解析幾何問題的題型與方法

1、解析幾何問題的題型與方法一復(fù)習(xí)目標：1. 能正確導(dǎo)出由一點和斜率確定的直線的點斜 式方程；從直線的點斜式方程出發(fā)推導(dǎo)出直線方 程的其他形式，斜截式、兩點式、截距式；能根 據(jù)已知條件，熟練地選擇恰當?shù)姆匠绦问綄懗鲋?線的方程，熟練地進行直線方程的不同形式之間 的轉(zhuǎn)化，能利用直線的方程來研究與直線有關(guān)的 問題了.2. 能正確畫出二元一次不等式(組)表示的 平面區(qū)域，知道線性規(guī)劃的意義，知道線性約束 條件、線性目標函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解 等基本概念，能正確地利用圖解法解決線性規(guī)劃 問題，并用之解決簡單的實際問題，了解線性規(guī) 劃方法在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用；會用線性規(guī)劃方法解 決一些實際問題 .3 理解

2、 “曲線的方程 ”、“方程的曲線 ”的意義， 了解解析幾何的基本思想，掌握求曲線的方程的 方法.4 .掌握圓的標準方程：(x a)2 (y b)2 r2 ( r > 0), 明確方程中各字母的幾何意義， 能根據(jù)圓心坐標、 半徑熟練地寫出圓的標準方程，能從圓的標準方 程中熟練地求出圓心坐標和半徑，掌握圓的一般 方程： x2 y2 Dx Ey F 0，知道該方程表示圓的充要 條件并正確地進行一般方程和標準方程的互化， 能根據(jù)條件，用待定系數(shù)法求出圓的方程，理解 圓的參數(shù)方程x rcos （e為參數(shù)），明確各字母的y r sin 意義，掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法 .5正確理解橢圓、雙曲線

3、和拋物線的定義， 明確焦點、焦距的概念；能根據(jù)橢圓、雙曲線和 拋物線的定義推導(dǎo)它們的標準方程；記住橢圓、 雙曲線和拋物線的各種標準方程；能根據(jù)條件， 求出橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程；掌握橢 圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)： 范圍、對稱性、 頂點、離心率、準線（雙曲線的漸近線）等，從 而能迅速、正確地畫出橢圓、雙曲線和拋物線； 掌握 a、 b、 c、 p、 e 之間的關(guān)系及相應(yīng)的幾何意 義；利用橢圓、雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)，確 定橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，并解決簡 單問題；理解橢圓、 雙曲線和拋物線的參數(shù)方程， 并掌握它的應(yīng)用；掌握直線與橢圓、雙曲線和拋 物線位置關(guān)系的判定方法 . 二

4、考試要求：（一）直線和圓的方程 1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直 線的斜率公式， 掌握直線方程的點斜式、 兩點式、 一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直 線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直 線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。 4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用。 5了解解析幾何的基本思想，了解坐標法。 6掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù) 方程的概念，理解圓的參數(shù)方程。（二）圓錐曲線方程1掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單 幾何性質(zhì)。2掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的 簡單幾何性質(zhì)。3掌握拋物線的

5、定義、標準方程和拋物線的 簡單幾何性質(zhì)。4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。 三教學(xué)過程：（I ）基礎(chǔ)知識詳析高考解析幾何試題一般共有 4 題（2 個選擇題 , 1 個填空題 , 1 個解答題 ） ，共計 30 分左右，考查 的知識點約為 20 個左右。 其命題一般緊扣課本， 突出重點， 全面考查。 選擇題和填空題考查直線、 圓、圓錐曲線、參數(shù)方程和極坐標系中的基礎(chǔ)知 識。解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點，通過知識的重組與鏈接，使知識形成網(wǎng)絡(luò)，著重 考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求解有時還要 用到平幾的基本知識 和向量的基本方法，這一點 值得強化1.點斜式：3.兩點式:（一）直線的方程y y-i k

6、（x x1）； 2.截距式：y kx b ； 丄丄亠L(fēng) ； 4.截距式：上上1 ； y2 yi X2 Xia b5.般式：Ax By C 0，其中A、B不同時為0.（二）兩條直線的位置關(guān)系兩條直線11，12有三種位置關(guān)系：平行（沒有 公共點）；相交（有且只有一個公共點）；重合（有 無數(shù)個公共點）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點 研究平行與相交.設(shè)直線 li : y=kix+bi，直線 12 : y=k2x+b2，則11 / 12的充要條件是ki=k2，且bi=b2 ； li丄12的充要條 件是 k k2=-1.（三）線性規(guī)劃問題1. 線性規(guī)劃問題涉及如下概念：存在一定的限制條件，這些約束條件如果

7、由 x、y的一次不等式（或方程）組成的不等式組來 表示，稱為線性約束條件.都有一個目標要求，就是要求依賴于X、y的 某個函數(shù)（稱為目標函數(shù)）達到最大值或最小值. 特殊地，若此函數(shù)是x、y的一次解析式，就稱為 線性目標函數(shù).求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值 或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x，y）叫做可行解.所有可行解組成的集合，叫做可行域使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解， 叫做這個問題的最優(yōu)解.2 .線性規(guī)劃問題有以下基本定理：一個線性規(guī)劃問題，若有可行解，則可行 域一定是一個凸多邊形.凸多邊形的頂點個數(shù)是有限的. 對于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定

8、在凸多邊形的頂點中找到.3. 線性規(guī)劃問題一般用圖解法.（四）圓的有關(guān)問題1. 圓的標準方程（x a）2 （y b）2 r2 （> 0），稱為圓的標準方程，其圓 心坐標為（a，b），半徑為r.特別地，當圓心在原點（0，0），半徑為r時， 圓的方程為X2 y2 r2.2圓的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 （ D2 E2 4F > 0）稱為圓的一般方程， 其圓心坐標為（f， f ），半徑為r Iv'D2 E2 4F .當D2 E2 4F=0時，方程表示一個點（| ）；當D2 E2 4F V 0時，方程不表示任何圖形.3.圓的參數(shù)方程圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系：

9、222x r cosx yry r sin(e為參數(shù)）222x a r cos(x a) (y b) r.y b rsi n（e為參數(shù)）（五）橢圓及其標準方程1. 橢圓的定義：橢圓的定義中，平面內(nèi)動點與 兩定點F!、F2的距離的和大于| F,F2|這個條件不可忽 視.若這個距離之和小于| f,f2|，則這樣的點不存 在；若距離之和等于|寸2|，則動點的軌跡是線段Fi F2., 亠 2 2 2 22. 橢圓的標準方程：字總1（ 9 > b > 0），*話1（ 9 > b > 0）.3橢圓的標準方程判別方法：判別焦點在哪 個軸只要看分母的大?。喝绻鹸2項的分母大于y2項 的

10、分母，則橢圓的焦點在 X軸上，反之，焦點在 y軸上.4求橢圓的標準方程的方法： 正確判斷焦 點的位置； 設(shè)出標準方程后，運用待定系數(shù)法 求解.（六）橢圓的簡單幾何性質(zhì)2 21.橢圓的幾何性質(zhì)：設(shè)橢圓方程為 p 1 （ a > b> 0）. 范圍：-a < x,©o < x,所以橢圓位于直線 X= a和y= b所圍成的矩形里. 對稱性：分別關(guān)于x軸、y軸成軸對稱， 關(guān)于原點中心對稱橢圓的對稱中心叫做橢圓的 中心.頂點：有四個 A1（-a，0）、A2（a，0）B1（0， -b ）、B2 （ 0， b）.線段S、BiB扮別叫做橢圓的長軸和短軸.它 們的長分別等于2a

11、和2b, a和b分別叫做橢圓的 長半軸長和短半軸長.所以橢圓和它的對稱軸有 四個交點，稱為橢圓的頂點. 離心率：橢圓的焦距與長軸長的比 e E叫做 a 橢圓的離心率.它的值表示橢圓的扁平程度.0v e v越接近于1時，橢圓越扁；反之，e越接近于0 時，橢圓就越接近于圓.2. 橢圓的第二定義 定義：平面內(nèi)動點 M與一個頂點的距離和 它到一條定直線的距離的比是常數(shù)e£ （ev1 =a '時，這個動點的軌跡是橢圓. 準線：根據(jù)橢圓的對稱性，4 £ （ a > b > 0） 的準線有兩條，它們的方程為X云.對于橢圓C4 £ i （a > b &g

12、t; 0）的準線方程，只要把 x換成y a b就可以了，即y二c3. 橢圓的焦半徑：由橢圓上任意一點與其焦點 所連的線段叫做這點的焦半徑.2 2設(shè)F1（ -c, 0），F(xiàn)2（ c, 0）分別為橢圓話令1 （ a > b > 0）的左、右兩焦點，M （x, y）是橢圓上 任一點，則兩條焦半徑長分別為|MF, a ex, |MF? a ex. 橢圓中涉及焦半徑時運用焦半徑知識解題往往 比較簡便.橢圓的四個主要元素 a、b、c、e中有a2=b2+c2、 e !兩個關(guān)系，因此確定橢圓的標準方程只需兩個 a 獨立條件.（七）橢圓的參數(shù)方程橢圓££（a > b >

13、; 0）的參數(shù)方程為；：（& 為參數(shù)）.說明 這里參數(shù)B叫做橢圓的離心角.橢 圓上點P的離心角B與直線OP的傾斜角a不同：btan tan ；a ， 橢圓的參數(shù)方程可以由方程 4 £ i與三角恒 等式cos2 sin21相比較而得到，所以橢圓的參數(shù)方程的實質(zhì)是三角代換.（八）雙曲線及其標準方程1. 雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點日、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù) 2a （小于| FiF2| ）的動點 m的軌跡叫做雙曲線.在這個定義中，要注意條件 2av|FiF2|，這一條件可以用 三角形的兩邊之差小 于第三邊”加以理解.若2a=|廿2|，則動點的軌跡是 兩條射線；若2a>

14、; | FiF2|，則無軌跡.若|MFi| V MF2I時，動點M的軌跡僅為雙曲線的一 個分支，又若|MFi >陰時，軌跡為雙曲線的另一支 而雙曲線是由兩個分支組成的，故在定義中應(yīng)為 差的絕對值”.2. 雙曲線的標準方程：4 £ 1和4石1 （a>0， a ba bb > 0）.這里b2 c2 a2，其中| F1F2|=2C.要注意這里的a、 b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的異同.3. 雙曲線的標準方程判別方法是：如果x2項的 系數(shù)是正數(shù)，則焦點在 X軸上；如果y2項的系數(shù) 是正數(shù)，則焦點在y軸上.對于雙曲線，a不一定 大于b，因此不能像橢圓那樣，通過比較分母的 大

15、小來判斷焦點在哪一條坐標軸上.4. 求雙曲線的標準方程，應(yīng)注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設(shè)出標準方程后， 運用待定系數(shù)法求解.（九）雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1.雙曲線4石i的實軸長為2a，虛軸長為2b， a b離心率e c> 1,離心率e越大，雙曲線的開口越a大.bxay或表示為mx，即n 72.雙曲線M舌i的漸近線方程為ya b2 2x y 272a bmx ny2 2m x0，那么雙曲線的方程具有以下形式： y2 k，其中k是一個不為零的常數(shù).3.雙曲線的第二定義：平面內(nèi)到定點 與到定直線（準線）距離的比是一個大于n20.若已知雙曲線的漸近線方程是（焦點） 1的常 數(shù)（離心率）的

16、點的軌跡叫做雙曲線.對于雙曲線 4 y. i，它的焦點坐標是（-c, 0）和（C, 0），與 a b 它們對應(yīng)的準線方程分別是x £和x匚CC在雙曲線中，a、b、c、e四個元素間有e -與c2 a2 b2 a的關(guān)系，與橢圓一樣確定雙曲線的標準方程只要 兩個獨立的條件.（十）拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)1.拋物線的定義：平面內(nèi)到一定點（ F）和一條定直線（I）的距離相等的點的軌跡叫拋物線。這個定 點F叫拋物線的焦點，這條定直線 I叫拋物線的準線。需強調(diào)的是，點 F不在直線I上，否則軌跡是過點 F且與I垂直的直線，而不是拋物線。2 .拋物線的方程有四種類型：2 2 2 2 y 2px、 y

17、 2px、 x 2py、 x 2py對于以上四種方程：應(yīng)注意掌握它們的規(guī)律：曲線的對稱軸是哪個軸，方程中的該項即為一次項；一次項前面是正號則曲線的開口方向向x軸或y軸的正方向；一次項前面是負號則曲線的開口方向向 x軸或y軸的負方向。3拋物線的幾何性質(zhì)，以標準方程y2=2px為例（1）范圍：x>0(3)頂點：O (0, 0),注：拋物線亦叫無心圓錐曲線(因為無中心)(4)離心率：e=1，由于e是常數(shù)，所以拋物線的形狀變化是由方程中的p決定的;(5)準線方程x(6)焦半徑公式：拋物線上一點 為(p>0):P (x1, y1), F為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別2cfLP

18、2y2px:PFx-i;y2x2 2py:PF| yi 扌；x22px: PF2py： PFXiyip2p2(7)焦點弦長公式：對于過拋物線焦點的弦長,可以用焦半徑公式推導(dǎo)出弦長公式。設(shè)過拋物線y2=2px(p > O)的焦點 F 的弦為 AB, A (xi, yi), B ( x2, y2), AB 的傾斜角為 a,則有 |AB|=x 1+x2+pElll 型弦長公式"來求。以上兩公式只適合過焦點的弦長的求法，對于其它的弦，只能用(8)直線與拋物線的關(guān)系：直線與拋物線方程聯(lián)立之后得到一元二次方程：x2+bx+c=0,當a工0寸,兩者的位置關(guān)系的判定和橢圓、 雙曲線相同，用判別

19、式法即可；但如果a=0,則直線是拋物線的對稱軸或是 和對稱軸平行的直線，此時，直線和拋物線相交，但只有一個公共點。(十一)軌跡方程 曲線上的點的坐標都是這個方程的解；以這個方程的解為坐標的點都是曲線上 的點.那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做 方程的曲線(圖形或軌跡).(十二)注意事項1.直線的斜率是一個非常重要的概念， 斜率k反映了直線相對于x軸的傾斜程度.當斜率 k 存在時， 直線方程通常用點斜式或斜截式表示， 當斜率不存在時，直線方程為x=a( a R).因此， 利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率 k 存在與否，要分別考慮 . 直線的截距式是兩點式的特例，a、 b 分別是直

20、線在x軸、y軸上的截距，因為aHQ bH0 所以當直線平行于 x 軸、平行于 y 軸或直線經(jīng)過 原點，不能用截距式求出它的方程，而應(yīng)選擇其 它形式求解 .求解直線方程的最后結(jié)果，如無特別強調(diào)， 都應(yīng)寫成一般式 .當直線ii或-的斜率不存在時，可以通過畫圖 容易判定兩條直線是否平行與垂直在處理有關(guān)圓的問題，除了合理選擇圓的方 程，還要注意圓的對稱性等幾何性質(zhì)的運用，這 樣可以簡化計算 .2. 用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程時，要 分清焦點在 x 軸上還是 y 軸上，還是兩種都存在 .注意橢圓定義、性質(zhì)的運用，熟練地進行 a、 b、 c、 e 間的互求，并能根據(jù)所給的方程畫出 橢圓 .求雙曲線的標準

21、方程 應(yīng)注意兩個問題： 正確判斷焦點的位置； 設(shè)出標準方程后， 運用待定系數(shù)法求解 .雙曲線咅i的漸近線方程為y %或表示為a ba2 2x y-r 0a bmx ny 02 2 2 2m x n y.若已知雙曲線的漸近線方程是y外，即，那么雙曲線的方程具有以下形式：k，其中k是一個不為零的常數(shù).雙曲線的標準方程有兩個彩器1和古話1(a> 0, b>0).這里 b2 c2 a2，其中 | f,f2|=2c.要注 意這里的a、b、c及它們之間的關(guān)系與橢圓中的 異同2 2 2 2求拋物線的標準方程，要線根據(jù)題設(shè)判斷 拋物線的標準方程的類型，再求拋物線的標準方 程，要線根據(jù)題設(shè)判斷拋物線

22、的標準方程的類型， 再由條件確定參數(shù)p的值同時，應(yīng)明確拋物線的 標準方程、焦點坐標、準線方程三者相依并存， 知道其中拋物線的標準方程、焦點坐標、準線方 程三者相依并存，知道其中一個，就可以求出其 他兩個.(n)范例分析例1、求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標 軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線I的方程。分析：滿足兩個條件才能確定一條直線。一般 地，求直線方程有兩個解法，即用其中一個條件 列出含待定系數(shù)的方程，再用另一個條件求出此 參數(shù)。解法一：先用平行”這個條件設(shè)出I的方程為 3x+4y+m=0再用 面積”條件去求 m, 直線I 交X軸于A m,0)，交y軸于B(0, m)由2 m m 2

23、4，得m 24， 代入得所求直線的方程為：3x 4y 24 0解法二：先用面積這個條件列出I的方程，設(shè)I 在X軸上截距離a,在y軸上截距b，則有2|ab 24， 因為I的傾角為鈍角，所以a、b同號，|ab|=ab， I的截距式為x 48 1，即48x+a2y-48a=0又該直線 a與3x+4y+2=0平行，譽號號，二a 8代入 得 所求直線I的方程為3x 4y 24 0說明：與直線 Ax+By+C=0平行的直線可寫成 Ax+By+G=O的形式；與Ax+By+C=0垂直的直線的 方程可表示為Bx-Ay+G=0的形式。例2、若直線mx+y+2=0與線段AB有交點， 其中A(-2, 3)，B(3,2

24、)，求實數(shù)m的取值范圍。解：直線 mx+y+2=0過一定點 C(0, -2)，直線 mx+y+2=0實際上表示的是過xC(0,-2)定點(0, -2)的直線系，因為直 線與線段AB有交點，則直線 只能落在/ ABC的內(nèi)部，設(shè)BC CA這兩條直線的斜率分別為 ki、k2，則由斜率的定義可知，直 線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k>k或k<k， / A(-2,3）B（3,2）二 k 3 k2 2-m4或_m 2 即 m 3或說明：此例是典型的運用數(shù)形結(jié)合的思想來解 題的問題，這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切，而當傾角在（0；90）或（90 °,180 &

25、#176; 內(nèi)，角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的，因此當直線 在/ ACB內(nèi)部變化時，k應(yīng)大于或等于kBc,或者 k小于或等于kAc，當A、B兩點的坐標變化時， 也要能求出m的范圍。例3、已知x、y滿足約束條件xx-3y <4，l 0: 2x-y=0C11x-3y+4=0BA3x+5y-30=0134x=1l 23x+5yW 30求目標函數(shù)z=2x-y的最大值和最小值.解：根據(jù)x、y滿足 的約束條件作出可行 域，即如圖所示的陰影 部分（包括邊界）. 作直線l0: 2x-y=0，再作一組平行于l0的直線l : 2x-y=t，t R.可知，當1在10的右下方時，直線1上的點（x, y） 滿足2x-

26、y>0,即t>0,而且直線1往右平移時，t 隨之增大.當直線1平移至11的位置時，直線經(jīng)過可 行域上的點B，此時所對應(yīng)的t最大；當1在1o的左 上方時，直線1上的點（x，y）滿足2x-yv0，即t V 0,而且直線1往左平移時，t隨之減小.當直線1 平移至12的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點C,此時所對應(yīng)的t最小./x-3y+4=0,由解得點B的坐標為（5, 3）;3x+5y-30=0,fx=1,I由解得點C的坐標為（1,千）.53x+5y-30=0,所以，z最大值=2 X 5-3=7 z最小值=2 X * = 17.例4、某運輸公司有10輛載重量為6噸的A型 卡車與載重量為8噸的B

27、型卡車，有11名駕駛 員.在建筑某段高速公路中， 該公司承包了每天至 少搬運480噸瀝青的任務(wù).已知每輛卡車每天往返 的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車7次；每輛卡 車每天的成本費 A型車350元，B型車400元.問每天派出A型車與B型車各多少輛，公司所花 的成本費最低，最低為多少解：設(shè)每天派出A型車與B型車各x、y輛，并設(shè)公司每天的成本為z元.由題意，得y<5 Jx+y < 1148x+56y > 6°121°1° 42x+y=117x+8y=°y=5° 12x=1°11x, y N,且 z=35°x+40&

28、#176;y.x < 1,y <5x+y< 11 6x+7y > 55x, y N,作出可行域，作直線i°: 350x+400y=0,即7x+8y=0. 作出一組平行直線：7x+8y=t中（t為參數(shù)）經(jīng)過 可行域內(nèi)的點和原點距離最近的直線，此直線經(jīng) 過6x+7y=60和y=5的交點A （25, 5）,由于點A 的坐標不都是整數(shù)，而x, y N,所以可行域內(nèi)的點A （岸,5）不是最優(yōu)解.為求出最優(yōu)解，必須進行定量分析因為，7窄+8 X 5嚴所以經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(橫坐標和縱坐標都是整數(shù)的點)且與原點最小 的直線是7x+8y=10,在可行域內(nèi)滿足該方程的整 數(shù)解只

29、有x=10，y=0，所以(10，0)是最優(yōu)解， 即當i通過B點時，z=350 X 10+400X 0=350元為最 小.答：每天派出A型車10輛不派B型車，公司 所化的成本費最低為3500元.例5、已知點T是半圓O的直徑AB上一點,以ABAA B B，使BB半圓圖所AB=2、OT=t (0<t<1)， 為直腰作直角梯形 使AA垂直且等于AT， 垂直且等于BT，AB交 于P、Q兩點，建立如 示的直角坐標系(1) 寫出直線AB的方程；(2) 計算出點P、Q的坐標；(3) 證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射 后，反射光線通過點Q.解：(1 )顯然A 1,1 t, B' 1,1 t

30、，于是直線AB的方 程為y tx 1 ；(2 )由方程組2ytx1,1,解出P(0,1)、q(+f ;(3) kPTkQT1 t* 21 t22t1 _P01 t2；T(1 TH由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反 數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射，反射光線 通過點Q.說明：需要注意的是，0點的坐標本質(zhì)上是三角 中的萬能公式,有趣嗎例6、設(shè)P是圓M : (x-5) 106 2+(y-5)2=1上的動點， 它關(guān)于A(9, 0)的對稱點為Q，把P繞原點依逆時 針方向旋轉(zhuǎn)90°到點S,求|SQ|的最值。解：設(shè)P(x, y)，則Q(18-x, -y)，記P點對應(yīng)的復(fù) 數(shù)為x+yi，則S點

31、對應(yīng)的復(fù)數(shù)為：(x+yi) i=-y+xi，即 S(-y, x).|SQ| (18 x y)2 ( y x)2182 x2 y2 36x 36y 2xy x2 y2 2xy例7、 已知O M： X2 (y 2)2 1,Q是x軸上的動點，說明：適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答 本題的要害所在。QA,QB分別切O M于A,B兩點，(1)如果iabi晉 求直線MQ的方程；|OQ| J|MQ|2| MO |2<32 22 薦，故 a V5或 aJ5廠K所以直線AB方程是2x 亦y 25 0或2x屈 2亦 0;A(2)連接 MB，MQ，設(shè) P(x,y),Q(a,0), 由(2)求動弦AB的中點P

32、的軌跡方程.解：(1 )由 |AB| 乎，可得 |MP| .'|MA|2 (|/2BI)2 12 (232)2 £ 由射影定理，得 |MB |2 | MP | | MQ |,得 |MQ | 3,在 RtA MOQ中,點M，P，Q在一直線上，得y 2,(*)由射影定理得 I MB |2 | MP | | MQ |,a x即 x_(2)2 a2 4 1,(*)把(* )及(* )消去 a， 并注意到y(tǒng) 2，可得x2 (y 4)2 -L(y 2).例8、直線l過拋物線y2 2px(p 0)的焦點，且與拋 物線相父于 A(X1，yJ和Bgy)兩點.(1 )(2)求證：對于拋物線的任意

33、給定的一條弦 CD,直線I不是CD的垂直平分線.解：（1）易求得拋物線的焦點 若I丄x軸，則I的方程為 若I不垂直于x軸，可設(shè) 理得綜上可知（2）設(shè)程為.、22p假設(shè)i過F，則F(_,0)2pp2x,顯然 X1X2.24y k(x p),代入拋物線方程整2pp2p2x2 P(1 牙)x0,則 XtX2.k2444x2 p2 .c2d2C( ,c),D(,d)且 c2p2pc d c dc2 d2y(x)22 p4 pc d 02(c d)(2 p2 c2 d2)0 p 0,則CD的垂直平分線i的方亠）整理得2p 2 4p2p2 c2 d20， c d 0.這時I的方程為y=0,從而I與拋物線y

34、2 2px只相交 于原點而I與拋物線有兩個不同的交點，因此I 與I不重合，I不是CD的垂直平分線.說明：此題是課本題的深化，課本是高考試題 的生長點，復(fù)習(xí)要重視課本。例9、已知橢圓審£ i，能否在此橢圓位于y4 3軸左側(cè)的部分上找到一點 M，使它到左準線的距 離為它到兩焦點R、F2距離的等比中項，若能找 到，求出該點的坐標，若不能找到，請說明理由。解：假設(shè)存在滿足條件的點，設(shè) M （X1，y1）a2=4， b2=3，a=2， b 3， c=1，e 2，| MF1 | | MF2 | (a ex1)(a ex1) a2 e2x12 4 1 x12 , 點M到橢圓左準線 的距離2dx1

35、ac/. Xi4 或 x4 ,.叩2 號，這與 條件的點M不存在。Xi1 2 2 2d,4%(Xi 4)2 5Xi4?xi -2, 0)相矛盾，32xi 48 0 ,滿足例10、已知橢圓中心在原點，焦點在y軸上， 焦距為4,離心率為？,3(I)求橢圓方程；(II )設(shè)橢圓在y軸正半軸上的焦點為 M，又 點A和點B在橢圓上，且M分有向線段ab所成的 比為2，求線段AB所在直線的方程。解：(I )設(shè)橢圓方程為4 bJi 1 由2c=4得a bc=2故2 2 乞0195(I)若k不存在，則如MB線AB的方程為：y=kx+2 又設(shè) A(x1,yj B(x2，y2)y kx 2由 Xi y： 159X

36、X2 羋L9 5K2點M坐標為M (0，2)又：3a=3，5所求的橢圓方程為2，若k存在，則設(shè)直2 2(9 5k )x20kx 250浪LAM ( X1,2 yj MB (x?？ 2)由 M 2 得 AM 2MB ( x1,2MBXi 2X2代入2x；25tL 9 5k2由、得2(罟汀9 5kyi)2(X2, y2、2)得20kX29 5k2259 5k2k21373y x 2 o3線段AB所在直線的方程為：說明：有向線段所成的比，線段的定比分點 等概念，本身就是解析幾何研究的一類重要問題。 向量概念的引入，使這類問題的解決顯得簡潔而流暢。求解這類問題可以用定比分點公式，也可 以直接用有向線段

37、的比解題。另外，向量的長度，點的平移等與解析幾何都 有著千絲萬縷的聯(lián)系，向量與解析幾何的結(jié)合， 為解決這些問題開辟了新的解題途徑。例11、已知直線I與橢圓1(a b 0)有且僅有 a b一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于 R、S,求 以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的 軌跡方程.解：從直線i所處的位置，設(shè)出直線i的方程， 由已知，直線I不過橢圓的四個頂點，所以設(shè) 直線I的方程為y kx m(k 0). 代入橢圓方程b2x2 a2y2 a2b2，得b2x2 a2(k2x2 2kmx m2) a2b2.化簡后，得關(guān)于x的一元二次方程于是其判別式,22 2、2 2 2 2 2 2(a k

38、 b )x 2ka mx a m a b 0.(2ka2m)2 4(a2k2 b2)(a2m2 a2b2) 4a2b2(a2 k2 b2 m2).由已知，得 =0 即a2k2 b2 m2.令頂點P的坐標為(由已知，得k解得m.my.在直線方程y kx m中，分別令 y=0 , X=0，求得 R( ASS.代入式并整理，得三埜1,即為所求頂點 P 丿x y的軌跡方程.說明：方程§ b； !形似橢圓的標準方程，你能畫出x y它的圖形嗎例12、已知雙曲線寫石1的離心率e竽，過 a b3A(a,0),B(0, b)的直線到原點的距離是 寺(1)求雙曲線的方程；(2)已知直線y kx 5(k

39、0)交雙曲線于不同的點C，D且G D都在以解: I (1) 距離dbab1, a x 3.B為圓心的圓上，求k的值.2,原點到直線AB： 丄1的3a bab 3c 2 .故所求雙曲線方程為斗y2 1.(2 )把 y得設(shè) C(X1, y1), D(X2, y2),CD 的中點是 E(xo，y。)， 則竺15 k2 y o kx o 521 3k 2Xo X1k BEXo kyo即 15 k21 3k 2故所求y。11Xokk O,竺丁 k O,又k1 3k 2k=±7 .說明：為了求出k的值,法建構(gòu)k的方程51 3k0, k 27需要通過消元,想法設(shè)例13、過點p( 3,o)作直線i與

40、橢圓3x2+4y2=12 相交于A、B兩點，O為坐標原點，求 OAB面積的最大值及此時直線傾斜角的正切值廠p/y”O(jiān) 丿xB -分析：若直接用點斜式設(shè)l 的方程為y o k(x ,3)，則要求I的 斜率一定要存在，但在這里l的斜率有可能不存在，因此要討論斜率不存在的情形，為了避免討論，我們可以設(shè)直線i的方程為X my、.3，這樣就包含了斜率不存在時的情形了， 從而簡化了運算。解：設(shè) A( X1，y1)，B( X2，y2) ，I : x my 31 1L廠SAOB |OP| |y1|OP| |y2| >3(|y1| |y2 |)3(y1 山2 2把X my 3代入橢圓萬程得：3(m2y2

41、2-3my 3) 4y2 12 0，即22 廠63m3(3m 4)y 6 . 3my 3 0 ,屮 y 2,y223m 43m 4108m2121(3m24)2 3m24 3m234、. 3 ,3m214 3 , 3m21I y1 y2 I4 9m22 2 3m 43m4j3mJ3m2_13J3m213S 2.3 ,2 )3m2-l144x24844(3m2 1) 343 22、3此時伽2 1 ：3m21令直線的傾角為，則tg備 即厶OAB面積的最大值為3, 正切值為于。m32此時直線傾斜角的例14、（ 2003年江蘇高考題）已知常數(shù)a o， 向量 C （0,a）J （1,0）.經(jīng)過原點O以C

42、 r為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0, a）以r 2 C為方向向量的直線相交于點 P，其 中r.試問：是否存在兩個定點E、F，使得 |PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若 不存在，說明理由.解：丁 r= （1，0）， c= （0，a）， C+ 兀=（人a）， r 2 Ap= （1， 2 2a）.因此，直線OP和AP的方程分別為 y ax和y a 2 ax .消去參數(shù) 人得點P（x,y）的坐標滿足方程y（y a） 2a整理得x2 (y 2)18 .因為a 0,所以得：(i )當a手時，方程是圓方程，故不存在 合乎題意的定點E和F;(ii)當 0 a 時，方程表示橢圓，焦點E(1

43、1 a2,-)22 2 2和F( 2； a2,|)為合乎題意的兩個定點；(iii )當a彳時，方程也表示橢圓，焦點 E(°1(a曾I)和F(°g(a眉舟)為合乎題意的兩個定 占;、說明：由于向量可以用一條有向線段來表示， 有向線段的方向可以決定解析幾何中直線的斜 率，故直線的方向向量與解析幾何中的直線有著 天然的聯(lián)系。求解此類問題的關(guān)鍵是：根據(jù)直線 的方向向量得出直線方程，再轉(zhuǎn)化為解析幾何問 題解決。例15、已知橢圓4 4 1(a b 0)的長、短軸端點分a b別為A、B，從此橢圓上一點 M向x軸作垂 線，恰好通過橢圓的左焦點 已，向量AB與OM是 共線向量。(1) 求橢圓

44、的離心率e;(2) 設(shè)Q是橢圓上任意一點，冃、F2分別是左、右焦點，求/ FQF2 解：(1 ) T F, c,0),則Xm的取值范圍;c, Ymb2oac-,OM與AB是共線向量， ab2bac a ?b=c,故2e 2 °(2)設(shè)FQri, F2Q a, Fi QF2ri D 2a, F1F22c,rj r22 4c2 (rid)2 2% 4c2a2- d ncos1102r1r22rir2r1r2( ri r2)22當且僅當ri r2時，cos 6 =06 。弓o 說明：由于共線向量與解析幾何中平行線、共線等具有異曲同工的作用，因此，解析幾何中 與平行線、三點共線等相關(guān)的問題均

45、可在向量共線的新情景下設(shè)計問題。求解此類問題的關(guān)鍵是: 正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點共線 等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問 題例16、一條斜率為1的直線i與離心率為乎的橢圓C： 4 Z 1 ( a b 0)交于P、Q,兩點，直線l a b與丫軸交于點R,且OP OQ 3 , PR 3RQ，求直線I和橢圓C的方程。解：橢圓離心率為號,三號,a2 2b22a 2所以橢圓方程為£ £ 1，設(shè)i方程為：2b bPg, yJQ(X2, y2)2 2由2b2 b2 1消去y得 3x2 4mx 2m2 2b2 0y x m16m24 3(2m2 2b2)8( m2 3

46、b2)0 3b2 m2(*)(1) 所以Xi X24m( 1 )X1X2 2(m2 b2)(2)33OP OQ 3 所以 X1X2 y1 y23而 y1 y2 (x1 m)(x2 m) x1x2 m(X1 x2 ) m2所2x1x2 m(x.| x2) m23 (m2 b2) m233所以 3m2 4b29 (3 )又 R(0,m),X1 3X2b2m233 (m33m2 4b29 ( 3 )3又(X1,m yj 3( X2, y2 m) 從而 由(1) ( 2) ( 4 )得 3m2 由(3) (5)解得 b2 3, 所以所求直線i方程為：y 的方程為匸16 3構(gòu)建起向量與解說明：向量數(shù)量積

47、的坐標表示，析幾何的密切關(guān)系，使向量與解析幾何融為一體。 求此類問題的關(guān)鍵是：利用向量數(shù)量積的坐標表 示，溝通向量與解析幾何的聯(lián)系。體現(xiàn)了向量的 工具性。PR 3RQ-(4 )(5) 適合(*),;橢圓C例17、已知橢圓C的中心在原點，焦點 F1、 F2在X軸上，點P為橢圓上的一個動點，且/F1P巨 的最大值為90°直線I過左焦點F1與橢圓交于A、 B兩點， ABF2的面積最大值為12.1)求橢圓C的離心率；(2)求橢圓C的方程.解法一：(1)設(shè)E釘鬥十門2c,對pf1F2,由余弦定理，得1 2,2cos FfF2經(jīng)2r1 r2(1a)2 21 d 4c2 4a2 4c2 “1212

48、2122(4a2 4c24a2 4c2解出(2)考慮直線i的斜率的存在性, i)當k存在時，設(shè) y k(x C)橢圓方程為 篤1, A(X1, yj, B(X2, y2)a b由 e # 得a2 2c2,b2 c2.于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 將代入，消去y得 整理為x的一元2 2 2 2 2(1 2k )x 4ck x 2c (k 1)0 .1 2e2 0 ,e e2X2 2y2C21 2)22 )可分兩種情況：I的方程為2 2 2 22k (x c) 2c 0 ,次方程，得則X1、X2是上述方程的兩根.且I X2 X1 |2 2c 1 k21 2k222 2c(1 k2)| AB |1 k |

49、X2 咅 |1 2k21AB邊上的高c 11 k2S 2 2c(221 2k2 2ch |F!F2 |sin BFf? 2c .|k |1 k2 |k |)1 k2 2C 川2冏2宓kk4 ； 2血c2 |1 2k2. 1 4 k2 4k4112C24 k4 k2x C代入橢圓方程得ii)當k不存在時，把直線y JABI 2c,S _由 知S的最大值為2c2由題意得2c2=12所1以 C2 6 2 b2a2 12 2i 2C 2c2x2 y2 孑孑 1,A(X1,y1),B(X2,y2)a2 2c2,b2 c2,于是橢圓方程可化為：222 2 22 4m c 4c (m 2)2 2c(1 m2

50、)m 2m2 2AB邊上的高h 從而2c2 J1 m 2S 11 AB | h 1 2 2c(1 山 2c22 m2 1 m212 2c2 彳2c2.m22- 12 1 m212m212 2C21 (m 2)2故當 ABF2面積最大時橢圓的方程為:2 21L122 6 2解法二：設(shè)過左焦點的直線方程為：x my c0橢圓的方程為： 由e .得：x2 2y2 2c202 2 2(m 2)y 2mcy c 0把代入并整理得：于是y1,y2是上述方程的兩根.|AB| (x1 x2)2 (y1 y2)?1 m2 | y2 y1 |11當且僅當m = 0取等號，即SmaX 2C2.22匚2b c 6.

51、2,a 12 2由題意知妊2 12,于是故當 ABF2面積最大時橢圓的方程為:12 2 6 2 1.例18、2002年天津高考題)已知兩點M(-1, 0) , N ( 1 , 0)且點P使MP MN,PM PN,而NP成公差小 于零的等差數(shù)列，(I )點P的軌跡是什么曲線(U )若點P坐標為(x0，y0),為PM與PN的夾角，求tan 9解：(I )記 P (x,y),由 M (-1, 0) N (1, 0) 得PM MP ( 1 x, y)PN NP ( 1 x, y)MN NM (2,0)所以MP MN 2(1 x)PM PN x2 y2 1NM NP 2(1 x)于是，MP MN, PM

52、 PN,NM NP是公差小于零的等差數(shù)列 等價于2 2 1xy12(1 x)2(1 x)22(1 x) 2(1 x) 0所以，點P的軌跡是以原點為圓心，3為半 徑的右半圓。U )點P的坐標為 (x°,y°) o PM PN x。2 y。2 1uuuuPM所以cos一 cos2tanUULTPNsincos'(1xo)2yo2 -,(1UUUU-UUUrPMPNUUUL UULT PM PN1,0,sin311 4 x；Xo)2、1 cos22X°y。y .(4 2x。)(4 2xo)2.4因為 0 xo,3 ,2，X°說明：在引入向量的坐標表示后

53、，可以使向量運 算代數(shù)化，這樣就可以將 形”和數(shù)”緊密地結(jié)合 在一起。向量的夾角問題融入解析幾何問題中， 也就顯得十分自然。求解這類問題的關(guān)鍵是：先把向量用坐標表示，再用解析幾何知識結(jié)合向量 的夾角公式使問題獲解；也可以把兩向量夾角問 題轉(zhuǎn)化為兩直線所成角的問題，用數(shù)形結(jié)合方法 使問題獲解。(皿)、強化訓(xùn)練2 21、已知P是以Fi、F2為焦點的橢圓篤 1(a b 0) a b上一點，若PFi PF2 0 tan PF 2，則橢圓的離心率為( )(A)寸(B) 3( C) £(D)；2、已知 ABC的頂點A(3, -1)， AB邊上的中線所在直線的方程 為6x+10y-59=0, Z B的平分線所 在直線的方程為：x-4y+10=0,求 邊BC所在直線的方程。3、求直線 12： 7x-y+4=0 到 11： x+y-2=0 的角平 分線的方程。食 物P食 物Q食 物R維生素A(單位400600400/kg)維生素B （單位/kg）800200400成本（元/kg）6544、已知三種食 物P、Q、R的維 生素含量與成本 如下表所示現(xiàn)在將xkg的食物P和ykg的食物Q及zkg 的食物R混合，制成