第五部分系統(tǒng)的穩(wěn)定性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)教案

1、Chp.5系統(tǒng)穩(wěn)定性基本要求1. 了解系統(tǒng)穩(wěn)定性地定義 ?系統(tǒng)穩(wěn)定地條件 ;2. 掌握 Routh 判據(jù)地必要條件和充要條件, 學(xué)會(huì)應(yīng)用 Routh 判據(jù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定, 對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng) , 能夠指出系統(tǒng)包含不穩(wěn)定地特征根地個(gè)數(shù);3. 掌握 Nyquist 判據(jù) ;4. 理解 Nyquist 圖和 Bode 圖之間地關(guān)系 ;5. 掌握 Bode 判據(jù) ;6. 理解系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性地概念, 會(huì)求相位裕度和幅值裕度, 并能夠在 Nyquist 圖和Bode 圖上加以表示 ?重點(diǎn)與難點(diǎn)本章重點(diǎn)1.Routh 判據(jù) ?Nyquist 判據(jù)和 Bode 判據(jù)地應(yīng)用 ;2.系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性 ; 相位裕度和幅

2、值裕度求法及其在Nyquist 圖和 Bode 圖地表示法 ?本章難點(diǎn)Nyquist 判據(jù)及其應(yīng)用?§1 概念示例:振擺1?穩(wěn)定性定義 : 若系統(tǒng)在初始條件影響下, 其過渡過程隨時(shí)間地推移逐漸衰減并趨于則系統(tǒng)穩(wěn)定 ; 反之 , 系統(tǒng)過渡過程隨時(shí)間地推移而發(fā)散, 則系統(tǒng)不穩(wěn)定?0,( 圖討論 : 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù), 是一種自身恢復(fù)能力?與輸入量種類 ?性質(zhì)無關(guān) ?系統(tǒng)不穩(wěn)定必伴有反饋?zhàn)饔?( 圖若 x0(t)收斂 , 系統(tǒng)穩(wěn)定 ; 若 x0 (t)發(fā)散 , 則系統(tǒng)不穩(wěn)定 ?將 X 0(s)反饋到輸入端 , 若反饋削弱E(s)穩(wěn)定若反饋加強(qiáng)E(s)不穩(wěn)定穩(wěn)定性是自

3、由振蕩下地定義?即 xi(t)=0 時(shí) , 僅存在 xi(0-)或 xi(0+ )在 xi(t) 作用下地強(qiáng)迫運(yùn)動(dòng)而系統(tǒng)是否穩(wěn)定不屬于討論范圍?2?系統(tǒng)穩(wěn)定地條件 :對(duì) a npn+an-1 pn-1 +,a1p+a0x 0(t)=bmpm+bm-1pm-1+,b 1p+b0x i (t)令 B(s)= a npn+an-1 pn-1+,a 1p+a0A(s)= bmpm+bm-1pm-1+,b 1p+b0初始條件 :B0(s)A (s)0則 B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)Xi (s)- B0(s)Xi (s)=0,由初始條件引起地輸出:L-1變換根據(jù)穩(wěn)定性定義, 若系統(tǒng)穩(wěn)定須滿

4、足, 即 zi 為負(fù)值 ?系統(tǒng)穩(wěn)定地充要條件: 系統(tǒng)特征方程全部根地實(shí)部必須為負(fù)?或 : 系統(tǒng)傳遞函數(shù)地極點(diǎn)全部位于 s 復(fù)平面地左半部?討論 : 特征根中有一個(gè)或以上地根地實(shí)部為正系統(tǒng)不穩(wěn)定 ;臨界穩(wěn)定 : 特征根中有部分為零或純虛數(shù), 而其它根為負(fù)數(shù)?臨界穩(wěn)定系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定?若, 則系統(tǒng)不穩(wěn)定?零點(diǎn)對(duì)穩(wěn)定性無影響?零點(diǎn)僅反映外界輸入對(duì)系統(tǒng)地作用系統(tǒng)本身地固有特性?穩(wěn)定性判定方法:, 而穩(wěn)定性是a) 直接求解出特征方程地根 ( 高階困難 )b) 確定特征根在 s 平面上地分布 :時(shí)域 :Routh 判據(jù) , 胡爾維茨判據(jù)頻域 :Nyquist判據(jù) ,Bode 判據(jù)§2勞斯 (Rou

5、th) 判據(jù)Routh 判據(jù)在特征方程系數(shù)和根之間建立一定關(guān)系, 以判別特征根分布是否具有負(fù)實(shí)部?一 ?必要條件 :特征方程 :B(s)= an nn-1pn-1+,a10p +ap+a =0必要條件 :B(s)=0地各項(xiàng)系數(shù) a 符號(hào)均相同 , 且不等于 0;i或 a n>0a n-1 >0 ,a 1>0 a 0>0 ( 證明 )二 ?充要條件 :(Rough 穩(wěn)定性判據(jù) ):1 ?Rough 表 : 將特征方程系數(shù)排成兩列:偶 :a nan-2an-4a n-6,奇 :an-1aan-5an-7,n-3Rough 數(shù)列表 : (p.124)snanaan-4an-6

6、,a0n-2n-1an-1an-3an-5an-7, a 10ssn-2A 1A 2A 3,0sn-3B 1B2B 3,0s0,0002?判據(jù) :Rough 列表中第一列各項(xiàng)符號(hào)均為正且不等于0若有負(fù)號(hào)存在 , 則發(fā)生負(fù)號(hào)變化地次數(shù), 就是不穩(wěn)定根地個(gè)數(shù)?例 1, 已知系統(tǒng)特征方程432B(s)=s +8s+17s +16s+5=0 試判定其穩(wěn)定性 ?解 :a4=1a3=8a2=17a1=16a0=5(過程 )ai>0( i=1, 2, 3, 4, 5)Rough列表中第一列 (1,8,15,13.3,5)均大于 0, 故系統(tǒng)穩(wěn)定 ?例 2, 已知系統(tǒng)特征方程B(s)=s 3-4s2+s

7、+6=0試判定其穩(wěn)定性 ?解 : 有一個(gè)負(fù)系數(shù) , 不滿足穩(wěn)定地必要條件, 有幾個(gè)不穩(wěn)定地根 ?(過程 )有二個(gè)負(fù)實(shí)根 , 實(shí)際上 s3-4s 2+s+6=(s-2)(s+1)(s-3)例 3, 已知系統(tǒng)試判定其穩(wěn)定性 ?解5432: B(s)=s +2s +14s +88s +200s+800=0(過程 )符號(hào)改變二次, 存在兩個(gè)不穩(wěn)定地根?例 4, 設(shè)有系統(tǒng)方框圖如下, 已知 =0.2, n=86.6, 試確定k 取何值時(shí) , 系統(tǒng)方能穩(wěn)定?(p.126圖)(過程 )三 ?特殊情況 :1?Rough 列表中任一行第一項(xiàng)為0, 其余各項(xiàng)不為0 或部分不為0?造成該行地下一行各項(xiàng)變?yōu)闊o窮大,

8、無法進(jìn)行Rough 計(jì)算 ?措施 : 以任一小正數(shù) 代替 0 地那一項(xiàng) , 繼續(xù)計(jì)算 ?例 :B(s)=s 3-3s+2=0( 求解 )若用 代替后 , 系統(tǒng) Rough 列表第一列均為正 , 臨界穩(wěn)定 ( 共軛虛根 ) 用因式 (s+a) 乘特征方程兩邊 , 得新地特征方程 , 進(jìn)行 Rough 計(jì)算后判斷 (A 為任意正數(shù) ) ?例:B(s)=s3-3s+2=0( 求解 , 取 a=3)2?Rough 列表任一行全為0?原因 : 系統(tǒng)特征方程地根出現(xiàn)下列一種或多種情況時(shí)會(huì)發(fā)生具有相異符號(hào)地實(shí)數(shù)根( 如 s=±2);虛根時(shí) ( 如 s=±j5);?共軛復(fù)數(shù)根時(shí)解決 : 利

9、用全為( 如)0 這一行地上一行地各項(xiàng)系數(shù)組成一個(gè)多項(xiàng)式方程( 輔助方程 );對(duì)輔助方程取導(dǎo)數(shù)得一新方程;以新方程地系數(shù)取代全為0 地哪一行, 繼續(xù)進(jìn)行Rough 計(jì)算 ?例 :B(s)=s 4+s3-3s 2-s+2=0( 求解 )例 :B(s)=s 6+s5-2s 4-3s 3 -7s 2-4s-4=0( 求解 )§3Nyquist判據(jù)時(shí)域判據(jù)地弱點(diǎn): 工程設(shè)計(jì)中 , 組成系統(tǒng)地各種參數(shù)尚未最后確定, 時(shí)域判據(jù)不能應(yīng)用; 時(shí)域判據(jù)僅能判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定 , 不能說明系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定地程度 , 因而不能提出改善系統(tǒng)性能地具體途徑 ?Nyquist判據(jù)特點(diǎn) :圖解法 : 由幾何作圖判定

10、系統(tǒng)穩(wěn)定性;由開環(huán)特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性( 開環(huán)特性由分析法或?qū)嶒?yàn)法獲得);可判斷系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性;可指出各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性地影響?一?預(yù)備知識(shí) :1?三種函數(shù)地零?極點(diǎn)關(guān)系 :( Gk(s)?GB(s)?F(s) ) (圖Gk(s)=G(s)H(s)F(s)=1+ G(s)H(s)zi: Gk(s)地零點(diǎn) ; pi: Gk(s)地極點(diǎn) ?上述各函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)地關(guān)系: ( p.131)結(jié)論 : 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件為GB(s)全部極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部F(s)函數(shù)地全部極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部 , 即通過 Gk(s)= G(s)H(s) 判斷 GB(s)地穩(wěn)定性 ?2?映射概念 :設(shè)函數(shù) F(s)=Re(s)+

11、jIm(s)而 s= +j 兩個(gè)函數(shù) : F(s), s兩個(gè)復(fù)平面 : F(s),s s 上地每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng) F(s) 上有一個(gè)映射地點(diǎn), 稱為像點(diǎn)或映射軌跡 ?例 : 已知 F(s)= s2 , 求 s=1+j2 地像點(diǎn) ?22F(s)= s =( 1+j2 )=-3+ j4即 s 平面上點(diǎn) (1,j2) 在 F(s) 復(fù)平面上地像點(diǎn)為 -3, j4 (tu 2)3?映射定理 ( 幅角原理 ):設(shè) F(s)為一有理數(shù) , 設(shè) L s 為 s 平面上地一封閉曲線( 看成點(diǎn)地封閉軌跡),L F 為 F(s)平面上地對(duì)應(yīng)曲線 , 則 :Ls 在 F(s) 平面上地映射軌跡 LF, 也必然是一條封閉曲

12、線 ?(tu 2)若 Ls 包圍了 F(s)地 zi 個(gè)零點(diǎn)和 pi 個(gè)極點(diǎn) , 則 Ls 上某動(dòng)點(diǎn) s沿 Ls 順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周時(shí) ,它在 B(s) 上地映射軌跡 LB將會(huì)順時(shí)針方向包圍OB 原點(diǎn) N 次 (N=z-p)?(tu 2)二?Nyquist 判據(jù) :1 ?映射定理地推廣 :F(s)=1+ G(s)H(s) 為有理數(shù) , 滿足映射定理 ?在 s 上 , 當(dāng) s 按順時(shí)針方向沿整根虛軸( -j +j ) 及 R=地半徑組成地封閉曲線Ls ( 實(shí)際上為 s 平面地右半部) 轉(zhuǎn)一周時(shí) , 若虛軸上無 F(s)地極點(diǎn) , 則在 Ls 在 F(s) 平面上地映射軌跡 LF 也將順時(shí)針方向包圍

13、原點(diǎn)OB共 N 次?(tu 2)根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件, 特征方程 F(s)=0 地根均為負(fù)實(shí)數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)地復(fù)數(shù), 即 F(s)在 s 平面右半部無零點(diǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定下地映射為復(fù)平面下系統(tǒng)穩(wěn)定地充要條件: 若 s 虛軸上無N=-pF(s)=1+ G(s)H(s)地極點(diǎn) , 則當(dāng)s 沿 -j +j 按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)一周時(shí), 其在 F(s) 平面上地映射軌跡原點(diǎn) OB 共 N 次, 系統(tǒng)才能穩(wěn)定, 否則就不穩(wěn)定 ?LF 也將順時(shí)針方向包圍2 ?N=-p含義地變通:N=-p地實(shí)質(zhì)就是利用特征函數(shù)F(s)=1+ G(s)H(s) 地零 ?極點(diǎn)分布來判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定,實(shí)用上不方便 , 希望判據(jù)建立在開環(huán)基礎(chǔ)

14、上?含義變通 : 在N=-p 中地 F(s)地極點(diǎn)數(shù)p, 理解為開環(huán)將 F(s) 平面轉(zhuǎn)換成 G(s)H(s) 平面 ;G(s)H(s) 地極點(diǎn)數(shù); F(s) 地原點(diǎn)就是 G(s)H(s) 地 (-1,j0)點(diǎn)?令 s=j , 則 s 取值 -j +j , 變成 取值 - + ?通過上述轉(zhuǎn)換, 將 N=-p 含義重新引申為:N: 開環(huán)G(s)H(s) 軌跡包圍 (-1,j0)點(diǎn)地次數(shù) , 即開環(huán)軌跡順, 逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)次數(shù)之代數(shù)和?P: 開環(huán) G(s)H(s) 在 s 平面右半部地極點(diǎn)數(shù)?2 ?Nyquist判據(jù) :充要條件 : 當(dāng) 取值 - +時(shí) , 其開環(huán) G(j )H(j

15、 )軌跡必須逆時(shí)針包圍次, 則系統(tǒng)穩(wěn)定 , 否則就不穩(wěn)定?討論 :a) Nyquist判據(jù)在 GH 平面上判斷 ;(-1,j0)點(diǎn) p過程 : s 上Nyquist軌跡映射到 GH上地Nyquist軌跡G(j )H(j ), 根據(jù)G(j )H(j )包圍 (-1,j0)點(diǎn)地次數(shù)來判斷系統(tǒng)地穩(wěn)定性?b) 應(yīng)用簡單 : 一般開環(huán)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng),p=0, 故只需看開環(huán)Nyquist圖是否包圍 (-1,j0)點(diǎn) , 不包圍則穩(wěn)定?若開環(huán)系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng),p 0( 開環(huán)不穩(wěn)定), 則看 Nyquist圖是否逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn) p 圈 ?c) 開 ?閉環(huán)穩(wěn)定性關(guān)系 :開環(huán)不穩(wěn)定 , 閉環(huán)可

16、能穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定 , 閉環(huán)可能不穩(wěn)定d) 繪制開環(huán) =0 +地 Nyquist 圖即可判斷 ? 原因 : 開環(huán) Nyquist 圖對(duì)實(shí)軸對(duì)稱 ?三 ?對(duì)虛軸存在極點(diǎn)地處理 :Nyquist判據(jù)中規(guī)定開環(huán)Gk(s)中不能含有s=0 和 s=± jk ( k 為實(shí)數(shù) ) 地極點(diǎn) , 否則 , 這些極點(diǎn)處地幅角是個(gè)不確定值, 因而 , 這些點(diǎn)地映射軌跡也不確定?但工程上大多數(shù)Gk(s)會(huì)含有s=0 或 s=± jk 地極點(diǎn) , 此時(shí) ,Nyquist判據(jù)仍可使用 , 但需對(duì) Ls 曲線修正 ?四?應(yīng)用舉例 :1?開環(huán)穩(wěn)定 , 判斷閉環(huán)穩(wěn)定性 :Gk(s)在 s 右半部無極點(diǎn) ,p=

17、0, 則 =0+時(shí) Gk(j )不包圍 (-1,j0)點(diǎn) , 即 N=0,則系統(tǒng)穩(wěn)定 , 否則就不穩(wěn)定 ?例 1, 0型系統(tǒng)例 2, 0型系統(tǒng)例 3, 型系統(tǒng)例 4, 型系統(tǒng)例 5, 型系統(tǒng)2?開環(huán)不穩(wěn)定 , 判斷閉環(huán)穩(wěn)定性:對(duì) p 0, 若需閉環(huán)穩(wěn)定 , 則 N=-p, 即在 取值 - +時(shí) , Gk(j )逆時(shí)針包圍 (-1,j0) 點(diǎn) p 次 ?例 : 高階系統(tǒng)四 ?典型環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性地影響 :1?比例環(huán)節(jié) G(s)=k若 Gk(j )>-180o,則 k 無論如何變化 , 系統(tǒng)總是穩(wěn)定地 ; Gk(j ) <-180o,則 k Gk(j )隨之增大 , 可能包圍 (-1,

18、j0)點(diǎn) ?2?慣性環(huán)節(jié)oGk(j )地滯后 , 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定不高頻時(shí) ( ), G(j ) -90 , 增加了開環(huán)幅角利, 慣性環(huán)節(jié)越多 , 系統(tǒng)越難穩(wěn)定 ? 3?導(dǎo)前環(huán)節(jié) G(s)=Ts+1o高頻時(shí) ( ), G(j ) +90 , 減少了開環(huán)幅角Gk(j )地滯后 , 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定有利?若系統(tǒng)需較多慣性環(huán)節(jié)時(shí), 用導(dǎo)前環(huán)節(jié)保持其穩(wěn)定性?4?積分環(huán)節(jié)高低頻均產(chǎn)生90o 滯后幅角 , 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性影響大?積分環(huán)節(jié)越多, 系統(tǒng)越不容易穩(wěn)定?措施 : 增加導(dǎo)前環(huán)節(jié), 增加內(nèi)部負(fù)反饋或降低系統(tǒng)“型”號(hào)?- s不改變?cè)到y(tǒng)地副頻特性, 僅使系統(tǒng)地相頻特性變化?§4 系統(tǒng)地相對(duì)穩(wěn)定性絕對(duì)穩(wěn)定性判

19、斷出系統(tǒng)屬于穩(wěn)定?不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定, 還不能滿足設(shè)計(jì)要求, 應(yīng)進(jìn)一步知道穩(wěn)定或不穩(wěn)定地程度, 即穩(wěn)定或不穩(wěn)定離臨界穩(wěn)定尚有多遠(yuǎn), 才能正確評(píng)價(jià)系統(tǒng)穩(wěn)定性能地優(yōu)劣 , 此即相對(duì)穩(wěn)定性?一 ?系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性地兩個(gè)指標(biāo) :1 ?兩種坐標(biāo)對(duì)應(yīng)關(guān)系 :Gk(j ) 可用極坐標(biāo) (Nyquist圖 ) 和對(duì)數(shù)坐標(biāo) (Bode 圖 ) 表示 , 二者有對(duì)應(yīng)關(guān)系:a) 極 : 單位圓對(duì) : 零分貝線 ( 幅頻特性 )相當(dāng)于 : GH =1 20lg GH=0dBb) 極: 負(fù)實(shí)軸對(duì) :-180 o 水平線 ( 相頻特性 )o原因 : 負(fù)實(shí)軸上地每一點(diǎn)地幅角都等于-180c) 極 : 開環(huán)軌跡與單位圓地交點(diǎn) c

20、對(duì) : 幅頻特性曲線與零分貝線地交點(diǎn) ? 交點(diǎn) c 處地頻率 c 稱為剪切頻率 ?幅值穿越頻率 ?幅值交界頻率 ?d) 極 : 開環(huán)軌跡與負(fù)實(shí)軸地交點(diǎn) g對(duì) : 相頻特性曲線與 -180 o 水平線地交點(diǎn) ?交點(diǎn) g 處地頻率 g 稱為相位穿越頻率?相位交界頻率 ?2?幅值和相位裕量:幅值和相位裕量是衡量系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多遠(yuǎn)地兩個(gè)指標(biāo)?(1) 幅值裕量 Kg:定義 : 在相位交界頻率 g 處 Gk(j ) 地倒數(shù) ?在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上,討論 :a)若 G(j g)H(j g) <1,Kg>1, 即 Kg(dB)>0系統(tǒng)具有正幅值裕量?若 G(j g)H(j g) >1,K g

21、<1, 即 Kg(dB)<0系統(tǒng)具有負(fù)幅值裕量?b)對(duì)最小相位系統(tǒng)p=0,正幅值裕量對(duì)應(yīng)地開環(huán)軌跡不包圍( -1, j0), 閉環(huán)穩(wěn)定 ,負(fù)幅值裕量對(duì)應(yīng)地開環(huán)軌跡包圍( -1, j0), 閉環(huán)不穩(wěn)定 ?c)Kg 實(shí)際上是系統(tǒng)由穩(wěn)定( 或不穩(wěn)定 ) 到達(dá)臨界穩(wěn)定點(diǎn)時(shí), 其開環(huán)傳遞函數(shù)在幅值 G(j g)H(j g) 需擴(kuò)大或縮小地倍數(shù)? g 處地d)一階 ?二階系統(tǒng)幅值裕量為無窮大?原因 : 其開環(huán)軌跡與GH 平面地負(fù)實(shí)軸交于原點(diǎn), 1/K g=0(2) 相位裕量 :定義 : 在 c 處 , 使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定所需附加地幅角滯后量( 或超前量 ) ?o = G(j c)H(j c)-(-180)=180 o+ ( c )若 >0 稱正相位裕量 ( 正穩(wěn)定性儲(chǔ)備) 必在 Bode 相位圖橫軸 (-180 o 線 ) 以上 , 在 Nyquist圖負(fù)實(shí)軸以下( 第三象限 );若 <0 稱負(fù)相位裕量 ( 負(fù)穩(wěn)定性儲(chǔ)備) 必在 Bode 相位圖橫軸 (-180 o 線 ) 以下 , 在 Nyquist圖負(fù)實(shí)軸以上(