計算方法-42-44牛頓柯特斯求積公式

1、 4.2 數(shù)值積分數(shù)值積分badxxffI)()(對于積分公式有則由的原函數(shù)如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技術和科學研究中,常會見到以下現(xiàn)象: 4.2.1 數(shù)值求積的基本思想數(shù)值求積的基本思想12021-12-28以上這些現(xiàn)象,牛頓-萊布尼茲很難發(fā)揮作用只能建立積分的近似計算方法的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函數(shù)如求不出來的原函數(shù))(,)()()2(xFxFxf求原函數(shù)較困難的表達式結構復雜,)()3(xf22021-12-28021)exp(dIndaaaI02222)4exp(

2、badxxffI)()(對于，若0)( xf則I對應于曲邊梯形的面積。bafabdxxfba)()()(,2021-12-283)2()(bafabR如果我們用兩端點“高度”)(af與)(bf的算術平均作為平均高度)(f的近似值，這樣導出的求積公式)()(2bfafabT這就是我們熟悉的梯形公式如果改用區(qū)間中點2bac的“高度”)(cf近似地取代平均高度)(f，則又可以導出所謂中矩公式（簡稱矩形公式）2021-12-284數(shù)值積分的基本思想：求解前三步，得到積分的近似值數(shù)值積分的基本思想：求解前三步，得到積分的近似值從積分定義的分析中可看出：積分是和式的極限bankkknxfdxxf1)(li

3、m)(分割：把曲邊梯形分成若干小曲邊梯形；求和：把分量加起來得到總近似值；取極限：求得積分的準確值。近似：用矩形面積近似小曲邊梯形；求積分的基本方法是四步：52021-12-28其幾何意義是曲邊梯形的面積。2xyxOab)(xf1x)()(0kbankkxfAdxxfkA式中kx稱為求積結點求積結點；稱為求積系數(shù)求積系數(shù)，亦稱伴隨結點kx的權權。這類數(shù)值積分方法通常稱為機械求積機械求積。62021-12-28為了使一個求積公式能對更多的積分具有較好的實際計算意義,就要求它對盡可能多的被積函數(shù)都準確地成立。-(1)定義1. 若求積公式 badxxffI)()()()(0fIxfAnnkkk即都準

4、確成立次的代數(shù)多項式對任意次數(shù)不超過,)(mixPmi即只要立次多項式卻不能準確成但對,1mbaidxxP)(nkkikxPA0)(mi, 1 , 0bamdxx1nkmkkxA01則稱該求積公式具有m次的代數(shù)精度72021-12-28 4.2.2 代數(shù)精度的概念代數(shù)精度的概念代數(shù)精度也稱代數(shù)精確度不難驗證，梯形公式和矩形公式均具有一次代數(shù)精度。一般的要使機械求積公式具有m次代數(shù)精度，只要令它對于mxxxf, 1)(都能準確成立，這就要求)(11)(211122mmmkkkkabmxAabxAabAk82021-12-28badxxf)(92021-12-28的代數(shù)問題。與實際上是求知，構造數(shù)

5、值求積公式次代數(shù)精確度。由此可式具有公式式可能使求積，求解及當選擇次代數(shù)精確度。如果適具有至少，從而使求積公式式可確定，求。若事先選定系數(shù)個待定的求積以及個節(jié)點個方程組成，包含式由iiiiiiiiAxnAxnAxAnxnm12) 1 ()2() 1 ()2(111)2()(11110kknikiiabkxAmk, 2 , 1 , 0寫成一般形式-(2)例：102021-12-28112021-12-28 4.2.3 插值型的求積公式插值型的求積公式上取一組節(jié)點在積分區(qū)間,babxxxan10且已知函數(shù))(xf在這些節(jié)點上的值，作插值函數(shù))(xLn由于代數(shù)多項式)(xLn的原函數(shù)是容易求出的，我

6、們?nèi)anndxxLI)(積分數(shù)值計算的方法很多,但為方便起見,最常用的一種方法是利用插值多項式來構造數(shù)值求積公式具體步驟如下:122021-12-28)(0knkknxfAIbakkdxxlA)(作為積分badxxfI)(的近似值，這樣構造出來的求積公式kA)(xlk稱為是插值型的，式中求積系數(shù)通過插值基函數(shù)積分得出132021-12-28由插值余項定理即知，對于插值型的求積公式，其余項 dxxnfIIfRbann)()!1()()1(式中與變量x有關.由插值型的求積公式的余項可推得nkkknxfAI0)(的求積公式至少有n次代數(shù)精度定理1 形如的充分必要條件是，它是插值型的.142021-

7、12-28 4.2.4 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性求積公式的收斂性與穩(wěn)定性定義2 在機械求積公式中，若baknkkhndxxfxfA)()(lim00其中)(max11iinixxh，則稱此求積公式是收斂收斂的)()(0knkkbaxfAdxxf定理2 若求積公式中系數(shù)), 1 , 0(0nkAk則此求積公式是穩(wěn)定穩(wěn)定的.152021-12-28思考思考:162021-12-28試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)精確度盡量高)()()0()()0(2)()(120fIhffahhffhdxxffIh 4.3 等距節(jié)點求積公式等距節(jié)點求積公式 4.3.1 柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)牛頓-柯特斯公式是指等

8、距節(jié)點等距節(jié)點下使用拉格朗日插值多項式建立的數(shù)值求積公式等份分割為將積分區(qū)間nba,為步長其中nabh各節(jié)點為nkkhaxk, 1 ,0,172021-12-28,)(baCxf設函數(shù)為插值多項式及余項分別的Lagrangexf)(nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn因此對于定積分badxxffI)()(而)()()(xRxLxfnn182021-12-28其中kjnjjkjkxxxxxl0)(,baniinxxx01)()(banndxxRxL)()(有badxxffI)()( bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)(nkkkxfA0)

9、(bandxxR)(bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0192021-12-28稱為求積公式系數(shù)kA)()()(nnIRfIfI即有)()(fIfInnkkknxfAfI0)()(banndxxRIR)()(n階牛頓-柯特斯求積公式牛頓-柯特斯公式的余項(誤差)202021-12-28bakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的計算kA注意是等距節(jié)點thax假設,bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(212021-12-28nabhdtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1()(

10、)(nkkCabAnkkknxfAfI0)()(nkknkxfCab0)()()(所以牛頓-柯特斯公式化為系數(shù)稱為CotesCnk)(222021-12-28也稱等距內(nèi)插求積公式dtjtknknabnkjnjkn 00)()!( !)1()(4.3.24.3.2 幾種幾種低階牛頓低階牛頓-柯特斯公式及其余項柯特斯公式及其余項在牛頓-柯特斯公式中,n=1,2,4時的公式是最常用也最重要的三個公式,稱為低階公式1.梯形公式及其余項abhbxaxn, 110則取)1(0C柯特斯系數(shù)為21)1(1C21232021-12-28dtt10)1(dtt10)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()

11、(210 xfxfab上式稱為梯形求積公式,也稱兩點公式，記為)()(2)(bfafab)(1fIT 求積公式為242021-12-28-0.500.511.500.511.522.533.544.5梯形求積公式的幾何意義：用梯形面積近似代替 曲邊梯形的面積dxbxaxfba )(2)(dxbxaxfba )(2)(,ba6)(2)(3abf )(12)(3fab 梯形公式的余項為TIRT1badxxR)(1252021-12-28梯形公式具有1次代數(shù)精度2.辛普森公式及其余項2,2,2210abhbxabxaxn則取柯特斯系數(shù)為616461求積公式為)(2fI20)2()()(kkkxfCa

12、b262021-12-28dtttC20)2(0)2)(1(41dtttC20)2(1)2(21dtttC20)2(2)1(41)(61)(64)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI記為)(2fIS 辛普森公式的余項為)(2IRRSbadxxR)(2)()2(180)4(4fabab272021-12-28上式稱為辛普森求積公式，也稱三點公式或拋物線公式辛普森公式具有3次代數(shù)精度3.柯特斯公式及其余項4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk則取907903290129032907282021-12-28dtttttC)4)(3( )2)(1(

13、! 44140)4(0Cotes系數(shù)為dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(1dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(2dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(3dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4求積公式為)(4fI40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式稱為柯特斯求積公式，也稱五點公式 記為)(4fIC 柯特斯公式的余項為)(4IRRCbadxxR)(4

14、)()4(495)(2)6(6fabab柯特斯公式具有5次代數(shù)精度292021-12-28 12 34567828350989283505888283509282835010496283504540283501049628350928283505888283509891728075117280132317280357717280298917280298917280132317280357717280751840418402784027284027840216840412881928875288502885028875288199079032901290329078183838161646121

15、21n)(nic840216下表列出部分柯特斯系數(shù)2021-12-2830dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(考察柯特斯系數(shù)無關與函數(shù)的劃分有關的節(jié)點只與積分區(qū)間)(,xfxbaj因此用牛頓-柯特斯公式計算積分的舍入誤差主要由的計算引起函數(shù)值)(kxf其值可以精確給定4.3.3 4.3.3 牛頓牛頓- -柯特斯公式的穩(wěn)定性柯特斯公式的穩(wěn)定性( (舍入誤差舍入誤差) )312021-12-28)()()(,)(計算值的近似值作為而以為精確值假設kkkxfxfxf為誤差)()(kkkxfxf)( fInnkknkxfCab0)()()(記)(計算值的近似值為nI而理論

16、值為)( fInnkknkxfCab0)()()(的誤差為與nnII)()(fIfInnnkkknkxfxfCab0)()()()(322021-12-28nnII nkknkCab0)()(nkknkCab0)()(nnII nknkCab0)()(|max|knnII nknkCab0)()()(ab 10)(nknkC性質：有若,0,)(nkCnk牛頓-柯特斯公式的舍入誤差只是函數(shù)值誤差的倍)(ab 公式是穩(wěn)定的時即CotesNewtonCnknk,0,)(332021-12-28時，公式都是穩(wěn)定的8當 nnknkCab0)()(有有正有負若,)(nkCnknkCab0)()()(ab

17、此時,公式的穩(wěn)定性將無法保證在實際應用中一般不使用高階牛頓-柯特斯公式342021-12-28例例: : 用用n=2n=2和和n=3n=3的的牛頓牛頓- -柯特斯柯特斯公式解：求的近似值。dxex3121.n=2時766575505. 0)4(62232221312eeedxex2.n=3時)33(8223676521312eeeedxex766916279.0（ 的真實值為0.7668010）dxex312352021-12-28思考 n=0時的Newton-Cotes公式稱為 矩形公式，試求出該公式P96 6、3、5本節(jié)作業(yè)固定時而節(jié)點個數(shù)的長度較大當積分區(qū)間1,nba直接使用牛頓直接使用

18、牛頓-柯特斯公式余項將會較大柯特斯公式余項將會較大增加時即而如果增加節(jié)點個數(shù)1,n當當n8時，公式的舍入誤差又很難得到控制時，公式的舍入誤差又很難得到控制此時，使用復化方法，此時，使用復化方法，分成若干個子區(qū)間即將積分區(qū)間,ba然后在每個小區(qū)間上使用然后在每個小區(qū)間上使用低階低階牛頓牛頓-柯特斯公式，柯特斯公式，最后將每最后將每個小區(qū)間上的積分的近似值相加，這種方法稱為個小區(qū)間上的積分的近似值相加，這種方法稱為復化求積復化求積法法 4.4 復化求積公式復化求積公式372021-12-28等份分割為的積分區(qū)間將定積分nbadxxfba,)(nkkhaxk, 1 ,0,nabh各節(jié)點為公式上使用在

19、子區(qū)間CotesNewtonnkxxkk)1, 1 , 0(,1節(jié)點為步長為等份分割為將,1lhlxxkk1,2,kkkkkxllhxlhxlhxx記為121,kllklklkkxxxxx 4.4.1 復化求積公式382021-12-281)(kkxxdxxfliliklikkxfCxx0)(1)()(求積公式階的上作在CotesNewtonlxfxxkk)(,1liliklixfCh0)()(badxxf)(101)(nkxxkkdxxf由積分的區(qū)間可加性100)()(nkliliklixfCh復化求積公式nI392021-12-28nbaTdxxf)(1010)1()(nkiikixfCh

20、101)()(21nkkkxfxfh可得復化梯形求積公式時,1l)()(2)(211bfxfafhnkk402021-12-2810202)2()(nkiikixfChnbaSdxxf)(式可得復化辛普森求積公時,2l10121)()(4)(61nkkkkxfxfxfh)()(2)(4)(6111021bfxfxfafhnkknkk412021-12-28式可得復化柯特斯求積公時,4l10404)4()(nkiikixfChnbaCdxxf)()(7)(32)(12)(32)(790110434241knkkkkkxfxfxfxfxfh)(7)(14)(32)(12)(32)(79011104

21、34241bfxfxfxfxfafnabnkknkkkk422021-12-28)()(2)(bfafabT,10 xx)()(21)0(xfafhT,21xx2)1(hT)()(21xfxf,32xx2)2(hT)()(32xfxf,43xx2)3(hT)()(43xfxf,12nnxx2)2(hTn)()(12nnxfxf,1nnxx2)1(hTn)()(1bfxfn2hTn)(af)(21xf)(22xf)(21nxf)(bf復化梯形公式分解432021-12-28)()2(4)(6bfbafafabS,10 xx6)0(hS)()(4)(1210 xfxfaf,21xx6)1(hS)(

22、)(4)(22111xfxfxf,1nnxx6)1(hSn)()(4)(2111bfxfxfnn6hSn)(af1021)(4nkkxf11)(2nkkxf)(bf復化辛普森公式分解442021-12-28例1.10sindxxxI計算定積分使用各種復化求積公式解:依次使用8階復化梯形公式、4階復化辛普森公式和2階復化柯特斯公式給出n=8的函數(shù)表 0 10.125 0.997397870.25 0.989615840.375 0.976726740.5 0.958851080.625 0.936155640.75 0.908851680.875 0.87719257 1 0.84147098)

23、(iixfx876543210 xxxxxxxxxTrapz42133212221112100.xxxxxxxxxSimp243121141114302104100 xxxxxxxxxCotes452021-12-288T )1()(2)0(16171kkfxff分別由復化梯形、辛普森、柯特斯公式有94569086. 04S)1()(2)(4)0(241313021fxfxffkkkk94608331. 02C)1 (7)(14)(32)(12)(32)0(718011110434241fxfxfxfxffkkkkkk94608307. 0462021-12-288T94569086. 04S94608331. 02C94608307. 0積分的精確值為10sindxxxI671839460830703. 0精度最高精度最低 比較三個公式的結果472021-12-28三個求積公式的余項分別為)(TR)(12)(