人教A版必修五《余弦定理》教學(xué)設(shè)計

1、人教 A 版必修五余弦定理教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容分析：本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章余弦定理第一課時，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量等知識之后，是對三角知識的應(yīng)用；同時，作為三角形中的一個定理，也是對解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用十分廣泛.余弦定理的教學(xué)分為以下這幾個步驟：第一，教師通過實際問題引入，讓學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題；第二， 類比同起點兩向量的夾角與他們終點關(guān)系，舉出特例，提出猜想；第三， 采用 “向量法” 、 “構(gòu)造直角三角形法”、 “坐標(biāo)法”三種方法證明了余弦定理；第四，通過對余弦定理公式的變形得到推論，進一步使用定理判定三角形

2、的形狀；第五，利用定理，解決引入問題，并實行簡單的應(yīng)用. 學(xué)生通過對任意三角形中余弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察探究猜想證明應(yīng)用”這個數(shù)學(xué)思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神 .二、學(xué)情分析：對普高高二的學(xué)生來說，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識，有一定觀察分析、解決問題的水平，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，所以思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提升學(xué)生學(xué)習(xí)主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅.三、設(shè)計思想：本節(jié)課采用探究式問題教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以

3、學(xué)生獨立自主和合作交流為前提，以問題為導(dǎo)向設(shè)計教學(xué)情境，從實際問題出發(fā)使用數(shù)學(xué)知識解決問題這個過程體驗數(shù)學(xué)在實際生活中的使用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的水平和創(chuàng)造性思維的水平.四、教學(xué)目標(biāo)：1 通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，探究，猜想，驗證，證明，由特殊到一般歸納出余弦定理，掌握余弦定理的內(nèi)容及其證明方法，能使用余弦定理解決解斜三角形的兩類基本問題.2通過對實際問題的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、提出問題、分析問題、解決問題的水平，增強學(xué)生的協(xié)作水

4、平和交流水平，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的水平.3培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.五、教學(xué)重點與難點:教學(xué)重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；余弦定理的簡單應(yīng)用。教學(xué)難點：余弦定理的猜想提出過程，余弦定理的證明。教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計算器。六、教學(xué)過程：（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：情境：如圖1所示的A、B兩地之間隔著一座小山，現(xiàn)要在A、B之間修建的一條隧道，在 AB以外的點C測得 AC 600m , BC 340m, ACB 41°,如何求A、B兩地之間隧道的長度

5、（精確到 1m） ?問題1 ：上述問題是解決三角形當(dāng)中相關(guān)什么問題？學(xué)生：解關(guān)于知道三角形兩邊及它們夾角，求第三邊問題教師：能否用正弦定理解決？學(xué)生：不能.教師：本節(jié)課我們將要探究的問題是：在已知三角形兩條邊的前提下，其夾角與第三條邊的長度之間關(guān)系，這正是余弦定理所揭示的規(guī)律-引入課題.設(shè)計意圖：通過實例創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生對本節(jié)課的興趣，同時抽象出數(shù)學(xué)問題引入新課（二）問題化歸，構(gòu)建模型:問題2：如圖2,已知CB a, CA b（ a b）,如果a、b確定，當(dāng) C變化時，向量 AB的長度的變化趨勢如何？教師：（用制作的動畫演示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律）學(xué)生：當(dāng) C變大時，向量 AB的長度變大.設(shè)計意圖

6、：讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)在已知三角形兩邊的前提下，找到他們的夾 角的變化對第三邊的變化的影響。（三）特例探究，提出猜想:問題3：已知CB a, CA b（a b）,若 C的范圍為00,1800,當(dāng) C 00、C 900、C 1800三種特殊情況時，則|AB|分別為多少?學(xué)生：當(dāng) C 00時，；當(dāng) C 900 時，| AB | 2 lb?；當(dāng) C 1800 時，.教師：以上三種特殊位置，AB能夠用統(tǒng)一的形式表示:當(dāng)C00時,阿卜|b|Ja|b2 2聊b 1；2.2,22當(dāng) C 900時，|AB| Ja |b|jg |b| 2ab 0；當(dāng) C 1800時，Ab a b J,2 |b|2 2ab 1設(shè)計意圖：從

7、三個特殊角度與第三邊之間的關(guān)系去找到它們的共同特征，讓學(xué)生提出合理猜想。問題4：請你根據(jù)上述三個特例的結(jié)果，試猜想：在 ABC中，已知CB a, CA b（a b）當(dāng)AC (001800）時，線段AB的長度為多少?學(xué)生：當(dāng) C時，|AB| Ja2 b2 2ab cosC（四）證明猜想，得出定理：問題5:你能證明該猜想嗎？試一試，看能用幾種方法證明？教師：剛才我們研究了：在兩向量的大小確定的前提下，兩向量的夾角的變化對兩向量終點連線的長度變化的影響，我們能夠用向量的方法證明猜想嗎？（學(xué)生思考并小組討論）學(xué)生：能夠用向量的數(shù)量積求邊長 .方法一：（構(gòu)造向量數(shù)量積）AB AC CB ,所以，AB2C

8、B)2證明：如圖，因為cos( C),即 | AB| . | AC |2 |BC|2 2|AC| |BC| cosC .將向量等式轉(zhuǎn)化數(shù)量等式常用的手即 AB| Ja2 b2 2ab cos ,猜想成立.教師：這種方法的思路是構(gòu)造向量，借助向量的運算來證題 段是作數(shù)量積.方法二：（構(gòu)造直角三角形）證明：（1）當(dāng) C為銳角時，過點A作AD BC于D.則AB2BD2 AD2 (a bcos )2 (bsin )2b22abcos .(2)當(dāng)當(dāng)為直角時，結(jié)論顯然成立.為鈍角時，過點A作ADBC交BC的延長線于D.則 AB2 BD2 AD2 (a bcos()2 (bsin( )22222(a bco

9、s ) (bsin ) =a b2ab cos .綜上所述，均有|AB| Ja2 b2 2abcos ,故猜想成立.教師：這種思路是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來計算 AB的長，但要注意這里要分三種情況討方法三：（建立直角坐標(biāo)系）證明：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則 A（|AC|cosC,AC根據(jù)兩點間的距離公式，可得|AB| v(| AC | cosC |BC|)2 (|AC|sinC 0)2 ,所以，|AB| v| AC |2 |BC|2 2| AC | |BC| cosC .即I AB| 密 一b2abcos ,故猜想成立.教師：這種思路是建立平面直角坐標(biāo)系 ，借助于坐標(biāo)運算來證題.利用坐

10、標(biāo)法的優(yōu)點在于不必分類討論了且運算簡單.設(shè)計意圖：讓學(xué)生以小組為單位討論解決問題的方法, 體現(xiàn)學(xué)生的主體地位.老師適當(dāng)引導(dǎo)點撥 ，由學(xué)生自己證明，充分問題6:以上結(jié)論為余弦定理，如何用文字語言與符號語言表示以上定理？你能說出來嗎？教師：大家觀察我們剛才證明的式子，如果把它們平方就能夠得出結(jié)論？學(xué)生：|AB a2 b2 2abcos ,即 c2 a2 b2 2ab cosC.教師：同理這個式子也能夠用來求另外兩邊，你能把其他兩邊也用式子表示出來嗎？222222學(xué)生：能夠， a b c 2bc cos A; b a c 2ac cos B.教師：很好，這三個式子就是余弦定理的符號語言表述形式，這個

11、式子非常美觀，便于記憶，希望大家好好記憶，請問那位同學(xué)能用文字語言把它表述出來嗎？符號語言：a2 b2 c2 2bc cos A ； b2 a2 c2 2ac cos B ;c2 a2 b2 2ab cosC.文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾角的余弦 的積的兩倍.設(shè)計意圖：讓學(xué)生用兩種數(shù)學(xué)語言表述已經(jīng)證明的定理，加深對定理的理解，提升學(xué)生的語言表達水平及數(shù)學(xué)語言間的轉(zhuǎn)換水平，特別是符號語言表述結(jié)構(gòu)具有輪換對稱美，便于記憶.（五）合理變型，深化理解：教師：我們已經(jīng)得到了一個非常漂亮的定理，其符號語言表述具有輪換對稱美，請大家請思考 下面的問題？問題7:余

12、弦定理是關(guān)于三角形的三條邊與其中的一個角之間的關(guān)系。應(yīng)用余弦定理，我們能 夠由三角形的三邊來確定三角形的角嗎？怎么確定？學(xué)生：求角我們能夠把上面的式子變形，使角和邊分離教師：很好，那大家動手寫一下，看看公式變成什么樣子？.2222222.22b c aa c ba b c學(xué)生：cos A ； cosB ； cosC .2bc2ac2ab教師：看來大家都不錯，我們把剛才變形之后的公式叫做余弦定理的推論,222余弦定理推論：cos A 2bc22_ a ccosB 2acb2一；cosC2.22a b c2ab設(shè)計意圖：對公式實行變形，學(xué)生很明確就能發(fā)現(xiàn)如何知道三角形的三邊求角問題8:勾股定理指出

13、了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊的平方之間的關(guān)系，如何看待這兩個定理之間的關(guān)系？教師：你們?nèi)绾慰创陨系膯栴}？能得到什么結(jié)論？學(xué)生：勾股定理是余弦定理的特殊情況，余弦定理是勾股定理的推廣教師：能否根據(jù)余弦定理的推論來判定三角形的每個角是銳角、直角鈍角？如何判斷？學(xué)生：能夠，將各邊代人余弦定理的推論式子，根據(jù)式子的符號來判定角的余弦的符號，若cos A 0 ,則A是銳角；若cos A 0 ,則A是直角；若cos A 0 ,則A是鈍角.教師：（大家一起歸納）1. b2c2a2cosA0A900；2. b2c2a2cosA0A900；3. b2c2a2cosA0A90

14、0.教師：判定三角形形狀關(guān)鍵是判定哪個角？學(xué)生：判定最大角.教師：說得好，在知道三角形三邊的前提下，要判斷三角形形狀，只要判斷最大角的大小即可； 剛才我們對余弦定理及推論實行了探討，大家議議，余弦定理能夠解決一些什么問題？學(xué)生：1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊；2.已知三角形三邊，求任意一角；3.判定三角形形狀.設(shè)計意圖：發(fā)現(xiàn)勾股定理與余弦定理之間的區(qū)別與聯(lián)系，并能使用定理判斷角的范圍，從而判定三角形的形狀.（六）使用定理，解決問題：例 1.在 ABC 中，AC 600m, BC 340m, ACB 410，求邊 AB 的長度（精確到 1m） ?解：根據(jù)余弦定理，c2 a2 b2 2ab c

15、osC ,2220c2 6002 3402 2 600 340 cos410 167682.4AB409例2.在 ABC中，AB 5m, AC 4m, BC 6m,求該三角形的最大角與最小角的余弦值,并請判定該三角形的形狀解:AB 5m, AC 4m, BC 6m,B A C,根據(jù)余弦定理,COSAb2 c2 a22bc4252 621；cosB 6252422458'265cosA 0, A 900,ABC為銳角三角形（七）隨堂訓(xùn)練，鞏固反饋：1 .已知在 ABC中，a 3, c 2, B 60° ,那么b等于（B ）A、5B、77 C、272D、2732 .已知在 ABC

16、 中，sin A:sinB:sinC = 1:J3:2,則 A:B:C 等于（A ）A、1：2：3B.2：3：1 C.1：3：2 D. 3：1：23.若三條線段的長為 5、6、8,則用這三條線段（ C ）A、能組成直角三角形B、能組成銳角三角形C、能組成鈍角三角形D、不能組成三角形七.課時小結(jié)：（1） .探究過程：1 .創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；2.問題化歸，構(gòu)建模型；3.特例探究，提出猜想；4 .證明猜想，得出定理；5.合理變型，深化理解；6.使用定理，解決問題；7 .隨堂訓(xùn)練，鞏固反饋.（2） .知識體系：1. 余弦定理：文字語言：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與他們的夾

17、角的余弦 的積的兩倍.符號語言：a2 b2 c2 2bc cos A ； b2 a2 c2 2ac cos B ；22,2cab 2ab cos C .2.余弦定理推論：cosA 小2bca-; cosB5-2 2-22 -2ac ba b ccosC 2ac2ab3.余弦定理的應(yīng)用:1.已知三角形兩邊及夾角，求第三邊;2 .已知三角形三邊，求任意一角;3 .判定三角形形狀.探究思想方法:1 .從特殊到一般思想;2 .轉(zhuǎn)化化歸思想;3 .歸納猜想思想；4.數(shù)形結(jié)合思想.八.作業(yè):必做：教材P10習(xí)題1.1 A 組3、4.選做：教材P10習(xí)題1.1 B 組2.思考題：已知a、 的最大內(nèi)角.b、c

18、為4ABC的三邊，且 a2- a-2b-2c=0, a+ 2b-2c+ 3=0,求這個三角形九.教學(xué)反思:本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的，所以在教學(xué)設(shè)計時既要兼顧前后知識的聯(lián)系，又要使學(xué)生 明確本課學(xué)習(xí)的重點，將新舊知識逐漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識系統(tǒng)。所以在余弦定理的 表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解 問題.本課教學(xué)設(shè)計力求在型（模型、類型） ，質(zhì)（實質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達到教學(xué) 效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)過三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密 聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡潔的工具。所以在本課 的教學(xué)設(shè)計中抓住前后知識的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，理解數(shù)學(xué) 與實際的聯(lián)系，學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決一些實際問題學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強，創(chuàng)造力不足、看待問題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識系統(tǒng)不夠 完善。所以本課使用聯(lián)系的觀點，從多角度看待問題，在提出問題、思考分析問題、解決問題等多 方面對學(xué)生實行示范引導(dǎo)，將舊知識與新知識實行重組擬合及提升，協(xié)助學(xué)