保險精算學(xué)4-2

1、第四節(jié) n年定期兩全保險n定義n被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。n假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , , , , 1 , 0tttntttntvtnvvtnzbvvtnvtnbt1、死亡后年末給付n符號：n厘定: x nA1z2z3z312zzz11312:( )( )( )xxnxnnE zE zE zAAA記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則現(xiàn)值隨機

2、變量方差31212121212()( )()2( ,)( )()2( ()( )()Var zVar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz11312:()()()2xx nnVar zVar zVar zAA因為所以2、死亡后立即給付n符號：n厘定: x nA1z2z3z312zzz11312:()( )()xx nx nnE zE zE zAAA記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知則現(xiàn)值隨機變量方差因為所以31212121212()( )()2( ,)( )()2( ()( )()Var zV

3、ar zVar zCov z zVar zVar zE zzE zE z120zz11312:()()()2xx nnVar zVar zVar zAA例n證明并解釋1:x nx mxm nmmxAAEA1:mxx nx mxm nmAAEA111:1:1:1(1)(1)xxxxxxnnxnni AqpAqAA例n設(shè)n計算0( )1 , 01001000.1xSxxi 30:101 (2)( )tAVar z（）解：1130:101101030:1010301130:1030:1030:10212030:10210301130:1031230:100.092( )0.05560(1)1.10.

4、33700.422(2)( )0.0185( )( )( )0.0431tttttAVar zAvpAAAVar zvpAVar zVar zVar zAA已計算：=700i，例例：某人在60歲簽單的特殊的3年期兩全保險，在第一保單年度死亡保險金為100元，后兩年死亡保險金為200元，生存保險金為200元。死亡保險金在死亡后立即給付。已知個體來自死亡力遵從de Moivre法則的群體，參數(shù) ，計算保險人給付額現(xiàn)值的方差。19( )100200190.1010E Z 解：設(shè)Z表示保險人給付額的現(xiàn)值，T60服從0.60上的均勻分布22219()10020037000.1010E Z22var( )

5、()( ( )900ZE ZE Z100,0100,0.05.xlxxi且則求例：設(shè)40:25 .A3、不同給付時刻精算現(xiàn)值之間的關(guān)系、不同給付時刻精算現(xiàn)值之間的關(guān)系結(jié)論：設(shè)在每一年齡年UDD假設(shè)成立，則1:x nx nx niAAA第五節(jié) 終身壽險n定義n保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。n假定： 歲的人，保額1元終身壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0 , 01 , 0 tttttttvvtzbvvtbt躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：xA10( )kxtxkkAE zq v現(xiàn)值隨機變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價為 2222(1)100(

6、)()( )kktttxxkkkkVar zE zE zq vq v22(1)0kxxkkAq v22( )()txxVar zAA躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：xA0( )( )xttTAE zz ft dt00tttxx ttxx tvpdtepdt現(xiàn)值隨機變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價為 22220( )()( )( )( )ttttTtVar zE zE zeft dtE z220( )txTAeft dt22)()(xxtAAzVar例n設(shè)(x)投保終身壽險，保險金額為1元n保險金在死亡即刻賠付n簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為n計算1 , 060(t)600 , T

7、tf 其它0.90.91(2)( )(3)Pr()0.9.xtAVar zz（）的解：0606002260220120602(1)( )1160602( )() 1()6011()12060txTttxxtxAeft dteedtVar zAAedtAee（ ）0.90.90.90.90.90.960lnln660.90.9(3)Pr()Pr() ln=Pr( lnln)()lnln60ln( )0.960ln6lnttTvzvtvP tvvft dtvve躉繳純保費遞推公式n公式一：1xxxxAvpvqA1xA理解(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的

8、賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。 11:xxx mx mmAAAA例：n給定計算76760.8000.9,0.03Avpi，77.A解：76767677AvqvpA770.810.A躉繳純保費遞推公式n公式二：)1 ()1 (11xxxxxxAdAlAilxl1xA11xA解釋：解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費 ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險人提供額外的 。 不同給付時刻精算現(xiàn)值之間的關(guān)系不同給付時刻精算現(xiàn)值之間的關(guān)系結(jié)論：設(shè)在每一年齡年UDD假設(shè)成立，則.xxiAA例：例：設(shè)在每一年齡年UDD假設(shè)成立，353

9、60.05,0.01,0.185.iqA35A解：3636ln1.050.1850.1805.0.05AAi353535360.1797AvqvpA計算11:2020,xxAA例：已知計算20:200.25,0.40,0.3xxxAAA1111:20:2020:20200.400.25xxxxxxAAAAAA解：11:20:20200.3xxxAAA11:2020131,.6012xxAA=1000 1-105xxl（）,例(1)張某在50歲時投保了一份保額 100000元的30年定期壽險。假設(shè)預(yù)定利率為0.08，求該保單的躉繳凈保費。 (2)假設(shè)張某買的是終身壽險，求該保單的躉繳凈保費。29

10、(1)150:3005511 10000010000020468.7()55551.08ttttA解：（ ）元55(1)5050 15002 100000100000=22421.911.08tttpqA（ ）（元）(3)假設(shè)50歲的張某購買的是一份30年的兩全保險，死亡年年末給付，求其躉繳凈保費113050:3050:3050:(3)10000010000010000024985.85()AAA元第六節(jié) 延期支付的生命保險n延期支付的終身壽險定義n保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險n基本函數(shù)關(guān)系)(x ,

11、0 , 1 , 0 , 0 , tttttttvvtvtmzb vtmbtmtm1、死亡年末給付n符號：n厘定：xmA1kxxmkk mAq v.mxx mE A11:.xmxx mxmx mx mAAE AAA2、死亡即付定期壽險躉繳純保費的厘定n符號：n厘定：xmA( )( )tmxtxmAE zv f t dt.x mmxE A001:( )( )mttxxxx mv f t dtv f t dtAA現(xiàn)值隨機變量的方差 n方差公式n記n所以方差等價于2222()()()( )()ttttTtmVar zE zE zeft dtE z22( )txTmmAeft dt22( )()txxm

12、mVar zAA例n假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險，保額1元。n保險金在死亡即刻賠付。n已知n求：0.040.06( ),0 xS xex，t10(1) (2)Var(z )xA解：0.040.060.040.110100.161020.120.041022()(1)( )0.04( )0.040.040.1470.04(2)0.040.050470.16( )()0.0288tTtttxmtttxmtxxmmS xtfteS xAeedtedteAeedtVar zAA 延期m年n年定期壽險n定義定義n被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期壽險11:m

13、nkxmkx nk mAq v1:.mxx m nE A1:mx nA1:.mxx m nE A延期m年n年定期兩全保險n定義n被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險n假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險n基本函數(shù)關(guān)系)(x , 0, , , m0 , , 1 , ttm nttttm ntvtmntmvvtmnzbvvtmntmvtmnbtm 1、死亡年末給付n符號：n厘定:mx nA11:xmmmx nx nnmxxm nAAAEA2、死亡即刻支付n符號：n厘定:mx nA11:mx nmx nmx nmxxm nAAAEA變額人壽

14、保險遞增終身壽險n定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù)n特別：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞增一次n（x）在第一年內(nèi)死亡則獲得1元保險金，在第二年死亡獲2元保險金，一次遞增。又分為死亡年度末給付和死亡后立即給付兩種情況。10()(1)ktxtxx tkkIAkvpdt10()(1)kxxkkIAkvq躉繳保費厘定躉繳保費厘定0 xkkA(xiIA）一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定ttztv0()()txttxx tI AE ztvpdt遞減定期壽險n定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊

15、情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù)n特別：n一年遞增一次n一年遞增m次n一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）一年遞減一次n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定 ,0,ttntvtnztn111:0()()knttxx tx nkkDAnkvpdt111:0()()nkxkx nkDAnk vq1:1nx kkA1:(x niDA）一年遞減m次n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定,0,tttmnvtnzmtn()1:0111()( )1nmtttxx tx nmk smnmttxx tksmk smmtDAE znvpdtmsnvpdtm 一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）n現(xiàn)值隨機變量n躉繳保費厘定(),0,ttnt v

16、tnztn1:0()()()ntttxxtx nDAE znt vpdt死亡年末給付躉繳純保費公式歸納11:xx nx nnAAA1:xxmx mAAA111:xxmmmx nx nnmxm nAAAAA111:mx nx mnx mAAA111:10()kxkxx kjxjkjIAkvpqA1111:10()(1)nnkkxxkx nx njkjDAnkvpqA10kxkxx kkAvpq例n（x）歲的人投保5年期的定期壽險，保險金額為1萬元，保險金死亡年末給付，按CL2生命表計算（1）20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。（2）60歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。（3

17、）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。（4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。解：4411120:5 2.5%002345120:5 6%160:5 2.5%160:5 6%(1)100001000099.0569102.0149105.2582108.8135112.7102100009617850.912 1000048.363 10000739.664 10000703kkxkkxxkkkxdAvp qvlvvvvvAAA同理可得（ ）（ ）（ ）.37例n（x）歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按CL2生命表計算n（1）20歲的人按實質(zhì)

18、利率為2.5%計算的躉繳純保費。n（2）60歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。n（3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。n（4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。解：9404.591000048881.3410000399.431910000258.8841)(10000100008790.049617815.956501000054.5110000005154. 0)1ln(005091. 0) 1 (%65 :60%5 . 25 :60%65 :201%5 . 25201%5 . 25 :20%5 . 2520520551%5 . 25201%5 . 25 :

19、201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :201%5 . 25 :20AAAAAAvpvAAAiiAiAA）（）（）（再求已知：例n對（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險，根據(jù)附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實質(zhì)利率6%計算躉繳純保費。解：307.88(100008837. 0)5(0297087. 1(06. 1ln06. 0(106. 05504050501106. 0550106. 0550106. 0550：）ADldvkDADAiADkkk第七節(jié)換算函數(shù)常用計算基數(shù)n計算基數(shù)引進的

20、目的：簡化計算n常用基數(shù)：10000 N (1)xxxxxxxx kxx kkkxx kx kkkCvdDv lMCDRMkC用計算基數(shù)表示常見險種的躉繳純保費1:xx nx nxMMADxxxDMA 1:x nxnxDAD:xx nx nx nxMMDAD1:x mx m nmx nxMMAD:x mx m nx m nmx nxMMDAD1:()xx nx nx nxRRnMIAD111:()()xxx nx nxnMRRDAD 例n考慮第1年死亡即刻賠付10000，第2年死亡即刻賠付9000元并以此類推遞減人壽保險。按附錄2生命表及i=0.06計算（30）的人躉繳純保費。n（1）保障期至第10年底n（2）保障期至第5年底解：49.80)(1006.1ln06.01000)(