第五部分系統(tǒng)的穩(wěn)定性機械工程控制基礎(chǔ)教案

1、Chp.5系統(tǒng)穩(wěn)定性基本要求1. 了解系統(tǒng)穩(wěn)定性地定義 ?系統(tǒng)穩(wěn)定地條件 ;2. 掌握 Routh 判據(jù)地必要條件和充要條件, 學(xué)會應(yīng)用 Routh 判據(jù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定, 對于不穩(wěn)定系統(tǒng) , 能夠指出系統(tǒng)包含不穩(wěn)定地特征根地個數(shù);3. 掌握 Nyquist 判據(jù) ;4. 理解 Nyquist 圖和 Bode 圖之間地關(guān)系 ;5. 掌握 Bode 判據(jù) ;6. 理解系統(tǒng)相對穩(wěn)定性地概念, 會求相位裕度和幅值裕度, 并能夠在 Nyquist 圖和Bode 圖上加以表示 ?重點與難點本章重點1.Routh 判據(jù) ?Nyquist 判據(jù)和 Bode 判據(jù)地應(yīng)用 ;2.系統(tǒng)相對穩(wěn)定性 ; 相位裕度和幅

2、值裕度求法及其在Nyquist 圖和 Bode 圖地表示法 ?本章難點Nyquist 判據(jù)及其應(yīng)用?§1 概念示例:振擺1?穩(wěn)定性定義 : 若系統(tǒng)在初始條件影響下, 其過渡過程隨時間地推移逐漸衰減并趨于則系統(tǒng)穩(wěn)定 ; 反之 , 系統(tǒng)過渡過程隨時間地推移而發(fā)散, 則系統(tǒng)不穩(wěn)定?0,( 圖討論 : 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù), 是一種自身恢復(fù)能力?與輸入量種類 ?性質(zhì)無關(guān) ?系統(tǒng)不穩(wěn)定必伴有反饋作用?( 圖若 x0(t)收斂 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 ; 若 x0 (t)發(fā)散 , 則系統(tǒng)不穩(wěn)定 ?將 X 0(s)反饋到輸入端 , 若反饋削弱E(s)穩(wěn)定若反饋加強E(s)不穩(wěn)定穩(wěn)定性是自

3、由振蕩下地定義?即 xi(t)=0 時 , 僅存在 xi(0-)或 xi(0+ )在 xi(t) 作用下地強迫運動而系統(tǒng)是否穩(wěn)定不屬于討論范圍?2?系統(tǒng)穩(wěn)定地條件 :對 a npn+an-1 pn-1 +,a1p+a0x 0(t)=bmpm+bm-1pm-1+,b 1p+b0x i (t)令 B(s)= a npn+an-1 pn-1+,a 1p+a0A(s)= bmpm+bm-1pm-1+,b 1p+b0初始條件 :B0(s)A (s)0則 B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)Xi (s)- B0(s)Xi (s)=0,由初始條件引起地輸出:L-1變換根據(jù)穩(wěn)定性定義, 若系統(tǒng)穩(wěn)定須滿

4、足, 即 zi 為負(fù)值 ?系統(tǒng)穩(wěn)定地充要條件: 系統(tǒng)特征方程全部根地實部必須為負(fù)?或 : 系統(tǒng)傳遞函數(shù)地極點全部位于 s 復(fù)平面地左半部?討論 : 特征根中有一個或以上地根地實部為正系統(tǒng)不穩(wěn)定 ;臨界穩(wěn)定 : 特征根中有部分為零或純虛數(shù), 而其它根為負(fù)數(shù)?臨界穩(wěn)定系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定?若, 則系統(tǒng)不穩(wěn)定?零點對穩(wěn)定性無影響?零點僅反映外界輸入對系統(tǒng)地作用系統(tǒng)本身地固有特性?穩(wěn)定性判定方法:, 而穩(wěn)定性是a) 直接求解出特征方程地根 ( 高階困難 )b) 確定特征根在 s 平面上地分布 :時域 :Routh 判據(jù) , 胡爾維茨判據(jù)頻域 :Nyquist判據(jù) ,Bode 判據(jù)§2勞斯 (Rou

5、th) 判據(jù)Routh 判據(jù)在特征方程系數(shù)和根之間建立一定關(guān)系, 以判別特征根分布是否具有負(fù)實部?一 ?必要條件 :特征方程 :B(s)= an nn-1pn-1+,a10p +ap+a =0必要條件 :B(s)=0地各項系數(shù) a 符號均相同 , 且不等于 0;i或 a n>0a n-1 >0 ,a 1>0 a 0>0 ( 證明 )二 ?充要條件 :(Rough 穩(wěn)定性判據(jù) ):1 ?Rough 表 : 將特征方程系數(shù)排成兩列:偶 :a nan-2an-4a n-6,奇 :an-1aan-5an-7,n-3Rough 數(shù)列表 : (p.124)snanaan-4an-6

6、,a0n-2n-1an-1an-3an-5an-7, a 10ssn-2A 1A 2A 3,0sn-3B 1B2B 3,0s0,0002?判據(jù) :Rough 列表中第一列各項符號均為正且不等于0若有負(fù)號存在 , 則發(fā)生負(fù)號變化地次數(shù), 就是不穩(wěn)定根地個數(shù)?例 1, 已知系統(tǒng)特征方程432B(s)=s +8s+17s +16s+5=0 試判定其穩(wěn)定性 ?解 :a4=1a3=8a2=17a1=16a0=5(過程 )ai>0( i=1, 2, 3, 4, 5)Rough列表中第一列 (1,8,15,13.3,5)均大于 0, 故系統(tǒng)穩(wěn)定 ?例 2, 已知系統(tǒng)特征方程B(s)=s 3-4s2+s

7、+6=0試判定其穩(wěn)定性 ?解 : 有一個負(fù)系數(shù) , 不滿足穩(wěn)定地必要條件, 有幾個不穩(wěn)定地根 ?(過程 )有二個負(fù)實根 , 實際上 s3-4s 2+s+6=(s-2)(s+1)(s-3)例 3, 已知系統(tǒng)試判定其穩(wěn)定性 ?解5432: B(s)=s +2s +14s +88s +200s+800=0(過程 )符號改變二次, 存在兩個不穩(wěn)定地根?例 4, 設(shè)有系統(tǒng)方框圖如下, 已知 =0.2, n=86.6, 試確定k 取何值時 , 系統(tǒng)方能穩(wěn)定?(p.126圖)(過程 )三 ?特殊情況 :1?Rough 列表中任一行第一項為0, 其余各項不為0 或部分不為0?造成該行地下一行各項變?yōu)闊o窮大,

8、無法進(jìn)行Rough 計算 ?措施 : 以任一小正數(shù) 代替 0 地那一項 , 繼續(xù)計算 ?例 :B(s)=s 3-3s+2=0( 求解 )若用 代替后 , 系統(tǒng) Rough 列表第一列均為正 , 臨界穩(wěn)定 ( 共軛虛根 ) 用因式 (s+a) 乘特征方程兩邊 , 得新地特征方程 , 進(jìn)行 Rough 計算后判斷 (A 為任意正數(shù) ) ?例:B(s)=s3-3s+2=0( 求解 , 取 a=3)2?Rough 列表任一行全為0?原因 : 系統(tǒng)特征方程地根出現(xiàn)下列一種或多種情況時會發(fā)生具有相異符號地實數(shù)根( 如 s=±2);虛根時 ( 如 s=±j5);?共軛復(fù)數(shù)根時解決 : 利

9、用全為( 如)0 這一行地上一行地各項系數(shù)組成一個多項式方程( 輔助方程 );對輔助方程取導(dǎo)數(shù)得一新方程;以新方程地系數(shù)取代全為0 地哪一行, 繼續(xù)進(jìn)行Rough 計算 ?例 :B(s)=s 4+s3-3s 2-s+2=0( 求解 )例 :B(s)=s 6+s5-2s 4-3s 3 -7s 2-4s-4=0( 求解 )§3Nyquist判據(jù)時域判據(jù)地弱點: 工程設(shè)計中 , 組成系統(tǒng)地各種參數(shù)尚未最后確定, 時域判據(jù)不能應(yīng)用; 時域判據(jù)僅能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 , 不能說明系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定地程度 , 因而不能提出改善系統(tǒng)性能地具體途徑 ?Nyquist判據(jù)特點 :圖解法 : 由幾何作圖判定

10、系統(tǒng)穩(wěn)定性;由開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性( 開環(huán)特性由分析法或?qū)嶒灧ǐ@得);可判斷系統(tǒng)相對穩(wěn)定性;可指出各環(huán)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定性地影響?一?預(yù)備知識 :1?三種函數(shù)地零?極點關(guān)系 :( Gk(s)?GB(s)?F(s) ) (圖Gk(s)=G(s)H(s)F(s)=1+ G(s)H(s)zi: Gk(s)地零點 ; pi: Gk(s)地極點 ?上述各函數(shù)零點和極點地關(guān)系: ( p.131)結(jié)論 : 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為GB(s)全部極點具有負(fù)實部F(s)函數(shù)地全部極點均具有負(fù)實部 , 即通過 Gk(s)= G(s)H(s) 判斷 GB(s)地穩(wěn)定性 ?2?映射概念 :設(shè)函數(shù) F(s)=Re(s)+

11、jIm(s)而 s= +j 兩個函數(shù) : F(s), s兩個復(fù)平面 : F(s),s s 上地每一個點對應(yīng) F(s) 上有一個映射地點, 稱為像點或映射軌跡 ?例 : 已知 F(s)= s2 , 求 s=1+j2 地像點 ?22F(s)= s =( 1+j2 )=-3+ j4即 s 平面上點 (1,j2) 在 F(s) 復(fù)平面上地像點為 -3, j4 (tu 2)3?映射定理 ( 幅角原理 ):設(shè) F(s)為一有理數(shù) , 設(shè) L s 為 s 平面上地一封閉曲線( 看成點地封閉軌跡),L F 為 F(s)平面上地對應(yīng)曲線 , 則 :Ls 在 F(s) 平面上地映射軌跡 LF, 也必然是一條封閉曲

12、線 ?(tu 2)若 Ls 包圍了 F(s)地 zi 個零點和 pi 個極點 , 則 Ls 上某動點 s沿 Ls 順時針方向轉(zhuǎn)一周時 ,它在 B(s) 上地映射軌跡 LB將會順時針方向包圍OB 原點 N 次 (N=z-p)?(tu 2)二?Nyquist 判據(jù) :1 ?映射定理地推廣 :F(s)=1+ G(s)H(s) 為有理數(shù) , 滿足映射定理 ?在 s 上 , 當(dāng) s 按順時針方向沿整根虛軸( -j +j ) 及 R=地半徑組成地封閉曲線Ls ( 實際上為 s 平面地右半部) 轉(zhuǎn)一周時 , 若虛軸上無 F(s)地極點 , 則在 Ls 在 F(s) 平面上地映射軌跡 LF 也將順時針方向包圍

13、原點OB共 N 次?(tu 2)根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件, 特征方程 F(s)=0 地根均為負(fù)實數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)地復(fù)數(shù), 即 F(s)在 s 平面右半部無零點,系統(tǒng)穩(wěn)定下地映射為復(fù)平面下系統(tǒng)穩(wěn)定地充要條件: 若 s 虛軸上無N=-pF(s)=1+ G(s)H(s)地極點 , 則當(dāng)s 沿 -j +j 按順時針方向轉(zhuǎn)一周時, 其在 F(s) 平面上地映射軌跡原點 OB 共 N 次, 系統(tǒng)才能穩(wěn)定, 否則就不穩(wěn)定 ?LF 也將順時針方向包圍2 ?N=-p含義地變通:N=-p地實質(zhì)就是利用特征函數(shù)F(s)=1+ G(s)H(s) 地零 ?極點分布來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定,實用上不方便 , 希望判據(jù)建立在開環(huán)基礎(chǔ)

14、上?含義變通 : 在N=-p 中地 F(s)地極點數(shù)p, 理解為開環(huán)將 F(s) 平面轉(zhuǎn)換成 G(s)H(s) 平面 ;G(s)H(s) 地極點數(shù); F(s) 地原點就是 G(s)H(s) 地 (-1,j0)點?令 s=j , 則 s 取值 -j +j , 變成 取值 - + ?通過上述轉(zhuǎn)換, 將 N=-p 含義重新引申為:N: 開環(huán)G(s)H(s) 軌跡包圍 (-1,j0)點地次數(shù) , 即開環(huán)軌跡順, 逆時針方向包圍(-1,j0)點次數(shù)之代數(shù)和?P: 開環(huán) G(s)H(s) 在 s 平面右半部地極點數(shù)?2 ?Nyquist判據(jù) :充要條件 : 當(dāng) 取值 - +時 , 其開環(huán) G(j )H(j

15、 )軌跡必須逆時針包圍次, 則系統(tǒng)穩(wěn)定 , 否則就不穩(wěn)定?討論 :a) Nyquist判據(jù)在 GH 平面上判斷 ;(-1,j0)點 p過程 : s 上Nyquist軌跡映射到 GH上地Nyquist軌跡G(j )H(j ), 根據(jù)G(j )H(j )包圍 (-1,j0)點地次數(shù)來判斷系統(tǒng)地穩(wěn)定性?b) 應(yīng)用簡單 : 一般開環(huán)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng),p=0, 故只需看開環(huán)Nyquist圖是否包圍 (-1,j0)點 , 不包圍則穩(wěn)定?若開環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng),p 0( 開環(huán)不穩(wěn)定), 則看 Nyquist圖是否逆時針包圍(-1,j0)點 p 圈 ?c) 開 ?閉環(huán)穩(wěn)定性關(guān)系 :開環(huán)不穩(wěn)定 , 閉環(huán)可

16、能穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定 , 閉環(huán)可能不穩(wěn)定d) 繪制開環(huán) =0 +地 Nyquist 圖即可判斷 ? 原因 : 開環(huán) Nyquist 圖對實軸對稱 ?三 ?對虛軸存在極點地處理 :Nyquist判據(jù)中規(guī)定開環(huán)Gk(s)中不能含有s=0 和 s=± jk ( k 為實數(shù) ) 地極點 , 否則 , 這些極點處地幅角是個不確定值, 因而 , 這些點地映射軌跡也不確定?但工程上大多數(shù)Gk(s)會含有s=0 或 s=± jk 地極點 , 此時 ,Nyquist判據(jù)仍可使用 , 但需對 Ls 曲線修正 ?四?應(yīng)用舉例 :1?開環(huán)穩(wěn)定 , 判斷閉環(huán)穩(wěn)定性 :Gk(s)在 s 右半部無極點 ,p=

17、0, 則 =0+時 Gk(j )不包圍 (-1,j0)點 , 即 N=0,則系統(tǒng)穩(wěn)定 , 否則就不穩(wěn)定 ?例 1, 0型系統(tǒng)例 2, 0型系統(tǒng)例 3, 型系統(tǒng)例 4, 型系統(tǒng)例 5, 型系統(tǒng)2?開環(huán)不穩(wěn)定 , 判斷閉環(huán)穩(wěn)定性:對 p 0, 若需閉環(huán)穩(wěn)定 , 則 N=-p, 即在 取值 - +時 , Gk(j )逆時針包圍 (-1,j0) 點 p 次 ?例 : 高階系統(tǒng)四 ?典型環(huán)節(jié)對系統(tǒng)穩(wěn)定性地影響 :1?比例環(huán)節(jié) G(s)=k若 Gk(j )>-180o,則 k 無論如何變化 , 系統(tǒng)總是穩(wěn)定地 ; Gk(j ) <-180o,則 k Gk(j )隨之增大 , 可能包圍 (-1,

18、j0)點 ?2?慣性環(huán)節(jié)oGk(j )地滯后 , 對系統(tǒng)穩(wěn)定不高頻時 ( ), G(j ) -90 , 增加了開環(huán)幅角利, 慣性環(huán)節(jié)越多 , 系統(tǒng)越難穩(wěn)定 ? 3?導(dǎo)前環(huán)節(jié) G(s)=Ts+1o高頻時 ( ), G(j ) +90 , 減少了開環(huán)幅角Gk(j )地滯后 , 對系統(tǒng)穩(wěn)定有利?若系統(tǒng)需較多慣性環(huán)節(jié)時, 用導(dǎo)前環(huán)節(jié)保持其穩(wěn)定性?4?積分環(huán)節(jié)高低頻均產(chǎn)生90o 滯后幅角 , 對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響大?積分環(huán)節(jié)越多, 系統(tǒng)越不容易穩(wěn)定?措施 : 增加導(dǎo)前環(huán)節(jié), 增加內(nèi)部負(fù)反饋或降低系統(tǒng)“型”號?- s不改變原系統(tǒng)地副頻特性, 僅使系統(tǒng)地相頻特性變化?§4 系統(tǒng)地相對穩(wěn)定性絕對穩(wěn)定性判

19、斷出系統(tǒng)屬于穩(wěn)定?不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定, 還不能滿足設(shè)計要求, 應(yīng)進(jìn)一步知道穩(wěn)定或不穩(wěn)定地程度, 即穩(wěn)定或不穩(wěn)定離臨界穩(wěn)定尚有多遠(yuǎn), 才能正確評價系統(tǒng)穩(wěn)定性能地優(yōu)劣 , 此即相對穩(wěn)定性?一 ?系統(tǒng)相對穩(wěn)定性地兩個指標(biāo) :1 ?兩種坐標(biāo)對應(yīng)關(guān)系 :Gk(j ) 可用極坐標(biāo) (Nyquist圖 ) 和對數(shù)坐標(biāo) (Bode 圖 ) 表示 , 二者有對應(yīng)關(guān)系:a) 極 : 單位圓對 : 零分貝線 ( 幅頻特性 )相當(dāng)于 : GH =1 20lg GH=0dBb) 極: 負(fù)實軸對 :-180 o 水平線 ( 相頻特性 )o原因 : 負(fù)實軸上地每一點地幅角都等于-180c) 極 : 開環(huán)軌跡與單位圓地交點 c

20、對 : 幅頻特性曲線與零分貝線地交點 ? 交點 c 處地頻率 c 稱為剪切頻率 ?幅值穿越頻率 ?幅值交界頻率 ?d) 極 : 開環(huán)軌跡與負(fù)實軸地交點 g對 : 相頻特性曲線與 -180 o 水平線地交點 ?交點 g 處地頻率 g 稱為相位穿越頻率?相位交界頻率 ?2?幅值和相位裕量:幅值和相位裕量是衡量系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多遠(yuǎn)地兩個指標(biāo)?(1) 幅值裕量 Kg:定義 : 在相位交界頻率 g 處 Gk(j ) 地倒數(shù) ?在對數(shù)坐標(biāo)上,討論 :a)若 G(j g)H(j g) <1,Kg>1, 即 Kg(dB)>0系統(tǒng)具有正幅值裕量?若 G(j g)H(j g) >1,K g

21、<1, 即 Kg(dB)<0系統(tǒng)具有負(fù)幅值裕量?b)對最小相位系統(tǒng)p=0,正幅值裕量對應(yīng)地開環(huán)軌跡不包圍( -1, j0), 閉環(huán)穩(wěn)定 ,負(fù)幅值裕量對應(yīng)地開環(huán)軌跡包圍( -1, j0), 閉環(huán)不穩(wěn)定 ?c)Kg 實際上是系統(tǒng)由穩(wěn)定( 或不穩(wěn)定 ) 到達(dá)臨界穩(wěn)定點時, 其開環(huán)傳遞函數(shù)在幅值 G(j g)H(j g) 需擴大或縮小地倍數(shù)? g 處地d)一階 ?二階系統(tǒng)幅值裕量為無窮大?原因 : 其開環(huán)軌跡與GH 平面地負(fù)實軸交于原點, 1/K g=0(2) 相位裕量 :定義 : 在 c 處 , 使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定所需附加地幅角滯后量( 或超前量 ) ?o = G(j c)H(j c)-(-180)=180 o+ ( c )若 >0 稱正相位裕量 ( 正穩(wěn)定性儲備) 必在 Bode 相位圖橫軸 (-180 o 線 ) 以上 , 在 Nyquist圖負(fù)實軸以下( 第三象限 );若 <0 稱負(fù)相位裕量 ( 負(fù)穩(wěn)定性儲備) 必在 Bode 相位圖橫軸 (-180 o 線 ) 以下 , 在 Nyquist圖負(fù)實軸以上(