CH1第6節(jié)獨立性ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 獨立性獨立性兩個事件的獨立性兩個事件的獨立性多個事件的獨立性多個事件的獨立性獨立性的概念在計算概率中的應用獨立性的概念在計算概率中的應用小結小結顯然顯然 P(A|B)=P(A)這就是說這就是說,已知事件已知事件B發(fā)生發(fā)生,并不影響事件并不影響事件A發(fā)生的發(fā)生的概率概率,這時稱事件這時稱事件A、B獨立獨立.一、兩事件的獨立性一、兩事件的獨立性A=第二次擲出第二次擲出6點點， B=第一次擲出第一次擲出6點點，先看一個例子：先看一個例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，將一顆均勻骰子連擲兩次，設設 由乘法公式知，當事件由乘法公式知，當事件A、B獨立時，有獨立時，有 P(AB)=P(A) P(B

2、) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻劃獨立性刻劃獨立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制約的制約. P ABP A B P B 若兩事件若兩事件A、B滿足滿足 P(AB)= P(A) P(B) (1)則稱則稱A、B相互獨立，簡稱相互獨立，簡稱A、B獨立獨立.兩事件獨立的定義兩事件獨立的定義 1 定定理理 獨獨立立的的充充要要條條件件為為、事事件件BA 0,|0, | APBPABPBPAPBAP 或或 證證 . 先先證證必必要要性性 , 由由獨獨立立定定義義知知獨獨立立、設設事事件件BA BP

3、APABP | , 0 , BPABPBAPBP 時時當當所所以以 BPBPAP AP | , 0 , APABPABPAP 時時當當或或者者 APBPAP BP : 再再證證充充分分性性 , | 則則有有成成立立設設APBAP BPBAPABP| BPAP . , 相互獨立相互獨立、事件事件由定義可知由定義可知BA 例例1 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可見可見, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 故故 事件事件A、B獨立獨立.問事件問事件A、B是否獨立

4、？是否獨立？解解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2, 前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結論前面我們是根據(jù)兩事件獨立的定義作出結論的，也可以通過計算條件概率去做的，也可以通過計算條件概率去做: 從一副不含大小王的撲克牌中任取一張從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記記 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 在實際應用中在實際應用中, 往往根據(jù)問題的實際意義去往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立判斷兩事件是否獨立. 可見可見 P(A)= P(A|B), 即事件即事件A、B獨立獨立.那么那么P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13

5、在實際應用中在實際應用中,往往根據(jù)問題的實際意義去判往往根據(jù)問題的實際意義去判斷兩事件是否獨立斷兩事件是否獨立. 由于由于“甲命中并不影響甲命中并不影響“乙命中的概率，乙命中的概率，故認為故認為A、B獨立獨立 .甲、乙兩人向同一目標射擊甲、乙兩人向同一目標射擊,記記 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A與與B是否獨立？是否獨立？例如例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率） 一批產(chǎn)品共一批產(chǎn)品共n件，從中抽取件，從中抽取2件，設件，設 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 則則A1與與A2獨獨立

6、立.因為第二次抽取的結果受到第一次因為第二次抽取的結果受到第一次 抽取的影響抽取的影響.又如：又如：因為第二次抽取的結果因為第二次抽取的結果不受第一次抽取的影響不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則若抽取是無放回的，則A1與與A2不獨不獨立立.兩事件相互獨立兩事件相互獨立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 ABAB,21)(,21)( BPAP若若AB).()()(BPAPABP 則則例如例如由此可見兩事件相互獨立，但兩事件不互斥由此可見兩事件相互獨立，但兩事件不互斥.兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系兩事件相互獨立與兩事件互斥的關系. .請同學們思考請同學們思考二者之間沒二者

7、之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系AB21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可見兩事件互斥但不獨立由此可見兩事件互斥但不獨立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP設設A、B為互斥事件，且為互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四個結論中，正確的選項是：個結論中，正確的選項是： 前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，前面我們看到獨立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)設設A、B為獨立事件，且為獨立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四個結論中，正確的選項是：

8、個結論中，正確的選項是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習再請你做個小練習.=P(A)1- P(B)= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B獨立獨立概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)= P(A)- P(A) P(B)僅證僅證A與與 獨立獨立B定理定理 2 若兩事件若兩事件A、B獨立獨立, 那那么么 BABABA與與與,也相互獨立也相互獨立.證明證明B= P(A) P( )故故 A與與 獨立獨立B 定義定義 , 如如果果滿滿足足等等式式為為三三事事件件、設設CBA CPBPBCPCPAPACP

9、BPAPABP . 為為兩兩兩兩獨獨立立的的事事件件、則則稱稱三三事事件件CBA , 等式等式兩兩獨立時兩兩獨立時、當事件當事件CBA CPBPAPABCP . 不不一一定定成成立立二、多個事件的獨立性二、多個事件的獨立性 例如例如 , ,4321 S , ,3121 BA , ,41則則 C , 21 CPBPAP , BPAP 41 ACP , 并且并且 41 ABP ,P A P C 41 BCP . CPBP . 兩兩兩兩獨獨立立、即即事事件件CBA但是但是 41 ABCP . CPBPAP 對于三個事件對于三個事件A、B、C，假設，假設 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)=

10、P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四個等式同時成立四個等式同時成立,則稱事件則稱事件A、B、C相互獨立相互獨立. : 有限多個事件的情形有限多個事件的情形此定義可以推廣到任意此定義可以推廣到任意 定義定義 , , , 21如如果果對對于于任任意意個個事事件件為為設設nAAAn 1 , 1 21有有等等式式和和任任意意的的的的niiinkkk kkiiiiiiAPAPAPAAAP 2121 . , , 21為相互獨立的事件為相互獨立的事件則稱則稱nAAA請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)系請注意多個事件兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別與聯(lián)

11、系兩兩獨立兩兩獨立相互獨立相互獨立對對 n (n 2)個事件個事件?對獨立事件，許多概率計算可得到簡化對獨立事件，許多概率計算可得到簡化三、獨立性的概念在計算概率中的應用三、獨立性的概念在計算概率中的應用 , 0.9 0.8 1和和苗苗率率分分別別為為有有甲甲、乙乙兩兩批批種種子子，出出例例 , 求求取取一一粒?，F(xiàn)現(xiàn)從從這這兩兩批批種種子子中中各各任任 ; 1 兩兩粒粒種種子子都都出出苗苗的的概概率率 ; 2出苗的概率出苗的概率恰好有一粒種子恰好有一粒種子 . 3概概率率至至少少有有一一粒粒種種子子出出苗苗的的 解解 子子出出苗苗由由甲甲批批中中取取出出的的一一粒粒種種設設 A 子子出出苗苗由

12、由乙乙批批中中取取出出的的一一粒粒種種 B , 兩兩粒粒種種子子都都出出苗苗且且事事件件相相互互獨獨立立、則則事事件件BA : 表示為表示為 , AB : 表表示示為為恰恰好好有有一一粒粒出出苗苗 , BABA : 表表示示為為至至少少有有一一粒粒種種子子出出苗苗 . BA ABP 1 BPAP ; 0.720.90.8 BABAP 2 BAPBAP BPAPBPAP . 0.260.10.80.90.2 BAP 3 ABPBPAP BPAPBPAP 0.90.80.90.8 . 0.98 BAP 或或者者 BAP 1 BAP 1 BPAP 1 . 0.98 BAP 或或者者 BABAABP

13、BABAPABP . 0.980.260.72 , 2都都每每一一門門擊擊中中飛飛機機的的概概率率設設有有兩兩門門高高射射炮炮例例 : , 0.6 求求下下列列事事件件的的概概率率是是 ? 1中中飛飛機機的的概概率率是是多多少少同同時時發(fā)發(fā)射射一一發(fā)發(fā)炮炮彈彈而而擊擊 99% , 2以以上上的的概概率率欲欲以以若若有有一一架架敵敵機機入入侵侵領領空空 ? , 炮炮問問至至少少需需要要多多少少門門高高射射擊擊中中它它 解解 , 而而擊擊中中飛飛機機門門高高射射炮炮發(fā)發(fā)射射一一發(fā)發(fā)炮炮彈彈第第設設kAk , 6 . 0 , , 2 , 1 于于是是且且之之間間相相互互獨獨立立則則 kkAPAk 2

14、1 1AAP 211AAP 211AAP 211APAP 24 . 01 . 0.84 , 2由由題題知知門門高高射射炮炮設設至至少少需需要要n 21nAAAP 121nAAAP 121nAAAP nAPAPAP 211n4 . 01 0.99 , 01. 00.4 n , 解之得解之得 . 026. 54 . 0ln01. 0ln n即即 ?. 4 100 . 0.01 ; 0.95 . , 3 , ) 3 ( 3 : . 100 3 概率是多少概率是多少試問這批樂器被接收的試問這批樂器被接收的音色不純的音色不純的件是件是件樂器中恰有件樂器中恰有如果已知這如果已知這的概率為的概率為測試被誤認

15、為不純測試被誤認為不純而一件音色純的樂器經(jīng)而一件音色純的樂器經(jīng)為為出其為音色不純的概率出其為音色不純的概率試查試查件音色不純的樂器經(jīng)測件音色不純的樂器經(jīng)測設一設一收收則這批樂器就被拒絕接則這批樂器就被拒絕接被認為音色不純被認為音色不純中中件中至少有一件在測試件中至少有一件在測試如果如果是相互獨立的是相互獨立的件樂器的測試件樂器的測試設設件測試件測試該批樂器中隨機地取該批樂器中隨機地取自自驗收方案如下驗收方案如下樂器樂器件件要驗收一批要驗收一批例例 解解 , , 3 件音色不純件音色不純恰有恰有件件隨機地取出隨機地取出設設iHi . 3210,i . 這批樂器被接收這批樂器被接收 A 則則 AP

16、 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 其中其中 0HP , 3100396CC 1HP , 142310096CCC 2HP , 241310096CCC 3HP , 343100CC 0H|AP , 0.993 1H|AP , 0.050.992 2H|AP , 0.050.992 3H|AP . 0.053 : 概概率率為為所所以以這這批批樂樂器器被被接接收收的的 AP 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 30.99 3100396CC 0.050.992142 310096CCC 22410.050.99 310096C

17、CC 0.053343100CC . 0.8629 例例4 三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？能將密碼譯出的概率是多少？ 解解 將三人編號為將三人編號為1，2，3，所求為所求為 記記 Ai=第第i個人破譯出密碼個人破譯出密碼 i=1 , 2 , 3 123P AAA 知知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4 1231231P AAAP AAA 12)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1

18、-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 05343325413 1231231P AAAP AAA 例例5 下面是一個串并聯(lián)電路示意圖下面是一個串并聯(lián)電路示意圖. A、B、C、D、E、F、G、H 都是電路中的元件都是電路中的元件. 它們下它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率方的數(shù)是它們各自正常工作的概率. 求電路正常工求電路正常工作的概率作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 解解 將電路正常工作記為將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工，由于各元件獨立工作，有作，有其中其中P(W) 0.782代入得代入得 P

19、WP A P B P CDE P FG P H 1P BCDP B P C P D 0.973 1P FGP F P G 0.9735 ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 例例6 設有一架長機兩架僚機飛往某目的地進行轟炸，設有一架長機兩架僚機飛往某目的地進行轟炸，由于只有長機裝有導航設備，因此僚機不能單獨到達目由于只有長機裝有導航設備，因此僚機不能單獨到達目的地，在飛行途中要經(jīng)過敵方高射炮陣地，每機被擊落的地，在飛行途中要經(jīng)過敵方高射炮陣地，每機被擊落的概率為的概率為0.2，達到目的地后，各機獨立轟炸，每機炸，達到目的地后，各機獨立

20、轟炸，每機炸中目標的概率為中目標的概率為0.3，求目標被炸中的概率。，求目標被炸中的概率。解解 設設Ai=“有有i架飛機到達目的地架飛機到達目的地”， i=1，2，3B=“目標被炸中目標被炸中”，那么，那么1()0.8 0.2 0.2P A 2()0.8 0.8 0.20.8 0.2 0.8P A3()0.8 0.8 0.8P A只有僚機到只有僚機到達目的地達目的地3123123( )() ()() 0.3() (1 0.7 )() (1 0.7 )0.4765iiiP BP A P B AP AP AP A., )21(,7互互獨獨立立設設各各局局勝勝負負相相利利還還是是采采用用五五局局三三

21、勝勝制制有有有有利利采采用用三三局局二二勝勝制制問問對對甲甲而而言言概概率率為為每每局局甲甲勝勝的的比比賽賽甲甲、乙乙兩兩人人進進行行乒乒乓乓球球 pp例例解解,甲最終獲勝甲最終獲勝采用三局二勝制采用三局二勝制:勝局情況可能是勝局情況可能是“甲甲甲甲”, “乙甲甲乙甲甲”,“甲乙甲甲乙甲”;,容容由于這三種情況互不相由于這三種情況互不相:獲勝的概率為獲勝的概率為于是由獨立性得甲最終于是由獨立性得甲最終).1(2221pppp ,3,局局至至少少需需比比賽賽甲甲最最終終獲獲勝勝采采用用五五局局三三勝勝制制.,局局而而前前面面甲甲需需勝勝二二且且最最后后一一局局必必需需是是甲甲勝勝,比賽四局比賽四局例如例如:則甲的勝局情況可能是則甲的勝局情況可能是“甲乙甲甲甲乙甲甲”,“乙甲甲甲乙甲甲甲”,“甲甲乙甲甲甲乙甲”;,容容由于這三種情況互不相由于這三種情況互不相:,甲甲最最終終獲獲勝勝的的概概率率為為在在五五局局三三勝勝制制下下.)1