高等數(shù)學(xué)講義(三)第5講不定積分

1、實(shí)用文檔第5講不定積分這一講開始了積分學(xué)部分，它由不定積分和定積分兩部分組成，本講介紹不定積分。5.1原函數(shù)與不定積分概念在微分學(xué)部分，我們研究的問題是求已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，例如已知 f(x) x2,那么它 的導(dǎo)函數(shù)f (x) 2x。不定積分研究的問題與之相反，已知f(x) x2,那么它是哪個(gè)函數(shù)X3的導(dǎo)函數(shù)？或者說哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后等于f (x)。當(dāng)然我們不難發(fā)現(xiàn) F (x) 的導(dǎo)函數(shù)正是f(x),也就是說f(x)是F(x)的導(dǎo)函數(shù)。這里 F(x)和f(x)又是什么關(guān)系呢？一、原函數(shù)與不定積分定義5.1已知函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有定義，如果存在函數(shù)F(x),使得在該區(qū)間的任一點(diǎn)處，都有關(guān)系式F (

2、x) f (x)或 dF(x) f(x)dx成立，則稱函數(shù) F(x)是函數(shù)f (x)在該區(qū)間上的一個(gè) 原函數(shù)。3由定義5.1我們知道F(x) 人就是f(x) x2的一個(gè)原函數(shù)。不過我們可以發(fā)現(xiàn)由定33 、，- x , 一 . ，一 義5.1, G(x) 一 1也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，也就是說原函數(shù)是不唯一的，其實(shí)不僅不33八 一一一一一， x唯一，而且無窮多，事實(shí)上 C都是f(x)的原函數(shù)。3定理5.1如果函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在某區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)，則f (x)的全體原函數(shù)可以表示為F(x) C (C是任意常數(shù))。定義5.2設(shè)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上有原函數(shù)，則f(x)的全體原函數(shù)稱為

3、f(x)在該某區(qū)間上的不定積分。記為f (x)dx其中x稱為積分變量，f(x)稱為被積函數(shù)，f (x)dx稱為被積表達(dá)式，”稱為積分號(hào)。由定理5.1可知，如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f (x)dx F(x) C由前面所提，有 32 x -x dx C3例 1 求 x dx (1)。解本例的關(guān)鍵是找出x的原函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算得1)x(x 1)可以整理為11(x1)再根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)1)1/1Tx1)由定義可知1xx dx C (1)1，一,1 上例要求 1,也就是說一的不定積分不含在該例的結(jié)果中。x1 , 例2求dx。x解當(dāng)x 0時(shí)，由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算得(lnx)當(dāng)x 0時(shí)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

4、得(lnx)(ln(x)1( x)x由定義可知例3求ax dx。解由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算得1dx xIn x可以整理為x (a )In a4ax)In a再根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)由定義可知ln ax (a )ln ax言)In ad( f(x)dx) f(x)dx f (x)dx f (x) C df(x) f (x) C二、基本積分公式在討論不定積分運(yùn)算的開始，我們也試圖先給出基本初等函數(shù)的積分公式，出乎意料,我們只得到如下公式0dx Cx 一x dx C (1)dxln x Caxdxdx arctanx Cln aex dx ex Csin xdx cosx Ccosxdx sin x C12 dx t

5、an x C cos x1八2 dxcot x Csin x1,dx arcsin x C三、不定積分的運(yùn)算法則我們也試圖尋找類似于導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的相應(yīng)結(jié)論，我們得到若f (x)與g(x)都存在原函數(shù)，c為常數(shù)，則cf(x)dx c f(x)dx f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx求(cosx 2 x ,求 3 e dx。 2Jx)dx。由不定積分運(yùn)算法則和基本積分公式得(cosx 2x 2 x)dx cosxdx2xdx2 xdxsin x2xIn 212 x2 dxsin x2xIn 22- ix2C-12sin x2xIn 2解 函數(shù)乘積的積分公式并不存在,但經(jīng)適當(dāng)

6、變換可得3xexdx(3e)xdx(3e)xCln(3e)-C ln3 1dx 。一 一(x 1)2例6求 2x解 函數(shù)相除的積分公式也不存在，但經(jīng)適當(dāng)變換可得實(shí)用文檔2分。區(qū)工dxx5.2換元積分法2x 2x 1 ,2dxx(1 - xx 21nT)dx x-C x如果被積函數(shù)中含有復(fù)合函數(shù),符合以下定理?xiàng)l件的，可以按照定理的結(jié)論求出不定積定理5.2若已知f(x)dx F(x) C且（x）是可導(dǎo)函數(shù)，則有f( (x) (x)dx F(x) C定理5.2的方法稱為第一換元積分法（也稱湊微分法），它的具體步驟是f( (x) (x)dx f( (x)d (x)(x) uf(u)duF(u) CF(

7、 (x) Cx2 .例7求xe dx 0解在本例中,(x)2x ,所以 （x） 2x,由湊微分法得x2 .xe dx12121x22xe dxx22e (x ) dxex d(x2)實(shí)用文檔1 ，(x)一,所以-2xx2 u 1du1e2x21e2求 tanxdx 。由湊微分法得sinxtan xdx dxsinx , dxcosx(cosx)cosxdxcosxcosx1 一 、 d(cosx) cosx-du uInIncosx C求 cot xdx 。由湊微分法得tan xdxcosx , dx sinx(sinx)-dx sin xsin xd(sinx)sin x uduuIn u

8、CIn sinx Cdx 。.1sin 一10 求 一2xx在本例中,x(x)由湊微分法得實(shí)用文檔ln xd(ln x).1 sin 2xdx x11sin (2)dxxsin1 (1)x x.1 sin 一dxx xsin uducosu Ccos- Cxx,、e11 求dx。x解在本例中,(x)12.x,由湊微分法得(x) vx ,所以2 e,x (Vx) dx2 e d(，x):x uu 2 e du2eu C2e x Cx解在本例中，In xdx x小 川. In x , 例12求dx。由湊微分法得，、，、1(x) In x ,所以(x) 一 , x,1、,In x (-)dx xIn

9、 x(ln x) dx實(shí)用文檔ln x uuduln2x C25.3分部積分法如果被積函數(shù)中沒有復(fù)合函數(shù)，而且是乘積的形式，怎樣求不定積分呢？我們給出下面的公式u(x)v (x)dx u(x)v(x)u (x)v(x) dx我們稱這個(gè)公式為分部積分公式。驗(yàn)證它是很容易的,由乘積的求導(dǎo)法則u(x)v(x) u (x)v(x)u(x)v (x)上式兩端積分得u (x)v(x) u (x)v (x) dxu (x)v (x) dx上式右端第2項(xiàng)移到等式左端就得到分部積分公式。分部積分公式也可以寫成另一種形式udv u v v du利用分部積分公式的關(guān)鍵，是確定公式中的u和V,而且這里的v還是以導(dǎo)數(shù)的

10、形式出現(xiàn),所以需要湊微分。例 13 求 xexdx 。解由分部積分法得xexdxx(ex) dxxd(ex)x x .xe e dxx x c xe e C例 14 求 xcosxdx。解由分部積分法得xcosxdx x(sinx)dxxd(sin x)xsinx sinxdxxsin x cosx C在上兩個(gè)例子中，在湊微分時(shí)，我們都沒有使用哥函數(shù)，大家可以思考一下為什么?例 15 求 ln xdx。解由分部積分法得ln xdx xln x xd(ln x),1 .xln x x -dx xxln x dxxln x x C由此還可得到ln x,1loga xdx dx ln xdx ln

11、a ln axln x xln a ln例 16 求 arcsinxdx。xd(arcsinx)解由分部積分法得xdx2. 1 xarcsinxdx xarcsinx2x dxxarcsinxxarcsinxx arcsin x一1d(1 x2)2,1 x2xarcsinx .1x2 C由本例看出，有些問題的求解，不能只依靠分部積分法，還需要和換元積分法結(jié)合起來。例 17 求 arctanxdx。解由分部積分法得arctanxdx xarctanxxd(arctanx)x arctanxx arctanxx arctanxx arctanxdx1 2x-7dx2 1 x21 (1x2)2 1

12、x12八51n(1 x2)C第6講定積分及其應(yīng)用這一講我們介紹積分學(xué)的另一部分，即定積分。研究定積分所要解決的問題，以及它與不定積分的區(qū)別和聯(lián)系。6.1定積分概念一、曲邊梯形的面先看下面的圖形實(shí)用文檔由曲線y f(x) (f(x) 0), x a, x b和x軸所圍成的平面區(qū)域我們稱為曲邊梯形。接下來要解決的問題是計(jì)算這個(gè)曲邊梯形的面積。為此我們把計(jì)算過程分成下面幾個(gè)步驟：分割 在a, b之間任意地插入 n 1個(gè)分點(diǎn)x1, x2, , xn 1,把區(qū)間a , b任意分成 n個(gè)小區(qū)間，即a x0 x1 x2xn 1 xn b這樣就將曲邊梯形分成 n個(gè)小曲邊梯形。記xi xi xi 1 (i 1,

13、2, ,n)為每個(gè)小區(qū)間的 長度。近似 在第i個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i (X1 i xj,以矩形面積f( i) X近似取代第i個(gè)小曲邊梯形的面積。求和 將n個(gè)小曲邊梯形的近似值相加 nf( i) xi用來作為曲邊梯形面積的近似值。n取極限 可以看出，區(qū)間a, b分得越細(xì)，以 f( i) Xi代替曲邊梯形面積的近似 i 1程度就越高，所以記max x,求出1 i n nlim0f( i) Xii 1這個(gè)極限就是曲邊梯形的面積。二、定積分的概念定義6.1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上有定義且有界，在a, b之間任意地插入 n 1個(gè)分點(diǎn)x1, x2, , xn 1,把區(qū)間a , b任意分成n個(gè)小區(qū)間，即

14、a x0 x1 x2xn 1 xn b記xi xi xi 1 (i 1,2, n)為每個(gè)小區(qū)間的長度，在各小區(qū)間上任取一點(diǎn)i國1i xi),作和式 nf( i) xii 1記 max xj,如果當(dāng)時(shí)，極限1 i n nlim0f( i) xii 1存在，則稱函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上是可積的，并稱此極限值為函數(shù)f (x)在a,b上的定積分，記作 b a f(x)dx其中，f (x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量，f (x)dx稱為被積表達(dá)式，a, b稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限，稱為積分號(hào)。由定義6.1可以看出，當(dāng)被積函數(shù)f(x) 0時(shí)，定積分的幾何意義就是曲邊梯形的面積。另

15、外，在定義 6.1中，如果記Xixi 1 xi (i 1,2, n),那么得到的結(jié)果記為(x)dx顯然有baf (x)dxab f(x)dx依照定義6.1也不難得出af (x)dx 0a6.2 定積分的性質(zhì)定積分有與不定積分類似的計(jì)算性質(zhì)，如性質(zhì)1若f (x) , g(x)在區(qū)間(a, b)上可積，則f (x) g(x)在(a, b)上可積，且bbbf(x) g(x)dx f (x)dx g(x)dxaaa性質(zhì)2若f (x)在區(qū)間(a, b)上可積，k是任意常數(shù)，則kf (x)在(a, b)上可積，且bakf(x)dxbk a f(x)dx定積分也有其特有的性質(zhì)，如性質(zhì)3 (定積分對(duì)積分區(qū)間的

16、可加性)f (x)在區(qū)間(a, c), (c, b)及(a, b)上都是可積的，則有ba f(x)dxca f (x)dxbc f(x)dx性質(zhì)3的幾何解釋可由下圖看出性質(zhì)4 (定積分中值定理)若 f (x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，則在a , b上至少存在一點(diǎn)，使bf (x)dx f( )(b a)af ()稱為f (x)在區(qū)間a, c上的平均值。性質(zhì)4的幾何解釋可由下圖看出6.3 微積分基本定理可以看出由定義求定積分幾乎是一件無法做到的事，這就需要尋找有效的方法。一、變上限定積分及原函數(shù)存在定理 設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上可積，則對(duì)于任意x a , b , f (x)在a, x上也可積，

17、于實(shí)用文檔是積分xf(t)dt a存在，稱此積分為 變上限定積分。變上限定積分顯然是積分上限的函數(shù)，所以記為x(x)f(t)dta定理6.3 (原函數(shù)存在定理)若f (x)在區(qū)間a , b上連續(xù)，則函數(shù)解由定理6.3有(x)xf(t)dta在(a , b)內(nèi)可導(dǎo)，且(xx)(x)lim x 0x定理函數(shù)。(x)lim x 0f(x)xf(t)dtxf(t)dt axf(t)dtlim -x 0lim 3x 0 xlim f()x 0f(x)(x) f (x)x xf(t)dtxxf (t)dt a6.3告訴我們，連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)， 連續(xù)函數(shù)的變上限定積分就是它的一個(gè)原,、d x 2 .求c

18、os tdt。 dx a實(shí)用文檔3 xcos dx a2t dt cos xd .例2求一 dx2X 2sint dt a(u)uc.2 dt a由定理6.3有(u)2$in u由此得2 sintdt一2*x)2sin u(u)(x)22x2$in u二、微積分基本定理2x-22 sin x定理6.4 (微積分基本定理)若f (x)在區(qū)間a , b上連續(xù)，F(xiàn) (x)是f (x)的任意原函數(shù)，則有bf(x)dx F(b) a記作F(a) F(x)設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，由定理6.4可知上式中令解得C F(a),即得xf(t)dt aF(x)f (t)dt F(a) Cf(t)dtF(x

19、) F(a)上式中令x b,即得 b af(x)dx F(b) F(a) a定理6.4中的公式稱為牛頓萊布尼茨公式，簡記為N L公式。13 .例3求 x dx。0解由N L公式得1x3dx0兀例 4 求 1 In xdx e sin xdx。0解由N L公式得 冗sin xdxcosx 00 ( 1) 1e例 5 求 1 In x dx。e解 第一步要設(shè)法去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值耳，利用定積分的性質(zhì) 3得e1 ln x dxe11 In x dxeIn x dxeIn xdx1由上一講例15及N L公式，可得111 In xdx (xln x x) 1eln xdxi(xln x0 ( 1) 1e

20、i ln x dx 1e有了 N L公式，應(yīng)該說定積分的計(jì)算問題已經(jīng)解決了，不過定積分仍有自己的積分方法。6.4換元積分法與分部積分法一、定積分的換元積分法定理6.5設(shè)f(x)在區(qū)間a, b上連續(xù)，作變換 x (t),(t)滿足()a ,()b ；t , a,b；(t)在區(qū)間,上有連續(xù)導(dǎo)數(shù) (t),則有換元公式ba f(x)dxf (t)(t)dt公式看上去與不定積分的換元積分公式類似,不同的是在作換元變換后得到的定積分的積分上下限要作相應(yīng)的變化，即所謂“換元變限”。e2 ln x例6求 dx。1 x解由定積分換元積分法得e 2 1nx ee1dx 1 (2 ln x) d(ln x) 1 (

21、2 ln x)d(2 ln x)2 ln x u3udu23522例7證明：若f (x)在a,a上可積并為奇函數(shù),aa f (x)dx0。由定積分的性質(zhì)a0f(x)dx f (x)dx aaa0 f(x)dxf(x)dx做變量替換，令 xt ,則 dx d(t)dt00f(x)dx f( t)dt aaa0f( t)出因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以0f(x)dx aa0 f( t)出a0f出a0 f(x)dx由此得aa f (x)dx(x)dxa0 f (x)dx例8證明：若f (x)在a,a上可積并為偶函數(shù),af (x)dx aa2 f (x)dx。由定積分的性質(zhì)a0f (x)dx f (x)d

22、x aaa0 f(x)dxf(x)dx做變量替換，令t ,則 dx d(t)dt00f(x)dxf(aat)dta0f( t)出因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f (x)dxa0f(t)dta0 f出a0 f(x)dx由此得f(x)dxa0 f(x)dxa0 f(x)dxa2 0f(x)dx(x5x2 sin x 3)dx。解由定積分的性質(zhì)及上述結(jié)論得(x5 x2 sin x3)dxx5 dxx2 sin xdx2220 0 2 3dx 12023dx2、定積分的分部積分法定理6.6設(shè)函數(shù)u(x), v(x)在區(qū)間a, b上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u (x), v (x),則有定積分分部積分公式u(x)v(x)b

23、u (x)v (x)dx abu (x)v(x) dx a上式或?qū)懗蓈(x)du(x) abbu(x)dv(x) u(x)v(x) a a2x .例 10 求 xe dx 00解由定積分分部積分法得0xe2x ,dx1 2x0xd( 2e )1 10(0x 2xe212x.,-e )dx例11e21 2e22x , dx12x012121ee24413 2e4 4e求 xlnxdx。1解由定積分分部積分法得exln xdx12exln xd()122 x . In x2e x1 -2d(ln x)1dx xe2122exdx1e In x例12求一廠dx。1 x解由定積分分部積分法得e In x . dx1 x2elnxd( 1)1 x1lnx xe1(1)d(ln x) xdx6.6定積分的幾何應(yīng)用卜圖中陰影區(qū)域的面積可以用定積分來計(jì)算實(shí)用文檔設(shè)圖中陰影區(qū)域的面積為S,有bbbSa f(x)dxag(x)dxaf (x)g(x)dxaaa- . 2例13求曲線y 2x與直線y4 x圍成的平面圖形的面積。A1解平面區(qū)域如圖所示解方程組2x 得曲線與直線的交點(diǎn)為(2, 2)和(8, 4)。設(shè)所求面積為4 xAiA2!22x( 2x)dx o2