概率論與數(shù)理統(tǒng)計：總復習

1、一、重點一、重點 概率的計算公式：概率的計算公式：加法公式，乘法公式，求逆公式加法公式，乘法公式，求逆公式求差公式求差公式P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)，全概率公式，貝葉斯公式全概率公式，貝葉斯公式第一章第一章 隨機事件及其概率隨機事件及其概率)A(P1)A(P 事件的相互關系事件的相互關系1.相互獨立相互獨立(兩個、三個事件兩個、三個事件)；2.互不相容互不相容)B(P)A(P)BA(P,BA 則則若若例例1：設：設 31 AP 21 BP)(,BAP求求在下列三種形情下在下列三種形情下81)().3,.2,).1 ABPBABA有有包包含含關關系系；）互互不不相相容容；

2、ASAB解：解：)()()()(ABPBPABBPBAP 21021)()()(,).1于于是是互互不不相相容容，ABPBPBAPABBA AABBABPAP 即即,),()().2613121)()()()()( APBPABPBPBAP8/38/12/1)()()(8/1)().3 ABPBPBAPABP二二.例題：例題：例例:某通信系統(tǒng)的發(fā)端以某通信系統(tǒng)的發(fā)端以 0.6 和和 0.4 的概率發(fā)出的概率發(fā)出 0 和和 1,由于信道干擾由于信道干擾, 當發(fā)出信號當發(fā)出信號 0 時時, 接收端以概率接收端以概率0.8和和0.2 收到信號收到信號 0 和和 1; 而當發(fā)出信號而當發(fā)出信號 1 時

3、時, 接收端以概接收端以概率率 0.9 和和 0.1 收到信號收到信號 1 和和 0, 求求(1) 收到信號收到信號 1 的概率的概率;(2) 當收到信號當收到信號 1 時時, 發(fā)端確是發(fā)出發(fā)端確是發(fā)出 1 的概率的概率.解解 設事件設事件 分別表示發(fā)端發(fā)出的信號為分別表示發(fā)端發(fā)出的信號為 0 和和1 , 事件事件 A 表示接端收到信號表示接端收到信號 1, 則則10A,A2 . 0)A/A(P9 . 0)A/A(P6 . 0)A(P4 . 0)A(P0101 )A/A(P)A(P)A/A(P)A(P)A(P00110A1A為樣本空間的劃分為樣本空間的劃分(1) 由全概率公式得由全概率公式得4

4、8. 02 . 06 . 09 . 04 . 0)A/A(P)A(P)A/A(P)A(P)A(P0011 (2) 由貝葉斯公式得由貝葉斯公式得75. 048. 09 . 04 . 0)A(P)A/A(P)A(P)A/A(P111 01010.80.20.90.1隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布:Y=g(X)二二.例題：例題：)a( , ba(N) 0a(baXY),(NX22 則則注注：設設第二章第二章 隨機變量及其分布隨機變量及其分布一、重點：一、重點：六大分布六大分布: 分分布布) 10( 、二二項項分分布布、泊泊松松分分布布均勻分布均勻分布、指數(shù)分布、指數(shù)分布 、正態(tài)分布、正態(tài)分布)

5、x(1)x(1)9 .3(21)0( 、注注：例例: 設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ax,axa,axarcsinBAax,)x(F10試求：試求：其中其中, 0 a;,)1(BA常數(shù)常數(shù));2/()2(aXP ).()3(xf概率密度概率密度上連續(xù)，上連續(xù)，在在解：解：),()()1( xF()lim( ),( )lim( ),xaxaFaF xF aF x0,122ABAB.1,21 BA)2/()2/()2/2/()2/()2(aFaFaXaPaXP . 3121arcsin2)21arcsin121(21arcsin121 ., 0,1)()()3(2

6、2其它其它axaxaxFxf 2XA x0 x2f (x )A (4x )2x401A2 例例 ： 設設 隨隨 機機 變變 量量的的 密密 度度 函函 數(shù)數(shù) 為為其其 它它（ ） 求求 常常 數(shù)數(shù)； （ ） 分分 布布 函函 數(shù)數(shù)24231431402xx231402x233141402(1)f (x)dx1Ax dxA(4x)dxA1, A(2)F(x)f (x)dx0 x0 x dx0 x22x4x dx(4x)dxx41 解解其它,x),x(Ax,Ax)x(f0424202的的分分布布律律為為：例例：設設隨隨機機變變量量 X.)2sin().2(, 1).1(2的的分分布布律律求求XYX

7、Y X2 P2 . 01 . 03 . 01 01212 X)2sin( X552214sin 2sin 02sin4sin2 . 02 . 0X2 P1 0122 . 01 . 03 . 02 . 02 . 012 X125P2 .03 .05 .0.12的的分分布布律律 XY.)2sin(的的分分布布律律XY P2 .01 . 03 . 0)2sin(X4sin 2sin 02sin4sin2 .02 .0)()()(yePyYPyFXY 時時當當21ey )y(lnF)ylnX(P)y(FXY )2 , 0( UX .0,121)()(2其它其它，所以所以eyyyFyfYY.),2 ,

8、0(概率密度概率密度求求例題：設例題：設XeYUX 解解:), 1(2eeYX 于是于是, 0)(1 yFyY時，時，當當, 1)(2 yFeyY時時，當當Lny)Lny(f)y(fXY .,x,)x(fX其它其它02021一一.重點重點 多維隨機變量的函數(shù)的分布多維隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量的相互關系：隨機變量的相互關系： （1）相互獨立；（）相互獨立；（2）互不相關）互不相關(第四章第四章) 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布二二維維均均勻勻分分布布的的定定義義 、二二維維正正態(tài)態(tài)分分布布的的性性質(zhì)質(zhì)則則有有，結(jié)結(jié)論論：若若),(),(222121 NYX),(),(222211 NYNX的的分分

9、布布、YXZ1 的的分分布布、)Y,Xmin(),Y,Xmax(2.YX2Z,YXZ的的分分布布例例： 3、一般函數(shù)、一般函數(shù))Y,X(gZ 二二.例題：例題：第三章第三章 多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 xydxdyyxfXYP),().2(dxdyex)yx( 0022 02. 3/1)1(2dxeexx的的概概率率密密度度為為設設隨隨機機變變量量例例題題),(:YX ., 0, 0, 0,2),()2(其其它它yxeyxfyx.).2(),().1(XYPyxF 求求概概率率；求求分分布布函函數(shù)數(shù) yxdxdyyxfyxF),(),(1）（解解： ., 0, 0, 0,200)

10、2(其其它它yxyxyxdxdye ., 0, 0, 0),1)(1(2其其它它yxeeyxG)()(),(yfxfyxfYX .,不不相相互互獨獨立立YX dy)y, x( f)x(fX解：解： ., 0, 1x1,x12dy122x1x12其它其它 dx)y, x( f)y(fY ., 0, 1y1,y12dx122y1y12其其它它是是否否不不相相關關？和和是是否否相相互互獨獨立立？和和、的的邊邊緣緣概概率率密密度度、求求關關于于問問：其其它它的的概概率率密密度度為為例例：設設YXYX)2(?)y(f)x(fYX)1(.,0, 1yx,1)y,x(f)Y,X(YX22 221121230

11、0001()( , )11cossinsin202xyE XYxy f x y dxdyxydxdyrrrd drr drd 2211212200001()( , )11coscos0 xyE Xx f x y dxdyxdxdyrrd drr drd 所以所以, E(XY)=E(x)E(Y)0, X和和Y是不相關的是不相關的. 22X|Y. X, Yxy1, f(x, y). 例例 設設在在圓圓域域上上服服從從均均勻勻分分布布 求求條條件件概概率率密密度度)y(f)y, x( f)yx(fYYX011 )y(fyY時時，當當.,yxy,y其它011121222 .,y,ydxyy其其它它01

12、112122112 ., 0, 1yx,1)y, x( f22其其它它解解： dx)y,x(f)y(fY一一. .重點：重點：六大分布的數(shù)字特征六大分布的數(shù)字特征)p1(p)X(D,p)X(E,)10(X. 1 分分布布服服從從設設)p1(np)X(D,np)X(E),p,n(BX. 2 設設 )X(D)X(E),(X.3設設.12)ab()X(D,2ba)X(E),b, a(UX. 42 設設.)X(D,)X(E,X. 52 的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為設設),(. 62 NX設設，2)X(D,)X(E, ).C,C(NXCXCXCn,2,1i),(NXn1in1i2i2iiin

13、n22112iii ，且且它它們們相相互互獨獨立立，則則結(jié)結(jié)論論：若若第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征10.1.2(1) 例例: :隨隨機機變變量量 的的分分布布律律為為其其中中a0a0為為常常數(shù)數(shù)，求求E(X)?E(X)?kkXaP Xkka二二.例題：例題：a)a1a(ka1a) a1 (ak) x(E1k0k21kk0k ）（解解：1q)q1(anaqaq3aq2a21n2 其其中中33211.(0,1), (1, 2,3),1,() ,3 例例 已已 知知且且相相 互互 獨獨 立立 ，令令求求 ： E E( (Y Y) )iiiiiiXNiXXXYXX33222113

14、3322111332222211322221()(2)()2)()63)()3)()3 ()3()()3()()13103023iiiiiiiiiiiiiiiiiiXXXX XXXXXXXXXXXE XE XD XEXD XEX 解解：E E( (Y Y) )= =E E( () )= =E E( () )= =E E( (E E( (E E( ( . 0, 0, 0,)(xxexfXx的概率密度為的概率密度為例題：設隨機變量例題：設隨機變量.22的數(shù)學期望的數(shù)學期望和和求求XeYXY dxxxfXE)(2)2(解：解： 02dxexx 0. 22dxex 0 xx2x2X2dxeedx)x(

15、 fe)e (E.3103 dxex21)1(2xy xy dxdyyxfxXE),()(解：解：dxydyx610)x1(202 dxyxx 10)1(202226, 5/2)1(121022 dxxx的概率密度為的概率密度為例題：設例題：設),(YX , 0),1(20, 10,6),(其它其它xyxxyyxf).(),(YEXE求求 dxdyyxfyYE),()(dxdyxy610)x1(202 . 5/4 dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(.20101( )2 例例設設隨隨機機變變量量X X的的概概率率密密度度為為f(x)=f(x)=對對X X獨獨立立的的觀觀察察1

16、616次次，其其它它用用Y Y表表示示觀觀察察值值不不大大于于 的的次次數(shù)數(shù)，求求D DxxY16, 2 , 1i.21i, 021i, 1Xi 次次觀觀察察值值大大于于若若第第，次次觀觀察察值值不不大大于于若若第第解解：令令16161111220(Y)()()16 (1)11(1)()( )224(Y)16 (1)3iiiiiDDXD XpppP XP Xf x dxxdxDpp例例: 假定國際市場每年對我國某種商品的需求量是一個隨機變假定國際市場每年對我國某種商品的需求量是一個隨機變量量 X (單位單位:噸噸), 它它 在區(qū)間在區(qū)間 2000,4000 上服均勻分布上服均勻分布. 已知每售

17、已知每售出一噸該商品就可賺得外匯出一噸該商品就可賺得外匯 3 萬美元；萬美元； 但若銷售不出去但若銷售不出去, 則每則每噸需存儲費用噸需存儲費用 1萬美元萬美元, 那么，外貿(mào)部門每年應組織多少貨源那么，外貿(mào)部門每年應組織多少貨源才能使收益的期望值最大？才能使收益的期望值最大？則有則有 .kX,k3,kX, 1)Xk(X3)X(gY .,3,4kXkkXkX.Yk為收益為收益為應組織的貨源，為應組織的貨源，解：設解：設 dxxfxgYEX)()()( 40002000320001)4(20001kkkdxdxkx)1027000(1000162 kk.3500噸該種商品噸該種商品所以應組織所以應

18、組織 ., 0,4000X2000,20001)x(fX其它其它3500 k 4000kk200040002000dx20001)x(gdx20001)x(gdx20001)x(g第五章第五章 大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理一一.重點重點切比雪夫不等式切比雪夫不等式 (課本課本P127)222,P Xa . 設 E ( X ) =, 方 差 DX則22.1bPX.中心極限定理：中心極限定理：(獨立同分布中心極限定理獨立同分布中心極限定理) 設設 r.v. Xk(k=1, 2, )相互獨立相互獨立, 服從同一分布服從同一分布(i.i.d.)，且具有有限的，且具有有限的數(shù)學期望和方差

19、數(shù)學期望和方差:x,F nnX )X(D)X(EXY r.v. 2, 1,k, 0)X(D,)X(Enn1kkn1kkn1kkn1kkn2kk 對對于于的的分分布布函函數(shù)數(shù)則則dt )2exp(21 Xlim)( lim2n1k xknnntxnnPxF 德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: : dt.e21x)p1(npnpPlim x, p), n,(b) 2, , 1n(. v . r 2t-x-nnn2 恒有恒有對于對于服從參數(shù)為服從參數(shù)為設設dt e21)( )(Plim2t-ban2 abbnpqnpan1). N(0,XY r.v. Pn1kn nnk序列序列即即二二.例題：

20、例題：例例:設隨機變量設隨機變量X的數(shù)學期望的數(shù)學期望EX= , 方差方差DX= ,則由則由Chebyshev不等式，有不等式，有2?XP55解：252451522)(XP例例: 一加法器同時收到一加法器同時收到20個噪聲電壓個噪聲電壓 ，設它們是相互獨立的隨機變量，且都，設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間在區(qū)間 (0,10) 上服從均勻分布，上服從均勻分布， 201iiVV.105 VP求求)20, 2 , 1( iVi記記解解: 因為因為),10, 0( UVi52100)( iVE12100)010(121)(2 iVD20, 2 , 1 i易知易知)12/2000,100(N)V(

21、D),V(E(NVV201ii201ii201ii 1220001210020)V(D)V(D,100520)V(E)V(E201ii201ii201ii201ii 由中心極限定理由中心極限定理348. 0)387. 0(1 348. 0105 VP所以所以于是于是 105VP)12/2000,100(N)V(D),V(E(NVV201ii201ii201ii )105V(P1 )122000100105(1 .2n4nSPlim),1n(XS)1 ,0(N,X,X.v. rnnn1i2in21 理理求求：試試用用中中心心極極限限定定分分布布，令令相相互互獨獨立立，均均服服從從例例、設設相互獨

22、立且同分布相互獨立且同分布則則解：令解：令i2iiZ,n, 2 , 1i,XZ )Z(D),Z(E(NZSn1iin1iin1ii )164P(n)Z(nE)Z(E)Z(Ein1iin1ii課課本本 n2)Z(nD)Z(D)Z(Din1ii1001ii .0)4(142nnSPlim142nnSPlim2n4nSPlimnnnnnn 解解: 令令Y為利潤為利潤, X為死亡人數(shù)為死亡人數(shù), ,0, 1iX第第 人在一年內(nèi)死亡人在一年內(nèi)死亡;i第第 人在一年內(nèi)未死人在一年內(nèi)未死.i10000, 2 , 1 i例例: 在一家保險公司里有一萬人參加保險，每人每年付在一家保險公司里有一萬人參加保險，每人

23、每年付12元保險費。在一年內(nèi)這些人死亡的概率為元保險費。在一年內(nèi)這些人死亡的概率為0.006,死亡死亡后家屬可向保險公司領取后家屬可向保險公司領取1000元。元。(1) 保險公司一年的利潤不少于保險公司一年的利潤不少于6萬元的概率；萬元的概率；試用中心極限定理求：試用中心極限定理求：(2) 保險公司虧本的概率；保險公司虧本的概率；Y=12*10000-X*1000(1) 保險公司一年的利潤不少于保險公司一年的利潤不少于6萬元的概率為萬元的概率為60000)X120(1000P60000YP 600 XP 100001iixX60000YP 600 XP 77. 70 72. 760072. 7

24、6060 5 . 005 . 0 ,006. 0)( pXEi005664. 0)1()( ppXDi而而)x(D),x(E(NxX100001ii100001ii100001ii ).72.7 ,60(N2XX10001ii )77. 71 (5 . 0 由中心極限定理知，由中心極限定理知，X近似服從近似服從,60006.010000)x(E)x(E100001ii100001ii 2100001ii100001ii72. 705664. 010000)x(D)x(D (2) 保險公司虧本的概率為保險公司虧本的概率為:0)120(1000 XP1201 XP 72. 7601201 77.

25、71 011 120 XP).72.7 ,60(N2XX10001ii 第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布一、重點：一、重點：221.2.tF分分布布， 分分布布， 分分布布的的定定義義；分分布布的的性性質(zhì)質(zhì)； 4. 課本：課本：P168,定理一，二，三定理一，二，三獨獨立立，則則有有，且且設設YX)n(Y),n(X. a2212 )(. )nn(YX212可可加加性性 則則有有設設),n(X.b2 .2)(,)(nXDnXE 23.標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布，分分布布， 分分布布， 分分布布的的分分位位點點tF二二.例題：例題：習題冊習題冊6.6和和6.7的的置置信信區(qū)區(qū)間間：已已知知時時單單個個正正態(tài)態(tài)總總體體，當當 ,. 12)nX(/ 2 z 的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：未知時未知時單個正態(tài)總體，當單個正態(tài)總體，當 ,. 22)(SX(/12 ntn 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：未未知知時時單單個個正正態(tài)態(tài)總總體體，當當2,.