第課等差數(shù)列與等比數(shù)列

1、第22 課等差數(shù)列與等比數(shù)列考試目標(biāo)主詞填空1.數(shù)列的定義用自然語言可敘述為依一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列， an 與an是不同的概念，前者表示數(shù)列，后者表示數(shù)列的第n 項 .2.數(shù)列的通項公式一般形式為：an=f(n)(n N* )，數(shù)列通項公式的形式有時并不惟一.3.數(shù)列的表示有三種方法.即：解析法，列表法和圖像法.4.數(shù)列的分類，按項數(shù)分類可分為有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；按前后項之間的大小關(guān)系可分為遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，擺動數(shù)列以及常數(shù)列；按數(shù)列中任何一項的絕對值是否都小于某一正數(shù)，可分為有界數(shù)列與無界數(shù)列.5.(1) 其通項公式分別是an=a1+(n-1)d 及 an=a1qn-1(2) 其中

2、項公式分別是an1an k )及 | an |ankan k(an k21na1(q1)(3) 其前 n 項和分別為 Snna1n(n1)d以及 Sn a1 (1q n ).2( q1q1)題型示例點津歸納【例 1】 寫出下列各數(shù)列的一個通項公式 .(1)1 ，9， 1， 9， 1， 9(2) a，b， a， b， a， b(3)1 ，0，1， 0，1， 0，1， 0， 223423456131517【解前點津】(1) 相鄰兩項之間的“中間數(shù)”為5，每一項可表為5±4型.(3) 該數(shù)列可重排為：1 ，0，1，1203， 其分子的規(guī)律是1， 0， -1， 0， 1，11212340，

3、-1， 0 周期出現(xiàn)，故可考慮三角函數(shù)的周期性.【規(guī)范解答】(1)an =5+4· (-1) n；(2) an= a b+(-1) n· ba222sin n(3) an=2 .n( n1)【解后歸納】寫數(shù)列的通項公式，要善于從各種不同的角度去觀察數(shù)列的規(guī)律，如，分別觀察數(shù)列各項的“符號”規(guī)律，每項與n 的運(yùn)算規(guī)律，分子的規(guī)律，分母的規(guī)律等等.【例 2】 設(shè) an 是等差數(shù)列， bn 是等比數(shù)列.(1)若 a21=103， a29=-53 ，求 a2004； (2)若 bn>0且b6b8+2b6b10+b8b10=36，求 b7 +b9 之值 .【解前點津】 確定等差

4、數(shù)列就是要確定首項與公差，確定等比數(shù)列就是要確定首項與公比，可通過列方程組和解方程組求解 .【規(guī)范解答】(1) 設(shè)公差為d，由條件得：a120d103a1493a2004=a1+2003d=493-19.5 × 2003=-38565.5.a128d53d19.5(2) 設(shè)公比為q，則2(b1·q5)· (b1q7)+2( b1 q5)·(b1q9)+( b1q7)· (b1q9)=36 b 1 q12·(1+2q2+q4)=36626862b1q (1+ q )=6b7+b9=b1q +b1q =b1q (1+ q )=6.【解后歸

5、納】確定等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是確定“基本量”，首項與公差是等差數(shù)列的基本量，而首項與公比是等比數(shù)列的兩個基本量.【例 3】記等差數(shù)列 an 的前 n 項之和為Sn 且 S4=-62 ， S6=-75.(1) 求通項 an 及前 n 項和 Sn；(2) 求 |a1|+|a2|+|a3|+ +|a14|的值 .【解前點津】(1)列方程組，求首項與公差；(2)討論 ak 的正負(fù)，從而去掉絕對值求和 .【規(guī)范解答】(1)設(shè)公差為 d，則4a16d62解得：a12032-436a116d75d 3故 an=3n-23， Sn=nn.22(2) 由ak03k23020 k23k=7故前7 項

6、為負(fù)， |a1|+|a2 |+|a3|+ak 103(k1)23033+|a14|=-(a0+a2+a3+ +a7)+( a8+a9+ +a14)=S14-2S7=147.【解后歸納】確定等差數(shù)列各項的正負(fù)，是去掉絕對值符號的常規(guī)方法.【例 4】 在某廠的三年生產(chǎn)計劃中，每年比上年增長的電腦臺數(shù)相同，而實際生產(chǎn)時第三年比原計劃多生產(chǎn)了1000 臺，且使每年生產(chǎn)的臺數(shù)恰好成等比數(shù)列，第三年生產(chǎn)的臺數(shù)是原計劃三年生產(chǎn)臺數(shù)總和的 2 倍，如果按照這樣的增產(chǎn)幅度生產(chǎn)，并使生產(chǎn)的臺數(shù)超過36 萬臺，問至少需要多少年 ?【解前點津】先確定原計劃第一年生產(chǎn)的臺數(shù)以及每年增產(chǎn)的臺數(shù)，最后列不等式求解.【規(guī)范解

7、答】設(shè)原計劃第一年生產(chǎn)a1 臺，每年增加d 臺，則由條件知3a13d1 (a12d 1000)a1=40 ，d=200 由此可得公比為6，經(jīng) n 年后生產(chǎn)臺數(shù)總和為：2d )2(a12d1000) a1( a1a1 (1q n )40(60n1)nnnn6，即至少需要6 年.Sn=q618(6 +1) 令8(6 -1)>3600006 >450001【解后歸納】解形如6n>45000 的不等式，常將45000 寫成與6m 接近的數(shù)即 6m 45000<6m+1從而確定 n 值 .對應(yīng)訓(xùn)練分階提升一、基礎(chǔ)夯實1.已知等差數(shù)列 an ， a1=-5 ， d=7， an 69

8、5，則這個等差數(shù)列至多有( )A.98 項B.99 項C.100 項D.101 項2.已知 lga， lgb， lgc 成等差數(shù)列，且公差d<0， a， b，c 分別是 Rt ABC 的 A， B， C 的對邊，則：sin B 的值是()sin A51B.5112(5 1)A.2C.不存在D.223.已知 an 為等差數(shù)列，且有 a2+a3+a10+a11=48 ，則 a6+a7 等于()A.12B.16C.20D.244.等差數(shù)列 an 中， d=-2， a1+a4+a7+ +a31=50，那么 a2+a6+a10+ +a42 的值等于()A.60B.-82C.182D.-965.已知

9、數(shù)列 an 的通項公式是 an=lg1536-( n-1)lg2 ，則使得 an<0 的最小正整數(shù)n 的值為 ()A.11B.12C.13D.146.等差數(shù)列 an 中， a1>0， S20=S30，則 Sn 取得最大值時n 的值為()A.23B.24C.25D.267.設(shè) M=11122 2(n N),則()2n個n 個A. M 為無理數(shù)B.M= 111C.M= 22 2D.M=333n個n個n 個8.小王從 1983年起，每年9 月 3 日在銀行新存入a 元一年定期，若年利率r 保持不變，且每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2000 年 9 月 3 日將所有存款及利息取回，

10、她可取回的錢數(shù)(元)為()A. a(1+r)1718B. a(1+ r)C. a (1+ r)17-(1+ r )D.a (1+ r )18-(1+ r)rr9.某超市去年的銷售額為a 萬元，計劃在后10年內(nèi)每年比上一年增加10%，從今年起10 年內(nèi)這家超市總銷售額為()A.(1.1) 9aB.(1.1) 5aC.(1.1) 10-1 aD.11· (1.1) 10-1a10.已知線段 PQ=a， A1 是線段PQ 的中點， A2 是 QA1 的中點， A3 是 A1A2 的中點， A4 是 A3A2 的中點， ， An 是 An -2An-1 的中點，則PAn 長為()A. a&#

11、183;C.a·1 (1) nB. 2 a 1(1) n2n 132n 11 (1) nD. 2 a 1(1) n2 n32n二、思維激活11.已知一個等差數(shù)列共有 1999 項，那么它的偶數(shù)項之和與奇數(shù)項之和的比值是.12.有濃度為 P 的酒精一滿瓶A 升，每次倒出 B 升后，再用水加滿，一共倒了n 次，加了 n 次后瓶內(nèi)酒精濃度為.13.在 10 到 2000 之間，形如2n(nN * )的數(shù)之和為.14.a 1 時 1+2a+3a2+ +nan-1 =.三、能力提高15.已知等差數(shù)列 an ， an=21-2n，又知 bn =|an |，求數(shù)列 bn 的前 30 項之和 .16

12、.一個首項為正數(shù)的等差數(shù)列 an ，如果它的前 3 項之和與前 11 項之和相等， 那么此數(shù)列前多少項之和最大 ?17.在直線 y=2x 上分別取橫坐標(biāo)為a1 的點 A1，以 A1 的縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)取點A2，以 A2 的縱坐標(biāo)為橫坐標(biāo)取點 A3，這樣一直下去 .分別由 A1，A2，A3， ，An 引 x 軸的垂線， 垂足分別為 B1，B2，B3， ， Bn.(1) 求 A1， A2， A3 ， ， An 的縱坐標(biāo)所成數(shù)列的通項公式；(2) 若點 A6 的縱坐標(biāo)為192，求 OAn Bn 的面積所成數(shù)列前5項的和.18.某企業(yè)年初有資金1000 萬元，如果該企業(yè)經(jīng)過生產(chǎn)經(jīng)營能使年資金平均增長率達(dá)

13、到50%，但每年年度都要扣除消費(fèi)基金x 萬元，余下的基金投入再生產(chǎn)，為實現(xiàn)經(jīng)過5 年資金達(dá)到2000 萬元 (扣除消費(fèi)基金后 )，那么每年應(yīng)扣除消費(fèi)基金多少萬元?第 1 課 等差數(shù)列與等比數(shù)列習(xí)題解答1.D由 an 695 得 (-5)+7( n-1) 695 解之即得 .2.A2故22 222(b 2b 1=0解之由 2lg c lga+lgb 得： c =ab，因 d<0a =b +ca =b +ab)aabsin B( 51)=sin A=.a23.D注意到 a6+a7=a2+a11=a3+a10.4.B令 t=a2+a6 +a10+ +a42 又 50=a1+a4+a7+ +a3

14、1 兩式相減：t-50=d+2d+ +11d=66d 又 d=-2， t=-82.5.B可驗證 n=11， n=12.6.C用 n 表示 Sn.7.DM=(102 n102n110 1)2(10n10n 1101)1 (10 2n1)2 (10n1)99=1102 n2 10 n1 =1(10n-1)= 333 .33n 個8.A存入的時間為17 年，最后求本息和 .9.D首項為 1.1a，公比為1.1 的等比數(shù)列前 101.1a(11.1)10=11 ·（1.110項和 S10=11.1-1)a.naaana2(1) n .10.BPQ-QA1+A1A2-A2 A3 + +(-1)

15、Pn-1Pn=a-2+4-8+ +(-1)2n=3a 1+2n 111.0.998求和公式 .12.設(shè)第 n 次濃度為 an ，a1= ( AB) P=(1-B )·P，a2= ( A B) a1=(1-B )2 ·P，依次類推： an=(1- B )n·P.AAAAA13. 2032n=4， 5， 10時，2n在 10 到 2000之間，其和為S=242.2101=2032.214.1 ( n1)a nna n 1.(1 a) 22115.若 21-2n>0 即 n<.2當(dāng) 1 n 10 時， an>0 由 bn=|an|得 bn=2-2n；當(dāng)

16、 11 n 30 時， an<0 由 bn=|an|得 bn =-an=2n-21.(191)10(139)20又 b10=a10=1， b11=-a11=1， b30=-a30=39 ， S30=S10+S 20=2+2=500.16. S3=S11， d=- 2a1， Sn=-1a1n2+14a1n=-1a1(n-7)2+49a1 ，故當(dāng) n=7 時， Sn 最大，即此數(shù)1313131313列前 7 項和最大 .17.(1) yn=2na1.(2) 由 y6=26a1 得 26a1=192，a1=3 ，S AB C=1 × 2n-1 a1× 2na1=9× 4n-1 ，故 SAB C所成的數(shù)列首項為9，nn2nn公比為 4 S5= 9(145 ) =3069.(14)18.第一年余下的基金為：31000(1+50%)- x=1000