必修四第一章三角函數(shù)復(fù)習(xí)與小結(jié)(一)

1、年級(jí)且一 乒a學(xué)科數(shù)學(xué)版本蘇教版課程標(biāo)題必修四 A章 二角函數(shù)復(fù)習(xí)與小結(jié)編稿老師土東一校林卉二校黃楠審核土白玲VU iH!標(biāo) 定 位明瑜學(xué)習(xí)目標(biāo)，高效學(xué)習(xí).有的故為一、考點(diǎn)突破1 .三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念多在選擇題或填空題中出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)的意義、三角函數(shù)值 符號(hào)的選取和終邊相同的角的集合的運(yùn)用。2 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式此處主要考查公式在求三角函數(shù)值時(shí)的應(yīng)用，考查利用公式進(jìn)行恒等變形的技能，以 及基本運(yùn)算能力，特別突出算理、算法的考查。3 .三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)三角函數(shù)的圖象是三角函數(shù)概念和性質(zhì)的直觀形象的反映，要熟練掌握三角函數(shù)圖象 的變換和解析式的確定及通過圖象

2、的描繪、觀察，討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)。4 .三角函數(shù)的應(yīng)用主要考查由解析式作出圖象并研究性質(zhì)，由圖象探求三角函數(shù)模型的解析式，利用三 角函數(shù)模型解決最值問題。三角函數(shù)來源于測(cè)量學(xué)和天文學(xué)。在現(xiàn)代科學(xué)中，三角函數(shù)在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量 學(xué)以及其他各種技術(shù)學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)其他相關(guān)知識(shí)和高等 數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本章主要利用數(shù)形結(jié)合的思想。在研究一些復(fù)雜的三角函數(shù)時(shí)要應(yīng)用換元法的思想， 還要注意化歸的思想在三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，主化歸的思想要包括以下三個(gè)方 面：化未知為已知；化特殊為一般；等價(jià)化歸。二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn)：角的概念的擴(kuò)展及任意角的概念、弧度制、正弦、余弦和正切函數(shù)的圖

3、象與性質(zhì)、五點(diǎn)法”作圖、誘導(dǎo)公式、函數(shù) y=Asin （cox+（j）的圖象與正弦函數(shù) y=sinx的圖象 間的關(guān)系、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。難點(diǎn)：三角函數(shù)的概念、弧度制與角度制的互化、三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用、由正弦函數(shù) 到丫=人$訪（cox+j）的圖象變換、綜合運(yùn)用三角函數(shù)的公式進(jìn)行求值、化簡(jiǎn)和證明等。而 知役錯(cuò)理【傾略師點(diǎn)撮夯實(shí)基礎(chǔ)，提升勤】、知識(shí)脈絡(luò)圖:角的概念的推廣: 任意角的概念角的概念三角函數(shù).、知識(shí)點(diǎn)撥：1. y sin x與y cosx的周期是 。2. y sin( x )或 y cos( x )(x 3. y tan 的周期為2 。20）的周期為T4. y sin( x(k ,0

4、);y cos( x1(k1 ,0)；2y tan( x）的對(duì)稱軸方程是 x k （ k Z）,對(duì)稱中心為）的對(duì)稱軸方程是 x k （ k Z）,對(duì)稱中心為）的對(duì)稱中心為,0)5 .當(dāng) tan tan 1 時(shí)，k (k Z)；當(dāng) tan tan 1 時(shí)，k (k Z)26 .函數(shù)y tan x在R上為增函數(shù)。(為只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增。若在整個(gè)定義域上，則 同樣也是錯(cuò)誤的。7. y sinx不是周期函數(shù)；y sinx為周期函數(shù)（Ty tan x為增函數(shù)的說法）;Y=cos|x|y cosx是周期函數(shù)（如圖）；y=|cosx| y cosx為周期函數(shù)（T隨堂練習(xí)：函數(shù)f （x） =sinx

5、? （ cosx-sinx ）的最小正周期是（）A.4B. 一 C.d D. 2兀解：- f (x) =sinx? ( cosx-sinx ) =sinxcosx-sin 2x=1 ( sin2x+cos2x ) - 1 = sin (2x+ 一) 1.T=7t故選C.fibtuff典型削聯(lián)，應(yīng)用攻略，輕松解歙】知識(shí)點(diǎn)一：三角函數(shù)的概念例題1設(shè)角“屬于第二象限，|cos金尸cos3 ,試判斷角 金屬于第幾象限？思路導(dǎo)航：首先應(yīng)根據(jù)a所屬象限確定出 萬所屬的象限，然后再由 cos-0, cos W0確定最終答案，要點(diǎn)就是分類討論。2答案：因?yàn)閍屬于第二象限，所以 2ke a 2k兀+兀（kC Z

6、）,k 兀+ - 一 k 兀-I(k C Z) o當(dāng) k=2n (nC Z)時(shí)，2n 2n 7t+ (nCZ)。是第一象限角；2當(dāng) k = 2n+ 1 (nC Z)時(shí)，2n 時(shí)勺 v 0 cos-WQ)所以,應(yīng)為第二、三象限角或終邊落在 x軸的負(fù)半軸上。綜上所述，萬是第三象限的角。點(diǎn)評(píng)：由a所在象限，判斷諸如,I等角所在的象限時(shí)，一般有兩種辦法：一種是利用終邊相同的角的集合的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合的辦法確定,n所屬的象限；另一種辦法就是將 k進(jìn)行分類討論。一般來說，分母是幾就應(yīng)分幾類去討論。知識(shí)點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式3(X例題2 (1)已知 兀 a 2兀，cos (a 7城=,

7、求sin (3升a)與tan (5)的值;2(2)已知 2+sinAcosA =5cos2A ,求 tanA 的值;(3)已知 sin 時(shí)cos a= 1 ,且 (0,5好,求 sin3 a- cos3 a的值。答案:(1 ) COS ( a 7 兀)=一 COS a=3cos a=一。5又 Tt a 0, cos aV 0, a- cos ty 0 ,sinn cos k V1 2 sincos- sin3 a cos3 a=7 X (1 絲)5257581125點(diǎn)評(píng):形如asin好 bcos a和 asin2 a+ bsinc cosh ccos2 a的式子分別稱為關(guān)于sin a cos

8、a的一次齊次式和二次齊次式，對(duì)它們涉及的三角式的變換常有如上的整體代入方法可供使 用。知識(shí)點(diǎn)三：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)例題3對(duì)于函數(shù)f (x) = 2sin (2x+),給出下列結(jié)論：3圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；圖象關(guān)于直線x=不成軸對(duì)稱；圖象可由函數(shù) y =2sin2x的圖象向左平移 一個(gè)單位得到；圖象向左平移 行個(gè)單位，即得到函數(shù) y = 2cos2x 的圖象。其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()個(gè)A. 0B. 1C. 2D. 3思路導(dǎo)航：.f (x)是非奇非偶函數(shù)，錯(cuò)誤。f (x)是由y=2sin2x向左平移 一個(gè)單位得到的，6.錯(cuò)誤。把x= 代入f (x)中使函數(shù)取得最值，.正確。左移一個(gè)單位f (x

9、) = 2sin (2x+ )12 f (x) = 2sin 2 (x+ ) + = 2cos2x,.正確。答案：C點(diǎn)評(píng)：利用排除法求解選擇題，是一個(gè)簡(jiǎn)單、易行的辦法。在用排除法時(shí)，要注意函 數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。例題 4 設(shè)函數(shù) f (x) = sin3x+ |sin3x|,則 f (x)為()A.周期函數(shù)，最小正周期為 -B.周期函數(shù)，最小正周期為C.周期函數(shù)，最小正周期為2兀D.非周期函數(shù)思路導(dǎo)航：本身可以直接把選項(xiàng)代入f (x T) f(x)檢驗(yàn)，也可化簡(jiǎn)f (x) sin3x sin3x。答案：f (x) = sin3x + |sin3x|一 2k 2sin 3x,-30,2k32kx ,3

10、32k 2一 x 333B正確。答案：B點(diǎn)評(píng)：遇到絕對(duì)值問題可進(jìn)行分類討論，將原函數(shù)寫成分段函數(shù)。本題也可以數(shù)形結(jié) 合運(yùn)用圖象的疊加來考慮。后者更簡(jiǎn)捷。知識(shí)點(diǎn)四：三角函數(shù)的應(yīng)用4個(gè)相同的直角三角形0,大正方形的面25A. 124B. 25DA7C.25B7D.25例題5在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由 與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形。若直角三角形中較小的銳角是 積是1,小正方形的面積是 1-,則sin2。 cos2。的值等于(思路導(dǎo)航：由題意，設(shè)大正方形邊長(zhǎng) AB = 1,小正方形的邊長(zhǎng)是-,則BE = sin 85AE = cos 9 ,1cos 0- sin 6=。524

11、平方得 2cos 0 sin =6 一。2549( cos 葉 sin 0 2= 1 + 2cos 0 sin =6。25cos 葉 sin 6= 7。5sin2 0 cos2 0= ( sin 8 cos 5 5答案：D7O25點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛。 利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)中的同角三角函數(shù)問題，再例題6 函數(shù)y = Jsin xcosx1 ,一一的定義域是2sin x思路導(dǎo)航：由題意知，cosxsin xcosx作單位圓如圖所示，圖中雙陰影部分即為函數(shù)的定義域x|2k TtWxW2kL, kCZ o丸答案：x|2k 7tx2kn-, kCZ 點(diǎn)評(píng)：解三

12、角不等式基本上有兩種方法：利用三角函數(shù)線。利用三角函數(shù)圖象。例題7求函數(shù)f (x) = sinxcosx的最大、最小值。1 sin x cosx2 2思路導(dǎo)航： 利用二角函數(shù)中 sin cos 1和sin cos 與sin cos 的關(guān) 系，轉(zhuǎn)化成同一個(gè)量的關(guān)系式。答案:t2 1設(shè) sinx+ cosx=t,貝U sinxcosx =2te J2 J2,且 t a 1,則 yt21H t2 i1 t 2 2t，當(dāng) t= x/2 ,當(dāng) t=- 72 ,t e 0),將y f(x)的圖像向右平移 3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于()A. 1 B. 3 C. 6 D. 93思路

13、分析：本題主要考查三角函數(shù)的周期性與三角函數(shù)圖象變換的關(guān)系。此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要，將y f(x)的圖象向右平移 一個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象3與原圖象重合，說明了 一是此函數(shù)周期的整數(shù)倍。3解答過程：由題意將y f(x)的圖象向右平移 一個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖象與原圖象3一 “, 一一，一一 12重合，說明了 一是此函數(shù)周期的整數(shù)倍，得 k (k Z),解得 6k,又330 ,令 k 1 ,得 mm 6。答案：C規(guī)律總結(jié)：三角函數(shù)的圖象只有平移周期的整數(shù)倍，平移之后的圖象才可能與原圖象 重合。高頻疑點(diǎn) 【網(wǎng)排熱點(diǎn)問題透視】在應(yīng)用過程中，熟練掌握一些基本技能，要重視運(yùn)算、作圖、推理

14、以及科學(xué)計(jì)算器的 使用等基本技能訓(xùn)練，但要避免過于繁雜的運(yùn)算。例題 (臨沂統(tǒng)考) 作函數(shù)y=cotxsinx的圖象。思路導(dǎo)航：首先將函數(shù)的解析式變形，化為最簡(jiǎn)形式，然后作函數(shù)的圖象。函數(shù) y = cotxsinx的圖象即是y=cosx (xwk/kCZ)的圖象，因此應(yīng)作出 y=cosx的圖象，但要把 x=kTt, kCZ的這些點(diǎn)去掉。答案： 當(dāng) sinx wq 即 xwkMkCZ) 時(shí)，有 y = cotxsinx = cosx, 即 y = cosx (xwkg kC Z)。其圖象如圖，1卜卜握奇技151西方法妙招.學(xué)習(xí)JSa ,解JK快捷】學(xué)習(xí)本章應(yīng)該先復(fù)習(xí)角的概念，了解角度制的內(nèi)容。在學(xué)

15、習(xí)本章時(shí)應(yīng)該注意任意角、 弧度制、任意角的三角函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，這是我們學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)過程中， 對(duì)需要證明的內(nèi)容要自己親手證明，加強(qiáng)對(duì)公式的理解和記憶。對(duì)函數(shù)圖象的作圖過程要 抓住關(guān)鍵，充分利用周期性和奇偶性等函數(shù)性質(zhì)簡(jiǎn)化作圖過程。對(duì)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值 要多加強(qiáng)練習(xí)，注意對(duì)題型的歸納總結(jié)才可熟練解決相關(guān)問題。修預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【兩新知主動(dòng)學(xué)習(xí)】必修四第二章第1 2節(jié)向量的概念及表示；向量的線性運(yùn)算 一、預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)1 .向量的概念：。表示法CBB. AB、CD、FA、DEuuuruuuruuruuuruuurOFD. AF、AB、OC、ODABCDEF2 .平行向量的概念： 、相等向量的概念：

16、 3 .已知點(diǎn)O是正六邊形uuU uuu uuuA. OB、CD、FEuuu uuu uuuC. FE、AB、CB4 .向量的加法法則：。5 .數(shù)的運(yùn)算：減法是加法的逆運(yùn)算， 。6 .向量的加法運(yùn)算： 、向量共線定理： 7 .平面向量基本定理： 、問題思考1 .如何用數(shù)學(xué)符號(hào)和有向線段表示向量？2 .向量加法的平行四邊形法則和三角形法則如何？3 .如何結(jié)合圖形進(jìn)行向量計(jì)算以及用兩個(gè)向量表示其它向量？4 .理解兩向量共線（平行）的充要條件，并會(huì)判斷兩個(gè)向量是否共線。精說好題，學(xué)以效用,越法打歌】（答題時(shí)間：60分鐘）、選擇題kCZ中的角所表示的范圍（陰影部分）是（3m) ( mO),則2.已知角

17、”的終邊經(jīng)過點(diǎn) P （-4m2sin a+ cos a 的值是()A. 1 或一13.4.5.C.1 或一已知 f (cosx)A. 一 sin3xC. cos3x(天津)A.若 B.若 C.若 D.若a、已知D. 1 或= cos3x,則 f (sinx)等于()E. 一 cos3xD. sin3xsin法sin么那么下列命題成立的是（3是第一象限角，則3是第二象限角，則3是第三象限角，則3是第四象限角，則要得到函數(shù)：- -A.向左平移兀百個(gè)單位兀C.向左平移三個(gè)單位COStanCOStanA COSA tanCOSA tan的圖象,3333只需將函數(shù)B.向右平移D.向右平移y= sin2x

18、的圖象（）個(gè)單位個(gè)單位6.已知a是某三角形的一個(gè)內(nèi)角且sin (兀一ria) COs (兀+ a)=,則此三角形是(A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形QTT7.若|sin甫盲 0 55則tan外于（）A.器B. 2奏C.-12D. 二8.下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于直線A.C.7T ysin (2x+) y=sin (2x - g)D.B. :， 一9.函數(shù)y=tg （工 兀）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象是（KB.D.*II *A.C.10.(上海)函數(shù) y=x+sin|x|I I I iI I iIIIIx Tt,nt的大致圖象是（）A.C.11.（福建）定義在R上的函數(shù)B

19、.D.(x)滿足 f (x) = f (x+2),當(dāng) xC 3, 5時(shí)，f (x)A. f ( sinr) f (cosl)C. f (co) f (sin2)12.如圖為一半徑為 3m的水輪,水輪中心 O距水面2m,已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水= 2-|x-4|,則（）輪上點(diǎn)P到水面的距離y （m）與時(shí)間x （t）滿足函數(shù)關(guān)系式 y = Asin （cox+/+2,則A.15A = 5B. 3=15271D. 3=2TT 15二、填空題13.若扇形的周長(zhǎng)是16cm,圓心角是2弧度，則扇形的面積是14.函數(shù)y=-sinxcasxsinx4-COSItan工* I tarn |的值域是斤 13si

20、n & - 2二口臺(tái)日15.已知tana2,則Sin9+3cos0IT .116.已知 bin (x十),貝U64sin (且J。+cos2(9工)6J17.不等式1+/川1()。的解集18.函數(shù)尸1口6回門(2汨jr)的單調(diào)減區(qū)間是19.函數(shù)f (x)是周期為 兀的偶函數(shù)，且當(dāng)耳E 0,y )時(shí)，f(K)=仔犯工-1空)的值是320.設(shè)函數(shù) f (x) = 3sin (2x+JTy),給出四個(gè)命題：它的周期是K它的圖象關(guān)于直線x =7T.成軸對(duì)稱；它的圖象關(guān)于點(diǎn)(12,號(hào)上是增函數(shù)。其中正確命題的序號(hào)是,0)成中心對(duì)稱；它在區(qū)間.31222.設(shè)函數(shù) f(x) 2sin(2x-)(x R).3

21、(1)若 0，求 的值，使函數(shù)f(x)為偶數(shù);(2)在(1)成立的條件下，求滿足 f (x) 1,且x,的x的集合。三、解答題21.如圖所示，某地一天從 6時(shí)至14時(shí)的溫度變化曲線擬合正弦型曲線:y Asin( x )(1)求這段時(shí)間的最大溫度差；23. (1)已知 tan(2)已知sin52c.，求 3sin 2 sin cos12m(0 m0, 0, 0時(shí)，廠前，sinQ二巽金？ ?.5二二 如二一冬 5m 55m 56 4 22En 口十 us 篁二合一W；5 5 5當(dāng) m0 時(shí)，廠5m, mind二-二一微，gQ二一 -5m5- 5m 5SsinCt +ccs d = -k-= - 故

22、選 B。 5 553. A解析：(法一)令t=cosx,由三倍角公式求出 f (t) =4t3-3t,換元可得fTT(sinx)的解析式。(法二)把 sinx用cos (-x)來表不，利用已知的條件f (cosx)= cos3x得出f (sinx)的解析式。解答過程：(法一)令 t=cosx, cos3x= 4cos3x 3cosx, f (cosx) = cos3x= 4cos3x 3cosx,.f (t) = 4t3-3t, f (sinx) = 4sin3x- 3sinx=- sin3x,故選 A。(法二)f (cosx) =cos3x,f (sinx) = f cos (日-x) =

23、cos3 (二一x)=cos3x) = sin3x, 故選 A。2cos4cos 故A錯(cuò)。4. D解析：若a、3同屬于第一象限，則辭(8口；9若a、3同屬于第二象限，則tan o tan 3 故 B 錯(cuò)。若a、3同屬于第三象限，則 nap2L, cosa cos故C錯(cuò)。若“、3同屬于第四象限，則 駕6M江0, cos o Q 又 y = cosx 在0, nt 止為減函數(shù)，所以 函數(shù)y=x+ sinx在0, nt上為增函數(shù)且增速越來越?。划?dāng)一% 0 時(shí)，y = x sinx ,，y= 1 cosxQ 又丫=8$*在兀，0）上為增函 數(shù)，所以函數(shù)y = x- sinx在0, nt止為增函數(shù)且增速

24、越來越??；又函數(shù)y = x + sin|x|, xC國(guó)nt恒過（一5一城和（國(guó)兀）兩點(diǎn)，所以 C選項(xiàng)對(duì) 應(yīng)的圖象符合。11. D 解析：由 f (x) =f (x+2)知 T=2, 又. xC 3, 5時(shí)，f (x) =2-|x-4|, 可知當(dāng) 3WxW時(shí)，f (x) =2 + x。當(dāng)4vxW5時(shí)，f (x) = 6-xo其圖如下，故f （x）在（1, 0）上是增函數(shù)，在（0, 1）上是減函數(shù)。又由 |cos2K |sin2|,f （cos2） f （sin2）。故選 D。12. D 解析：已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈4X271 2 兀3=T-6015又半徑為3m,水輪中心 O距水面2m, ，最高點(diǎn)

25、為5,即A = 3,故選D。、填空題13.16cm2解析：設(shè)扇形半徑為 r,面積為S,圓心角是a,則a= 2,弧長(zhǎng)為a ;則周長(zhǎng) 16=2r+ a 戶 2r+2r=4r,，r=4,扇形的面積為：S= A a r= X16= 16 ( cm2),故答案為16 cm2。22當(dāng)角x在A象限時(shí)，y = 當(dāng)角x在第二象限時(shí)，y = 當(dāng)角x在第三象限時(shí)，y = 當(dāng)角x在第四象限時(shí)，y =15. -解析：.tan 生 2,5.SsinQ - 2cos 日sin 6 +3cos 03式與6 _ 7一叫十3cos dtan 6 +3_3X2-22+3o5516. 一 解析：: sm (x+-16sm (J - Q +cm 6一si力n-(H) , 0=sin (x+-) + sin， &=JL1617. x k x 62解析：不等式1+jhanK X 一 -y+kn=Cx18. (k ,k -(k Z88解析：函數(shù)y=lo gin (二 1+1 +1 = 3,二 1 1 1 = 1 ,二1 1+ 1 = 1 ,二1+ 1- 1 = - 1?？?年5 口+cos2 Y)|k ,k ZIP tanx , 又 k tzvxvkTH- , kC Z,_J|2二?k九kE?)2k+)的定義域?yàn)?kn-S+手)Ik”)3ou14.1,3解答：解：由題意知