數(shù)理方法總結(jié)

1、數(shù)理方法總結(jié)CH1復(fù)數(shù)的基本概念1.1復(fù)數(shù)的定義：復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的擴(kuò)充推廣，復(fù)數(shù)可表示成直角坐標(biāo)系XOY上的點(diǎn)，也可由有序?qū)崝?shù)對（x,y）定義，記為z=(x,y)或者z=x+iy，實(shí)數(shù)x可以看成實(shí)軸上上的點(diǎn)（x,0）或者z=x表示。1.2復(fù)數(shù)的表示1.點(diǎn)表示一個(gè)復(fù)數(shù)z=x+iy由一對有序?qū)崝?shù)（x,y）唯一確定。2.三角表示通過直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系： 3.指數(shù)表示法在三角表示法的基礎(chǔ)上，引進(jìn)歐拉公式： 則z可表示成 1.3復(fù)數(shù)的冪與方根1.復(fù)數(shù)的乘積與商 則 2.復(fù)數(shù)的冪 當(dāng) 時(shí)，得到德魔符公式： 3.復(fù)數(shù)的根-多值 1.4復(fù)數(shù)序列的極限1.定義：按一定順序排列的復(fù)數(shù) 稱為復(fù)數(shù)序列，記為 。一個(gè)復(fù)

2、數(shù)序列等價(jià)于兩個(gè)實(shí)數(shù)序列和的有序組合。2.極限當(dāng)時(shí)， 的充要條件是。CH2解析函數(shù)2.1復(fù)變函數(shù)將函數(shù)的概念由實(shí)數(shù)域推廣到復(fù)數(shù)域時(shí)，自變量及函數(shù)值的取值范圍相應(yīng)的推廣到復(fù)平面上的點(diǎn)集（稱為定義域和值域）。1.區(qū)域鄰域：集合 記為 單聯(lián)通區(qū)域：中間沒孔（圓域）。多連通區(qū)域：中間有孔（圓環(huán)域）。2.復(fù)變函數(shù)的定義若對區(qū)域D內(nèi)任意復(fù)數(shù) ，均存在另外一個(gè)復(fù)數(shù) 與之對應(yīng)，則稱w是z的復(fù)變函數(shù)，記為 。把集合D表示在一個(gè)復(fù)平面上，稱該平面為z平面；把相應(yīng)的函數(shù)值表示在另一個(gè)復(fù)平面上，稱該平面為w平面。3.極限只要 ，有 則稱是函數(shù)當(dāng)z趨于時(shí)的極限。4.復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性2.2復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.導(dǎo)數(shù)與微分定義

3、：設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)有定義， ，如果如下極限存在： 則稱此極限為導(dǎo)數(shù)。2.可導(dǎo)的充要條件函數(shù) 在點(diǎn)z可導(dǎo)的充要條件是：（1）、在（x,y）處可導(dǎo)；（2）、滿足柯西-黎曼方程： 且 2.3解析函數(shù)的定義和判定1.定義如果在及的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，則稱在處解析，并稱是的解析點(diǎn)。奇點(diǎn)：的不解析點(diǎn)。注意：解析必可導(dǎo)，可導(dǎo)比一定解析。2.函數(shù)解析的充要條件在整個(gè)定義域上可導(dǎo)一定解析。2.4解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1.調(diào)和函數(shù)定義：二元實(shí)變函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程 ，則稱是在區(qū)域D內(nèi)調(diào)和函數(shù)。區(qū)域D內(nèi)解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均為D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。2.共軛調(diào)和函數(shù)定義：若在區(qū)域D內(nèi)，、

4、均為調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程，則稱v為u的共軛調(diào)和函數(shù)。（但不能說u是v的共軛調(diào)和函數(shù)）3.構(gòu)造解析函數(shù)的方法（1）不定積分法（2）曲線積分法（3）全微分法2.5單值初等函數(shù)1.冪函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)是單值函數(shù)。是已為周期的周期函數(shù)3.三角函數(shù) 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)， 不成立。4.雙曲函數(shù)CH3多值函數(shù)及其單值分支復(fù)變函數(shù)的多值性體現(xiàn)在：幅角的多值性，z平面上一個(gè)點(diǎn)的幅角是。多值函數(shù)的定義：z平面上一個(gè)點(diǎn)對應(yīng)w平面上多個(gè)點(diǎn)一個(gè)單值分支：對每個(gè)自變量z只保留多值函數(shù)一個(gè)對應(yīng)值而將其他對應(yīng)值舍去的辦法達(dá)到的單值連續(xù)函數(shù)。枝點(diǎn)：當(dāng)z沿著包含某定點(diǎn)的充分小的簡單閉曲線運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，多值函數(shù)單值分支的值

5、發(fā)生改變時(shí)，稱為多值函數(shù)的枝點(diǎn)。割線：從多值函數(shù)的枝點(diǎn)做一條延伸到無窮遠(yuǎn)處的曲線，稱為割線。3.1對數(shù)函數(shù)（）對于一個(gè)固定的復(fù)數(shù)z，對數(shù)函數(shù)將其對應(yīng)為無窮多個(gè)復(fù)數(shù)，這些復(fù)數(shù)的實(shí)部都是相同點(diǎn)，為，而虛部兩兩相差 的整數(shù)倍。確定單值分支的一個(gè)方法：在z平面上，首先規(guī)定好的一個(gè)幅角值，而任意一點(diǎn)z的幅角值規(guī)定為的幅角值與幅角該變量之和： 3.2冪函數(shù)3.3反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)3.4多值函數(shù)的四則運(yùn)算3.5多值函數(shù)的復(fù)合函數(shù)CH4復(fù)變函數(shù)的積分4.1復(fù)變函數(shù)積分的概念1.復(fù)變函數(shù)積分的定義設(shè)在z平面上的一條以a,b為端點(diǎn)的曲線上有定義，順著這條曲線從a到b的方向上取分點(diǎn)，在到的每個(gè)小弧段上任取一點(diǎn)，

6、做和數(shù)： 當(dāng)分點(diǎn)無限多，如果和數(shù) 的極限存在，則稱極限為函數(shù)的積分。一般不能將其寫為的形式，因?yàn)榉e分值不僅與a,b的值有關(guān)，還與積分路徑有關(guān)。相當(dāng)于二元函數(shù)的線積分。2.積分的計(jì)算1. 方法1：化為實(shí)部和虛部兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)積分的計(jì)算問題若在C上連續(xù)，則沿C可積，且有： 2. 參數(shù)方程法設(shè)有光華曲線，即連續(xù)，則： 4.2柯西積分定理1.單聯(lián)通區(qū)域的柯西積分定理如果函數(shù)在z平面上的單聯(lián)通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一條逐段光滑的簡單閉曲線，則 2.推論在單聯(lián)通區(qū)域中解析的函數(shù)的積分值只依賴于起點(diǎn)和中點(diǎn)，而與積分路徑無關(guān)。3.多連通區(qū)域的柯西積分定理設(shè)區(qū)域D是由曲線 所圍成的有界多連通區(qū)域，在D內(nèi)處處解

7、析，則有：4.3不定積分4.4柯西積分公式1.柯西積分公式設(shè)函數(shù)在區(qū)域D及其邊界C所組成的閉區(qū)域上解析，a為D內(nèi)任意一點(diǎn)，則： 2.高階導(dǎo)數(shù)公式 CH5復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)5.1復(fù)級數(shù)1.復(fù)數(shù)列：一列有次序的復(fù)數(shù) 2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)：復(fù)數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式3.復(fù)數(shù)列級數(shù)收斂的充要條件：、都收斂。4.復(fù)數(shù)列收斂的必要條件：5.絕對收斂：收斂6.條件收斂：收斂，而發(fā)散7.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)：5.2冪級數(shù)1.定義：形如2.阿貝爾第一定理1) 如果在收斂，那么對于的所有點(diǎn)，級數(shù)絕對收斂2) 如果在發(fā)散，那么對于的所有點(diǎn)，級數(shù)發(fā)散。3. 阿貝爾第二定理5.3解析函數(shù)的泰勒展開泰勒定理：如果在圓域D：內(nèi)解析，那

8、么在D內(nèi)可以唯一的展開為冪級數(shù)： 其中 一些初等函數(shù)的泰勒展開：1. 指數(shù)函數(shù)： 2. 三角函數(shù)： 3. 5.4解析函數(shù)的洛朗展開1.定義：形如的級數(shù)2.洛朗展開定理如果在圓環(huán)域D：內(nèi)解析，那么在D內(nèi)可以唯一的展開為洛朗級數(shù)：其中：CH6留數(shù)理論及其應(yīng)用6.1孤立奇點(diǎn)1.奇點(diǎn)的分類奇點(diǎn)的定義：函數(shù)在去掉圓心的圓盤D：內(nèi)有定義并且解析，而在點(diǎn)處不解析，那么稱為奇點(diǎn)。在D內(nèi)，有洛朗級數(shù)1) 可去奇點(diǎn)當(dāng)時(shí)，稱為可去奇點(diǎn)2) 極點(diǎn)當(dāng)只有有限個(gè)，稱為極點(diǎn)。且當(dāng)時(shí)，稱是m階極點(diǎn)。3) 本性奇點(diǎn)當(dāng)有無窮多個(gè)，稱為本性奇點(diǎn)。2.奇點(diǎn)判定為可去奇點(diǎn)的充要條件為： 是m階極點(diǎn)的充要條件為：在內(nèi)解析，且在點(diǎn)不為0.

9、為本性奇點(diǎn)的充要條件為：不存在有限或無窮極限6.2留數(shù)定理1.留數(shù)的概念定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析，稱積分 為在孤立奇點(diǎn) 的留數(shù)，記作。2.留數(shù)的求法是的解析點(diǎn)或可取奇點(diǎn)，有是的k階極點(diǎn)，有是的本性奇點(diǎn)，留數(shù)由定義或者展開求3.在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的留數(shù)4.留數(shù)定理第一留數(shù)定理設(shè)D是在復(fù)平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其邊界C是一條或有限條簡單閉曲線。設(shè)在D內(nèi)除去有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，并且它在C上也解析，那么有C的積分是按關(guān)于D的正向取的即沿區(qū)域在邊界的左側(cè)的方向。第二留數(shù)定理設(shè)在除去有限孤立奇點(diǎn)和的擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)解析，則 6.3用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的關(guān)鍵：選取恰當(dāng)?shù)谋环e函數(shù)；選取恰當(dāng)?shù)暮?/p>

10、單封閉的積分曲線。1.型積分計(jì)算 積分曲線：原點(diǎn)為圓心的單位圓 被積函數(shù)： 解法：設(shè)，則，有 因此，所求積分可轉(zhuǎn)化為沿正向單位圓周上復(fù)函數(shù)的積分： 2.型積分的計(jì)算對的要求a，其中、都是多項(xiàng)式，且分母的次數(shù)比分子的次數(shù)至少高兩次；-使上半平面的半圓上的積分為0.b在上半平面只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，且沒有實(shí)根（即在實(shí)軸上沒有奇點(diǎn)）。-為了應(yīng)用留數(shù)定理 積分曲線：實(shí)軸從到的直線和上半平面的半圓 被積函數(shù)： 式中：是在上半平面的留數(shù)和。3.含三角函數(shù)的無窮型積分 、的計(jì)算約當(dāng)引理：設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在中一致趨于0，則 沒寫完6.4積分路線上有奇點(diǎn)類型積分的計(jì)算基本方法：重新構(gòu)造封閉曲線計(jì)算積分，在奇點(diǎn)處畫半徑

11、為無窮小的圓弧沒玩6.5多值函數(shù)的積分7含參變量的積分8傅里葉變換9拉普拉斯變換9.8拉普拉斯變換的應(yīng)用求解線性方程的拉普拉斯變換解法大致步驟：1. 對關(guān)于的微分方程取拉普拉斯變換，得到一個(gè)關(guān)于象函數(shù)的代數(shù)方程，稱為象方程；2. 解象方程，得到象函數(shù)；3. 對取拉普拉斯逆變換，就可得到微分方程的解。常用到的象函數(shù)的微分性質(zhì)： 10二階線性常微分方程的級數(shù)解法11典型方程的推到及基本概念一、數(shù)學(xué)物理方程中三個(gè)典型方程：1. 弦振動(dòng)方程2. 熱傳導(dǎo)方程 3. 拉普拉斯方程二、定解條件對于一個(gè)確定的物理過程，僅給出表征該過程的物理量所滿足的泛定方程式不夠的，還要附加一定的條件，一般每個(gè)自變量在一階微

12、分時(shí)給出一個(gè)定解條件，二階微分時(shí)給出兩個(gè)定解條件（幾階微分積分幾次就會(huì)有幾個(gè)待確定系數(shù)）。定解條件的一般形式為：當(dāng)b=0時(shí)稱為第一類邊界條件；當(dāng)a=0時(shí)稱為第二類邊界條件；當(dāng)a、b均不為0時(shí)，稱為第三類邊界條件。三、定解問題1.初值問題（柯西問題）2.第一邊值問題（狄利克萊問題）3.第二邊值問題（諾依曼問題）4.第三邊值問題（羅賓問題）5.混合問題12行波法局限性：只能用于求解無限區(qū)域上的波動(dòng)方程定解問題。求解方式：先求出含任意函數(shù)的同解，再根據(jù)定解條件確定特解。一、 弦震動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾解法（無界弦震動(dòng)柯西問題）定解問題歸結(jié)為：13分離變量法一、基本思想：把數(shù)學(xué)物理方程定解問題中未知的多元函數(shù)分解為若干個(gè)一元函數(shù)的乘積，從而把求解偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為求解若干個(gè)常微分方程定解問題。二、常見二階微分方程的解： 本征值：本證函數(shù)： 本征值：本證函數(shù)： 三、定解問題的三種情況1.齊次方程、齊次邊界條件2.非齊次方程、齊次邊界條件3.非齊次邊界條件。14常微分方程