概率論與數理統(tǒng)計練習題

1、概率論與數理統(tǒng)計練習題一、填空題1、設 A、B 為隨機事件，且 P(A)=0.5,尸(B)=0.6,夕(B|A)=0.8,則 P(A+B)=0.7。2、自，a是常數夕的兩個無偏估計量，若。()<。(囪)，則稱A比a有效。3、設力、3為隨機事件,且產(4)=0. 4,2(0=0. 3, PUU)=0.6,則 P(AB)= 0.3 。4 .設隨機變量X服從0,2上的均勻分布，片2不1,則(逮二4/3。5 .設隨機變量X的概率密度是：ftx =O< X< 1 ,且尸x N cr= 0.784 ,則 a =0. 6。L o 其他6 .已知隨機向量(K K)的聯(lián)合密度函數，/、自個t

2、0KxW2,0W”,則£(丹二3/4。/O,y) = <2-o,其他7 .若隨機變量XN(l, 4), YN顯,9),且X與F相互獨立。設2=+3,則ZN (2, 13) O8 .設 A, B為隨機事件,且尸(A)=0.7, P(A-B)=0. 3,則 P(a uF) = 0.6 。9 .設隨機變量N(l,4),已知(0.5)=0.6915,(1. 5)=0. 9332,則 p|x|v2= 0.6247 。10.隨機變量X的概率密度函數/。)=1 , -x-+2x-l則E二111 .已知隨機向量(X, 7)的聯(lián)合密度函數y)= 孫，Q<x<2,Q<y<l

3、 0,其他12 .設 A, B 為隨機事件，且 P(A)=0.6, P(AB)= P(AB)t 則 P(0 = 0.41x2-4.v+4I -13 .設隨機變量其密度函數/(x) = =e6 ,則二/J67r14 .設隨機變量1的數學期望"和方差外>0都存在，令y = (X-EX)/J萬則加二115 .隨機變量不與V相互獨立，且(乃=4, D=2,則(312F)=44o16 .三個人獨立地向某一目標進行射擊，已知各人能擊中的概率分別為則目標能被擊中的概率是3/5 。17 .設隨機變量1N (2, er2),且 *2 < X<4 =0.3,則 P設 < 0 =0

4、. 2。18 .設隨機變量X的概率分布為P(X = l) = 0.2,P(X=2) = 0.3,P(X=3) = 0.5,則X的期望EK_2. 3019 .設(X0的聯(lián)合概率分布列為-104-21/91/32/911/18ab若* y相互獨立，則”i/6 , b = 1/9 020 .設隨機變量*服從1, 5上的均勻分布，則尸2KXK4= 1/2。21 .設隨機變量 hN(l, 4),則尸兇>2= 0.3753 。(巳知(0. 5)=0. 6915, 0(1.5)=0.9332)22 .若隨機變量八N(0, 4),入N ( 1, 5),且不與F相互獨立。設2=>+y-3,則Z上 (

5、-4, 9) °23 .設隨機變量*服從參數為;I的泊松分布，且3PX=2=PX=4,則；。24 .設隨機變量I的概率分布為26.某人投籃，每次命中率為0.7,現(xiàn)獨立投籃5次，恰好命中4次的概率是C；x0.74x031(H2)'27 .設隨機變量I的密度函數=,且XNc=PX<c,則c二N427r28 .隨機變量XN(,4),則 x n N(0,l)。 229 .設隨機變量 hN (2, 9),且 P YN a 二 P a ,則 a= 2 。30 .稱統(tǒng)計量朋參數e的無偏估計量，如果七()二二、選擇題1 .設隨機事件A與5互不相容，且P(A)>P(6)>0,

6、則(D )。A. P(A) = 1-P(B) B. 尸(A6)=尸(A)P(8) C. 尸(A = 5) = lD. P(AB) = 12 .將兩封信隨機地投入四個郵筒中，則未向前面兩個郵筒投信的概率為(A )<,3 .設隨機變量Xx),滿足/(x) = /(-x),產(x)是x的分布函數，則對任意實數。有(B )oF(-a) = l-JoI mF(一")=一C. F(-a) = F(a)F(-a) = 2F(a)-l4 .設A, 6為隨機事件，P(B) > 0 , P(A|B) = 1,則必有(A )oA. P(AB) = P(A) B. AB C. P(A) = P(

7、6) D.尸(A6) = P(A)注：答案應該為A,因B不嚴謹，A和B可以相等。5 .設, X?是來自總體X的一個簡單隨機樣本，則最有效的無偏估計是(A )。111213A. = X+ X,B. n = -Xl+-X1 C. = X + X,D.21 2-31 3241 4'23 = _X1 + X, 5 1 5 -6 .、已知A、B、C為三個隨機事件，則A、B、C不都發(fā)生的事件為(A)oA. ABCB. ABCC. A+B+CD. ABC7 .(x,y)是二維隨機向量，與c“(x,y)= o不等價的是(d )A. E(xr)= E(X)E(Y) B. D(X+ Y) = D(X) +

8、D(Y)C. D(X-Y) = D(X) +D(Y)D. X和y相互獨立8 .設總體XN(,2?),其中未知，X,X?,，X ”為來自總體的樣本，樣本均值為T，樣本方差為一,則下列各式中不是統(tǒng)計量的是(C )0X-P9 .若隨機事件A與5相互獨立，貝I尸(A + 6)= ( B )oA. P(A) + P(6) B. P(A)+P(B)-P(A)P(B) C. P(A)P(B) D. P(A) + P(B)10 .若A與B對立事件，則下列錯誤的為(A )oA.尸(A6) = P(A)P(6)B.尸(A+ 6) = 1 C. P( A + 6) = P(A) + P(5) D. P(AB) =

9、011 .設隨機事件A、B互不相容，P(A)=p, P(B) = q,則尸(而)=(C )oA. (1 - p)qB. pq C. qD. p12 .設千w Q是一組樣本觀測值，則其標準差是(B )0B.i «1 «KC.君fD.i ” i=l13 .設隨機變量 Z M，9), Y 25),記P = PX </-3,p2 =y>/ + 5,則(B )oA. pSPi B. Pi=PzC. pi>p2 D. r與r的關系無法確定14 .若事件4,4,兩兩獨立，則下列結論成立的是(B )。a. 4,4,4相互獨立B. 4,灰，彳3兩兩獨立c.尸(A4A3)=

10、p(a)p(ajp(4)d. 4,見，4相互獨立15 .設隨機變量/V(4,9),則()(A) E(X) = 2(B) O(X) = 3(C) O(X) = 9(D)以上都不是三、計算題1.已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為,z、 ayfx, 0 < x < 1/(x)=O,其它求(1) a； (2) ¥的分布函數q(；(3) P ( X >0. 25) 02解：a) L fa/=>衣"3/2(2)當x < 麗，尸(x) =f(t)dt = 0J-00當 04xv 時，F(xiàn)(x) =長石出=x"2當 x > 1 時, F(x) =

11、j： = 10,x<0故 F(x)“戶2,0<x<l1,x>l(3) P (X>l/4) =1F(l/4)=7/82 .已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為_.丁F(x) = < A + & 2 , x0.0,其它求(1) 4 民 (2)密度函數 f (x)； (3) P (1<A<2 )。(1) liin F(x) = A = 1解:lim F(x) = A + B = 0B = -l(2)f(x)= Fx) = xe' "U0,x<0(3) P (1<X<2) =F(2)F(l) = e-1/2-e-2

12、3 .設隨機向量QX, D聯(lián)合密度為f(x,Ae-2x+iy),o,x > 0, y > 0;其它.(1)求系數4;(2)判斷了y是否獨立，并說明理由；(3)求P 0WXW2, 0WYW1。-w)=*解：(1 ) 由 1 = f(x,y)dxdy=° Ae<2x+iy)dxdy = e2xdx eiydy =A(-e-2x 2可得4=6。（2）因（筋n關于x和y的邊緣概率密度分別為£ (X)=.2e0,x > 0;其它.'3e-30,y>0;其它.則對于任意的（為了）內，均成立F（x, y）= AU）* fY （y）,所以X與V獨立。(

13、3) P 0W啟2, 0WyWl=C(8-3+3y)公力=f21"公口二辦=（-e 叫 X-咱：）=（1 一 e-Jl -4.某車間生產滾珠，其直徑I、（，0.05）,從某天的產品里隨機抽出9個量得直徑如下（單 位：毫米）：14.615. 114.914.815.215. 1 14.815.014.7若已知該天產品直徑的方差不變，試找出平均直徑的置信度為0.95的置信區(qū)間。(己知:八。5(9尸2.262,%。5(8戶2.306,Z0025 = 1.960 )解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布，所以U=±二3N(0,l)PU<uoo.5 = 0.95所以的置信區(qū)間為：(無

14、一00,51息+ %0,5。)經計算X =14.911的置信度為0. 95的置信區(qū)間為(14.911-L96x號 14.911+1.96X器即(14. 765, 15. 057)5 .工廠生產一種零件，其口徑1(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(, 4),現(xiàn)從某日生產的零件中隨機 抽出9個，分別測得其口徑如下：6 4.614.7 15. 1 14.9 14.8 15.0 15. 1 15.2 14.7已知零件口徑I的標準差cr = 0.15,求的置信度為0. 95的置信區(qū)間。(己知:GO尸2.262,八(8戶2.306, 4.85 = I 960 )解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布，所以。=二二土N(

15、0,l)P|U|<。0,5 = 09507n-所以的置信區(qū)間為:經計算 x = f = 14.91=1的置信度為 0.95 的置信區(qū)間為(14.9-1.96x,14.9 + 1.96x5) 即(14. 802 ,14. 998)7 .設總體I服從參數為)的指數分布，.£,&.,乙是一組樣本值，求參數夕的最大似然估計。解:n 1 -4L = Tl-e 6 i=l&lnL = /?ln|-1- o)Zxf. = 08 .已知P(A) = 1/4,P(6|A) = 1/3,P(川6) = l/2,求尸(AUS)。已知 P(A) = 1 / 4, P(61 A) = 1

16、 / 3, P(川 6) = 1 / 2 ,求尸(A U 6)。解：P(s|A) = l/3n需= ；nP(A5)=：P(A) = * = qP(A|B) = 1/2=> = !=>P(B) = 2P(AB) = 2= i尸(A U 5)=尸(A) + P(B) - P(AB)1111=+ =4 6 12 39 .設總體X的概率分布為X0123P0-20(1-0)6-1-20其中久0<8<1/2)是未知參數，利用總體X的如下樣本值：3,1,3,0,2,3,求夕的 矩估計值和極大似然估計值.(1) EX = 0xe? + lx28(l 8) + 2xJ?+3x(l 28) = 3 4夕，令七X = N,可得e的矩估計量為 =!(3一5)，4根據給定的樣本觀察值計算兄=J6 + 1 + 3+0 + 2 + 3)=2,因此8的矩估計值6人1e= ； 4 分4(2 )對于給定的樣本值似然函數為。)=2砥1 20)3(1 夕)6分In L(0) = 1112 + 51118+ 31n(l 26) + ln(l- 0)人 dnL(0) 5611882228 + 5 八令=-=0d0 0 1 28 -0 00.-26)0.-0)可得夕的極大似然估計值 e=n 1i+J打不合題意 181 18210分r > 09. (10分)設總體X的