高等數(shù)學(xué)課件：6-5定積分的計(jì)算法

1、第三節(jié)定積分的計(jì)算法 第五五章 不定積分不定積分換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法定積分定積分定積分的計(jì)算法 第六六章 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法 第三節(jié)一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法 引例引例求橢圓求橢圓 12222 byax解解1 14SS axxaab022d4 xxad22tttadcoscos2 Ctta 22sin22Caxaaxaxa arcsin2222taxsin 令令)2,2(t aab04 axaaxaxa222arcsin2 ab 圍成平面圖形的面積圍成平面圖形的面積S.運(yùn)算繁！運(yùn)算繁！

2、22xaabyxoya1S定理定理1 設(shè)設(shè), ,)(baCxf 單值函數(shù)單值函數(shù))(tx 滿足滿足:1), ,)(1Ct 2) 在在,上上,)(bta 且且;)(,)(ba tfxxfbadd)( )(t)(t 證證 因函數(shù)連續(xù)因函數(shù)連續(xù), 積分存在積分存在 ,.)()(的原函數(shù)的原函數(shù)：設(shè)設(shè)xfxF是是的原函數(shù)的原函數(shù) , 故故則則 baxxfd)()()(aFbF )(F )(F tfd )(t)(t F)(tf)(t)(t 則則,或或換元公式換元公式注注1 11) 換元要換限換元要換限 , 變量不代回變量不代回 .3) 換元公式雙向使用換元公式雙向使用 ： 令令( )x t xxfbad

3、)( 或配元或配元 f)(t)(dttfxxfbadd)( )(t)(t ),(2tx ）,:bax,:t配元不換限配元不換限tfd )(t)(t tfd )(t)(t 下限對(duì)應(yīng)下限下限對(duì)應(yīng)下限 .例例1 求求xxxId130 解解 ,xt 令令,d2dttx ;0,0 tx時(shí)時(shí)且當(dāng)且當(dāng).3,3 tx時(shí)時(shí)ttttId212 ,2tx 則則03tttd11123022 30arctan 2tt 3232 注注2 2(定積分與不定積分換元法的異同定積分與不定積分換元法的異同)（1）(相同處相同處) 換元目的換元目的：改變被積函數(shù)，以簡(jiǎn)化計(jì)算：改變被積函數(shù)，以簡(jiǎn)化計(jì)算.（2）(不同處不同處) 換元要

4、換限換元要換限 , 變量不代回變量不代回 .例例2解解；）（ 2031dsincos1xxxI 2031cosdcos1xxI）（xtcos 令令tt d3 10411044 t 212dln112exxxI）（ 2121)ln1d()ln1(exx 212dln112exxxI）（21ln1）（x 2121e)13(2 換元要換限換元要換限下限對(duì)應(yīng)下限下限對(duì)應(yīng)下限 用配元法用配元法不換限不換限例例3則則上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),- )(aaxf證證,:)()(偶）偶）（若若fxfxf aaxxfd)( xxfaad)(.:)()(奇）奇）（若若fxfxf ，0 xxfad)(0 xxfa

5、d)(0 ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0 ,d)(20 xxfa 時(shí)時(shí))()(xfxf 時(shí)時(shí))()(xfxf ,0偶倍奇零偶倍奇零tx 令令 axxf0,d)(2例例4證證201(sin )dfxx 證明證明 20d)(cosxxf02(sin )dfxx 20d)(sin2xxf03(sin )dxfxx xxf0d)(sin2201(sin )dfxx 20d)2cosxxf（xt 2 02)d)(costtf 20d)(cosxxf03(sin )dIxfxx tx 0d)sin)ttft（ xxf0d)(sin xxxf0d)(sintsinxt換換（*

6、）（*） 20dsinxxn 20dcosxxn特特例例證證02(sin )dfxx （）220(sin )dfxx（2sin)dfxx tx20(sin )( d )ftt 20(sin )dfxx 202(sin )dfxx 另另02(sin )dfxx 2xt（22cos )dftt 202(cos )dfxx 202(sin )dfxx 證明：證明：02(sin )dfxx 202(sin )dfxx xxf2d)(sin其中其中 xxf0d)(sin故故偶偶:f 22)d()2sin(ttf例例5解解xxxxIdcos111sin228xxxxIdcos111sin2281偶偶0 2

7、0dcos112xx 20222dcos12xx202tan2x 2 奇奇例例6證證 xttfx0d)()(ut xuuf0)d)(偶偶:f xuuf0d)(),(x 為連續(xù)的偶函數(shù)，為連續(xù)的偶函數(shù)，若若)(xf.為連續(xù)的奇函數(shù)為連續(xù)的奇函數(shù) xttfx0d)()(證明證明.)()(的連續(xù)性的連續(xù)性的連續(xù)性易知的連續(xù)性易知由由xxf),()(xfxf .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)故故x解解例例7 7).(d|baxxba 計(jì)計(jì)算算時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 ba baxxId)();(2122ab ,00時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)baba baxxxxI00dd)(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)ba 0);(2122ab baxxId).(212

8、2ab 證明證明例例8 8成成立立數(shù)數(shù)周周期期函函數(shù)數(shù)，則則對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)為為周周期期的的在在實(shí)實(shí)軸軸上上連連續(xù)續(xù)，且且是是以以設(shè)設(shè)aTxf)( TTaaxxfxxf0d)(d)( Taaxxfd)( TT00d)(d)(d)(aTaxxfxxfxxfx = t+T aTatTtfxxfxxf000d)(d)(d)( aTattfxxfxxf000d)(d)(d)( Txxf0d)(二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 定理定理2 )(, )(xvxu設(shè)設(shè)上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則)()(d)()(xvxuxxvxuba ab baxxuxvd)( )(證證)()()()( )()

9、(xvxuxvxuxvxu 由由)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()( baxxvxud)()(故故)()(xvxu ab baxxvxud)()(,ba在在 bababauvuvvudd即即分部積分公式分部積分公式例例9 ；）（ xxxI01dsin1解解.d2102 xeIx）（ xxI01cosd1 ）（xx0cos xxdcos0 ）（x0sin0 ）（ 102d2xeIx）（, tx 令令2tx 10d2tettd 21010 tetett)1(22 ee2 例例10 求求.darcsin210 xxI解解xxIarcsin 021 210 xxxd12

10、 12 )1(d)1(212022121xx 12 21)1(2x 02112 23 1 uvd20dcosxxn例例11 證明證明 20dsinxxInn證證 20dcosxxn ,22143231nnnn （n ：偶數(shù)）：偶數(shù)）,3254231 nnnn （n ：奇數(shù)）：奇數(shù)） 20dsinxxn已得已得sincos1xxn 02 2022dcossin)1(xxxnn0 20dsinxxInn 201)cosdsinxxn（uvd（*） 2022dcossin)1(xxxnInn 2022d)sin1(sin)1(xxxnn2)1( nInnIn)1( 遞推公式遞推公式21 nnnnII

11、 mI2mm212 12mI122 mm其中其中 0I 20dx,2 20dsinxxInn 201dsinxxI1 0I1I22mI2232mm42mI 214312mI1222mm32mI3254）（* 基本積分法基本積分法換元積分法換元積分法分部積分法分部積分法換元換元需需換限換限配元配元不不換限換限下限對(duì)應(yīng)下限下限對(duì)應(yīng)下限內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)例例12 407d2sinxxIxt2 令令 207dsin21tt）（132547621 358 思考題思考題1.提示提示: 令令, txu _d)(sindd0100 ttxxx則則ttxxd)(sin0100 ud 0 xu100sinx100s

12、in2. 設(shè),1,0)(連續(xù)連續(xù)在在xf ,3)2(,1)0( ff且且,5)2( f求求.d)2(10 xxfx 解解 xxfxd)2(10)2(d2110 xfx 10)2(21xfx xxfd)2(10 2510)2(41xf2 (分部積分分部積分)備用題備用題1. 證明證明 證證 2dsin)(xxxxxf是以是以 為為周期的函數(shù)周期的函數(shù). 2dsin)(xxuuxftu 令令 2d)sin(xxtt 2dsinxxtt 2dsinxxxx)(xf )(xf故故是以是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).2. 計(jì)算計(jì)算.d12240 xxx 解解 令令,12 xt則則,dd,212t

13、txtx ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,4時(shí)時(shí) x.3 t 原式原式 =ttttd231212 ttd)3(21312 )331(213tt 13322 ;1 t且且 解解3.右端右端,)(上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)在在設(shè)設(shè)baxf )(af且且試證試證 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)( baxfbxax)(d)(21 abxfbxax)()(21 xbaxxfbad)2)(21 分部積分積分分部積分積分)(d)2(21xfbaxba 再次分部積分再次分部積分xxfbad)( abxfbax)()2(21 = 左端左端,0)( bf證明證明例例1212.d)(d)(121222x

14、xxaxfxxxaxfaa 試試證證為使等式左右兩邊相等，為使等式左右兩邊相等，, tx 令令.2ddttx ；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)11 tx；時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2atax tttatfxxxaxfaa2d)(d)(2121222 故故tttatftttatfaaad)(21d)(212212 有有元元對(duì)對(duì)上上式式第第二二個(gè)個(gè)積積分分作作換換,2tau 所以所以tttatfaad)(22 uuuaufad)(12 ,d)(12tttatfa uuuaufad)(12 .d)(d)(121222xxxaxfxxxaxfaa 解解例例1-11-1.d1302 xxx計(jì)計(jì)算算故故,1xt 令令, 12 tx則則，tt

15、xd2d ; 10 t時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)ttttd2)1(2122 .1576 原式原式=, 23 t時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)tttd)12(22124 解解例例1-21-2.d422232xxx 計(jì)計(jì)算算,sec2tx 令令,dtgsec2dtttx ;4322 tx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)上上取取負(fù)負(fù)值值，在在由由于于,43tg t故故|tg|242tx .2 tx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng).tg2t 于于是是ttdsin21432 d2cos2121214343 ttt)43(412sin8143 t.162 xxxd422232ttd22cos12143 解解例例2-12-1.cossind36 xxx計(jì)計(jì)算算原式原式=36|sin|l

16、n|cos|ln xx . 3ln2 .dcossincossin3622 xxxxx.dsincosdcossin3636 xxxxxx解解例例2-22-2.dcoslntan40 xxx計(jì)計(jì)算算原式原式=402cosln21 x .)2(ln812 40dcossincosln xxxx 40cosdcos1cosln xxx 40coslndcosln xx解解例例2-32-3.d1212xxxx 計(jì)計(jì)算算原式原式=.1833ln21 .d111221212xxxx .43)21(d211)1d(212122122 xxxxxx21212312arct31)1ln(21 xanxx解解例

17、例2-42-4.d11222xxx 計(jì)計(jì)算算原式原式=,1tx 令令時(shí)時(shí)，則則當(dāng)當(dāng)2 x,2221 t,212 tx時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng),d1d2ttx 故故 2122d)1(1122tttt 212221dtt2122arccos t .12 解解例例2-52-5.dcossinsin20 xxxxI計(jì)計(jì)算算利用三角函數(shù)的余角公式，將得到本題的巧利用三角函數(shù)的余角公式，將得到本題的巧,2tx 令令時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x,2 t時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x,dd, 0txt 妙解法。妙解法。故故,dcossincos20 tttt所所以以 20d x.2 由由此此得得，原原式式.4 2200dcossincosdcoss

18、insin xxxxxxxx 原原式式 02d)2cos()2sin()2sin( tttt解解例例5-15-1.d1sec442 xx計(jì)計(jì)算算因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù)、積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)因?yàn)楸环e函數(shù)是偶函數(shù)、積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)故故 40d2 xtgx40|cos|ln 2 . 2ln 稱，稱，原式原式=解解例例5-25-2 22003d22cos12|32 xxx原式原式=203|2sin21212 x .d)cos(222 xxx計(jì)計(jì)算算 22d)coscos2(22 xxxxx.2123 解解例例7-17-1上上的的最最大大值值在在求求10d|)(10 txtxtf和最小值。和最小值。 10d)(d)()(ttxtxxxttf.212 tt, 012)( ttf令令,211 , 0 t上上的的唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)得得,21)1()0( ff由由,41)21( f處處在在端端點(diǎn)點(diǎn)故故1 , 0)(xf。處處取取得得最最小小值值；在在取取得得最最大大值值412121 t解解例例7-27-2的的非非積積寫寫出出函函數(shù)數(shù))0(d| )(|)(10 xtxt