是一種平滑過程么?反映到劍橋大學(xué)的公式上,f(a)就是第a個巴掌,g(x-a)就是第a個巴掌在x時刻的作用程度,乘起來再疊加就ok了,大家說是不是這個道理呢?我想這個例子已經(jīng)非常形象了,你對卷積有了更加具體深刻的了解了嗎?例4:用復(fù)利的例子來理解卷積可能更直觀一些:小明存入100元錢,年利率是5%,按復(fù)利計算(即將每一年所獲利息加入本金,以計算下一年的利息),那么在五年之后他能拿到的錢數(shù)是100（1+5%）5如下表所示以此類推,如果小明每年都往銀行中存入新的100元錢,那么這個收益表格將是這樣的:可見,最終小明拿到的錢將等于他各年存入的錢分別計算復(fù)利之后得到的錢數(shù)的總和,即用求和符號來簡化這個公式,可以得到:在上式中,f(i)為小明的存錢函數(shù),而g(i)為存入銀行的每一筆錢的復(fù)利計算函數(shù)。在這里,小明最終得到的錢就是他的存錢函數(shù)和復(fù)利計算函數(shù)的卷積。為了更清晰地看到這一點,我們將這個公式推廣到連續(xù)的情況