概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：總復(fù)習(xí)

1、一、重點(diǎn)一、重點(diǎn) 概率的計(jì)算公式：概率的計(jì)算公式：加法公式，乘法公式，求逆公式加法公式，乘法公式，求逆公式求差公式求差公式P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)，全概率公式，貝葉斯公式全概率公式，貝葉斯公式第一章第一章 隨機(jī)事件及其概率隨機(jī)事件及其概率)A(P1)A(P 事件的相互關(guān)系事件的相互關(guān)系1.相互獨(dú)立相互獨(dú)立(兩個(gè)、三個(gè)事件兩個(gè)、三個(gè)事件)；2.互不相容互不相容)B(P)A(P)BA(P,BA 則則若若例例1：設(shè)：設(shè) 31 AP 21 BP)(,BAP求求在下列三種形情下在下列三種形情下81)().3,.2,).1 ABPBABA有有包包含含關(guān)關(guān)系系；）互互不不相相容容；

2、ASAB解：解：)()()()(ABPBPABBPBAP 21021)()()(,).1于于是是互互不不相相容容，ABPBPBAPABBA AABBABPAP 即即,),()().2613121)()()()()( APBPABPBPBAP8/38/12/1)()()(8/1)().3 ABPBPBAPABP二二.例題：例題：例例:某通信系統(tǒng)的發(fā)端以某通信系統(tǒng)的發(fā)端以 0.6 和和 0.4 的概率發(fā)出的概率發(fā)出 0 和和 1,由于信道干擾由于信道干擾, 當(dāng)發(fā)出信號當(dāng)發(fā)出信號 0 時(shí)時(shí), 接收端以概率接收端以概率0.8和和0.2 收到信號收到信號 0 和和 1; 而當(dāng)發(fā)出信號而當(dāng)發(fā)出信號 1 時(shí)

3、時(shí), 接收端以概接收端以概率率 0.9 和和 0.1 收到信號收到信號 1 和和 0, 求求(1) 收到信號收到信號 1 的概率的概率;(2) 當(dāng)收到信號當(dāng)收到信號 1 時(shí)時(shí), 發(fā)端確是發(fā)出發(fā)端確是發(fā)出 1 的概率的概率.解解 設(shè)事件設(shè)事件 分別表示發(fā)端發(fā)出的信號為分別表示發(fā)端發(fā)出的信號為 0 和和1 , 事件事件 A 表示接端收到信號表示接端收到信號 1, 則則10A,A2 . 0)A/A(P9 . 0)A/A(P6 . 0)A(P4 . 0)A(P0101 )A/A(P)A(P)A/A(P)A(P)A(P00110A1A為樣本空間的劃分為樣本空間的劃分(1) 由全概率公式得由全概率公式得4

4、8. 02 . 06 . 09 . 04 . 0)A/A(P)A(P)A/A(P)A(P)A(P0011 (2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得75. 048. 09 . 04 . 0)A(P)A/A(P)A(P)A/A(P111 01010.80.20.90.1隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布:Y=g(X)二二.例題：例題：)a( , ba(N) 0a(baXY),(NX22 則則注注：設(shè)設(shè)第二章第二章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布一、重點(diǎn)：一、重點(diǎn)：六大分布六大分布: 分分布布) 10( 、二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布、泊泊松松分分布布均勻分布均勻分布、指數(shù)分布、指數(shù)分布 、正態(tài)分布、正態(tài)分布)

5、x(1)x(1)9 .3(21)0( 、注注：例例: 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ax,axa,axarcsinBAax,)x(F10試求：試求：其中其中, 0 a;,)1(BA常數(shù)常數(shù));2/()2(aXP ).()3(xf概率密度概率密度上連續(xù)，上連續(xù)，在在解：解：),()()1( xF()lim( ),( )lim( ),xaxaFaF xF aF x0,122ABAB.1,21 BA)2/()2/()2/2/()2/()2(aFaFaXaPaXP . 3121arcsin2)21arcsin121(21arcsin121 ., 0,1)()()3(2

6、2其它其它axaxaxFxf 2XA x0 x2f (x )A (4x )2x401A2 例例 ： 設(shè)設(shè) 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量的的 密密 度度 函函 數(shù)數(shù) 為為其其 它它（ ） 求求 常常 數(shù)數(shù)； （ ） 分分 布布 函函 數(shù)數(shù)24231431402xx231402x233141402(1)f (x)dx1Ax dxA(4x)dxA1, A(2)F(x)f (x)dx0 x0 x dx0 x22x4x dx(4x)dxx41 解解其它,x),x(Ax,Ax)x(f0424202的的分分布布律律為為：例例：設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 X.)2sin().2(, 1).1(2的的分分布布律律求求XYX

7、Y X2 P2 . 01 . 03 . 01 01212 X)2sin( X552214sin 2sin 02sin4sin2 . 02 . 0X2 P1 0122 . 01 . 03 . 02 . 02 . 012 X125P2 .03 .05 .0.12的的分分布布律律 XY.)2sin(的的分分布布律律XY P2 .01 . 03 . 0)2sin(X4sin 2sin 02sin4sin2 .02 .0)()()(yePyYPyFXY 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)21ey )y(lnF)ylnX(P)y(FXY )2 , 0( UX .0,121)()(2其它其它，所以所以eyyyFyfYY.),2 ,

8、0(概率密度概率密度求求例題：設(shè)例題：設(shè)XeYUX 解解:), 1(2eeYX 于是于是, 0)(1 yFyY時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng), 1)(2 yFeyY時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)Lny)Lny(f)y(fXY .,x,)x(fX其它其它02021一一.重點(diǎn)重點(diǎn) 多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的相互關(guān)系：隨機(jī)變量的相互關(guān)系： （1）相互獨(dú)立；（）相互獨(dú)立；（2）互不相關(guān)）互不相關(guān)(第四章第四章) 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布二二維維均均勻勻分分布布的的定定義義 、二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布的的性性質(zhì)質(zhì)則則有有，結(jié)結(jié)論論：若若),(),(222121 NYX),(),(222211 NYNX的的分分

9、布布、YXZ1 的的分分布布、)Y,Xmin(),Y,Xmax(2.YX2Z,YXZ的的分分布布例例： 3、一般函數(shù)、一般函數(shù))Y,X(gZ 二二.例題：例題：第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 xydxdyyxfXYP),().2(dxdyex)yx( 0022 02. 3/1)1(2dxeexx的的概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量例例題題),(:YX ., 0, 0, 0,2),()2(其其它它yxeyxfyx.).2(),().1(XYPyxF 求求概概率率；求求分分布布函函數(shù)數(shù) yxdxdyyxfyxF),(),(1）（解解： ., 0, 0, 0,200)

10、2(其其它它yxyxyxdxdye ., 0, 0, 0),1)(1(2其其它它yxeeyxG)()(),(yfxfyxfYX .,不不相相互互獨(dú)獨(dú)立立YX dy)y, x( f)x(fX解：解： ., 0, 1x1,x12dy122x1x12其它其它 dx)y, x( f)y(fY ., 0, 1y1,y12dx122y1y12其其它它是是否否不不相相關(guān)關(guān)？和和是是否否相相互互獨(dú)獨(dú)立立？和和、的的邊邊緣緣概概率率密密度度、求求關(guān)關(guān)于于問問：其其它它的的概概率率密密度度為為例例：設(shè)設(shè)YXYX)2(?)y(f)x(fYX)1(.,0, 1yx,1)y,x(f)Y,X(YX22 221121230

11、0001()( , )11cossinsin202xyE XYxy f x y dxdyxydxdyrrrd drr drd 2211212200001()( , )11coscos0 xyE Xx f x y dxdyxdxdyrrd drr drd 所以所以, E(XY)=E(x)E(Y)0, X和和Y是不相關(guān)的是不相關(guān)的. 22X|Y. X, Yxy1, f(x, y). 例例 設(shè)設(shè)在在圓圓域域上上服服從從均均勻勻分分布布 求求條條件件概概率率密密度度)y(f)y, x( f)yx(fYYX011 )y(fyY時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng).,yxy,y其它011121222 .,y,ydxyy其其它它01

12、112122112 ., 0, 1yx,1)y, x( f22其其它它解解： dx)y,x(f)y(fY一一. .重點(diǎn)：重點(diǎn)：六大分布的數(shù)字特征六大分布的數(shù)字特征)p1(p)X(D,p)X(E,)10(X. 1 分分布布服服從從設(shè)設(shè))p1(np)X(D,np)X(E),p,n(BX. 2 設(shè)設(shè) )X(D)X(E),(X.3設(shè)設(shè).12)ab()X(D,2ba)X(E),b, a(UX. 42 設(shè)設(shè).)X(D,)X(E,X. 52 的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)設(shè)),(. 62 NX設(shè)設(shè)，2)X(D,)X(E, ).C,C(NXCXCXCn,2,1i),(NXn1in1i2i2iiin

13、n22112iii ，且且它它們們相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則結(jié)結(jié)論論：若若第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征10.1.2(1) 例例: :隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的分分布布律律為為其其中中a0a0為為常常數(shù)數(shù)，求求E(X)?E(X)?kkXaP Xkka二二.例題：例題：a)a1a(ka1a) a1 (ak) x(E1k0k21kk0k ）（解解：1q)q1(anaqaq3aq2a21n2 其其中中33211.(0,1), (1, 2,3),1,() ,3 例例 已已 知知且且相相 互互 獨(dú)獨(dú) 立立 ，令令求求 ： E E( (Y Y) )iiiiiiXNiXXXYXX33222113

14、3322111332222211322221()(2)()2)()63)()3)()3 ()3()()3()()13103023iiiiiiiiiiiiiiiiiiXXXX XXXXXXXXXXXE XE XD XEXD XEX 解解：E E( (Y Y) )= =E E( () )= =E E( () )= =E E( (E E( (E E( ( . 0, 0, 0,)(xxexfXx的概率密度為的概率密度為例題：設(shè)隨機(jī)變量例題：設(shè)隨機(jī)變量.22的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望和和求求XeYXY dxxxfXE)(2)2(解：解： 02dxexx 0. 22dxex 0 xx2x2X2dxeedx)x(

15、 fe)e (E.3103 dxex21)1(2xy xy dxdyyxfxXE),()(解：解：dxydyx610)x1(202 dxyxx 10)1(202226, 5/2)1(121022 dxxx的概率密度為的概率密度為例題：設(shè)例題：設(shè)),(YX , 0),1(20, 10,6),(其它其它xyxxyyxf).(),(YEXE求求 dxdyyxfyYE),()(dxdyxy610)x1(202 . 5/4 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(.20101( )2 例例設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量X X的的概概率率密密度度為為f(x)=f(x)=對對X X獨(dú)獨(dú)立立的的觀觀察察1

16、616次次，其其它它用用Y Y表表示示觀觀察察值值不不大大于于 的的次次數(shù)數(shù)，求求D DxxY16, 2 , 1i.21i, 021i, 1Xi 次次觀觀察察值值大大于于若若第第，次次觀觀察察值值不不大大于于若若第第解解：令令16161111220(Y)()()16 (1)11(1)()( )224(Y)16 (1)3iiiiiDDXD XpppP XP Xf x dxxdxDpp例例: 假定國際市場每年對我國某種商品的需求量是一個(gè)隨機(jī)變假定國際市場每年對我國某種商品的需求量是一個(gè)隨機(jī)變量量 X (單位單位:噸噸), 它它 在區(qū)間在區(qū)間 2000,4000 上服均勻分布上服均勻分布. 已知每售

17、已知每售出一噸該商品就可賺得外匯出一噸該商品就可賺得外匯 3 萬美元；萬美元； 但若銷售不出去但若銷售不出去, 則每則每噸需存儲(chǔ)費(fèi)用噸需存儲(chǔ)費(fèi)用 1萬美元萬美元, 那么，外貿(mào)部門每年應(yīng)組織多少貨源那么，外貿(mào)部門每年應(yīng)組織多少貨源才能使收益的期望值最大？才能使收益的期望值最大？則有則有 .kX,k3,kX, 1)Xk(X3)X(gY .,3,4kXkkXkX.Yk為收益為收益為應(yīng)組織的貨源，為應(yīng)組織的貨源，解：設(shè)解：設(shè) dxxfxgYEX)()()( 40002000320001)4(20001kkkdxdxkx)1027000(1000162 kk.3500噸該種商品噸該種商品所以應(yīng)組織所以應(yīng)

18、組織 ., 0,4000X2000,20001)x(fX其它其它3500 k 4000kk200040002000dx20001)x(gdx20001)x(gdx20001)x(g第五章第五章 大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理一一.重點(diǎn)重點(diǎn)切比雪夫不等式切比雪夫不等式 (課本課本P127)222,P Xa . 設(shè) E ( X ) =, 方 差 DX則22.1bPX.中心極限定理：中心極限定理：(獨(dú)立同分布中心極限定理獨(dú)立同分布中心極限定理) 設(shè)設(shè) r.v. Xk(k=1, 2, )相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 服從同一分布服從同一分布(i.i.d.)，且具有有限的，且具有有限的數(shù)學(xué)期望和方差

19、數(shù)學(xué)期望和方差:x,F nnX )X(D)X(EXY r.v. 2, 1,k, 0)X(D,)X(Enn1kkn1kkn1kkn1kkn2kk 對對于于的的分分布布函函數(shù)數(shù)則則dt )2exp(21 Xlim)( lim2n1k xknnntxnnPxF 德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: : dt.e21x)p1(npnpPlim x, p), n,(b) 2, , 1n(. v . r 2t-x-nnn2 恒有恒有對于對于服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)設(shè)dt e21)( )(Plim2t-ban2 abbnpqnpan1). N(0,XY r.v. Pn1kn nnk序列序列即即二二.例題：

20、例題：例例:設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望EX= , 方差方差DX= ,則由則由Chebyshev不等式，有不等式，有2?XP55解：252451522)(XP例例: 一加法器同時(shí)收到一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓個(gè)噪聲電壓 ，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都，設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間在區(qū)間 (0,10) 上服從均勻分布，上服從均勻分布， 201iiVV.105 VP求求)20, 2 , 1( iVi記記解解: 因?yàn)橐驗(yàn)?,10, 0( UVi52100)( iVE12100)010(121)(2 iVD20, 2 , 1 i易知易知)12/2000,100(N)V(

21、D),V(E(NVV201ii201ii201ii 1220001210020)V(D)V(D,100520)V(E)V(E201ii201ii201ii201ii 由中心極限定理由中心極限定理348. 0)387. 0(1 348. 0105 VP所以所以于是于是 105VP)12/2000,100(N)V(D),V(E(NVV201ii201ii201ii )105V(P1 )122000100105(1 .2n4nSPlim),1n(XS)1 ,0(N,X,X.v. rnnn1i2in21 理理求求：試試用用中中心心極極限限定定分分布布，令令相相互互獨(dú)獨(dú)立立，均均服服從從例例、設(shè)設(shè)相互獨(dú)

22、立且同分布相互獨(dú)立且同分布則則解：令解：令i2iiZ,n, 2 , 1i,XZ )Z(D),Z(E(NZSn1iin1iin1ii )164P(n)Z(nE)Z(E)Z(Ein1iin1ii課課本本 n2)Z(nD)Z(D)Z(Din1ii1001ii .0)4(142nnSPlim142nnSPlim2n4nSPlimnnnnnn 解解: 令令Y為利潤為利潤, X為死亡人數(shù)為死亡人數(shù), ,0, 1iX第第 人在一年內(nèi)死亡人在一年內(nèi)死亡;i第第 人在一年內(nèi)未死人在一年內(nèi)未死.i10000, 2 , 1 i例例: 在一家保險(xiǎn)公司里有一萬人參加保險(xiǎn)，每人每年付在一家保險(xiǎn)公司里有一萬人參加保險(xiǎn)，每人

23、每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)這些人死亡的概率為元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)這些人死亡的概率為0.006,死亡死亡后家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取后家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取1000元。元。(1) 保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于6萬元的概率；萬元的概率；試用中心極限定理求：試用中心極限定理求：(2) 保險(xiǎn)公司虧本的概率；保險(xiǎn)公司虧本的概率；Y=12*10000-X*1000(1) 保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于6萬元的概率為萬元的概率為60000)X120(1000P60000YP 600 XP 100001iixX60000YP 600 XP 77. 70 72. 760072. 7

24、6060 5 . 005 . 0 ,006. 0)( pXEi005664. 0)1()( ppXDi而而)x(D),x(E(NxX100001ii100001ii100001ii ).72.7 ,60(N2XX10001ii )77. 71 (5 . 0 由中心極限定理知，由中心極限定理知，X近似服從近似服從,60006.010000)x(E)x(E100001ii100001ii 2100001ii100001ii72. 705664. 010000)x(D)x(D (2) 保險(xiǎn)公司虧本的概率為保險(xiǎn)公司虧本的概率為:0)120(1000 XP1201 XP 72. 7601201 77.

25、71 011 120 XP).72.7 ,60(N2XX10001ii 第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布一、重點(diǎn)：一、重點(diǎn)：221.2.tF分分布布， 分分布布， 分分布布的的定定義義；分分布布的的性性質(zhì)質(zhì)； 4. 課本：課本：P168,定理一，二，三定理一，二，三獨(dú)獨(dú)立立，則則有有，且且設(shè)設(shè)YX)n(Y),n(X. a2212 )(. )nn(YX212可可加加性性 則則有有設(shè)設(shè)),n(X.b2 .2)(,)(nXDnXE 23.標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布，分分布布， 分分布布， 分分布布的的分分位位點(diǎn)點(diǎn)tF二二.例題：例題：習(xí)題冊習(xí)題冊6.6和和6.7的的置置信信區(qū)區(qū)間間：已已知知時(shí)時(shí)單單個(gè)個(gè)正正態(tài)態(tài)總總體體，當(dāng)當(dāng) ,. 12)nX(/ 2 z 的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：未知時(shí)未知時(shí)單個(gè)正態(tài)總體，當(dāng)單個(gè)正態(tài)總體，當(dāng) ,. 22)(SX(/12 ntn 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：未未知知時(shí)時(shí)單單個(gè)個(gè)正正態(tài)態(tài)總總體體，當(dāng)當(dāng)2,.