東北大學(xué)線性代數(shù)_第六章課后習(xí)題詳解二次型概要

1、教學(xué)基本要求:1. 掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念2. 了解合同變換和合同矩陣的概念.3. 了解實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法4. 了解慣性定理.5. 了解正定二次型、正定矩陣的概念及其判別方法第六章二次型本章所研究的二次型是一類函數(shù)，因?yàn)樗梢杂镁仃嚤硎荆遗c對稱矩陣一一對應(yīng)，所以就通過研究 對稱矩陣來研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形狀”的函數(shù)？如何通過研究對稱矩陣來研究二次型？二次型是“什么形狀”的函數(shù)涉及二次型的分類通過對稱矩陣研究二次型將涉及矩陣的“合同變換” 、二次型的“標(biāo)準(zhǔn)形”、通過正交變換化二次型為 標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理、正定二次型等.一

2、、二次型與合同變換1 .二次型n個(gè)變量xi,x2, nX勺二次齊次函數(shù)f(Xl,X2,nX=ailXi2+a22X22+anXn2+2ai2XiX2+, - +2ainXiXn+ , , +, - +2an-1 nXn-lXn (6.1)稱為一個(gè)n元二次型.當(dāng)系數(shù)aj均為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為 n元實(shí)二次型.(P劃 定義6.i)以下僅考慮n元實(shí)二次型.&iia12*ainXi) 1 1a12a22,一a2nX2設(shè)A =a,X =vaina2nannJ<Xn J,那么f(Xi,X2, nX=xTAx.(6.2)式(6.2)稱為n元二次型的矩陣表示例 6.1 (例 6.1 P 132)二次型f

3、與對稱矩陣A對應(yīng)，故稱A是二次型f的矩陣，f是對稱矩陣A的二次型，且稱 A的秩R(A)為二次型f的秩.(定義6.2 P132)由于二次型與對稱矩陣是一一對應(yīng)的，所以從某種意義上講，研究二次型就是研究對稱矩陣定義6.2僅含平方項(xiàng)的二次型f(X1,X2,nX=a11X12+a22X22+. +annXn2(6.3)稱為標(biāo)準(zhǔn)形.系數(shù)an,a22,而僅取-1,0,1的標(biāo)準(zhǔn)形稱為 規(guī)范形.(定義6.3 P132)標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對角矩陣二次型有下面的結(jié)論：定理6.1 線性變換下，二次型仍變?yōu)槎涡?可逆線性變換下，二次型的秩不變.(定理6.1 P 133) 這是因?yàn)閤=Cy B=CT ACTTf=xAx

4、f = y By .A iBCTAC Cl .0R(A) =R(B)2 .合同變換在可逆線性變換下，研究前后的二次型就是研究它們的矩陣的關(guān)系定義6.3 設(shè)A,B是同階方陣，如果存在 可逆矩陣C,使B=CTAC,則稱A與B是合同的，或稱矩陣B 是A的合同矩陣.對A做運(yùn)算CTAC稱為對A進(jìn)行合同變換，并稱C是把A變?yōu)锽的合同變換矩陣.(定義 6.4 P133)矩陣的合同關(guān)系具有反身性、對稱性、傳遞性注意：（1）合同的矩陣（必須是方陣）必等價(jià)，但等價(jià)的矩陣（不一定是方陣）不一定合同.（P 134）A與B合同 U三可逆矩陣C, FB=CTACA與B等價(jià) U三可逆矩陣P,Q, B B=PAQ（2）合同關(guān)

5、系不一定是相似關(guān)系，但相似白實(shí)對稱矩陣一定是合同關(guān)系.（推論1 P 137）正交矩陣Q,白Q-1AQ= QTAQ=B 二 A與B既相似又合同合同變換的作用：對二次型施行可逆線性變換等價(jià)于對二次型的矩陣施行合同變換- T -f =x Axx=CyCf.0yTCTACy 7TBy1A = CTAC = BC.0如果B是對角矩陣，則稱f= yTBy是f=xTAx的標(biāo)準(zhǔn)形.二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1 .原理由第五章第三節(jié)知：對于實(shí)又稱陣A,存在正交矩陣Q,使Q1AQ為對角矩陣（對角線上的元素為 A的 n個(gè)特征值）.因此，二次型f=xTAx經(jīng)正交變換x=Qy就能化為標(biāo)準(zhǔn)形f=yT（QTAQ）y=y

6、T（Q-1AQ）y.且標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)為二次型矩陣的全部特征值定理6.2 任意實(shí)二次型都可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形,（定理6.2P134)推論1任意實(shí)對稱矩陣 都與對角矩陣合同.（推論1P137）推論2任意實(shí)二次型都可經(jīng)可逆線性變換化為規(guī)范形.（推論2P137）正交變換既是相似變換又是合同變換.相似變換保證矩陣有相同的特征值，化標(biāo)準(zhǔn)形則必須經(jīng)合同變法.所以，正交變換 是能把二次型化為“系數(shù)為特征值”的標(biāo)準(zhǔn)形的線性變換2 .用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟用正交變換化二次型 f=xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的過程與將實(shí)對稱陣A正交相似對角化的過程幾乎一致.具體步驟如下：（1）求出A的全部互異特征值兒加,；(2)求

7、齊次線性方程組(，E-A)x= °(i=1,2,s)的基礎(chǔ)解系(即求A的n個(gè)線性無關(guān)特征向量)；(3)將每一個(gè)基礎(chǔ)解系分別正交化、規(guī)范化，得到 n個(gè)正交規(guī)范的線性無關(guān)特征向量ei,2,田；(4)正交相似變換矩陣 Q=( q,5)，正交相似變換x=Qy把二次型f=xTAx變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形f=yT(QTAQ)y.例 6.2 (例 6.2 P 134)例 6.3 (例 6.3 P 135)三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)除了正交變換，事實(shí)上，還存在其它的可逆線性變換能把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.舉例說明如下.例 6.4 (例 6.4 P 139)例 6.5 (例 6.5 P 139)總結(jié)：用配方法化二次型為標(biāo)

8、準(zhǔn)形的過程分兩種情形：(1)二次型中含有平方項(xiàng)例如，若二次型中含有平方項(xiàng)anx12,則把所有含 應(yīng)的項(xiàng)集中起來配方，接下來考慮a22&2,并類似地配方，直到所有項(xiàng)都配成了平方和的形式為止(2)二次型中不含平方項(xiàng)，只有混合項(xiàng)例如，若二次型中不含平方項(xiàng)，但有混合項(xiàng)2a12X1 X2,則令X1 =y1y2,X2 =y1 -y2, Xi = yi，i =3,., n.那么關(guān)于變量y1,y2,-,yn的二次型中就有了平方項(xiàng)，然后回到(1).四、正定二次型1.慣性定理雖然把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的可逆線性變換不唯一，從而標(biāo)準(zhǔn)形也可能不唯一，但同一個(gè)二次型的所有標(biāo)準(zhǔn)形卻總滿足如下慣性定理.定理6.3(慣性

9、定理) 設(shè)實(shí)二次型f=xTAx的秩為r,且在不同的可逆線性變換x=Cy和x=Dy下的標(biāo)準(zhǔn)形分別為f= 3 y/+?2 y22+%yF, vqf=則入 1,尬，萬與孫 廠，沖正數(shù)的個(gè)數(shù)相同wyi + （J2y2 + ryr ,.（定理 6.3 P 142）定義6.4 二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形中的正（負(fù)）系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為f的正（負(fù)）慣性指數(shù).（定義6.5 P 143）慣性定理指出，可逆變換不改變慣性指數(shù)推論 n階實(shí)對稱陣A與B合同的充分必'要條件是A與B有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù).（推論P(yáng)l43）正慣性指數(shù)+負(fù)慣性指數(shù)=R（A）.正慣性指數(shù)=正特征值的個(gè)數(shù)， 負(fù)慣性指數(shù)=負(fù)特征值的個(gè)數(shù).2.二次

10、型的分類二次型（/二次型的矩陣）的分類：（定義6.6-6.7 P143）f/A正定uf /A半正定 uf f /A負(fù)定uf/A半負(fù)定 uf/A不定之f >0,Vx =0 （A 正定記作 A >0）f至0,VX#0（A半正定記作A至0）f < 0, VX# 0 （A負(fù)定記作 A <0）f M0,vX#0（A半負(fù)定記作A <0）3x 0, cf （x） > 0且三y =0,4 （y） < 0由此，根據(jù)慣性定理可知，合同變換不改變實(shí)對稱矩陣的類型.3.正定二次型（正定矩陣）的判定定理6.4 n元實(shí)二次型f=xTAx為正定（負(fù)定）二次型的充分必要條件是f的正（

11、負(fù)）慣性指數(shù)等于n.（定理 6.4 P 143）定理6.5 n元實(shí)二次型f=xTAx為半正定（半負(fù)定）二次型的充分必要條件是f的正（負(fù)）慣性指數(shù)小于n,且負(fù)（正）慣性指數(shù)為0.（推論1 P 143）推論2 n階實(shí)對稱陣A正定（負(fù)定）的充分必要條件是A的n個(gè)特征值全是正數(shù)（負(fù)數(shù)）；A半正定（半負(fù)定）的充分必要條件是A的n個(gè)特征值為不全為正數(shù)（負(fù)數(shù)）的非負(fù)數(shù)（非正數(shù)）.（推論2 P 143）例 6.6 （例 6.6 P 143）例 6.7 （例 6.7 P 144）例 6.8 （例 6.8 P 144）例 6.9 （例 6.9 P 144）定乂 6.4 設(shè)A=（aj）n,則行列式an&2a

12、12 a 22Dk =：二ak1 ak2a1k a2kakk(k =12 ,n)稱為A的k階順序主子式.（定義6.8 P 144）定理6.6 n階實(shí)對稱矩陣 A正定的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零；A負(fù)定的充分必(定理 6.5 P 144)要條彳是A的所有順序主子式中奇數(shù)階的小于零而偶數(shù)階的大于零例 6.10 (例 6.10 P 145)五、二次型應(yīng)用實(shí)例6-1二次曲面圖形的判定六、習(xí)題（P148）選擇題：11-0.51.提示：A=11000.5-0.50.5-1二 |1|=1>0,11= 99a0, A1 1001001991二選D2.提木：f（X1,X2,X3）=2 c 2

13、 c 2 ccX1 +2X2 +3X3 -2X1X2+2X2X3=（X1-X2）2+（X2+X3）2+2X32二正慣性指數(shù)為3,故選A3.提示：方法一特征值為2,-1,-1,故選C.011方法二 A = 101J1Q二|0|=0 ,排除 A,B0 1 =1 <0, |A|=2>0 ,排除 D 1 0二 選C4. B填空題：2221.提不：f（Xt，X2,X3）= X1 +2X2 +3X3 +4X1X2+8XX3-2XjX3.1 2 0 0、2 2 102.0 13 09 0 0 0120'錯(cuò)誤的解答：221<012213.提示：A = 12J 一1r3嗔,21 T 0

14、2r2 f2 ）01 1 -J2 1 133 t 0 3 3-33 ；10 000.511.25錯(cuò)誤的解答：正慣性指數(shù)為3,故秩為3.事實(shí)上，線性變換yi= X1+X2, y2= X2-X3, y3= X1+X3 不可逆，故R<3.4 .提?。篈 可逆、對稱 ah A1=(A 1)TAA 1 3 x=A 1y.5 .提示：tE-A的特征值為t-1, t-2,t-n二 t >n.6.提示：方法Q 2 2 缶 、A = 2 a 2與 0 相似<2 2 a) <力3a=6 a=2方法二f(y1,y2,y3) =6y12 = A有2個(gè)0特征值= R(A)=1 = a=2方法三f

15、(y1,y2,y3)=6y12二A的特征值為6,0,0二次型的特征值為 a+4, a-2, a-2 = a+4=0, a-2=0 =- a=27.提示：A的各行元素之和為3 = A（1,1，,1）T=3（1,1,1）TR二13 3是A的唯一非零特征值= 標(biāo)準(zhǔn)形為 f（yi，y2,y3）=3yi2或 f（yiy2,y3）=3y22或 f（yi，yz，y3）=3y32解答題:1 .參見 P134-135 的例 6.2、例 6.32 .參見P139的例6.4、例6.53 .參見P145的例6.10 52-1 '4 .(1) A = 21-11-1 t1 01t -2 0|5|=5>0,

16、=1>0, A| = 2 1-12 11 0 t-1二 t>2門 t -r(2) A = t 12<-1 2 5>1 t 22|1|=1>0,=1t2A0, A=5t24tA 0t 1=-4/5<t<05 .提示：f=xTAx=xTUTUx=|U x| 2>0因?yàn)閁可逆，故當(dāng)xWo時(shí)，UxWo,從而f=|U x|2>0,所以f為正定二次型 (A=UTU是正定矩陣).6 .提示：因?yàn)锳正定，故存在正交矩陣Q和正定對角矩陣 D=diag(N,k,，謫,使A=QDQT令D1=diag(jy7,J7,yi?), 則A=QDQT= QDiD1TQT=

17、UTU,其中 U=(QD1)T5、6兩題表明A是正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣U使A=UTU.7 .提示：設(shè)對稱矩陣 A與矩陣B合同，則存在可逆矩陣C,使CTAC=B. BT=(CTAC)T=CTAC=B,所以與對稱矩陣合同的矩陣必是對稱矩陣.8 .提示：方法一 矩陣A與矩陣-A合同，則存在可逆矩陣C,使CTAC=-A從而|CTAC|=|-A| = |C121A|=(-1) n|A| = |A|(|C| 2-(-1)n)=0A可逆C 可逆二|C| 2=(-1)n 二 |C| 2>0,故 n 為偶數(shù)方法二 A的正慣性指數(shù)=-A的負(fù)慣性指數(shù)A的負(fù)慣性指數(shù)=-A的正慣性指數(shù)A與-A合同二

18、 A與-A有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù)二 A的正慣性指數(shù)=A的負(fù)慣性指數(shù)二n為偶數(shù)9.提示：A =-3-3-3因?yàn)镽(A)=2,所以k=3.(或由R(A)=2,有冏=0 ,得k=3.)余下略.10.提示:203；15.)相似2 a 0=- 9 - a =5 =, a=2余下略.11.提示:相似4J2 +a =5b =1余下略.12.提示：(1)A的特征值為1,1,0, Q的第3列是屬于0的特征向量，1的特征向量與其正交，易知為(，/2,0,"/2),和(0,1,0)T,是 Q 的前兩列.于A=Qdiag(1,1,0)QT=.(2) A+E的特征值為2,2,1,所以A+E為正定矩陣.

19、-113.提不(1) &E A -11九一(a 7)，一a=(九a) 0-1，一a=(九a) 0-1- a-11-1110 Z-(a-1)1-2100 Z-(a-1)-2；一(a -1)K -a)( 2 -(2a-1), a2 -a-2)2_-=( -a)d -(2a-1). (a -2)(a 1) =(一 a)( 一(a-2)( (a 1)A的特征值為a-2,a,a+1.(2)二次型f的規(guī)范形為f(y1,y2,y3)=y12+y22,所以A有2個(gè)正特征值，一個(gè)0特征值.由于a-2<a<a+1,所以 a-2=0,故 a=2.14 .提示：A正定 u A的任意特征值 Q0 =

20、 |A|>0 口 A-1的任意特征值1/ 40 = A-1正定A*的任意特征值|A|/ 40= A*正定15 .提?。?xw°, xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 = A+B 正定16 .提示：A與對角矩陣diag(從屹,4)(方方2封菊相似三正交矩陣 Q, ?QAQ=diag(僅2,n)入y =Qxnf 二 xTAx : yTDy - ' , iy2i 1nnmaxf Fax：/iy2£ 1, mjnf 邛叮；2- n當(dāng)分別取y = 3 和 y = en 時(shí)，得卷 f = %, n f = n .17 .提示：設(shè) 入是A的特征值，則 淤+犬+入

21、-3=0,入的值為1或復(fù)數(shù).因?yàn)锳是實(shí)對稱矩陣，所以 A的特征值 全為1 ,因此A為正定矩陣.18 .提示：A,B實(shí)對稱 n A,B的特征值都是實(shí)數(shù)A的特征值都大于a, B的特征值都大于b口 A-aE和B-bE正定(若入是A的特征值，則 “a是A-aE的特征值)第15題二(A-aE)+(B-bE)E定，即 A+B-(a+b)E正定=A+B的特征值都大于 a+b.19 .提示：必要性 設(shè)R(A尸n,令B=A,則AB+BTA=2A2為正定矩陣.充分性 設(shè)AB+BTA是正定矩陣，若 R(A)<n,那么 Ax=。有非零解 y.因此，yT(AB+BTA)y=(Ay)TBy+ yTBT(Ay)=o,

22、這與 AB+BTA 正定矛盾，所以 R(A)=n.20 .提示：考慮二次型 g(x,y,z)=2/+4y2+5z2-4xz,由于2-202A|= 0九一40 =(九 _1)(九 _4)(九一6),20九一5二A的特征值全為正數(shù)二 g(x,y,z)=2X2+4y2+5z2-4xz 是橢球曲面=f(x,y,z)=2x2+4y2+5z2 -4xz+2x-4y+1 是橢球曲面附加題：1 .設(shè)A為m階正定矩陣，B為mKn實(shí)矩陣，證明：BTAB為正定矩陣的充分必要條件為R(B)=n.提示：BTAB正定=-xwo, xTBTABx=(Bx)TA(Bx)>0U V xWo,有 BxWoU Bx=o只有零

23、解 =R(B)=n七、計(jì)算實(shí)踐實(shí)踐指導(dǎo)：(1)掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念(2) 了解實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式及其求法.(3) 了解合同變換和合同矩陣的概念.(4) 了解慣性定理和實(shí)二次型的規(guī)范形.(5) 了解正定二次型、正定矩陣的概念及其判別法,、/12)”必 例6.1 設(shè)A =(2 1 ,則在實(shí)數(shù)域上與 A合同的矢車為D.(A) ' -21 I; (B) 1 2-1|： (C)12 1l' (D),1 12.、，(1-2 1 、-1 2 J 、12 >、-2 1 ,(2008 數(shù)二四）提示：合同的矩陣有 相同的秩，有相同的規(guī)范形，從而有相同的正慣性指數(shù) 與負(fù)

24、慣性指數(shù).故選D.例 6.2 已知二次型 f(xi,x2,x3)=(1-a)xi2+(1-a)x22+2x32+2(1+a)xix2 的秩為 2.(1)求a的值；(2)求正交變換x=Qy,把f化成標(biāo)準(zhǔn)形； 求方程f(x1,x2,x3)=0的解.(2005數(shù)一)1-a1+a0)r 220、解(1) A=1+a1-a0T1+a1 -a0、002002,R(A) 2'1+a=1-a =、 a=0(2)略. 3 ,x2,x3)=0u (x1+x2)2+2x32=0 u x1=-x2, x3=0 = 解為 k(-1,1,0)T, kC R例 6.3若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4經(jīng)正交變換化為 y12+4z12=4,則 a=_1.(2011f=y12+4z12,因此二次型矩陣數(shù)一）提示：二次型f（x,y,z）=x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形相似.所以4；1 a 1a 3 1 =0 = a =1.1 1 10 01 0 ,貝U A 與 BB.0 02-1例6.4 設(shè)矩陣A = 121_1（A）合同且相似；（B）合同但不相似；（C合同但相似；（D）既不合同也不相似.（2007數(shù)一）九211九九 九解 | 止A|= 1 九-21=1 九2111九一211九一2111=九0九30=M 九