曲線積分有曲面積分21198

1、一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式 rdzqdypdxrqpzyxdxdydzdxdydz二、環(huán)流量與旋度二、環(huán)流量與旋度 ypxqxrzpzqyr,rqpzyxkji arot rdzqdypdx一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 設(shè)設(shè) 為分段光滑的為分段光滑的空間有向閉曲線空間有向閉曲線， 是以是以 為邊界的分片為邊界的分片),(zyxq),(zyxr在包含曲面在包含曲面 在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有一階在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有一階的的有向曲面有向曲面， 的正向與的正向與 側(cè)符合側(cè)符合右手規(guī)則右手規(guī)則， 函數(shù)函數(shù)光滑光滑),(zyxp則則連續(xù)偏導(dǎo)，連續(xù)偏導(dǎo)，dxdyyp

2、xqdzdxxrzpdydzzqyr rdzqdypdx右手規(guī)則右手規(guī)則：右手四指以：右手四指以 的方向繞行，大拇指所指方向與的方向繞行，大拇指所指方向與 法向量法向量方向相同，稱方向相同，稱 是有向曲面是有向曲面 的正向邊界曲線的正向邊界曲線.上上n xyzo),(:yxfz 斯托克斯公式斯托克斯公式 也可寫成也可寫成: rdzqdypdxrqpzyxdxdydzdxdydz或或 rdzqdypdxdsrqpzyxcoscoscoscos,cos,cos n為為 上的上的單位法向量單位法向量.dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr rdzqdypdx解解xyz111 ydzxdyz

3、dx yxzzyxdxdydzdxdydz dxdydzdxdydzyxz 1: dxdy3 xyddxdy323 例例1 利用斯托克斯公式計(jì)算利用斯托克斯公式計(jì)算 ydzxdyzdx, 其中其中 為平面為平面1 zyx被三個(gè)坐標(biāo)面截成的三角形的整個(gè)邊界被三個(gè)坐標(biāo)面截成的三角形的整個(gè)邊界,其正向其正向形上側(cè)的法向量符合右手法則形上側(cè)的法向量符合右手法則.與三角與三角31cos 31cos 31cos dsyxzzyxi3/13/13/1 ds332)2(4333 23 31coscoscos 例例2. 計(jì)算計(jì)算dzyxdyxzdxzyi)()()(222222 , 其中其中 是由是由 平面平面

4、2/3 zyx截立方體截立方體:10 , 10 , 10 zyx的表的表面所得的截痕面所得的截痕,若從若從x軸正向看去軸正向看去,取逆時(shí)針方向取逆時(shí)針方向.由斯托克斯公式得由斯托克斯公式得 dsyxxzzyzyxi2222223/13/13/1 dszyx)(34 xyddxdy32334yxo111/21/2xyd29)8121 ( 6 ,2/3yxz 取取 為平面為平面2/3 zyx的的上側(cè)上側(cè) 所圍成所圍成 的部分的部分.被被解解 yz111ox 2xyzo 取取 為平面為平面2 z的的上側(cè)上側(cè)被被 所圍部分所圍部分.2 由斯托克斯公式得由斯托克斯公式得dzyzxzdyydx 23 23

5、yzxzyzyxdxdydzdxdydz dxdyzdydzxz)3()(2 dxdyz)3( xyddxdy)32(xy 5 20 另解另解:1cos, 0coscos dzyzxzdyydx 23 dsyzxzyzyx23100 dsz) 3( 20 例例3 利用斯托克斯公式計(jì)算利用斯托克斯公式計(jì)算,32dzyzxzdyydx 其中其中 是是, 2,222 zzyx若從若從z 軸正向看去軸正向看去,取逆時(shí)針方向取逆時(shí)針方向.圓周圓周解解設(shè)有向量場設(shè)有向量場),(),(),(zyxrzyxqzyxpa 為向量場為向量場a的的旋度旋度 ypxqxrzpzqyr,rqpzyxkji 為向量場為向量場a沿有向閉曲線沿有向閉曲線 的的環(huán)流量。環(huán)流量。 rdzqdypdx則稱則稱 arot二、環(huán)流量與旋度二、環(huán)流量與旋度例例4 設(shè)向量場設(shè)向量場arotkxyjzxiyza求求,)2()3()32( 解解xyzxyzzyxkjiarot2332 kji642 例例5 求向量場求向量場kjx