2017年北京高考數(shù)學(xué)真題及答案(理科)

1、絕密本科目考試啟用前2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作 答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。數(shù)學(xué)（理）（北京卷）第1頁（共11頁）(1)若集合Ax|2 x 1 , B x |x 1 或 x3，則AI B(2)(3)(A) x|(C) x|(A)(C) (1,i)(a,1)1(B)x|2x31(D)x|13i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)執(zhí)行如圖所示的程序框圖

2、，輸出的s值為(A)a的取值范圍是(B)(D)(B)(C)(D)(，1)(1,)(4)若x, y滿足(A) 1(C) 5(5)(6)(8)x< 3,x y02,則x 2y的最大值為 y & x,已知函數(shù)f(x)(A)是奇函數(shù),(C)是奇函數(shù),(B)(D)3x且在且在R上是增函數(shù)R上是減函數(shù)設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)(A)充分而不必要條件(C)充分必要條件(B)(D)是偶函數(shù)，且在是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)R上是減函數(shù)n 0”(B)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(A)(B)(C)(D)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)

3、雜度的上限M約為子總數(shù)N約為1080 ,則下列各數(shù)中與 M最接近的是(參考數(shù)據(jù):lg3 0.48)(A) 1033(B) 1053(C) 1073(D) 10933361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原數(shù)學(xué)(理)(北京卷) 第7頁(共11頁)第二部分(非選擇題 共110分)、填空題共6小題，每小題5分，共30分。2(9)若雙曲線x2 y- 1的離心率為 百,則實數(shù)m . ma 2(10)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足ai bi 1 , a4 b4 8 ,則一.n，b2(11)在極坐標(biāo)系中，點A在圓22 cos 4 sin 4 0上，點P的坐標(biāo)為(1,0),則| AP |的最小值為.(12 )在平

4、面直角坐標(biāo)系xOy中，角 與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin (13)能夠說明“設(shè)a,b,c是任意實數(shù).若a b c,則a b c”是假命題的一組整數(shù) a,b,c的值依次為(14)三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數(shù)，點Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數(shù)，i 1,2,3.零件數(shù)(件)A.B2A2* B1A3. 記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總 數(shù)，則Q1，Q2，Q3中最大的是；記R為第i名工人在這一天中平均每小時加工 的零件數(shù)，則p1, p2, P3中最大的

5、是 .工作時間(小時)三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。(15)(本小題13分)3在4ABC 中，A 60°, c 3a.7(I)求sinC的值；(n )若a 7 ,求 ABC的面積.(16)(本小題14分)底面 ABCD為正方形，平面 PAD 平面 ABCD，點M在如圖，在四棱錐P ABCD中,線段 PB 上，PD 平面 MAC , PA PD 76, AB 4.(I )求證：M為PB的中點；(n)求二面角 B PD A的大?。?出)求直線 MC與平面BDP所成角的正弦值.(17)(本小題13分)為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組

6、，每組各 50名，一組服藥，另組不服藥.一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“表示服藥者,BD *D* * * * *K* * *J.*60* * * * * .* 士 * * * *1.7指標(biāo)x(I)從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(n)從圖中A, B,C, D四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E();(出)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)(18)(本小題14分)1 ,已知拋物線 C: y 2Px過點P(1,1).過點

7、(0,萬)作直線l與拋物線C交于不同的兩點M , N ,過點M作x軸的垂線分別與直線 OP, ON交于點A, B ,其中O為原點.(I )求拋物線 C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(n)求證：A為線段BM的中點.(19)(本小題13分)已知函數(shù)f(x) ex cos x x .(I)求曲線y f(x)在點(0, f (0)處的切線方程；(n )求函數(shù)f (x)在區(qū)間0,上的最大值和最小值. 2(20)(本小題13分)設(shè)an和bn是兩個等差數(shù)列，記Cn max bi an, b2 a2n, L , bn ann ( n 1,2,3,L ),其中maxx1,x2,L ,xs表示x，x2,L ,

8、xs這s個數(shù)中最大的數(shù).(I)若an n , bn 2n 1,求C1,C2,C3的值，并證明Cn是等差數(shù)列；(n)證明：或者對任意正數(shù) M ,存在正整數(shù)m ,當(dāng)n>m時，/ M ；或者存在正整數(shù) m , ，n使得Cm,Cm 1,Cm 2,L是等差數(shù)列.(考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效)數(shù)學(xué)(理)(北京卷) 第#頁(共11頁)(16)(共 14 分)絕密啟用前數(shù)學(xué)（理）（北京卷） 第13頁（共11頁）2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)參考答案一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分)(1) A(2)B(3)C(4)D(5) A(6)A(7)B(8)D

9、二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)(9)2(10) 1(11) 1(12) 79(13) 1, 2, 3 (答案不唯一)(14) Q1p2三、解答題(共6小題，共80分)(15)(共 13 分)解：(I)在 4ABC 中，因為 A 60o, c a ,7所以由正弦定理得sinCcsinA 33a 7 T3.374(n)因為a 7,所以c 3 7 3 .7由余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA得 72 b2 32 2b 3 -2解得b 8或b 5 (舍).所以 ABC 的面積 S - bcsin A 18 3 673 . 222解：（I ）設(shè)AC, BD交點為E ,連接ME .因

10、為PD /平面MAC ,平面MAC I平面PDB ME ,所以 PD /ME .因為ABCD是正方形，"所以E為BD的中點.所以M為PB的中點.（n ）取AD的中點O ,連接OP, OE .因為PA PD ,所以O(shè)P AD .又因為平面 PAD 平面ABCD，且OP 平面PAD ,所以O(shè)P 平面ABCD .因為OE 平面ABCD ,所以O(shè)P OE .因為ABCD是正方形，所以 OE AD .如圖建立空間直角坐標(biāo)系O xyz,則 P(0,0,V2) , D(2,0,0) , B( 2,4,0),BD (4, 4,0) , PD (2,0,歷.設(shè)平面BDP的法向量為n (x, y, z)

11、,則n BD 0,n PD 0,4x 4y2x 2z0,0.令 x 1 ,則 y 1 , zJ2.于是 n (1,1,72).平面PAD的法向量為p (0,1,0).所以cos n, p由題知二面角B PD A為銳角，所以它的大小為71(m)由題意知 m(,21,2, )C(2,4,0), MC,2(3,2,牙).設(shè)直線MC與平面BDP所成角為，則|n MC | 2.6 sin |cos n, MC | -|n|MC|9所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為 逆 . 9(17)(共 13 分)解：(I)由圖知，在服藥的 50名患者中，指標(biāo) y的值小于60的有15人,所以從服藥的 50名患者中

12、隨機選出一人，此人指標(biāo)y的值小于60的概率為15500.3.(n)由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)x的值大于1.7的有2人：A和C.所以的所有可能取值為0,1,2.C21P( 0)C! 6' P(1)c2c2"CTP(2)Cfc2所以的分布列為012121P636故的期望E( ) 0 1 1 2 2 - 1 . 636(m)在這100名患者中，服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.解：（I21）由拋物線 C： y 2Px過點P（1,1）,得p萬所以拋物線C的方程為y2 x .拋物線C的焦點坐標(biāo)為（1,0）,準(zhǔn)線方程為x4(n）由題意，設(shè)直線l的方程為y kx

13、1 （k 0）與拋物線C的交點為M (xi,yi), N(X2,y2).kx12, 得 4k2x2(4k 4)x 1 0 .則x1X2xix212 4k因為點P的坐標(biāo)為(1,1)所以直線OP的方程為y x ,點A的坐標(biāo)為供內(nèi)）.直線ON的方程為y "y2x,點 B 的坐標(biāo)為(x1,-y2-x1).x2x2因為y1型 x22x1y1x2 y2x1 2x1x2x2八 11、(kx1) x2 (kx2) x1 2x1x22x21 ,、(2k 2)x1x2 -(x2 x1)x211 k(2k 2)9 1k4k 2kx20,所以y1x2故A為線段BM的中點.(19)(共 13 分)f (0)

14、0 解：(I)因為 f(x) excosx x,所以 f (x) ex(cosx sinx) 1 ,又因為f (0) 1,所以曲線y f(x)在點(0, f (0)處的切線方程為y 1 .(n)設(shè) h(x) ex(cosx sinx) 1,貝U xx .h (x) e (cosx sinx sinx cosx) 2esinx.當(dāng) x (0,2)時，h(x) 0, 2所以h(x)在區(qū)間0,上單調(diào)遞減.2所以對任意x (0,-有卜依)h(0) 0,即f(x) 0 . 2所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0上單調(diào)遞減.，2因此f(x)在區(qū)間0,j上的最大值為f(0) 1,最小值為f( ；)(20)(共 13 分

15、)解：(I) g b1 a1 1 1 0,c2maxbi2五生2a2max12 1,3 2 21,c3maxb3a1,b23a2,h 3max1 3 1,33 2,53 32 .當(dāng)n)3時，(bk 1nak1)(bkna"(bk 1bk)n(ak1a"2 n 0 ,一一* 所以8 nak關(guān)于k N單調(diào)遞減.所以 cnmaxb1a1n,b2a2"L ,bnannb1an1 n .所以對任意n > 1, cn 1 n ,于是cn 1 cn1,所以cn是等差數(shù)列.(n)設(shè)數(shù)列an和bn的公差分別為d1,d2,則bk nak b1 (k 1)d2 a1 (k 1)d1nbi an ndi )(k 1).bi an (n 1)。ndi),當(dāng) d2 ndi 時，所以Cnt,bi ain,當(dāng) d2 & ndi 時.當(dāng)di 0時，取正整數(shù)m 電，則當(dāng)nm時，ndi d2,因此Cn bi an . di此時，Cm,Cm i,Cm 2,L是等差數(shù)列.當(dāng)d1 0時，對任意n>i,Cn