數(shù)值分析第一章誤差

1、1數(shù)數(shù) 值值 分分 析析林甲富林甲富2教材教材丁麗娟丁麗娟, 程杞元程杞元,數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法, 高等教育高等教育出版社出版社, 2011年年.3第一章第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差數(shù)值計(jì)算中的誤差1.2 誤差的基本概念誤差的基本概念 1.3 數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播1.4 數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題 1.1 數(shù)值計(jì)算的內(nèi)容與特點(diǎn)數(shù)值計(jì)算的內(nèi)容與特點(diǎn) 4 數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)值數(shù)值分析分析輸入復(fù)雜問(wèn)題或運(yùn)算輸入復(fù)雜問(wèn)題或運(yùn)算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)近似解近似解1.1 數(shù)值計(jì)算的內(nèi)容與特點(diǎn)

2、數(shù)值計(jì)算的內(nèi)容與特點(diǎn) 5 研究對(duì)象研究對(duì)象 那些在理論上有解而又無(wú)法手工計(jì)算的那些在理論上有解而又無(wú)法手工計(jì)算的數(shù)學(xué)問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題 例例 解解300階的線性方程組階的線性方程組 求求6階矩陣的全部特征值階矩陣的全部特征值6主要內(nèi)容主要內(nèi)容 數(shù)值代數(shù)數(shù)值代數(shù)近似求解線性方程組近似求解線性方程組 (直接解法直接解法, 迭代解法迭代解法)矩陣特征值的計(jì)算矩陣特征值的計(jì)算 數(shù)值逼近：數(shù)值逼近： 插值法插值法, 函數(shù)逼近函數(shù)逼近 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分 微分方程近似求解微分方程近似求解: 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 非線性方程求解非線性方程求解 71.2 誤差的基本概念誤差的基本概

3、念 誤差按來(lái)源可分為：誤差按來(lái)源可分為： 模型誤差模型誤差 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 舍入誤差舍入誤差 誤差：精確解與近似解之間的差誤差：精確解與近似解之間的差8 模型誤差模型誤差 數(shù)學(xué)模型通常是由實(shí)際問(wèn)題抽象得到數(shù)學(xué)模型通常是由實(shí)際問(wèn)題抽象得到的的, 一般帶有誤差一般帶有誤差, 這種誤差稱為這種誤差稱為模型誤差模型誤差. 觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差 數(shù)學(xué)模型中包含的一些參數(shù)通常是通數(shù)學(xué)模型中包含的一些參數(shù)通常是通過(guò)觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)得到的過(guò)觀測(cè)和實(shí)驗(yàn)得到的, 難免帶有誤差難免帶有誤差, 這種誤差稱為這種誤差稱為觀測(cè)誤差觀測(cè)誤差. 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值方法通常求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值

4、方法通常是一種近似方法是一種近似方法, 這種因方法產(chǎn)生的誤差稱為這種因方法產(chǎn)生的誤差稱為截截?cái)嗾`差斷誤差或或方法誤差方法誤差.9 543251413121)1ln(xxxxxx實(shí)際計(jì)算時(shí)只能截取有限項(xiàng)代數(shù)和計(jì)算實(shí)際計(jì)算時(shí)只能截取有限項(xiàng)代數(shù)和計(jì)算, 如取前如取前5項(xiàng)有項(xiàng)有:5141312112ln 這里產(chǎn)生誤差這里產(chǎn)生誤差 (記作記作R5 )截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差 8171615R例如例如, 利用利用 ln(x+1) 的的Taylor公式計(jì)算公式計(jì)算 ln2,10 舍入誤差舍入誤差 由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行, e原則保留有限位原則保留有限位, 這時(shí)產(chǎn)生的誤差稱為這時(shí)產(chǎn)生

5、的誤差稱為舍入誤差舍入誤差。, 231等都要按舍入等都要按舍入運(yùn)算運(yùn)算, 在運(yùn)算中像在運(yùn)算中像在數(shù)值分析中在數(shù)值分析中, 均假定數(shù)學(xué)模型是準(zhǔn)確的均假定數(shù)學(xué)模型是準(zhǔn)確的, 因而不因而不考慮模型誤差和觀測(cè)誤差考慮模型誤差和觀測(cè)誤差, 只討論只討論截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差和和舍入舍入誤差誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.11 設(shè)設(shè)x* 是準(zhǔn)確值是準(zhǔn)確值x 的一個(gè)近似值的一個(gè)近似值, 記記e=x x*稱稱 e為近似值為近似值 x* 的的絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差, 簡(jiǎn)稱誤差簡(jiǎn)稱誤差.絕對(duì)誤差一般很難準(zhǔn)確計(jì)算絕對(duì)誤差一般很難準(zhǔn)確計(jì)算, 但可以估計(jì)上界但可以估計(jì)上界. 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差則稱則稱 為近似值為近似值 x*

6、的的絕對(duì)誤差限絕對(duì)誤差限, 簡(jiǎn)稱誤差限簡(jiǎn)稱誤差限. 若若 滿足滿足 |e1.2.1 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差12例例 用毫米刻度的米尺測(cè)量一長(zhǎng)度用毫米刻度的米尺測(cè)量一長(zhǎng)度 x, 如讀出的長(zhǎng)度如讀出的長(zhǎng)度是是 x*=765 mm, 由于誤差限是由于誤差限是 0.5 mm, 故準(zhǔn)確值故準(zhǔn)確值.mm5 .765,mm5 .764 x 精確值精確值x , 近似值近似值 x* 和誤差限和誤差限 之間滿足：之間滿足：通常記為通常記為 *xxx *xx 13 絕對(duì)誤差有時(shí)并不能完全地反映近似值的好壞絕對(duì)誤差有時(shí)并不能完全地反映近似值的好壞, 如測(cè)量如測(cè)量 100 m 和和 10 m 兩個(gè)長(zhǎng)度兩個(gè)

7、長(zhǎng)度, 若它們的絕對(duì)誤若它們的絕對(duì)誤差都是差都是 1 cm, 顯然前者的測(cè)量結(jié)果比后者的準(zhǔn)確顯然前者的測(cè)量結(jié)果比后者的準(zhǔn)確. 因此因此, 決定一個(gè)量的近似值的精確度決定一個(gè)量的近似值的精確度, 除了要除了要看看絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差外外, 還必須考慮還必須考慮該量本身的大小該量本身的大小.14稱稱 er 為近似值為近似值 x* 的的相對(duì)誤差相對(duì)誤差. 記記,*xxxxeer 由于由于 x 未知未知, 實(shí)際使用時(shí)總是將實(shí)際使用時(shí)總是將 x* 的相對(duì)誤差取為的相對(duì)誤差取為*xxxxeer .|rre 相對(duì)誤差相對(duì)誤差 稱為近似值稱為近似值x*的的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限. |*| xr 15例例 設(shè)設(shè) x*

8、=1.24是由精確值是由精確值 x 經(jīng)過(guò)四舍五入得到的經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值近似值, 求求x*的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限.由已知可得由已知可得:所以所以 =0.005,245. 1235. 1 x%.4 . 024. 1005. 0 r 解解 一般地一般地, 凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似凡是由準(zhǔn)確值經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值值, 其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位其絕對(duì)誤差限等于該近似值末位的半個(gè)單位.16有有 位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第位有效數(shù)字，精確到小數(shù)點(diǎn)后第 位位* 若近似值若近似值 x*滿足滿足 則稱則稱 x*準(zhǔn)準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第確到小數(shù)點(diǎn)后第n位位.

9、 并把從第一個(gè)非零數(shù)字到這并把從第一個(gè)非零數(shù)字到這一位的所有數(shù)字均稱為一位的所有數(shù)字均稱為有效數(shù)字有效數(shù)字.,1021|*|nxx 1415.3*.;8979321415926535.3 例例：?jiǎn)枺簡(jiǎn)枺?有幾位有效數(shù)字？有幾位有效數(shù)字？* 31050* .|解：解：431.2.2 有效數(shù)字有效數(shù)字17數(shù)數(shù)x*總可以寫成如下形式總可以寫成如下形式.10. 0*21mnaaax x* 作為作為x的近似值的近似值, 具有具有n位有效數(shù)字當(dāng)且僅當(dāng)位有效數(shù)字當(dāng)且僅當(dāng)nmxx 1021*其中其中m是整數(shù)是整數(shù), ai是是0到到9中的一個(gè)數(shù)字中的一個(gè)數(shù)字,. 01 a由此可見由此可見, 近似值的有效數(shù)字越多

10、近似值的有效數(shù)字越多, 其絕對(duì)誤差越小其絕對(duì)誤差越小. 有效數(shù)字的另一等價(jià)定義有效數(shù)字的另一等價(jià)定義18故取故取 n=6, 即取即取 6 位有效數(shù)字位有效數(shù)字. 此時(shí)此時(shí) x*=1.41421.解解則近似值則近似值x*可寫為可寫為由于由于 ,414. 12 ,10. 0*121 naaax. 011 a51101021*2 nx令令例例 為了使為了使 的近似值的絕對(duì)誤差不大于的近似值的絕對(duì)誤差不大于105, 問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字?2 x19 相對(duì)誤差限與有效數(shù)字之間的關(guān)系相對(duì)誤差限與有效數(shù)字之間的關(guān)系.111211021.021010.01050 nnmnnmra.aaa.a.

11、x* 有效數(shù)字有效數(shù)字 相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限已知已知 x* = 0.a1a2an10m有有 n 位位有效數(shù)字有效數(shù)字, 則其則其相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限為為20nmmnmnr.aaa.aaxxx 105010)1()1(21010.0)1(210|*|*|11112111 相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限 有效數(shù)字有效數(shù)字1110)1(21 nra已知已知 x* 的的相對(duì)誤差限相對(duì)誤差限可寫為可寫為則則可見可見 x* 至少有至少有 n 位有效數(shù)字位有效數(shù)字.21 基本運(yùn)算中基本運(yùn)算中( )的誤差估計(jì)的誤差估計(jì),105 . 0|414. 12|3 ,105 . 0|236. 25|3 問(wèn)問(wèn)?|414. 1236

12、. 225| ?236. 2414. 152 1.3 數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播數(shù)值計(jì)算中誤差的傳播如如22例例 計(jì)算計(jì)算 A=f (x1, x2). 如果如果x1, x2的近似值為的近似值為 x1*, x2*, 則則A的近似值為的近似值為 A*=f (x1*, x2*), 用多元函數(shù)微分近用多元函數(shù)微分近似公式可以得到似公式可以得到*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)(*)*,(*)*,(),(*)(2221112122221111212121xexxxfxexxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfAAAe 絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差 e 運(yùn)算可近似看成微分運(yùn)算運(yùn)算可近似看成微分運(yùn)算.2

13、3由此可以得到基本運(yùn)算中由此可以得到基本運(yùn)算中( )的誤差估計(jì)的誤差估計(jì),),()()(2121xexexxe 和差的誤差限不超過(guò)各數(shù)的誤差限之和和差的誤差限不超過(guò)各數(shù)的誤差限之和.| )(| )(| )(|2121xexexxe 24)()()()()(212121211221xexexxxexxxxexxxerrr ),()()(211221xexxexxxe | )(| )(| )(|2121xexexxerrr 乘法相對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差限之和乘法相對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差限之和.25,)()(22211221xxexxexxxe ).()()()(211222211221xe

14、xexxxxexxexxxerrr 乘除相對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差限之和乘除相對(duì)誤差限不超過(guò)各數(shù)相對(duì)誤差限之和. | )(| )(|2121xexexxerrr 26例例 設(shè)設(shè) y=xn, 求求 y 的相對(duì)誤差與的相對(duì)誤差與 x 的相對(duì)誤差之間的相對(duì)誤差之間的關(guān)系的關(guān)系.解解)()()(1xenxxeyenn )()()()()(1xnexxenxxenxyyeyernnr 所以所以xn 的相對(duì)誤差是的相對(duì)誤差是 x 的相對(duì)誤差的的相對(duì)誤差的n倍倍.x2的相對(duì)誤差是的相對(duì)誤差是 x 的相對(duì)誤差的的相對(duì)誤差的 2 倍倍,x的相對(duì)誤差是的相對(duì)誤差是 x 的相對(duì)誤差的的相對(duì)誤差的 1/2 倍倍.2

15、7 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性 一種數(shù)值算法一種數(shù)值算法, 如果其計(jì)算舍入誤差積累是可控如果其計(jì)算舍入誤差積累是可控制的制的, 則稱其為數(shù)值穩(wěn)定的則稱其為數(shù)值穩(wěn)定的, 反之稱為數(shù)值不穩(wěn)定的反之稱為數(shù)值不穩(wěn)定的.28 101dxexIxnn利用分部積分法可得計(jì)算利用分部積分法可得計(jì)算In的遞推公式的遞推公式, 2 , 11, 1 nnIInn例例 計(jì)算積分計(jì)算積分算法算法1： 1010dxeIx, 2 , 11, 1 nnIInn6321. 0632120558. 011 e由此遞推計(jì)算由此遞推計(jì)算 I1, I2, , I9.解解291 , 2 , 8 , 9, )1(11 nInInn

16、10109919110110dxxIdxexe取近似值取近似值,0684. 0)10110(2119 eI由此計(jì)算由此計(jì)算 I8, I7, , I0.并將計(jì)算公式改寫為并將計(jì)算公式改寫為算法算法2：此時(shí)此時(shí)10121|1*99 eII.0316. 0 30InI0I1I2I3I4I5I6I7I8I9算法算法10.63210.36790.26420.20740.17040.14800.11200.21600.72807.5520算法算法20.63210.36790.26420.20730.17090.14550.12680.11210.10350.0684真值真值0.63210.36790.26

17、420.20730.17090.14550.12680.11240.10090.091631 對(duì)任何對(duì)任何 n都應(yīng)有都應(yīng)有In0, 但算法但算法1的計(jì)算結(jié)果顯示的計(jì)算結(jié)果顯示I8 (n+1)n!當(dāng)當(dāng)n=25時(shí)時(shí), 在每秒百億次乘除運(yùn)算計(jì)算機(jī)上求解時(shí)間為在每秒百億次乘除運(yùn)算計(jì)算機(jī)上求解時(shí)間為 首先首先, 若算法計(jì)算量太大若算法計(jì)算量太大, 實(shí)際計(jì)算無(wú)法完成實(shí)際計(jì)算無(wú)法完成(億年億年)13 40 其次其次, 即使是可行算法即使是可行算法, 則計(jì)算量越大積累的誤差則計(jì)算量越大積累的誤差也越大也越大. 因此因此, 算法的計(jì)算量越小越好算法的計(jì)算量越小越好.0111.)(axaxaxaxpnnnnn 若直接逐項(xiàng)計(jì)算若直接逐項(xiàng)計(jì)算, 大約需要乘法運(yùn)算次數(shù)為大約需要乘法運(yùn)算次數(shù)為2)1(12.)1( nnnn例例 計(jì)算計(jì)算n次多項(xiàng)式：次多項(xiàng)式：41一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n次次多項(xiàng)式將它改寫為多項(xiàng)式將它