將軍飲馬問題

1、第一講將擘飲馬問題有、.學(xué)習(xí)要點與方法點撥一、主要內(nèi)容(1)將軍飲馬問題的概念.(2)將軍飲馬問題在坐標(biāo)系、一次函數(shù)、三角形、正方形中的應(yīng)用.(3)將軍飲馬問題與勾股定理.二、本章重點掌握將軍飲馬問題的概念和解題思路,能解決將軍飲馬問題和一次函數(shù)、坐標(biāo)系、幾何圖形和勾股定理等的綜合習(xí)題.菖課前預(yù)習(xí)軸對稱的性質(zhì)與作法；一次函數(shù)的性質(zhì)；勾股定理的性質(zhì)；三角形、矩形、正方形的性質(zhì)；三角形的三邊關(guān)系、平移的性質(zhì).i模塊精講、將軍飲馬問題的概念和根本思路起源：古希臘亞里山大里亞城有一位久負(fù)盛名的學(xué)者,名叫海倫.有一天,有位將軍不遠千 里專程前來向海倫求教一個百思不得其解的問題：如圖,有一位將軍從位于 A

2、點的軍營,返回位于 B點的家中,途中需要到達一條小河MNfe,讓馬去河里喝水.那么,該如何選擇路徑,才能使將軍回家的過程中,走過的路程最短？精通數(shù)理的海倫稍加思索,便作了完善的答復(fù).這個問題后來被人們稱作“將軍飲馬問題,初一看,這個問題好似沒有什么思路,那我們先把問題的概念轉(zhuǎn)換一下.這個問題中A點和B點在河MN的同一側(cè),那么,如果 A點和B點在河MN的不同側(cè)呢？這時我們好似有一點眉目了,我們要利用的定理就是：兩點之間直線最短,先找線路再找點.那我們再回到最開始時的問題,是不是有了啟發(fā)呢？思路：為了找線路,可以利用軸對稱的原理,先做對稱,再轉(zhuǎn)化成三角形的三邊關(guān)系.例1,如圖,一匹馬從 S點出發(fā),

3、先去河 OP邊喝水,再去草地 OQ吃草,然后再回到 S點.該如何選擇線路,使得經(jīng)過的總路程最短?頁眉內(nèi)容例1圖例2圖二、將軍飲馬與坐標(biāo)系例2,A(2,3)、B(3,2) , M是x軸上的一個動點,N是y軸上的一個動點,求 AN+NM+BIW最小值,并求出此時 M N的坐標(biāo).思路：作對稱兩段折線一作一次對稱一轉(zhuǎn)化折線三段折線一作兩次對稱一轉(zhuǎn)化折線連線段一最小值例 3, A(-3,4)、B(-2,-5) 、M(0,m)、N(0,m+1),求 BM+MN+AN最小值,并求此時對應(yīng)的 m的值.運用平移的性質(zhì)例4,A(4,1)、B(-3,-2),試在x軸上找一點 C,是|AC-BC|最大,求出點 C的坐

4、標(biāo)和這個 最大值.構(gòu)造三角形,運用三角形的邊長關(guān)系三、將軍飲馬問題解題思路的歸納學(xué)習(xí)了幾個常見的例子,我們再來整理一下思路.首先明白幾個概念,動點、定點、對稱點.動點一般就是題目中的所求點,即那個不定的點.定點即為題目中固定的點.對稱的點,作圖所得的點,需要連線的點.I1 .怎么對稱,作誰的對稱？簡單說所有題目需要作對稱的點,都是題目的定點.或者說只有定點才可以去作對稱的 .(不確定的點作對稱式?jīng)]有意義的)那么作誰的對稱點?首先要明確關(guān)于對稱的對象肯定是一條線,而不是一個點那么是哪一條線? 一般而言都是動點所在直線.2 .對稱完以后和誰連接？一句話：和另外一個頂點相連 .絕對不能和一個動點相連

5、.明確一個概念：定點的對稱點也是一個定點.3 .所求點怎么確定？首先一定要明白, 所求點最后反響在圖上一定是個交點.實際就是我們 所畫直線和直線的交點.4 .將軍飲馬一定是求最短距離嗎？肯定不是.或者說求最短距離是將軍飲馬中的最簡單一類題目.根據(jù)將軍飲馬的根本模型可以拓 展出很多題型.根本原因是由于在作軸對稱過程中不但是作了點的對稱,還作了邊長和角度的對稱！ 或者說邊長和角度的對稱才是最關(guān)鍵 .四、將軍飲馬與勾股定理例5,如圖,將軍的軍營在 A處,與河岸的距離 OA=4km將軍的家在 B處.且QA=7km QB=8knp他下班回家的路上先把馬牽到小河邊去飲水,然后再回到家中,求他下班回家要走的

6、最短路程.O小河PAQ例6,如圖,/ POQ= 20° , A為OQ±的點,B為OP上的點,且 OA=1, OB=2在OB上取點Ai ,在OQ±取點 Aa ,求AA + AA + A2B的最小值.例7, / AOB = 45° , P是/AOB內(nèi)一點,PO = 10, Q R分別是 OA OB上的動點,求 PQRW 長的最小值.五、三角形、正方形中的將軍飲馬例8,如圖,在等邊 ABC中,AB=6, AD± BC, E是AC上的一點,M是AD上的一點,且 AE=2求EM+EC勺最小值.例8圖例9圖例9,如圖,在銳角 ABC中,AB=42, / B

7、AC= 45° , / BAC的平分線交 BC于點D, M N分另 是AD和AB上的動點,那么 BM+MN1最小值是 .例10,如圖,正方形 ABCM邊長為8, M在DC上,且DM= 2, N是AC上的一動點, DW MN41 最小值為.例10圖例11圖例11,在邊長為2 cm的正方形ABCM,點Q為BC邊的中點,點P為對角線AC上一動點,連接PB PQ那么 PBQ周長的最小值為 cm例12,一次函數(shù)y = kx + b的圖象與x、y軸分別交于點A(2,0) , B(0,4).(1)求該函數(shù)的解析式；(2) O為坐標(biāo)原點,設(shè) OA AB的中點分別為 C D, P為OB上一動點,求PC

8、+ PD的最小值, 并求取得最小值時 P點坐標(biāo).y八例13,如圖,在坐標(biāo)系 xOy中,有一條河, 河岸分別為x軸和直線MN直線MN y軸的P交點為A(0,2) , P、Q兩地位于河的兩岸,且P(0,5)、Q(5,-1).現(xiàn)在需要在河上架一座橋,(橋必須垂直于河岸),來溝通 P、Q兩地,求 M A B N橋的端點 B C的坐標(biāo),使得從 P地到Q地的路程最短oO Cx 1總結(jié)：將軍飲馬問題 =軸對稱問題=最短距離問題(軸對稱是工具,最短距離是題眼).所謂軸對稱是工具,即這類問題最常用的做法就是作軸對稱.而最短距離是題眼,也就意味著歸類這類的題目的理由.比方題目經(jīng)常會出現(xiàn)“線段 a+b的最小值這樣的

9、條件或者問題.一旦出 現(xiàn)可以快速聯(lián)想到將軍問題,然后利用軸對稱解題.學(xué)習(xí)效果能將實際問題中的“地點、“河、“草地抽象為數(shù)學(xué)中的“點、“線,把最短路徑問題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題,能利用軸對稱將處在直線同側(cè)的兩點,變?yōu)閮牲c處在直線的 異側(cè),能利用平移將兩條線段拼接在一起,從而轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短問題,能通過邏輯 推理證實所求距離最短,在探索問題的過程中,體會軸對稱、平移的作用,體會感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思 想.課后穩(wěn)固習(xí)題1,A(-1,4) , B(1,1),在x軸上找一點 C,使AC+BCM小.那么 C點的坐標(biāo)是 , AC+BM 最小值是.2,A(-1,3) , B(-3,1) , M>

10、; x軸上一動點,N是y軸上一動點,那么當(dāng) AN+NM+MB小時,M的坐標(biāo) 是, N的坐標(biāo)是 o3, A(-4,4) , B(-1,-3) , M(0,m) , N(0,m+1),當(dāng) BM+MN+AN小時,點 M的坐標(biāo)是,最 小值是.4,A(-4,5) , B(2,-2),在x軸上找一點 C,那么當(dāng)|AC-BC|最大時,點 C的坐標(biāo)是,最大 值是 O5, 到一點如圖,點A,B位于直線l的同側(cè),到直線l的距離AC = 10, BD = 30,且CD = 30,在直線l上找M 是am+bM1短,那么最短距離是B題6圖7,如圖,/ AOB = 40°,點 P, Q都在/ AOB內(nèi),/ AO

11、P = / BOQ = 10° ,且 OP = OQ = 6 ,作點 P 關(guān)于OA的對稱點Pi ,作點Q關(guān)于OB的對稱點Q ,那么PiQ = .OBOB直線lO6,如圖,/ AOB= 45° ,點P在/ AO郎,且OP= 3,點M,N分別為射線 OA OB上的動點,那么4 PMN的周長的最小值為題7圖題8圖8,如圖,/ AOB = 60°,點 P, Q都在/ AOB內(nèi),/ AOP = / BOQ = 15° ,且 OP = 8 , OQ = 6.在射 線OA OB上分別存在點 M, N,是PM+MN+NQ值最小,那么最小值是 .9,如圖, ABC中,AB=2, / BAC=30 ,假設(shè)在 AC AB上各取一點 M N,使BM+MN勺值最小,那么這個 最小值是多少？B例10圖是等邊三角形,點 E在正方形 ABCErt,在又線 AC題9圖10,如下圖,正方形 ABC曲面積為12, AABE 上有一點巳使PDF PE的和最小,那么這個最小值為 11,如圖,假設(shè)四邊形 ABCD是菱形,AB=10cm, / ABC=45 , E為邊BC上的一個動點,P為BD上 的一個動點,求PC+PE的最小值.12,如圖,在銳角和AB上的動