第七章-頻響函數(shù)的估計(jì)

1、7.頻響函數(shù)的估計(jì)（相干分析）SISO系統(tǒng)的頻響汲其估計(jì)對于SISO系統(tǒng)，其頻響函數(shù)的估計(jì)有很多計(jì)算方法，主要的有三種估計(jì)式。 在沒有噪聲污染的情況下，它們的估計(jì)是等價(jià)的。但是實(shí)際上，由于不可避免的 存在噪聲，三種估計(jì)有所差異。本節(jié)討論在主要的三種噪聲污染下，三種傳統(tǒng)估計(jì)式與真值之間的誤差。7.1.1. 隨機(jī)激勵(lì)下的頻響函數(shù)考慮一個(gè)SISO時(shí)不變線性系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)函數(shù)為"3）。設(shè)隨機(jī)輸入和 響應(yīng)信號分別為X”）和.v（f）,其傅立葉變換分別為X3）和丫（助，則有y（0） =/（）上式兩端乘以x.（，取時(shí)間平均及集合平均，并注意“3）與平均無關(guān)，則史卓yx,3)= 奧小X,S“（G）

2、="（3）Sx3）如果S,（o）不為零，則可得系統(tǒng)的頻響函數(shù)的第一種計(jì)算式S_n®） S.M同樣，如果在系統(tǒng)輸入/出頻譜式兩端乘以廣出），取時(shí)間平均和集合平均，得 S,=（ Sy,®如果5；（不為零，則可得系統(tǒng)的頻響函數(shù)的第二種計(jì)算式將系統(tǒng)輸入/出頻譜式兩端取共根，得廣（=Hco）Xco）乘以原輸入/出頻譜式，并去時(shí)間平均和集合平均，得S,=|工可得系統(tǒng)的頻響函數(shù)的幅值計(jì)算式7.1.2. 頻響函數(shù)的估計(jì)方法考慮一個(gè)SISO時(shí)不變線性系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)函數(shù)為H3）。設(shè)系統(tǒng)的實(shí)際 輸入和響應(yīng)信號分別為和出），其傅立葉變換分別為U（M和V3）,它們的 測量信號分別為X。）

3、和）,其傅立葉變換分別為X3）和y（?！?t)r(t)%(t)x(t)n(t)y （1） 輸出端噪聲的影響若只有輸出端受到噪聲信號的污染，并設(shè)它與系統(tǒng)的“和I，無關(guān)。 則有X。)=(f)x(=U3)«) =W)+M)y =v(3)+n(3)A、 第一估計(jì)式 根據(jù)第一估計(jì)式的定義，有膽"卜X S,3)肥田v()x (+1 W3)x 加S.”®) + %®_ S“,( + S“n 3)s" S”由于噪聲與激勵(lì)，出）,亦即X。）無關(guān)，故根據(jù)大數(shù)定律，平均次數(shù)足夠 多時(shí)加（昉為零,則瓦=s.3)Sj(M%®)結(jié)果表明：只有輸出端響應(yīng)受到噪聲污

4、染時(shí)，通過平均，根據(jù)第一估計(jì)式得到的 頻響函數(shù)估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)的無偏估計(jì)。B、第二估計(jì)式根據(jù)第二估計(jì)式的定義，有Sy期卜y'3） 膽:卜廣史丫 f ,"3)+ f 皿""3)】+ 7 N “ 3)+ y n®)N *(«) liny y x V" 3)+ " x N' Sy (&) + S,“ (3)+ S“y (。) + S“ (。) _ S, (g) + S,.(3)+(3)+ S” (&)工 3)+工 3)sM+sniM由于噪聲與響應(yīng)y«）,以及激勵(lì)亦即x«）無關(guān)，

5、故根據(jù)大數(shù)定律，平 均次數(shù)足夠多時(shí)又（0）、s、.（和黑,（都為零，則s)3)+s“(MSM=也（。）式中，/=TT1S、. 可見，只有輸出端響應(yīng)受到噪聲污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第二估計(jì)式得到的 頻響函數(shù)估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)的有偏估計(jì)，是過估計(jì)。第三估計(jì)式根據(jù)第二估計(jì)式的定義，有若1卜尸他？ x(X，®)吧林卜(V+ 7皿丫/3)+ 7,"(3)+ y n®)N, 皿州(亞卜S"(G)+ Sy” (白)+ s, (g) + S“ (白)_ S、.(白)+ S、，n (&) + S“| (3)+ s“ (&) s“S“由于噪聲(/)與響應(yīng)M1)

6、無關(guān)，故根據(jù)大數(shù)定律，平均次數(shù)足夠多時(shí)S,“(0)和S”y(都為零，則產(chǎn)闡=y/畫瑞式中，凡瑞可見，只有輸出端響應(yīng)受到噪聲污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第三估計(jì)式得到的 頻響函數(shù)幅值的估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)幅值的有偏估計(jì)，也是過估計(jì)。因此，只有輸出響應(yīng)受到噪聲污染時(shí)，頻響函數(shù)的三種估計(jì)式有如下關(guān)系：同=口(砌V 1%V I"2 H(2) 輸入端噪聲的影響若只有輸入端受到噪聲信號出)的污染，并設(shè)它與系統(tǒng)的和U無關(guān)。 則有x(t) =(/) + ?(/)X(<y) =(/(£»)+Af(d>)州=W)Y(co) = V(ty)A、 第一估計(jì)式根據(jù)第一估計(jì)式的定義，有八

7、 S(3) s,_s“3)_儲53)+黑3) 1 卜 s,。)結(jié)果表明：只有輸入端激勵(lì)受到噪聲污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第一估計(jì)式得到的 頻響函數(shù)估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)的欠估計(jì)。B、 第二估計(jì)式根據(jù)第二估計(jì)式的定義，有可見，只有輸入端激勵(lì)受到噪聲污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第二估計(jì)式得到的 頻響函數(shù)估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)的無偏估計(jì)。第三估計(jì)式根據(jù)第二估計(jì)式的定義，有a / j2 _s、.(嘰 s,_ 凡 3r" 13) s“3)+s,n®) s-可見，只有輸入端激勵(lì)受到噪聲污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第三估計(jì)式得到的 頻響函數(shù)幅值的估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)幅值的有偏估計(jì)，也是欠估計(jì)。所以，只有輸入激勵(lì)受

8、到噪聲污染時(shí)，頻響函數(shù)的三種估計(jì)式有如下關(guān)系：I" iH< Ha 3k囚=凡(3) 輸入/輸出端復(fù)合噪聲的影響若系統(tǒng)的輸入/輸出端分別受到噪聲信號)/ 的污染，并設(shè)它們與系統(tǒng) 的和Ip)無關(guān)。則有x(t) =(/) + ?(/)X(3)=U(co)+ M(co)y(f) =)+(，)丫=v3)+n®)A、第一估計(jì)式根據(jù)第一估計(jì)式的定義，可以推得可見，在系統(tǒng)輸入激勵(lì)和輸出端響應(yīng)都受到噪聲污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第一估 計(jì)式得到的頻響函數(shù)估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)的欠估計(jì)，并且與響應(yīng)信號中的噪聲無 關(guān)。B、第二估計(jì)式同理，根據(jù)第二估計(jì)式的定義，可以推導(dǎo)出孫羽拿，瑞上式表明，在系統(tǒng)輸

9、入激勵(lì)和輸出端響應(yīng)都受到噪聲污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第 二估計(jì)式得到的頻響函數(shù)估計(jì)是實(shí)際頻響函數(shù)的有偏估計(jì)，是過估計(jì)，并且與系 統(tǒng)的輸入噪聲無關(guān)。第三估計(jì)式丑2尚I 十7CSJ根據(jù)第二估計(jì)式的定義，可以推得S、.(g)_ Sy(G)+S“ _ S,.®)S)( Su(co)+Sin(a) S” 進(jìn)一步分析上式，可以得出下述結(jié)論：在系統(tǒng)輸入激勵(lì)和輸出端響應(yīng)都受到噪聲氏是較污染時(shí)，通過平均，根據(jù)第三估計(jì)式得到的頻響函數(shù)幅值的估計(jì)向(4和艮(4都更為接近實(shí)際頻響函數(shù)幅值I"的估計(jì)。因此，在系統(tǒng)輸入激勵(lì)和輸出端響應(yīng)都受到噪聲污染的情況下，頻響函數(shù)的 三種估計(jì)式有如下關(guān)系：向 冏（回x

10、 Hco 應(yīng)綜上所述，根據(jù)上述所有分析過程，可以進(jìn)一步獲得以下幾點(diǎn)結(jié)論：(1) 頻響函數(shù)的第一估計(jì)式可以抑制輸出響應(yīng)噪聲，第二估計(jì)式則可以抑制系統(tǒng)的輸入激勵(lì)噪聲；(2) 在各種噪聲情況下，第一、第二估計(jì)式給出了實(shí)際頻響函數(shù)的X圍：向引”引見回;(3) 在受到噪聲的情況下，第三估計(jì)式雖然與實(shí)際頻響函數(shù)最為接近，但是由于它只能給出頻響幅值的估計(jì)，無法獲得相頻特性信息，故在實(shí)際中很少使用；根據(jù)上面的第二點(diǎn)綜合結(jié)論，可知：0<<1一|/®廣將第一、二無估計(jì)式代入上式，可知：E 艮上口_閔_ %3凡3)_ %®煒(_乜凡一艮3瓦(到一臬3瓦一兄3鳳一"®

11、;%®) 一上式成為相干函數(shù)，記為根據(jù)互譜不等式，顯然有,o<4（）<i如果測試信號不受噪聲污染，出（等于名，則吸等于lo如果測試信 號完全被噪聲淹沒，片®）將趨于零。所以，相干函數(shù)反映了測試信號受噪聲污 染的程度。相干函數(shù)數(shù)值越大，說明噪聲污染越小。在無噪聲的情況下，/（刃）=/（昉=際-=一）一）s“（啦”從這個(gè)意義上而言，對于兩個(gè)任意信號，相干函數(shù)反映了兩個(gè)信號的相干關(guān)系。 如果兩個(gè)信號的相干函數(shù)等于1,則說明這兩個(gè)信號之間必定存在類似理想無噪 聲的線性系統(tǒng)輸入/出之間的相干關(guān)系。值得指出的是，線性系統(tǒng)這一點(diǎn)非常重要。如果系統(tǒng)具有非線性特性，其輸入輸 出之

12、間的關(guān)系不能由傳遞函數(shù)完全表達(dá)，相干函數(shù)將不等于1,會(huì)降低。通常，在實(shí)際情況下，當(dāng)相干函數(shù)大于零但小于1時(shí)，有下面四個(gè)主要原因的 一個(gè)或多個(gè)成立：（1） 測量中有外界噪聲；（2） 兩個(gè)信號之間的系統(tǒng)不是線性的；（3） 系統(tǒng)有測量輸入之外的其它激勵(lì)源；（4） 譜估計(jì)中有偏度誤差，主要包括采樣混疊、頻率泄漏、分辨率不夠，以及計(jì)算誤差等等。當(dāng)系統(tǒng)只有輸出響應(yīng)噪聲時(shí)，而且與系統(tǒng)的輸入/輸出都不相關(guān)時(shí)，頻響函 數(shù)的第一估計(jì)式是系統(tǒng)頻響函數(shù)的無偏估計(jì)，則系統(tǒng)的輸出譜可以表示為S,=岡°1*,（。） = |瑞卜%（。凡（。）通常將相干函數(shù)與輸出自功率譜的乘積稱為相干輸出譜C上式表明，相干輸 出譜可

13、以解釋為輸出功率譜中，由線性系統(tǒng)形成的部分。輸出噪聲功率譜可以通過下式計(jì)算S” （加=Sy-Sv=1-吸（琲，（它可以解釋為線性運(yùn)算時(shí)沒有計(jì)及的由于上述四個(gè)原因形成的那部分輸出。上式可以改寫成匕3）=1-瑞因此，相干函數(shù)的下降可以理解為在各個(gè)頻率點(diǎn)的輸出信噪比的下降。7.2. MIMO系統(tǒng)的頻響函數(shù)及其估計(jì)7.2.1. MIMO系統(tǒng)的頻響函數(shù)考慮一個(gè)MIMO多自由度的時(shí)不變線性系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)函數(shù)為H3）。在 m個(gè)輸入平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)的作用下，其n個(gè)輸出響應(yīng)也是平穩(wěn)的隨機(jī)過程。設(shè)隨 機(jī)輸入和響應(yīng)信號分別為x和.vQ）,其傅立葉變換分別為XQ）和丫（助，則有Yco) ="(g)X(勿)展開

14、寫成矩陣形式，即%（城丫2（&）”£句 ”22®)”2(X1X2®)上式兩端右乘X3）,取時(shí)間平均及集合平均，并注意與平均無關(guān)，則媽日卜X=" 吧,x(X 即式中互譜矩陣為況|如s叱3)s攸3)一c / Sx2、，(g) S.r2y 2 x2v«(<y)兀川“鵬3)5皿“(0)J/1s£g)=s;自譜矩陣為兀式“卜式一sM=_S.em SylyMC S如 Sv(g) =S/加Sx2x23)Sx2x,“3)乂混Sf一%皿(%y”3)- S、2y23)Sy2y”3)Sv“2(G)S”g(G)如果S,(o)不為零，則可得系統(tǒng)的

15、頻響函數(shù)的第一種計(jì)算式(同樣，如果在系統(tǒng)輸入/出頻譜式兩端右乘y(G),取時(shí)間平均和集合平均，得從上式可以得知，當(dāng)輸入/輸出數(shù)目不相等時(shí)，sVx(時(shí)不是方陣，與SISO系統(tǒng), 不能利用上式估計(jì)頻響函數(shù)矩陣。將系統(tǒng)輸入/出頻譜式兩端取轉(zhuǎn)置共根，得y(3)= ”x(°)以上式右乘原輸入/出頻譜式，并取時(shí)間平均和集合平均，得從上式可以看出，對于一般情況下，上式也很難用于MIMO系統(tǒng)的頻響函數(shù)矩 陣的估計(jì)計(jì)算。所以，對于MIMO系統(tǒng)，通常采用第一種估計(jì)方法去計(jì)算頻響函數(shù)矩陣。采用這種估計(jì)方法的缺點(diǎn)是，在某些頻率點(diǎn)處，有可能出現(xiàn)輸入自譜矩陣條 件數(shù)很低時(shí)，這時(shí)，這種估計(jì)將會(huì)引起很大的估計(jì)偏差；

16、當(dāng)輸入自譜矩陣奇異時(shí), 估計(jì)失敗。所以，在實(shí)際應(yīng)用中，通常采用/估計(jì)算法。一般認(rèn)為，/估計(jì)與 上述估計(jì)在理論上等價(jià)。7.2.2. 頻響函數(shù)的MISO估計(jì)方法對于MISO的情況的系統(tǒng)頻響函數(shù)估計(jì)相對簡單，在理論上可以進(jìn)行分析， 有助于理解頻響函數(shù)和相干函數(shù)在MIMO的應(yīng)用。在MISO的估計(jì)模型中，由于輸入情況很復(fù)雜，通常假定輸入沒有噪聲，所 有噪聲污染都在輸出端引入一個(gè)輸出噪聲一并考慮。對于這種情況下，系統(tǒng)的輸入/輸出頻譜特性之間有X（6y） =N®）,其中，匕（昉=兄3禺3）,i = i,2,國由上式，噪聲項(xiàng)N（及其復(fù)共機(jī)可以寫成%出）=丫3）-£兄（3區(qū)3）于是N*-/;

17、3）X；=1上面兩式相乘，得Na）N * （=Y（a）Y"q/-I上式取時(shí)間平均和集合平均，得S“（3）=S,.（3）-r-lr-l+Z t "； ®）"i （©瓦f-1 J-l這就為估計(jì)頻響函數(shù)確定了噪聲功率譜函數(shù)?，F(xiàn)在定義最優(yōu)系統(tǒng)為這樣的系統(tǒng): 所取得的頻響函數(shù)，應(yīng)能使噪聲功率譜函數(shù)取得最小。令3）dH（=0或者”單=0dH j可以得到，,口，）= 一%，（ + Z Hi（B）Sji（8）=o j沁 于是%3） = ±乩（3瓦3）,j = 12 國如果進(jìn)一步假定輸入之間兩兩不相關(guān)，則上式可以簡化為S 力 3)=% 3%,j = L

18、2，,q這就意味著整個(gè)系統(tǒng)只是簡單的SISO系統(tǒng)的線性組合。7.2.3. 重相干函數(shù)根據(jù)SISO系統(tǒng)的相干函數(shù)的定義，可以知道對于MISO和MIMO系統(tǒng)， 通常的相干函數(shù)，即常相干函數(shù)不能用來判別所估計(jì)的MISO系統(tǒng)的頻響函數(shù) 的好壞。根據(jù)MISO系統(tǒng)的特點(diǎn)，我們可以將所有輸入的線性疊加定義為一個(gè)理想線 性輸出，模仿只有輸出噪聲的SISO系統(tǒng)的相干分析來分析。定義理想的線性輸出與實(shí)際測量之間的常相干函數(shù)為MISO系統(tǒng)的重相干 函數(shù)，記作nS(°)_s,(Z3) S>M小-Q) 記號的含義是，在所有輸入都作用下的理想輸出與實(shí)際輸出之比。理想輸出功率 譜的計(jì)算為s、3)=Z Z h：)(啦=Z h；(啦、3)j=1 7=1/=!與SISO系統(tǒng)一樣，這個(gè)理想輸出譜通常也稱為重相干輸出譜。對于輸入之間相互獨(dú)立的情況，重相干函數(shù)是所有輸入輸出之間的常相干函數(shù)的 和。重相干函數(shù)提供了一種方法來判別MISO系統(tǒng)的頻響函數(shù)的估計(jì)的準(zhǔn)則。但應(yīng) 注意，利用重相干函數(shù)，不能判斷單一輸入與輸出之間的傳遞特性估計(jì)的好壞。為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，引入條件譜估計(jì)的概念，并進(jìn)而定義偏相干函數(shù)。7.2.4,條件譜函數(shù)對于前面定義的MISO系統(tǒng)，定義條件功率譜為式中，條件頻譜的計(jì)算為各自的頻譜函數(shù)，按SISO的輸出噪