Coons曲面的三角擴展解讀

1、Coons曲面的三角擴展摘 要：利用三角多項式結合形狀參數(shù)對混合函數(shù)進行了三角擴展，分 別構造了第一類、第二類、第三類混合函數(shù)，然后定義了第一類、第二類、第 三類 Coo ns曲面和雙三次 Coo ns曲面，它們分別是第一類、第二類、第三類 Coo ns曲面和雙三次Coo ns曲面的擴展。探討了它們的性質和應用。不但通過改 變形狀參數(shù)可以調整曲面的形狀，而且選擇合適的邊界信息矩陣和形狀參數(shù)還可 以精確表示橢球、圓環(huán)等二次曲面和平面，給出了雙三次 Coo ns曲面的生成和各種應用實例，探討了形狀參數(shù)對其內(nèi)部凹凸性的影響。關鍵詞：曲線曲面造型；三角多項式；形狀參數(shù)；曲線設計；曲面設計CAGD中圖分

2、類號：TP391文獻標識碼：A文章編號Trigo nometric exte nsion of Coons curveGeng zixingZhang guicang(Collage of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070)Abstract： Three classes of blending functions with trigonometric polynomials and the parameter are constructed firstly, based

3、on these blending functions. We defi ned three classes Coons surface. This new surface in herit the property of Coons surface, their shapes can be adjusted through changing the values of shape parameter- . Moreover, they not only can represent plane precisely, but also precisely represent or approac

4、h quadric surfaces, we take a bi-cubic Coons surface for example, discussed the effect of shape parameter to its internal con cavity and conv exity.Key words: Curve and surface modeli ng； Trigo no metric Shape parameter; Curve design； Surface design； CAGDCoo ns曲面方法是60年代由Coo ns提出的自由型曲面設計方法，采用了參數(shù)方法和分C

5、oons片技術，其方法理論嚴密、描述能力強，對自由曲面造型技術的發(fā)展具有深遠的意義。曲面方法是根據(jù)給定的邊界條件，即四條邊界曲線及其跨界切矢，跨界二階導矢等，利用混合函數(shù)來構造的一類曲面.其特點是允許四條邊界可以是任意類型的參數(shù)曲線，可以插值于邊界曲線及其跨界切矢，甚至跨界二階導矢，所以Coons曲面方法在基于邊界插值的自由型曲面設計中得到了廣泛的應用，在車、船、飛機的外形設計等領域中常常用到Coo ns曲面方法。然而，Coo ns曲面有一定的不足，它具有剛性：當型值點或控制頂點確定了之后， 所要構造的曲線、曲面也就確定了，但如果發(fā)現(xiàn)構造出來的曲線、曲面達不到滿意的效果， 要繼續(xù)調整或改變曲線

6、、曲面的形狀，必須調整控制頂點，重新構造新的曲線、曲面，再一 次計算曲線曲面表達式，計算量大，曲線的修改相當不便。這對形狀設計人員是不利的，如何提高曲線曲面形狀、位置調整的靈活性、交互性和自由度，提高設計人員的工作效率，是現(xiàn)階段CAGD待解決的問題之一，也是國內(nèi)外CAGD研究的熱點之一。本文利用對多項式混合函數(shù)引入?yún)?shù)的方法，提出過一種Coo ns曲面的擴展。文章5,6用多種三角函數(shù)基構造了 Coo ns曲面的控制函數(shù)，受此啟發(fā)，本章利用三角函數(shù)基"l,si n令x,cos2 x,cos2分x,結 合形狀參數(shù)對 Coons曲面進行了三角擴展，分別給出了第一類、第二類、第三類 Coon

7、s曲面和雙三次 Coo ns曲面，分別探討了它們的性質，通過改變形狀參數(shù)可以調整曲面的形 狀，而且選擇合適的邊界信息矩陣和形狀參數(shù)可以精確表示橢球、圓環(huán)等二次曲面，給出了雙三次 Coons曲面的生成和各種應用實例。1具有給定邊界的第一類 Coons曲面1.1第一類混合函數(shù)定義1.1稱下列兩個含有參數(shù)的函數(shù)為第一類，混合函數(shù)；f°(u) = kcos(2u) +(1 -九)(1-u)丿 (1.1) fi(u)=入 si n( 2u) +(1 _)u其中 u 0,1，0,1。易見，上述第一類混合函數(shù)對于任意的參數(shù)都滿足如下性質:fi(j)Ti = 01，j 二 0,11.2第一類'

8、;Coo ns曲面的結構和性質定義1.2設曲面片P(u,w)的四條邊界曲線為P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w), 定義0 P(u,O) P(u,1)l-1 *C(u,w) = Li f0(u) f,(u P(O,w) P(0,0)P(0,1) f0(w)(1.2)7(1,w) P(1,0)P(1,1)_fi(wu , w 0,1為第一類 Coo ns曲面，式中f°(u)、fdu)與f°(w)、fdw)為(1.1)式所定義的第一類混合函數(shù)，參數(shù)分別為和2，我們這里可以稱其為形狀參數(shù)。第一類 Coo ns曲面的性質：性質1幾何不變性 由于第一類 Coo ns

9、曲面和雙線性Coo ns曲面片一樣利 用參數(shù)化構造方法，所以曲面片的形狀和位置與坐標系的選擇無關。性質2邊界性 無論兩個形狀參數(shù)1和2如何改變，曲面片的四條邊界始終分別插值于P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w)四條曲線。證明 由定義(1.2)可以直接計算得到。性質3退化性 當“=蒼=0時，第一類 Coo ns曲面片退化為雙線性 Coo ns曲面片。1.3第一類 Coons曲面的應用1. 形狀參數(shù)的應用就雙線性Coo ns曲面片而言，由于第一類 Coo ns曲面片含有兩個形狀參數(shù)1和2，我們不僅可以構造曲面片來插值于所要求的邊界曲線，還可以通過調 節(jié)兩個形狀參數(shù)1和2的值來改變

10、曲面片的形狀，這給曲面設計人員提供了極 大的選擇余地，增強了曲面幾何設計的靈活性。2. 圓錐面的精確表示第一類 Coo ns曲面片繼承了雙線性 Coo ns曲面片的良好邊界插值性質：曲面片的四條 邊界始終分別插值于 P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w)四條曲線，由于其表達式含有三角多項式，所以適當?shù)倪x取形狀參數(shù)和2的值和四條曲線P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1, w)，第一類'Coo ns曲面片可以精確表示球面、橢球面、圓環(huán)面等圓錐曲面。2具有給定邊界和跨界切矢的第二類 Coons曲面2.1第二類混合函數(shù)定義2.1稱下列四個含有參數(shù)'的函數(shù)為第

11、二類，混合函數(shù)'f (u)=丸 cos (弓U)+ (1 -九)F° (u)f1(u)1cos2(寺 u)+(1&)F1(u)e2 e(2.1)g°(u) VT sin(2u) cos u) (1 -，)G°(u)g(u)二-cos(fu) cos2G：u) (1 - JG/u)其中u 0,1， 0,1，F(xiàn)°(u)、R(u)、G°(u)、G(u)為三次混合函數(shù)，其表達式為:'Fo(u) =2u3 3u2 +132Fi(u) - -2u3u2Go(u) = u(u -1)2Gi(u)=u (u -1)易見，上述第二類混合函

12、數(shù)對于任意的參數(shù)都滿足如下性質:1, i = jfi(j)=g：(j) = j .o, i乞J(j)=gi(j)=oi = 0,1，j 二 0,12.2第二類 Coons曲面的結構和性質P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1, w)，跨界切矢為 Pw(u,0)、Pw(u,1)、Pu(0,w)、Pu (1, w)，定義C(u,w)=【1 f0(u)£(u)g°(u)g(u)】-0P(u,0)P(u,1)Pw (u,0)Pw(u,1)1-1 1P(0,w)P(0,0)P(0,1)Pw (0,0)Pw(0,1)f°(w)P(1,w)P(1,0)P(1,1)Pw

13、(1,0)Pw (1,1)f1(w)Pu(0,w)巳(0,0)巳(0,1)Puw(0,0)Puw(0,1)g°(w)Pu(1,w)Pu(1,0)Pu(1,1)Puw(1,0)Puw(1,1) 一p1(w) 一定義2.2設曲面片P(u,w)的四條邊界曲線為u,w 0,1(2.2)為第二類 Coo ns 曲面，式中 fj(u)、gi (u)與 fi(w)> gi(w) ( 0,1)按(2.1)式所定 義的第二類混合函數(shù)，參數(shù)分別為1和2，稱其為形狀參數(shù)。第二類 Coo ns曲面的性質：性質1幾何不變性.由于第二類 Coo ns曲面和第二類Coo ns曲面片一樣利 用參數(shù)化構造方法，

14、所以曲面片的形狀和位置與坐標系的選擇無關。性質2邊界性.無論兩個形狀參數(shù)1和2如何改變，曲面片的四條邊界始 終分別插值于P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w)四條曲線和四條邊界的跨界切矢 Fw(u,O)、Pw(u,1)、Pu(0,w)、R(1,w)。性質3退化性.當1二罷=0時，第二類'Coo ns曲面片退化為第二類 Coo ns 曲面片。2.3第二類 Coons曲面的應用1. 形狀參數(shù)的應用就第二類Coo ns曲面片而言，由于第二類Coo ns曲面片含有兩個形狀參數(shù)1和2 ,我們不僅可以構造曲面片來插值于所要求的邊界曲線和它們的跨界切 矢，還可以通過調節(jié)兩個形狀參數(shù)和

15、2的值來改變曲面片的形狀。2 圓錐面的精確表示第二類 Coons曲面片由于其表達式含有三角多項式，所以適當?shù)倪x取形狀 參數(shù)、和，2的值和邊界信息陣，第二類 Coo ns曲面片可以精確表示球面、橢球 面、圓環(huán)面等圓錐曲面。3具有給定邊界及跨界切矢、跨界二階導矢的第三類Coons曲面3.1第三類混合函數(shù)定義3.1稱下列六個含有參數(shù)的函數(shù)為第三類混合函數(shù)f34f0(u) =h4cos (烈)_3cos (號U) +(1 財F0(u)f,(u) =k1 4cos3(2u) +3cos4CJu) +(1人)F'u)g0(u)=丸_1 +si n(爭 u) +舟 cos2(專u) +3cos3(爭

16、u) 號 cos4(_Ju) +(1 入)G0(u)*34(3.1)gu) = &cos(-2u) +3cos (爭u) _2cos (爭u)+(1 九)G1 (u)h0(u)=幾cos3(召u) cos4 (召u)十(1 一九)H 0(u)g(u)二 cos'Gu) cos3(-2u)占cos4(2u) (1 JH'u)其中 u 0,1 , 0,1 , F°(u)、R(u)、G°(u)、G(u)、H°(u)、已)為五次 混合函數(shù)，其表達式為：F0(u) = -6u5 +15u4 -10u3 +1R(u) =6u5 -15u4 +10u3G

17、0(u) = -3u5 +8u4 -6u3 +uG(u) = -3u5 +7u4 -4u3 H0(u) = *(-u5 +3u4 _3u3 +u2) H(u) =； (u5 -2u4 +u3)易見，上述第三類混合函數(shù)對于任意的參數(shù)都滿足如下性質：*”1, i = jfi(j) = g：(j) = hW. J.i 和"(j) = fi(j) = gi(j)=g：(j) = hi(j)= h；(j)=0i , j=0,13.2第三類Coons曲面的結構和性質定義3.2設曲面片P(u,w)的四條邊界曲線為P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w),跨界切矢為 巳(u,0)、巳(

18、u,1)、Pu(0,w)、Pu(1,w),跨界二階導矢為pUu,0)、Pww(u,1)、Puu(0,w)、Puu (1, w)。定義C(u, w/) -1 f°(u)f1 (u)(g°(u) g1(u)h°(u)h1(u)- 0P(u,0)P(u,1)Pw(u,0)Pw(u,1)Pww(u,0)Pww(u,1) 1-11P(0,w)P(0,0)P(0,1)Pw(0,0)Pw(0,1)Pww(0,0)Pww(0,1)f°(w)P(1,w)P(1,0)P(1,1)Pw(1,0)Pw(1,1)Pww(1,0)Pww(1,1)f1(w)X：Pu(0,w)Pu(0

19、,0)Pu(Q1)Puw(0,0)Puw(0,1)Puww(0,0)Puww(0,1)g°(w)Pu(1,w)Pu(1,0)Pu(1,1)Puw(1,0)Puw(1,1)Puww(1,0)Puww(1,1)g1(w)Puu(0,w)Puu(0,0)Puu(0,1)puuw (OQ)Puuw(Q1)puuww(0,0)puuww(0J )h°(w)-Puu(1, w)Puu(1,0)Puu(1,1)Puuw(1,0)Puuw(1,1)Puuww(1,0)Puuww(1,1) 一* (w) _(3.2)u,w 0,1為第三類 Coo ns 曲面，式中 fj(u)、gi (u)&

20、gt; hi(u)與 (w)、gi(w)> hj(w)(i=0,1) 按(3.1)式所定義的第三類，混合函數(shù)，形狀參數(shù)分別為和2。第三類 Coo ns曲面的性質：性質1幾何不變性.由于第三類 Coo ns曲面和第三類Coons曲面片一樣利 用參數(shù)化構造方法，所以曲面片的形狀和位置與坐標系的選擇無關。性質2邊界性.無論兩個形狀參數(shù)i和2如何改變，曲面片的四條邊界始 終分別插值于P(u,0)、P(u,1)、P(0,w)、P(1,w)四條曲線和四條邊界的跨界切矢 FW(u,O)、Pw(u,1)、Pu(0,w)、Pu(1,w),還插值于其跨界二階導矢 pUu,。)、 Pww(u,1)、Puu(0

21、,w)、Puu (1, w)。性質3退化性.當、二篤=0時，第三類 Coo ns曲面片退化為第三類 Coo ns 曲面片。3.3第三類 Coons曲面的應用1. 形狀參數(shù)的應用第三類 Coo ns曲面片和第一類、第二類 Coo ns曲面片相似，由于第三類 Coo ns曲面片也含有兩個形狀參數(shù)1和2，我們不僅可以構造曲面片來插值于 所要求的邊界曲線和它們的跨界切矢，還插值于其跨界二階導矢，更為重要的是 也可以通過調節(jié)兩個形狀參數(shù)1和匕的值來改變曲面片的形狀，增強了曲面幾何設計的靈活性。2. 圓錐面的精確表示第三類 Coons曲面片由于其表達式含有三角多項式，所以適當?shù)倪x取形狀 參數(shù)1和2的值和邊

22、界信息陣，第三類 Coo ns曲面片也可以精確表示球面、橢 球面、圓環(huán)面等圓錐曲面。4雙三次 Coons曲面片4.1雙三次 Coons曲面片的構造和性質由于 Coo ns曲面片方法和Coo ns曲面片方法同樣需要大量的邊界信息，除了角點信息還包括邊界曲線信息，Coo ns提出了一種特殊的方式定義邊界約束，即利用角點信息和混合函數(shù)來定義邊界曲線和跨界切矢，參照其思想我們可以利 用角點信息和，混合函數(shù)來定義邊界曲線和跨界切矢。若已知四角點的點矢、 u向切矢、w向切矢和混合偏導矢，就可應用第二類混合函數(shù)fj(u)、gi (u) (i =0,1)將曲面片的四條邊界及其跨界切矢表示為:(4.1)p(O,

23、w) = fo(w) p(0,0) fi(w)p(0,1) go(w)pw(O,O) gi(w) Pw(0,1) p(1,w) =f°(w)p(1,0) f1(w) p(1,1) g0(w)pw(1,0) g1 (w) pw(1,1) p(u,0) = f°(u)p(0,0) fdu)p(1,0) g°(u)pw(0,0) g(u)pw(1,0) p(u,1) = f°(u)p(0,1)fdu)p(1,1) g°(u)Pw(0,1)g(u)Pw(1,1)Pu(0,w) = f°(w) Pu(0,0) f1(w)Pu(0,1) g

24、76;(w)Puw(0,0) g,w) pUw(0,1) Pu(1,w)二 f°(w)Pu(1,0)£32(1,1) g°(w)Puw(1,0) g1(w)Puw(1,1)Pw(u,0) = f0(u)Pw(0,0) f1(u)Pw(1,0) g°(u)Puw(0,0) g(u)Puw(1,0) Pw(u,1) = f°(u)Pw(0,1) f1(u)Pw(1,1) g°(u)Puw(0,1) g(u)Puw(1,1)Q(u,w) = f°(u)£(u)g°(u)g(u)-p(0,0)P(0,1)Pw(0

25、,0)Pw(0,1)【 f0(w)XP(1,0)p(1,1)Pw(1,0)Pw(1,1)f1(w)Pu(0,0)Pu(0,1)Puw(0,0)Puw (0,1)g°(w).Pu(1,0)Pu(1,1)puw (1,0)puw (1 ,1).g1(w)_將上式代入式(2.2)并加以整理就可以得到簡化了的曲面方程:u , w, i,0,1(4.2)式中f(u)、gi (u)與fi(w)、gi(w)(i=0,1)按(2.1)式所定義的第二類混合函 數(shù)，'1和'2為形狀參數(shù)。雙三次 Coo ns曲面的性質：性質1幾何不變性.由于雙三次 Coons曲面和雙三次 Coo ns曲面

26、片一樣 利用參數(shù)化構造方法，所以曲面片的形狀和位置與坐標系的選擇無關。性質2邊界性.無論兩個形狀參數(shù)1和2如何改變，曲面片的四個角點始 終插值于已知的四角點的點矢、u向切矢、w向切矢和混合偏導矢。性質3退化性.當 = '2=0時，雙三次 Coo ns曲面片退化為雙三次 Coo ns 曲面片。4.2雙三次 Coons曲面片的生成步驟若已知曲面的四個角點處的點矢、u向切矢、w向切矢和混合偏導矢，具體的雙三次 Co ons曲面片的生成步驟如下：根據(jù)所已知的四個角點處的點矢、u向切矢、w向切矢和混合偏導矢構造 邊界信息矩陣：p(0,0)p(0,1)pw (0,0)Pw(0,1) Ip(1,0)

27、p(1,1)Pw(1,0)pw (1,1)Pu(0,0)Pu(0,1)Puw(0,0)Puw(0,1)-Pu(1,0)Pu(1,1)Puw(1,0)Puw (1,1) 一將邊界信息矩陣代入(4.2)式得到形狀參數(shù)未定的雙三次 Coo ns曲面片Q(u,w)；(3) 取形狀參數(shù)初始值為二j =0，得到初始的雙三次 Coo ns曲面片，也 就是傳統(tǒng)的雙三次Coons曲面片，然后通過在0,1上改變形狀參數(shù)的大小調節(jié)雙 三次 Coo ns曲面片的形狀，最終得到滿意的曲面，設其對應的形狀參數(shù)為1, 2 ；(4) 將四個角點處的點矢、u向切矢、w向切矢和混合偏導矢的值和形狀參數(shù) I, 2的值代入(4.1)

28、式可以計算出雙三次 Coons曲面片的四條邊界及其跨界切 矢。4.3雙三次 Coons曲面片的應用1.形狀參數(shù)的應用由于雙三次 Coons曲面片含有兩個形狀參數(shù)'1和-2，我們可以通過調節(jié)兩 個形狀參數(shù)1和2的值來改變曲面片的形狀，增強了曲面幾何設計的靈活性。 例：取邊界信息矩陣為"(0,0,0)(0,1,0)(0,1,0)(0,1,0) A(1,0,0)(1,1,0)(0,1，巧(0,1,-巧(1,0,0)(1,0，兀)(0,0，兀)(0,0,引<(1,0,0)(1,0,-巧(0,0，巧(0,0,-巧將邊界信息矩陣代入(4.2)式得到形狀參數(shù)未定的雙三次 Coons曲

29、面片，取形狀 參數(shù)初始值為1二=0，得到初始的雙三次'Coo ns曲面片如圖1.1中第一副 圖，然后調節(jié)兩個形狀參數(shù)的大小，調節(jié)曲面的形狀，可以得到如下很多的曲面， 其中第一副圖就是傳統(tǒng)的雙三次 Coo ns曲面片。其中兩個形狀參數(shù)的值可以取相 同的值也可以取不相同的值。從圖1.1中我們可以發(fā)現(xiàn)形狀參數(shù)的值越大時，得 到的曲面上凸的趨勢越大，形狀參數(shù)的值越小時曲面的上凸趨勢越弱，當形狀參數(shù)足夠小時(人=打=-20，人=&2=-30)，曲面甚至出現(xiàn)下凹，= a' = b與 1 = b, 2 = a所得到的曲面是不同的，女口 =-10,遼=0與r =0,七=-10所得到的曲

30、面顯然是不同的。當形狀參數(shù)的值變化小時，得到的曲面形狀只有微小的變化，當形狀參數(shù)的值變化大時，得到的曲面形狀變化大。雖然當形狀參數(shù)取不同的值時，所得到的曲面形狀也是不同的，但所有的曲面的四個角點處的點矢、u向切矢、w向切矢和混合偏導矢都是相同的。0.750.750.50.750.250.250.250.750.750.250.50.250.50.750.750.5 .j0.250.50.750.750.250.250.250.750.250.750.250.50.750.250.50.750.250.250.50.750.5000.50.750.250.250.75二0.8101.50.250

31、.750.250.50.7510.750.250.250.750.750.250.750.750.50.250.50.75h =0.1, '2 =0.90.750.250.750.250.250.75= -1, '2 = 00.750.250.750.250.250.7510.750.250.750.250.250.75，1 = 0, 2 - -3'1 = 0j 2 = -10幾1 - ' 2 = -100.5-0.20.750.250.250.50.75-20圖1.1形狀參數(shù)改變曲面形狀2 特殊曲面的精確表示雙三次 Coo ns曲面片由于其表達式含有三角多項式

32、，所以適當?shù)倪x取形狀 參數(shù)'1和'2的值和邊界信息陣，可以精確表示球面、橢球面、圓環(huán)面等圓錐曲 面，同時也可以精確表達平面。(1) 橢球面的精確表示取邊界信息矩陣為：(0Qc)(a,0,0)(fa,0,0)(0,0-fc)(OQc)(0,b,0)(0,fb,0)(0,0-fc)(0,0,0)(0,fb,0)2(0,Tb,0)(0,0,0)J 0,0,0)(-2a,0,0)(-乎 a,0,0)(0,0,0)其中a,b,c 0，代入(4.2)式得到形狀參數(shù)未定的雙三次 Coo ns曲面片，取 形狀參數(shù)'0，化簡函數(shù)式就可以得到橢球面的參數(shù)方程：x(u, w) = a cos

33、( u)sin(2 w)y(u,w)二bsin(7u)sin(7w)u,w 0,1z(u,w) = ccosG w)如圖1.2為利用雙三次 Coo ns曲面片精確表示的橢球面，其中a,b,c分別取 3,2,1用雙三次'Coo ns曲面片可以精確表示的是橢球面的一部分，其他可以通過 重新選取邊界信息矩陣和形狀參數(shù)或者通過作對稱變換來獲得， 從而獲得完整橢 球面，當a =b二c =1，我們得到單位球面的精確表示，當取其它值時可以得到 球面的擬合。1-20120.50-0.5-10.750.250.5圖1.2橢球面的精確表示-2圖1.4形狀參數(shù)同為0.99時的球面擬合(2)圓環(huán)面的精確表示取

34、邊界信息矩陣為：'(b+a,0,0)(0,b+a,0)(b,0,a)(0,b,a)(0,0, fa)(0,0,-2a)d-2a,0,0)(0,-學 a,0)圖1.3球面的精確表示(0芳(b + a),0) (-2(b+a),0,0)'(0,牝,0)(-紗,0,0)(0,0,0) (0,0,0)(0,-乎 a,0)(否 a,0,0)其中a, b 0，代入(4.2)式得到形狀參數(shù)未定的雙三次 Coo ns曲面片，取形狀參數(shù)1二鼻=0，化簡函數(shù)式就可以得到圓環(huán)面的參數(shù)方程:u,w 0,1x(u, w) =(b acos(hu)cos(hw) “ y(u, w) = (b + acos(尹u)sin(f w) 、z(u, w) = asi n(2u)如下圖為利用雙三次'Coo ns曲面片精確表示的圓環(huán)面，其中a,b分別取2,1和1,2所得到的雙三次'Coo ns曲面片2100122101-2-2-210.50-0.5-1220-20-22圖1.5圓環(huán)面的精確表示(3)平面的精確表示取邊界信息矩陣為:'(0,0,0)(0,1,0)(0,1,0)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)