第5章剛體的定軸轉(zhuǎn)動

1、天津工程師范學院 第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動 本章學習目標理解：剛體、剛體轉(zhuǎn)動、轉(zhuǎn)動慣量的概念；剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及角動量守恒定律。掌握：轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)動中的功和能的計算；用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律及角動量守恒定律求解定軸轉(zhuǎn)動問題的基本方法。 本章教學內(nèi)容1剛體的運動2剛體定軸轉(zhuǎn)動定律3轉(zhuǎn)動慣量的計算4剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用5轉(zhuǎn)動中的功和能6對定軸的角動量守恒 本章重點剛體轉(zhuǎn)動慣量的物理意義以及常見剛體繞常見軸的轉(zhuǎn)動慣量；力矩計算、轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用；剛體轉(zhuǎn)動動能、轉(zhuǎn)動時的角動量的計算。 本章難點力矩計算、剛體轉(zhuǎn)動過程中守恒的判斷及其準確計算。4.1 剛體的運動一、剛體的概念物體的一些運動是

2、與它的形狀有關(guān)的，這時物體就不能看成質(zhì)點了，其運動規(guī)律的討論就必須考慮形狀的因素。有形物體的一般性討論也是一個非常復(fù)雜的問題，全面的分析和研究是力學專業(yè)課程學習的內(nèi)容。在大學物理中，我們討論有形物體的一種特殊的情況，那就是物體在運動時沒有形變或形變可以忽略的情況。如果物體在運動時沒有形變或其形變可以忽略，我們就能抽象出一個有形狀而無形變的物體模型，這模型叫做剛體。剛體的更準確更定量的定義是：如果一個物體中任意的兩個質(zhì)點之間的距離在運動中都始終保持不變，則我們稱之為剛體。 被認為是剛體的物體在任何外力作用下都不會發(fā)生形變。實際物體在外力作用下總是有形變的，因此剛體是一個理想模型。它是對有形物體運

3、動的一個重要簡化。 實際物體能否看成是剛體不是依據(jù)其材質(zhì)是否堅硬，而是考察它在運動過程中是否有形變或其形變是否可以忽略。 正如質(zhì)點中所討論的那樣，剛體也就是一個質(zhì)點系，而且是一個較為特殊的剛性的質(zhì)點系，它的運動規(guī)律較之于一個質(zhì)點相對位置分布可以隨時改變的一般質(zhì)點系而言，要簡單得多。 二、剛體的運動剛體運動的基本形式有平動和轉(zhuǎn)動，剛體任意的運動形式都可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的迭加。 1、剛體的平動1）平動的定義如果在一個運動過程中剛體內(nèi)部任意兩個質(zhì)點之間的連線的方向都始終不發(fā)生改變，則我們稱剛體的運動為平動。平動的示意圖如下。電梯的上下運動，纜車的運動都可看成剛體平動。剛體的平動2）平動的特點 剛體

4、平動的一個明顯特點是，在平動過程中剛體上每個質(zhì)點的位移、速度和加速度相同。這意味著，如果我們要研究剛體的平動，只需要研究某一個質(zhì)點，例如質(zhì)心的運動就行了。因為這一個質(zhì)點的運動規(guī)律就代表了剛體所有質(zhì)點的運動規(guī)律，也即剛體的運動規(guī)律。在這個意義上我們可以說，剛體平動的運動學屬于質(zhì)點運動學，可以使用質(zhì)點模型。 剛體平動的動力學也可以使用質(zhì)點模型，通過質(zhì)點動力學來解決。這實際上并不是新問題，如牛頓運動定律的多數(shù)題目中出現(xiàn)的都是有形狀的物體，但只要它是在平動，我們就仍可以用牛頓運動定律來正確地處理它們。實際上，這時我們用牛頓運動定律求出來的是質(zhì)心的加速度，但是由于在平動中剛體上每個質(zhì)點的加速度相同，所以

5、質(zhì)心的加速度也就代表了所有質(zhì)點的加速度。 綜上所述我們知道，剛體平動可以使用質(zhì)點模型，我們可以用前面質(zhì)點力學中的知識去分析和處理它們。 2、剛體的定軸轉(zhuǎn)動1）轉(zhuǎn)動的定義如果在一個運動過程中，剛體上所有的質(zhì)點均繞同一直線作圓周運動，則我們稱剛體在轉(zhuǎn)動，該直線稱為轉(zhuǎn)軸。如火車車輪的運動、飛機螺旋漿的運動都是轉(zhuǎn)動。如果轉(zhuǎn)軸是固定不動的，則稱為定軸轉(zhuǎn)動，如車床齒輪的運動、吊扇扇頁的運動均屬于定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動是否是定軸的，取決于參照系的選擇。剛體的定軸轉(zhuǎn)動2）定軸轉(zhuǎn)動的特點定軸轉(zhuǎn)動中剛體上的任一質(zhì)點p都繞一個固定軸作圓周運動，見上圖，習慣上常把轉(zhuǎn)軸設(shè)為z軸，圓周所在平面M稱為質(zhì)點的轉(zhuǎn)動平面，轉(zhuǎn)動平面與轉(zhuǎn)軸

6、垂直。質(zhì)點作圓周運動的圓心O叫做質(zhì)點的轉(zhuǎn)心，質(zhì)點對于轉(zhuǎn)心的位矢r叫做質(zhì)點的矢徑。定軸轉(zhuǎn)動顯著的特點是：轉(zhuǎn)動過程中剛體上所有質(zhì)點的角位移、角速度和角加速度相同，我們稱之為剛體轉(zhuǎn)動的角位移、角速度和角加速度。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述剛體定軸轉(zhuǎn)動最佳的描寫方法是角量描寫。物體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度是有方向的，我們常說某物體轉(zhuǎn)動的角速度是逆時針方向或順時針方向，就是在描述角速度的方向。對于剛體定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動方向的描述與觀察方向有關(guān)，在下圖中逆著z軸從上向下看和沿著z軸從下向上看得到的結(jié)論正好相反。為了準確描述角速度和角加速度的方向，我們把角速度和角加速度定義為矢量。角速度和角加速度已經(jīng)有了大小的定義，現(xiàn)

7、在要賦予它們方向。1、角速度矢量我們規(guī)定，物體的角速度矢量的方向與直觀的轉(zhuǎn)動方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系：當我們伸直大姆指并彎曲其余的四個手指，使四個手指指向直觀的轉(zhuǎn)動方向時，大姆指所指的方向即為角速度矢量的方向。在上圖（a）中，剛體的轉(zhuǎn)動是逆時針方向的，按右手螺旋法則，我們說它的角速度沿z軸向上；在上圖（b）中，剛體的轉(zhuǎn)動是順時針方向的，我們說它的角速度向下。角速度矢量還可以使用如下的數(shù)學表達式來表示：（1）式中n表示轉(zhuǎn)動方向，表示角速度的大小。2、角加速度矢量角加速度矢量定義為（2）顯然，若角加速度矢量的方向與角速度矢量的方向相同，見下圖（a），則角速度在增加；反之，若角加速度與角速度的方向相反，

8、見下圖（b），則角速度在減小。從圖（a）、（b）中不難驗證，角加速度矢量的方向與直觀轉(zhuǎn)動的加速方向也構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。既當四個手指指向直觀的加速方向時，大姆指所指向的方向即為角加速度矢量的方向。角加速度矢量顯然，在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，角速度和角加速度矢量的方向只有沿著z軸和逆著z軸兩個方向。可以把沿z軸的角速度叫做正角速度，逆著z軸的角速度叫做負角速度，這是角速度的標量表述。對角加速度也可作同樣的標量表述，讀者可自行推廣。3、定軸轉(zhuǎn)動的線量當剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上的各個質(zhì)點都有速度和加速度。這些質(zhì)點的速度和加速度與剛體的角速度和角加速度矢量有什么關(guān)系呢？在矢量描述中，剛體定軸轉(zhuǎn)動的角量與線量的

9、關(guān)系將包含方向之間的關(guān)系而表現(xiàn)得更加完整。若考察剛體上的一個質(zhì)點對z軸的徑矢為r，則其速度、切向加速度和法向加速度和角速度與角加速度的矢量關(guān)系為：(3)這個式子大家可以自己推導。其意義可以由下圖看出。剛體定軸轉(zhuǎn)動中角量與線量的矢量關(guān)系在后面的討論中，角速度和角加速度的矢量表述和標量表述都會用到，這主要取決于具體問題中用什么描述方法更為方便。5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律一、對定軸的力矩在力矩知識點中我們討論了對定點的力矩，也簡單介紹了對軸的力矩。在此處我們進一步詳細討論對定軸的力矩。如下圖所示，一剛體繞定軸z轉(zhuǎn)動（只畫出了剛體一部分），力F作用在剛體上p點，且力的方向在p點的轉(zhuǎn)動平面M內(nèi)。如果力不在

10、轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，可以把F分解為沿軸z方向的分力和在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力。軸向分力是要改變軸的方向，在定軸轉(zhuǎn)動中會被定軸的支撐力矩抵消而不起作用，所以我們可以只考慮在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)分力的作用，以后我們也只討論力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的情況。設(shè)p點的轉(zhuǎn)心為O，徑矢為r。通常把力F對定軸z的力矩定義為一個矢量（1）它的大小為 （2）或 （3）其中稱為力F對軸的力臂，為力F的切向分量。由（5-3）式可知，力矩矢量的方向是矢徑r和力F矢積的方向。圖中的力矩矢量的方向向上。 在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩矢量的方向只有沿著z軸和逆著z軸兩個方向。我們把沿z軸的力矩叫做正力矩，逆著z軸的力矩叫做負力矩，這是力矩的標量表述。 對定軸的力

11、矩可以證明，力對定軸z的力矩不過是力對軸上任一定點的力矩在z軸方向的分量，所以它們的討論和表示方式才如此相似。 若作用在p點的力不止一個，即是一個合力，則該點所受合力的力矩等于各分力力矩之和。簡要證明如下：按（1）式，合力的力矩 (4) 其中為各分力的力矩，證畢。 由于作用力和反作用力是成對出現(xiàn)的，所以它們的力矩也成對出現(xiàn)。由于作用力與反用力的大小相等，方向相反且在同一直線上因而有相同的力臂，見下圖，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和為零。 (5)作用力矩和反作用力矩二、剛體對定軸的角動量在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，剛體對定軸的角動量是一個很重要的物理量，在很多問題的分析中都要用到這

12、個概念，下面我們來討論這個問題。剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，它的每一個質(zhì)點都在與軸垂直的平面上運動。下面我們先分析質(zhì)點對定軸的角動量，而且只考慮質(zhì)點在軸的垂面上運動的情況。如下圖所示，有一質(zhì)點在z軸的垂面M內(nèi)運動，質(zhì)點的質(zhì)量為m，對z軸（即對質(zhì)點轉(zhuǎn)心）的矢徑為r，速度為v，動量p=mv。如同在角動量知識點中討論的一樣，我們定義質(zhì)點對定軸的角動量為 (6)它的大小為 (7)其中稱為動量臂。由（6）式可知，角動量的方向是矢徑r和動量p矢積的方向。質(zhì)點對定軸的角動量在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，質(zhì)點的角動量的方向只有沿著z軸和逆著z軸兩個方向。我們把沿z軸的力矩叫做正角動量，逆著z軸的力矩叫做負角動量，這是角動量的標量

13、表述。 可以證明，質(zhì)點對定軸z的角動量是質(zhì)點對z軸上任一定點的角動量在z軸方向的分量?？梢钥闯?，質(zhì)點對定軸的角動量的定義和力對定軸的力矩定義在結(jié)構(gòu)上相同。 定軸轉(zhuǎn)動剛體對軸的角動量定義為剛體各質(zhì)點對軸的角動量的矢量和其中Li為第i個質(zhì)點的角動量。設(shè)第i個質(zhì)點質(zhì)量為mi，速度為vi，對z軸的徑矢為，則 由于定軸轉(zhuǎn)動時剛體中每一個質(zhì)點都在進行圓運動，如圖所示。質(zhì)點的速度和矢徑垂直，所以質(zhì)點對z軸的角動量的大小為 其中ri是質(zhì)點到軸的距離，為剛體轉(zhuǎn)動的角速度?？紤]到質(zhì)點圓運動時角動量矢量的方向和角速度矢量的方向始終相同，故有 把各質(zhì)點的角動量相加得到剛體對定軸的角動量 根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，則剛體對定

14、軸的角動量 （8）即在剛體轉(zhuǎn)動慣量已知的情況下，由上式可以很容易地計算出剛體對定軸的角動量。三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律剛體作為一個質(zhì)點系，必然遵從質(zhì)點系角動量定理： 其物理意義是，作用于剛體的合外力矩等于剛體的角動量對時間的變化率。這個結(jié)論無論是對定點或是對定軸均成立。把剛體對定軸的角動量帶入上式，注意到剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量為一常量，有 注意到式中為剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度，可記作 （9）此式即稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律，它表示在定軸轉(zhuǎn)動中剛體角加速度的大小與合外力矩成正比而與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比，角加速度的方向與合外力矩的方向一致。如前所述，力矩和角加速度都可以用標量來描述，采用標量描述的轉(zhuǎn)動

15、定律為。從以上的簡單推證中可以看出，剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律實際上就是角動量定理的一個變形表示。由于剛體對定軸的角動量的形式十分簡潔，而且轉(zhuǎn)動慣量J又是一個常量，所以能很容易地得到這個很重要的定律。轉(zhuǎn)動定律說明定軸轉(zhuǎn)動中剛體角加速度與合外力矩的關(guān)系。轉(zhuǎn)動定律的推導過程和物理意義都很像從動量定理得到的牛頓第二定律：。注意到牛頓第二定律中的質(zhì)量m和轉(zhuǎn)動定律中的轉(zhuǎn)動慣量J在定律中的地位是完全對應(yīng)的，由此能夠進一步理解轉(zhuǎn)動慣量的物理意義。在對定律的理解中應(yīng)注意，定律中合外力矩M，轉(zhuǎn)動慣量J，角加速度均是對同一定軸而言，請勿混淆。3.3 轉(zhuǎn)動慣量的計算一、 剛體轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動是具有慣性的。例如，飛輪高速轉(zhuǎn)動

16、后要使其停下來就必須施加外力矩，靜止的飛輪要轉(zhuǎn)動起來也必須外力矩的作用。這說明了轉(zhuǎn)動確實具有慣性。轉(zhuǎn)動慣性的大小用什么物理量來描寫呢？對定軸轉(zhuǎn)動的剛體而言可以使用所謂的轉(zhuǎn)動慣量來描寫它轉(zhuǎn)動慣性的大小。更復(fù)雜的剛體運動需要使用慣量張量來描寫。1、轉(zhuǎn)動慣量的定義使用離散方法，剛體可以看成是由很多質(zhì)點組成的，則剛體的轉(zhuǎn)動慣量定義為：（1）式中mi表示剛體的某個質(zhì)點的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。 2、轉(zhuǎn)動慣量的討論在剛體對定軸的角動量的定義中出現(xiàn)一個新的物理量：轉(zhuǎn)動慣量。按（1）式，轉(zhuǎn)動慣量定義為。它取決于剛體對軸的質(zhì)量分布。對通常質(zhì)量密度均勻的剛體，它取決于剛體的質(zhì)量、形狀和轉(zhuǎn)軸位置三個因

17、素。轉(zhuǎn)動慣量的定義表明，一個質(zhì)點對定軸的轉(zhuǎn)動慣量是，而剛體的轉(zhuǎn)動慣量就是剛體中的所有質(zhì)點轉(zhuǎn)動慣量之和。這也意味著一個剛體整體的轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)等于其各部分的轉(zhuǎn)動慣量之和?！纠?】如圖所示，一正方形邊長為l，它的四個頂點各有一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，求此系統(tǒng)對（1）z1軸；（2）z2軸；（3）z3軸的轉(zhuǎn)動慣量?！窘狻?1)對z1軸，四個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量均為，故 (2)對z2軸，a、d兩質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量為零，而b、c兩質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量均為ml2，故(3)對z3軸對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，定義中的求和要通過積分來進行?？稍趧傮w中取一質(zhì)元，若質(zhì)元質(zhì)量為dm，到轉(zhuǎn)軸的距離為r，則質(zhì)元對軸的轉(zhuǎn)動慣量，而剛體的轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)為各質(zhì)

18、元轉(zhuǎn)動慣量之和即積分(2)積分域為剛體的全部質(zhì)量。質(zhì)量分布通常用質(zhì)量密度來描述，如果質(zhì)量在空間構(gòu)成體分布，則空間任一點的質(zhì)量體密度定義為該點附近單位體積內(nèi)的質(zhì)量如果式（2）中的質(zhì)元的體積為，而該點的質(zhì)量體密度為，則質(zhì)元的質(zhì)量把此式代入（2）式，積分即為體積分。如果質(zhì)量構(gòu)成面分布，則質(zhì)量面密度定義為該處單位面積內(nèi)的質(zhì)量如果所取質(zhì)元的面積為，而該點的質(zhì)量面密度為，則質(zhì)元的質(zhì)量 把此式代入（2）式，積分為面積分。對于線分布，質(zhì)量線密度定義為單位長度內(nèi)的質(zhì)量 如果質(zhì)元的長度為，該點的質(zhì)量面密度為，則質(zhì)元的質(zhì)量 把此式代入（2）式，積分為線積分。 【例2】有一勻質(zhì)細桿長度為l，質(zhì)量為m。求細桿對于與桿垂

19、直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，(1)軸在桿的一端；(2)軸在桿的中心?！窘狻?1)細桿的質(zhì)量線密度，如圖所示，在距軸r處取一線元dr。線元的質(zhì)量為，線元的轉(zhuǎn)動慣量，故細桿的轉(zhuǎn)動慣量為(2)若軸在桿中心，可以把桿從中心分為兩個部分，兩個部分的轉(zhuǎn)動慣量相等，而且每一部分的轉(zhuǎn)動慣量都可以用問題（1）中的結(jié)論來表示。只是每部分的長度只有，質(zhì)量也只有?！纠?】如下圖所示，有一質(zhì)量均勻分布的細圓環(huán)，半徑為r，質(zhì)量為m，求圓環(huán)對過圓心并與環(huán)面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量?！窘狻?在環(huán)上取一質(zhì)量為dm的質(zhì)元，它對軸的轉(zhuǎn)動慣量，故圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為 【例4】如下圖所示，有一質(zhì)量均勻分布的圓盤，半徑為R，質(zhì)量為m，求圓盤對過圓心并與

20、圓盤垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。 【解】盤的質(zhì)量面密度為，在盤上取一半徑為r，寬度為dr的圓環(huán)，圓環(huán)面積，圓環(huán)的質(zhì)量為，利用上一題的結(jié)論，圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為 故圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為 二、常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量見下表。常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體形狀轉(zhuǎn)軸位置轉(zhuǎn)動慣量細棒中垂軸細棒一端的垂直軸圓柱體幾何對稱軸薄圓環(huán)幾何對稱軸薄圓環(huán)任意直徑為軸圓盤幾何對稱軸圓盤任意直徑為軸球體任意直徑為軸圓筒幾何對稱軸三、平行軸定理平行軸定理常用于求轉(zhuǎn)動慣量。如圖所示，可以證明，若剛體對過質(zhì)心C的軸ZC的轉(zhuǎn)動慣量為JC，則剛體對另一與ZC平行的軸Z的轉(zhuǎn)動慣量為 平行軸定理其中m為剛體的質(zhì)量，d為兩軸之間的距離。這就是平

21、行軸定理，定理的證明讀者可以參閱書后列出的有關(guān)參考書。5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用與牛頓運動定律的應(yīng)用相似。牛頓運動定律應(yīng)用的基礎(chǔ)是受力分析，而對于轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用，則不僅要進行受力分析，還要進行力矩分析。按力矩分析可用轉(zhuǎn)動定律列出剛體定軸轉(zhuǎn)動的動力學方程并求解出結(jié)果。 在剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用中還常常涉及到與牛頓運動定律的綜合。題目的復(fù)雜性相對較大，這也是大家注意的問題。下面我們以具體的例子來給大家介紹剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用方法。 【例1】如圖所示，一輕桿（不計質(zhì)量）長度為2l，兩端各固定一小球，A球質(zhì)量為2m，B球質(zhì)量為m，桿可繞過中心的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，求

22、桿與豎直方向成角時的角加速度。 【解】 輕桿連接兩個小球構(gòu)成一個簡單的剛性質(zhì)點系統(tǒng)。系統(tǒng)運動形式為繞O軸的轉(zhuǎn)動，應(yīng)該用轉(zhuǎn)動定律求解 （1） 先分析系統(tǒng)所受的合外力矩。系統(tǒng)受外力有三個，即A、B受到的重力和軸的支撐作用力。軸的作用力對軸的力臂為零，故力矩為零，系統(tǒng)只受兩個重力矩作用。以順時針方向作為運動的正方向，則A球受力矩為正，B球受力矩為負，兩個重力的力臂相等為，故合力矩 (2) 系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為兩個小球（可看作質(zhì)點）的轉(zhuǎn)動慣量之和 (3) 將（2）（3）式代入（1）式 有 解得 【例2】如圖所示，有一勻質(zhì)細桿長度為l，質(zhì)量為m，可繞其一端的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。當它自水平位置自由下擺

23、到角位置時角加速度有多大？ 【解】 桿受到兩個力的作用，一個是重力，一個是O軸作用的支撐力。O軸的作用力的力臂為零，故只有重力提供力矩。重力是作用在物體的各個質(zhì)點上的，但對于剛體，可以看作是合力作用于重心。即桿的中心，力臂為。桿對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為。按轉(zhuǎn)動定律 有 即 解得 【例3】如圖所示，一固定光滑斜面上裝有一勻質(zhì)圓盤A作為定滑輪，輪上繞有輕繩（不計質(zhì)量），繩上連接兩重物B和C。已知A、B、C的質(zhì)量均為m，輪半徑為r，斜面傾角。若輪軸的摩擦可忽略，輪子和繩子之間無相對滑動，求裝置啟動后兩重物的加速度及繩中的張力？ 【解】 A、B、C構(gòu)成一個連接體，A輪沿順時針方向轉(zhuǎn)動，B物體向下運動，C物體

24、沿斜面向上運動。設(shè)A的角加速度為，B、C加速度的大小相等設(shè)為a，繩子中張力的大小在A、B間設(shè)為T1、（），在A、C間設(shè)為T2、（）。T1和T2不相等，否則輪A受合力矩將為零，就不可能隨繩子運動了，這顯然不符合題意。 對滑輪A，滑輪所受的重力的力心在軸上，輪軸的支撐力也在軸上，它們的力臂均為零，故力矩也為零，所以只有繩子的張力T1和T2提供力矩，按轉(zhuǎn)動定律有 對重物B，按牛頓運動定律有 對重物C，按牛頓運動定律有 由于輪子和繩子之間無相對滑動，A輪邊緣的切向加速度和B、C加速度的大小相等，又按角量與線量關(guān)系有 聯(lián)立以上四個方程可解得 【例4】如圖所示，有一勻質(zhì)圓盤半徑為R，質(zhì)量為m，在水平桌面上

25、繞過圓心的垂軸O轉(zhuǎn)動。若圓盤的初角速度為，桌面的摩擦系數(shù)為并且與相對速度無關(guān)。求圓盤停止下來所需要的時間以及停轉(zhuǎn)過程中的角位移？ 【解】 此題的難點在于求圓盤所受的摩擦力矩。圓盤的質(zhì)量面密度為。如圖設(shè)立平面極坐標，取面元，面元的質(zhì)量，面元受到桌面的正壓力等于它受到的重力 ,面元受到的摩擦力 摩擦力矩為 整個圓盤受到的摩擦力矩為 方向與轉(zhuǎn)動方向相反。圓盤受到的重力和桌面正壓力的力心在O軸上，力矩為零。 按轉(zhuǎn)動定律 有 解得 盤的角加速度為常量，負號表示力矩和角加速度方向與角速度方向相反。 再由勻角加速度運動公式 得到轉(zhuǎn)動時間 而轉(zhuǎn)動角位移為 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能一、力矩的功在定軸轉(zhuǎn)動的剛體上若

26、有力作用，這個力將形成力矩，力對剛體做功也表現(xiàn)為力矩做功，下面我們來分析這個問題。力矩的功上圖中，一個剛體繞O軸轉(zhuǎn)動，力F作用于p點，設(shè)若在一個極短的時間內(nèi)剛體轉(zhuǎn)動了一個微小角度，作用點位移為dr，位移的大小，則力F的元功為 (1)其中為力F對定軸的力矩。（1）式表示力的元功為力矩與元角位移之積，若力矩與元角位移同向，力作正功，反之則作負功。在一個過程中力F對剛體做功為(2)即力對定軸轉(zhuǎn)動剛體做功等于該力對應(yīng)的力矩對剛體角位移的積分，常稱之為力矩的功。顯然，力矩的功就是力的功，在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力的功用力矩來表示更為方便，所以才稱之為力矩的功。作用在剛體上的合外力矩為各外力矩之和，即，故合外

27、力矩做功等于各外力矩做功的代數(shù)和也即總功 (3)作用在剛體上一對作用和反作用力矩等值反向，故一對力矩的總功為零，即有 (4)在有關(guān)功的知識點中我們一對力的功只與它們作用點的相對位移有關(guān)，而作用在剛體上的一對內(nèi)力是沒有相對位移的(剛體沒有形變)，所以上式成立。二、定軸轉(zhuǎn)動的動能及動能定理軸轉(zhuǎn)動剛體的動能歸結(jié)于質(zhì)點系的動能，定義為組成剛體的各質(zhì)點動能之和，即 其中vi為第i個質(zhì)點的速率，mi是它的質(zhì)量。按角量線量關(guān)系，其中ri為質(zhì)點到軸的距離，為剛體轉(zhuǎn)動的角速度，有 由轉(zhuǎn)動慣量的定義可知，其中的是剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量J，故有 上式即是定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能，簡稱為剛體的轉(zhuǎn)動動能。轉(zhuǎn)動動能公式是從質(zhì)點動

28、能公式推來，最終的形式也很象質(zhì)點動能公式。在公式的推導中我們看到，轉(zhuǎn)動動能采用角量描述比用線量描述方便，這是由于在轉(zhuǎn)動中各質(zhì)點角速度相同而線速度vi各不相同的緣故。在已知剛體轉(zhuǎn)動慣量的情況下，上述公式計算剛體動能的是非常方便的，要求大家必須掌握。在剛體轉(zhuǎn)動的一個過程中，合外力矩對定軸轉(zhuǎn)動剛體作功為:上式中的正好是剛體的轉(zhuǎn)動功能，故有:(1)上式表明了：在剛體的一個轉(zhuǎn)動過程中合外力矩的功，等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。這個結(jié)論稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。剛體作為一個質(zhì)點系，應(yīng)遵從質(zhì)點系動能定理，即外力的總功與內(nèi)力總功之和等于系統(tǒng)動能的增量。在剛體定軸轉(zhuǎn)動中，我們把力的功稱之為力矩的功，則質(zhì)點系動能定理

29、應(yīng)表述為外力矩的總功與內(nèi)力矩的總功之和等于系統(tǒng)動能的增量。但轉(zhuǎn)動動能定理（1）式卻表明，剛體動能的增量僅與合外力矩的功有關(guān)，按功能原理的理解也即僅與外力矩的總功有關(guān)，這意味著內(nèi)力矩對剛體的總功應(yīng)該為零。這一點應(yīng)該這樣來理解：由于剛體的內(nèi)力矩是成對出現(xiàn)的，并且作用點之間沒有相對位移，所以每對內(nèi)力矩的總功為零。故全部內(nèi)力矩的總功當然應(yīng)該為零。三、剛體的重力勢能剛體沒有形變，所以沒有內(nèi)部的彈性勢能。而在實際使用中我們常常會碰到剛體的重力勢能問題，這里對此問題作一點說明。剛體的重力勢能為組成剛體各個質(zhì)元的重力勢能之和。用重心的概念，剛體的重力勢能應(yīng)當?shù)扔趧傮w的全部質(zhì)量集中在重心處的質(zhì)點的重力勢能。在均

30、勻的重力場中，剛體的重心與質(zhì)心重合，對勻質(zhì)而對稱的幾何形體，質(zhì)心就在幾何中心。剛體的重力勢能的公式記作(2)其中m為剛體的質(zhì)量，hc為重心高度，這里已設(shè)h=0處為重力勢能零點。四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的功能原理和機械能守恒定律剛體作為質(zhì)點系，必然遵從一般質(zhì)點系的功能原理和一定條件下的機械能守恒定律。剛體運動遵守這兩個規(guī)律是顯然的，我們就不證明它了。只是在使用的時候大家需要注意剛體定軸轉(zhuǎn)動的一些特殊性，如力矩做功，轉(zhuǎn)動動能等物理量的計算與單個質(zhì)點的情況有所不同就行了。機械能守恒定律的應(yīng)用與質(zhì)點動力學完全類似，只需要考慮剛體的一些特殊情況。下面我們通過一些例子來給大家介紹它的應(yīng)用?！纠?】如圖所示，一細桿

31、長度為l，質(zhì)量為m，可繞其一端的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動。若將桿從水平位置釋放，求桿運動到角位置處的角速度。【解】此題可用轉(zhuǎn)動定律求出桿的角加速度后，用對時間t積分求出角速度。顯然這種方法比較復(fù)雜一些。最簡單的方法是用機械能守恒定律求解。桿在轉(zhuǎn)動過程中只有保守力重力做功，系統(tǒng)的機械能守恒。取的初始狀態(tài)為重力勢能的零點，則初態(tài)系統(tǒng)的動能、勢能均為零，故機械能為零。設(shè)角位置為時桿的角速度為，則有按和有可解得【例2】如圖所示，定滑輪A繞有輕繩（不計質(zhì)量），繩繞過另一定滑輪B后掛一物體C。A、B兩輪可看作勻質(zhì)圓盤，半徑分別為R1、R2，質(zhì)量分別為m1、m2，物體C質(zhì)量為m3。忽略輪軸的摩擦，輕繩與兩

32、個滑輪之間沒有滑動。求物體C由靜止下落h處的速度。【解】此題可用轉(zhuǎn)動定律求出物體C的加速度后再求出它下落h時的速度。但若把A、B、C作為一個系統(tǒng)用機械能守恒定律來求解，則方法更簡單一些。系統(tǒng)在運動過程中繩子張力的總功為零，只有保守力重力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒。設(shè)系統(tǒng)的初態(tài)，即物體C在最高點時重力勢能為零，則系統(tǒng)初態(tài)的動能、勢能均為零，機械能為零。系統(tǒng)末態(tài)的機械能包括A、B、C三個物體的動能及物體C的重力勢能，設(shè)A、B兩輪的角速度分別為和，物體C的速度為v，則有 (1)其中，為A、B兩輪的轉(zhuǎn)動慣量。如果輕繩與兩個滑輪之間沒有滑動C的速度與兩個滑輪邊沿處的線速度相等，按角量線量關(guān)系有，。把這幾個

33、式子代入（1）式即可解出5.6 對定軸的角動量守恒一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒剛體作為一個質(zhì)點系，必然遵從質(zhì)點系角動量定理和角動量守恒定律。剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理的微分形式就是前述的轉(zhuǎn)動定律，積分形式為 （1）即，在一個過程中定軸轉(zhuǎn)動剛體所受沖量矩等于剛體角動量的增量。 剛體定軸轉(zhuǎn)動中的角動量守恒定律是，若定軸轉(zhuǎn)動剛體所受到的合外力矩為零，則剛體對軸的角動量是一個恒量，即若，則L=常量。(2)剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律，實際上是對軸上任一定點的角動量定理和角動量守恒定律在定軸方向的分量形式，它的適用范圍是對任意質(zhì)點系成立。無論是對定軸轉(zhuǎn)動的剛體，或是對幾個共軸剛體組成的系統(tǒng)，甚

34、至是有形變的物體以及任意質(zhì)點系，對定軸的角動量守恒定律（2）式都成立。 我們在看滑泳表演時經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，一個運動員站在冰上旋轉(zhuǎn)（見下圖），當她把手臂和腿伸展開時轉(zhuǎn)得較慢，而當他把手臂和腿收回靠近身體時則轉(zhuǎn)得較快，這就是角動量守恒定律的表現(xiàn)。冰的摩擦力矩很小可忽略不計，所以人對轉(zhuǎn)軸的角動量定恒。當她的手臂和腿伸開時轉(zhuǎn)動慣量大故角速度較小，而收回后轉(zhuǎn)動慣量變小故角速度變大。只要你留心，你會發(fā)現(xiàn)優(yōu)秀的體操運動員、跳水運動員都會很熟練地演示角動量守恒定律，讀者可以自己去分析?；具\動員的角動量定恒安裝在輪船、飛機或火箭上的導航裝置回轉(zhuǎn)儀，也叫陀螺，也是通過角動量守恒的原理來工作的（見下圖）?；剞D(zhuǎn)儀的核心器

35、件是一個轉(zhuǎn)動慣量較大的轉(zhuǎn)子，裝在“常平架”上。常平架由兩個圓環(huán)構(gòu)成，轉(zhuǎn)子和圓環(huán)之間用軸承連接，軸承的摩擦力矩極小，常平架的作用是使轉(zhuǎn)子不會受任何力矩的作用。轉(zhuǎn)子一旦轉(zhuǎn)動起來，它的角動量將守恒，即其指向?qū)⒂肋h不變，因而能實現(xiàn)導航作用?；剞D(zhuǎn)儀二、角動量守恒的應(yīng)用角動量守恒在分析一些定軸轉(zhuǎn)動時是非常有用的。它的使用方法我們通過下面的例子給大家介紹。 【例1】如圖所示，一轉(zhuǎn)盤可看作勻質(zhì)圓盤，能繞過中心O的垂軸在水平面自由轉(zhuǎn)動，一人站在盤邊緣。初時人、盤均靜止，然后人在盤上隨意走動，于是盤也轉(zhuǎn)起來。請問：在這個過程中人和盤組成的系統(tǒng)的機械能、動量和對軸的角動量是否守恒？若不守恒，原因是什么？ 【解】 系

36、統(tǒng)的機械能顯然不守恒，靜止時和運動時重力勢能相同，而運動時系統(tǒng)有了動能，故機械能增加了。增加的原因是人的肌肉的力量作為非保守內(nèi)力作了正功。 圓盤的動量系統(tǒng)的動量也不守恒。一個勻質(zhì)圓盤，無論它轉(zhuǎn)多快，其動量始終是零。如上圖，以O(shè)為對稱軸在盤上取一對對稱的質(zhì)元，它們的質(zhì)量相同，到軸的距離相同，故速度相反因而動量大小相同、速度相反，所以它們的動量之和為零。由于整個圓盤可看作無數(shù)的質(zhì)元成對地組成的，每一對質(zhì)元的動量為零，則整個圓盤的動量也是零。系統(tǒng)靜止時動量為零，系統(tǒng)運動時盤的動量依然是零而人的動量不為零，可見動量不守恒。不守恒的原因是圓盤的軸要給盤一個沖量來制止盤的平動。 系統(tǒng)對軸的角動量守恒，因為

37、人受到的重力和盤受到的重力的方向與軸平行，對定軸力矩的定義，它們不提供對軸的力矩。盤受到的軸的支撐力的力心在盤中心，力臂為零，故力矩也為零。所以系統(tǒng)受到的對軸的合外力矩為零。故角動量守恒。【例2】如圖所示，在一個固定軸上有兩個飛輪，其中A輪是主動輪，轉(zhuǎn)動慣量為J1，正以角速度旋轉(zhuǎn)。B輪是從動輪，轉(zhuǎn)動慣量為J2，處于靜止狀態(tài)。若將從動輪與主動輪嚙合后一起轉(zhuǎn)動，它們的角速度有多大？ 【解】 兩個輪組成一個定軸剛體系統(tǒng)，由于嚙合過程很短，外力矩對系統(tǒng)的沖量可以忽略不計，故系統(tǒng)的角動量守恒，有 可得 【例3】如圖所示，一個勻質(zhì)圓盤半徑為r，質(zhì)量為m1，可繞過中心的垂軸O轉(zhuǎn)動。初時盤靜止，一顆質(zhì)量為m2

38、的子彈以速度v沿與盤半徑成的方向擊中盤邊緣后以速度沿與半徑成的方向反彈，求盤獲得的角速度。 【解】 對于盤和子彈組成的系統(tǒng)，撞擊過程中軸O的支撐力的力臂為零，不提供力矩，其它外力矩的沖量可忽略不計，故系統(tǒng)對軸O的角動量守恒即 初時盤的角動量為零，只有子彈有角動量，故 末態(tài)中盤和子彈都有角動量，設(shè)盤的角速度為，則 故有 可解得 【例4】如圖所示，一長度為l，質(zhì)量為m的細桿在光滑水平面內(nèi)沿桿的垂向以速度v平動。桿的一端與定軸z相碰撞后桿將繞z軸轉(zhuǎn)動，求桿轉(zhuǎn)動的角速度。 【解】 碰撞過程中軸z對桿的作用力的力臂為零故力矩也為零，所以桿對z軸的角動量守恒 碰撞前桿的角動量可通過積分算出。桿的質(zhì)量線密度，如圖在桿上取Ox軸，在桿上距O點為x處取線元dx，線元質(zhì)量，線元的角動量 故碰前桿的角動量 碰后