第5章離散傅里葉變換應(yīng)用1

1、第五章第五章 離散傅里葉變換的應(yīng)用離散傅里葉變換的應(yīng)用 用用DFT逼近連續(xù)時間信號的頻譜逼近連續(xù)時間信號的頻譜5.1用用FFT計(jì)算線卷積和相關(guān)運(yùn)算計(jì)算線卷積和相關(guān)運(yùn)算5.2倒頻譜分析倒頻譜分析5.3系統(tǒng)頻譜響應(yīng)函數(shù)分析及確定系統(tǒng)頻譜響應(yīng)函數(shù)分析及確定5.4通過離散傅立葉變換的工程應(yīng)用，加深對通過離散傅立葉變換的工程應(yīng)用，加深對DFT的理解的理解內(nèi)容提要內(nèi)容提要v 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFTDFT）及其快速算法（）及其快速算法（FFTFFT）的）的重要性不僅在于理論上的嚴(yán)格性，而且還在于工重要性不僅在于理論上的嚴(yán)格性，而且還在于工程上的實(shí)用性，凡是可以利用傅里葉變換進(jìn)行分程上的實(shí)用性

2、，凡是可以利用傅里葉變換進(jìn)行分析、綜合和處理的技術(shù)問題，都能利用析、綜合和處理的技術(shù)問題，都能利用FFTFFT有效地有效地解決。本章將詳細(xì)介紹和分析利用解決。本章將詳細(xì)介紹和分析利用DFTDFT逼近傅里葉逼近傅里葉變換時存在的問題和解決的方法，如何利用變換時存在的問題和解決的方法，如何利用DFTDFT實(shí)實(shí)現(xiàn)快速卷積及相關(guān)運(yùn)算，倒頻譜的基本概念及應(yīng)現(xiàn)快速卷積及相關(guān)運(yùn)算，倒頻譜的基本概念及應(yīng)用等內(nèi)容。用等內(nèi)容。 第一節(jié)第一節(jié) 用用DFT逼近連續(xù)時間信號的頻譜逼近連續(xù)時間信號的頻譜 v工程上所遇到的信號，包括傳感器的輸出信號，工程上所遇到的信號，包括傳感器的輸出信號，大多是連續(xù)非周期信號，這種信號無

3、論是在時域大多是連續(xù)非周期信號，這種信號無論是在時域或頻域都是連續(xù)的，其波形和頻譜如圖或頻域都是連續(xù)的，其波形和頻譜如圖5-15-1所示。所示。0 0ax (t)t圖5-1 連續(xù)非周期信號時域波形和頻譜dtetxXtjaa)()(deXtxtjaa)(21)(（5-1） （5-2） v由式（由式（5-15-1）、式（）、式（5-25-2）和圖）和圖5-15-1，可以看，可以看出出v1 1）兩式中的積分區(qū)間均為（兩式中的積分區(qū)間均為（，）；）；v2 2） 和和 都是連續(xù)函數(shù)。都是連續(xù)函數(shù)。)(aX)(v顯然，上述兩點(diǎn)無法滿足計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字顯然，上述兩點(diǎn)無法滿足計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)字信號處理的要求，要應(yīng)用

4、信號處理的要求，要應(yīng)用FFTFFT進(jìn)行分析和處進(jìn)行分析和處理，必須在時、頻域進(jìn)行有限化和離散化理，必須在時、頻域進(jìn)行有限化和離散化處理。處理。v有限化和離散化處理是在時、頻域?qū)Ρ惶幱邢藁碗x散化處理是在時、頻域?qū)Ρ惶幚淼倪B續(xù)信號近似或逼近，是一種近似處理的連續(xù)信號近似或逼近，是一種近似處理。理。v問題是：怎么離散和有限化，有沒有誤差問題是：怎么離散和有限化，有沒有誤差。主要內(nèi)容主要內(nèi)容時域的有限化和離散化時域的有限化和離散化一頻域的有限化和離散化頻域的有限化和離散化二誤差產(chǎn)生原因及解決辦法誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三周期信號的數(shù)字譜分析周期信號的數(shù)字譜分析四譜分析時譜分析時DFT參數(shù)的選擇參數(shù)的選

5、擇五頻譜細(xì)化技術(shù)頻譜細(xì)化技術(shù)六一、時域的有限化和離散化一、時域的有限化和離散化 時域的有限化時域的有限化，就是對信號的延續(xù)時間沿時間軸，就是對信號的延續(xù)時間沿時間軸進(jìn)行截?cái)?，反映在圖進(jìn)行截?cái)?，反映在圖5-25-2中，是把時間區(qū)間由（中，是把時間區(qū)間由（，）限定為（）限定為（0 0， ）。）。1T一、時域的有限化和離散化一、時域的有限化和離散化v 時域的離散化時域的離散化，就是對連續(xù)信號進(jìn)行抽樣，采樣，就是對連續(xù)信號進(jìn)行抽樣，采樣后，有后，有 則則 ， ，其結(jié)果如圖，其結(jié)果如圖5-25-2所示。所示。 (0,1,2,.,1)tnTnNNTT 1s( )( )ax tx 一、時域的有限化和離散化一

6、、時域的有限化和離散化v那么，原連續(xù)信號的頻譜，可近似表示為那么，原連續(xù)信號的頻譜，可近似表示為v經(jīng)有限化，即經(jīng)有限化，即n n由（由（，）近似為（）近似為（0 0， ） ，上式可表示為上式可表示為v要進(jìn)行數(shù)字譜分析，還要對上式中的要進(jìn)行數(shù)字譜分析，還要對上式中的 進(jìn)行有限進(jìn)行有限化和離散化?；碗x散化。 1TnnTjaanTxTXe )()(（5-3） 10e )()(NnnTjaanTxTX（5-4） 二、頻域的有限化和離散化二、頻域的有限化和離散化 v時域上的變化必然引起頻域上的變化，由于在時時域上的變化必然引起頻域上的變化，由于在時域上對域上對 進(jìn)行了抽樣，則在頻域上將引起頻譜進(jìn)行了抽

7、樣，則在頻域上將引起頻譜的周期化（是原連續(xù)信號頻譜的周期延拓，延拓的周期化（是原連續(xù)信號頻譜的周期延拓，延拓周期為周期為 ），如圖），如圖5-35-3所示。所示。圖5-3 時域離散化后的頻譜)(二、頻域的有限化和離散化二、頻域的有限化和離散化1, 0s 1k 1, 2 , 1 , 0Nk1s122/2TNTNTN（5-5） 與時域一樣，對頻域也要進(jìn)行有限化和離散化處理。與時域一樣，對頻域也要進(jìn)行有限化和離散化處理。頻域的有限化頻域的有限化，是在頻域軸上取一個周期的頻率區(qū)，是在頻域軸上取一個周期的頻率區(qū)間間 。頻域的離散化頻域的離散化，就是對一個周期內(nèi)的，就是對一個周期內(nèi)的頻譜進(jìn)行抽樣，頻譜進(jìn)行

8、抽樣， 有（有（ ）, ,則則 上式中，上式中， 代表信號截?cái)嗟臅r間長度，不是信號周期概念，因代表信號截?cái)嗟臅r間長度，不是信號周期概念，因?yàn)樵盘柺欠侵芷谛盘?；為原信號是非周期信號?也不是基頻的概念，而是頻譜離散也不是基頻的概念，而是頻譜離散化后相鄰離散點(diǎn)的頻率間隔?；笙噜忞x散點(diǎn)的頻率間隔。1T二、頻域的有限化和離散化二、頻域的有限化和離散化v為了與周期信號離散譜的符號為了與周期信號離散譜的符號 相區(qū)別，用相區(qū)別，用 來表示非周期信號頻譜離散化后的頻譜。來表示非周期信號頻譜離散化后的頻譜。1()aXn)(1kX二、頻域的有限化和離散化二、頻域的有限化和離散化v由上式可知，由上式可知， 與與

9、 ，僅相差，僅相差一個系數(shù)一個系數(shù) 。同。同理可得理可得 102101e )(e )()(1NnnTNTjkaNnnTjkaanTxTnTxTkX)()(DFT e )(102kTXnTxTnTxTaNnnkNja（5-6） )(1kXa)(kXT)(IDFT1)(1kXTnTxaa（5-7） 圖圖5-4 5-4 連續(xù)信號頻譜的有限化和離散化連續(xù)信號頻譜的有限化和離散化二、頻域的有限化和離散化二、頻域的有限化和離散化v 有了式（有了式（5-65-6）和式（）和式（5-75-7），就可將對連續(xù)信號的譜分析），就可將對連續(xù)信號的譜分析用用 的譜分析來逼近，從而采用的譜分析來逼近，從而采用FFTFF

10、T算法。算法。v 同時需要說明的是，對某一信號分析時，由于關(guān)心的是信同時需要說明的是，對某一信號分析時，由于關(guān)心的是信號的結(jié)構(gòu)成分，所以只需確定信號中頻率的相對量即可，號的結(jié)構(gòu)成分，所以只需確定信號中頻率的相對量即可，因此頻譜計(jì)算可以直接采用因此頻譜計(jì)算可以直接采用DFTDFT，式（，式（5-65-6）就是對非周期）就是對非周期連續(xù)信號進(jìn)行數(shù)字譜分析的基本原理。連續(xù)信號進(jìn)行數(shù)字譜分析的基本原理。)(nTxa102101e )(e )()(1NnnTNTjkaNnnTjkaanTxTnTxTkX)()(DFT e )(102kTXnTxTnTxTaNnnkN三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生

11、原因及解決辦法 v對連續(xù)非周期信號進(jìn)行數(shù)字譜分析實(shí)質(zhì)上對連續(xù)非周期信號進(jìn)行數(shù)字譜分析實(shí)質(zhì)上是用有限長抽樣序列的是用有限長抽樣序列的DFTDFT（離散譜）來近（離散譜）來近似無限長連續(xù)信號的頻譜（連續(xù)譜）。似無限長連續(xù)信號的頻譜（連續(xù)譜）。那那么這種近似，會有什么問題呢？么這種近似，會有什么問題呢？v其結(jié)果必然會產(chǎn)生誤差，主要的誤差包括：其結(jié)果必然會產(chǎn)生誤差，主要的誤差包括：柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)、混疊效應(yīng)混疊效應(yīng)和和頻譜泄漏頻譜泄漏三種。三種。三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法v（一）柵（一）柵(shan(shan) )欄效應(yīng)欄效應(yīng) 非周期信號具有連續(xù)譜，用非周期信號具有連續(xù)譜，用

12、DFTDFT來計(jì)算非周期信來計(jì)算非周期信號的頻譜時，只能觀察到有限個（號的頻譜時，只能觀察到有限個（N N個）離散頻譜個）離散頻譜值，而頻譜間隔中的值就觀察不到了，就好像通值，而頻譜間隔中的值就觀察不到了，就好像通過柵欄觀察景物一樣，一部分景物被過柵欄觀察景物一樣，一部分景物被( (柵欄柵欄) )阻擋阻擋了，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)了，這種現(xiàn)象稱為柵欄效應(yīng)。（看到的是柵欄）。（看到的是柵欄） 將能夠感受到的頻譜最小間隔值稱為頻譜分辨率，將能夠感受到的頻譜最小間隔值稱為頻譜分辨率，一般用一般用F F表示。表示。 頻譜分辨率反映了譜分析算法能將信號中兩個靠頻譜分辨率反映了譜分析算法能將信號中兩個靠得很

13、近的譜保持分開的能力。若時域抽樣周期為得很近的譜保持分開的能力。若時域抽樣周期為T T，抽樣點(diǎn)數(shù)為抽樣點(diǎn)數(shù)為N N，則有，則有 三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法vNTNT實(shí)際上就是信號在時域上的截?cái)嚅L度實(shí)際上就是信號在時域上的截?cái)嚅L度 ，分辨，分辨率率 與與 成反比。柵欄效應(yīng)是由于頻域的離散化成反比。柵欄效應(yīng)是由于頻域的離散化引起的，使得在頻譜抽樣間隔之間的頻譜無法反引起的，使得在頻譜抽樣間隔之間的頻譜無法反映出來，因此是不可避免的。映出來，因此是不可避免的。v為了改善柵欄效應(yīng)，提高頻率分辨率，應(yīng)當(dāng)增加為了改善柵欄效應(yīng)，提高頻率分辨率，應(yīng)當(dāng)增加信號的有效數(shù)據(jù)長度信號的有效數(shù)

14、據(jù)長度 或或N N，也可以采用頻譜細(xì)化，也可以采用頻譜細(xì)化技術(shù)，使譜線變密，從而看到原來看不到的技術(shù)，使譜線變密，從而看到原來看不到的“頻頻譜景象譜景象”。 1TF1T1TNTTF11211（5-8） 三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法v（二）混疊效應(yīng)（二）混疊效應(yīng)v時域信號的離散化是通過抽樣實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)采樣頻時域信號的離散化是通過抽樣實(shí)現(xiàn)的，當(dāng)采樣頻率率 不夠高時，采樣信號相對原信號就會產(chǎn)不夠高時，采樣信號相對原信號就會產(chǎn)生頻譜的混疊，引起頻譜失真。頻譜混疊效應(yīng)是生頻譜的混疊，引起頻譜失真。頻譜混疊效應(yīng)是由于時域的離散化引起的。由于時域的離散化引起的?？朔霓k法克服的辦法是提

15、高采是提高采樣頻率，設(shè)法滿足采樣定理，保證樣頻率，設(shè)法滿足采樣定理，保證 ，其，其中中 是原信號的最高頻率。如果時間記錄長度是原信號的最高頻率。如果時間記錄長度為為 ， 則在則在 時間內(nèi)的采樣次數(shù)時間內(nèi)的采樣次數(shù)N N必須滿足必須滿足12TfNm（5-9） Tf1smff2smf1T1T1T三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法v（三）頻譜泄漏三）頻譜泄漏v頻譜泄漏又稱截?cái)嗾`差，是由于對信號進(jìn)行截?cái)?，頻譜泄漏又稱截?cái)嗾`差，是由于對信號進(jìn)行截?cái)?，把無限長的信號限定為有限長，即令有限區(qū)間外把無限長的信號限定為有限長，即令有限區(qū)間外的函數(shù)值為零值，相當(dāng)于用一個矩形（窗）信號的函數(shù)值為零

16、值，相當(dāng)于用一個矩形（窗）信號乘相應(yīng)的信號。乘相應(yīng)的信號。圖圖5-5 5-5 用矩形窗截?cái)嘈盘栍镁匦未敖財(cái)嘈盘?三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法v由此得，由此得， ，由頻域卷積定理有，信，由頻域卷積定理有，信號被截?cái)嗪蟮念l譜為號被截?cái)嗪蟮念l譜為)()()(tWtxtya11( )( )*( )( )()22aaYXWXWd而原信號而原信號 的頻譜是的頻譜是( )ax t( )( ) j taXx t edt)(Y)(X顯然，顯然， 和和 是不同的。是不同的。 三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法v例如，設(shè)例如，設(shè) ，有，有v畫成頻譜圖，如圖畫成頻譜圖，如圖5

17、-65-6所示。所示。 ttxa0cos)(t)()()(00X11()sin c ()2TWT000011( )( )*( )( )* ()()2211()()22aYXWWWW 三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法 圖圖5-6 5-6 頻譜泄漏現(xiàn)象頻譜泄漏現(xiàn)象三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法三、誤差產(chǎn)生原因及解決辦法v余弦信號被矩形窗信號截?cái)嗪?，兩根沖激譜線變余弦信號被矩形窗信號截?cái)嗪?，兩根沖激譜線變成了以成了以 為中心的為中心的sincsinc形狀的連續(xù)譜，相當(dāng)于形狀的連續(xù)譜，相當(dāng)于頻譜從頻譜從 處處“泄漏泄漏”到其他頻率處，也就是說，到其他頻率處，也就是說，原來一個周期內(nèi)只有

18、一個頻率上有非零值，而現(xiàn)原來一個周期內(nèi)只有一個頻率上有非零值，而現(xiàn)在幾乎所有頻率上都有非零值，這就是頻譜泄漏在幾乎所有頻率上都有非零值，這就是頻譜泄漏現(xiàn)象。現(xiàn)象。v復(fù)雜的信號，造成復(fù)雜的復(fù)雜的信號，造成復(fù)雜的“泄漏泄漏”，他們互相疊，他們互相疊加，結(jié)果使信號難以分辨。加，結(jié)果使信號難以分辨。v頻譜泄漏是由時域信號的截?cái)嘁鸬?，減小頻譜頻譜泄漏是由時域信號的截?cái)嘁鸬?，減小頻譜泄漏的方法一般有兩種。泄漏的方法一般有兩種。v1 1）增加截?cái)嚅L度）增加截?cái)嚅L度: :增加計(jì)算長度增加計(jì)算長度v2 2）改變窗口形狀：用不同窗口對信號做截?cái)嗵幚?。）改變窗口形狀：用不同窗口對信號做截?cái)嗵幚?。要減少截?cái)嗾`差，

19、應(yīng)該減少主瓣寬度或旁瓣幅值，使實(shí)際譜接要減少截?cái)嗾`差，應(yīng)該減少主瓣寬度或旁瓣幅值，使實(shí)際譜接近原頻譜。旁瓣幅度減少，則主瓣寬度增加；旁瓣幅值增加，近原頻譜。旁瓣幅度減少，則主瓣寬度增加；旁瓣幅值增加，主瓣寬度就縮小。主瓣寬度就縮小。第二種情況造成旁瓣、主瓣分辨不清，引起兩個主瓣的誤解。第二種情況造成旁瓣、主瓣分辨不清，引起兩個主瓣的誤解。寧愿增大主瓣寬度，縮小旁瓣幅值，使能量集中于主瓣。這種寧愿增大主瓣寬度，縮小旁瓣幅值，使能量集中于主瓣。這種方法實(shí)質(zhì)是縮小高頻分量，適當(dāng)增大低頻分量。方法實(shí)質(zhì)是縮小高頻分量，適當(dāng)增大低頻分量。矩形窗口在時域上變化非常激烈，信號波形直上直下，高頻分矩形窗口在時域

20、上變化非常激烈，信號波形直上直下，高頻分量豐富且衰減緩慢，造成頻譜泄露非常嚴(yán)重?？紤]改變窗口的量豐富且衰減緩慢，造成頻譜泄露非常嚴(yán)重?？紤]改變窗口的形狀，如三角窗、冪窗、指數(shù)窗等。形狀，如三角窗、冪窗、指數(shù)窗等。但不管采用那種窗口函數(shù)，頻譜泄露只能減弱，不能消除，抑但不管采用那種窗口函數(shù)，頻譜泄露只能減弱，不能消除，抑止旁瓣和減少主瓣寬度也不可能同時得到，應(yīng)該根據(jù)具體情況止旁瓣和減少主瓣寬度也不可能同時得到，應(yīng)該根據(jù)具體情況進(jìn)行綜合考慮。進(jìn)行綜合考慮。四、周期信號的數(shù)字譜分析四、周期信號的數(shù)字譜分析 v對于周期連續(xù)信號對于周期連續(xù)信號 ，若其采樣序列為，若其采樣序列為 ，則由則由DFSDFS與

21、與DFTDFT的關(guān)系，周期連續(xù)信號的關(guān)系，周期連續(xù)信號 的頻譜的頻譜可由下式近似計(jì)算可由下式近似計(jì)算 v注意注意上式中的上式中的 與推導(dǎo)與推導(dǎo)DFSDFS時的處理方法不同。時的處理方法不同。同理可得同理可得 v上式中的上式中的 是是 的主值序列。的主值序列。)(txp)(nx)(txp1, 2 , 1 , 0 )(DFT1)(NknxNkXp（5-10）N11, 2 , 1 , 0)(IDFT )(NnkXNnxp（5-11） )(kX)(kX四、周期信號的數(shù)字譜分析四、周期信號的數(shù)字譜分析v連續(xù)周期信號是非時限信號，若要用連續(xù)周期信號是非時限信號，若要用FFTFFT作數(shù)字譜作數(shù)字譜分析，同樣

22、分析，同樣在時域進(jìn)行有限化（截?cái)啵┖碗x散化在時域進(jìn)行有限化（截?cái)啵┖碗x散化（抽樣）處理（抽樣）處理。對于一個帶限（頻譜為有限區(qū)間）。對于一個帶限（頻譜為有限區(qū)間）的周期信號，若抽樣頻率滿足抽樣條件，并且作的周期信號，若抽樣頻率滿足抽樣條件，并且作整周期截?cái)?，不會產(chǎn)生頻譜的混疊。整周期截?cái)?，不會產(chǎn)生頻譜的混疊。v但實(shí)現(xiàn)真正意義上的整周期截?cái)噙€是比較困難的，但實(shí)現(xiàn)真正意義上的整周期截?cái)噙€是比較困難的，如果是非整周期截?cái)?，則會產(chǎn)生頻譜的泄露，需如果是非整周期截?cái)?，則會產(chǎn)生頻譜的泄露，需要用加窗的方法減少頻譜泄露。對于非頻帶有限要用加窗的方法減少頻譜泄露。對于非頻帶有限信號，則必然產(chǎn)生混疊誤差和頻譜泄

23、露，需要通信號，則必然產(chǎn)生混疊誤差和頻譜泄露，需要通過一定的措施減少誤差到允許的范圍內(nèi)。過一定的措施減少誤差到允許的范圍內(nèi)。五、譜分析時五、譜分析時DFT參數(shù)的選擇參數(shù)的選擇v應(yīng)用應(yīng)用DFT(DFT(或或FFT)FFT)進(jìn)行信號的頻譜分析時，要根據(jù)進(jìn)行信號的頻譜分析時，要根據(jù)給定的要求，確定給定的要求，確定DFTDFT的參數(shù)。一般情況下，的參數(shù)。一般情況下，已知已知（或先估計(jì)）：信號的最高頻率（或先估計(jì)）：信號的最高頻率 、頻譜分辨、頻譜分辨率率 、抽樣時能夠達(dá)到的最高抽樣頻率、抽樣時能夠達(dá)到的最高抽樣頻率 。v需要確定需要確定的參數(shù)通常包括：截取的信號長度（數(shù)的參數(shù)通常包括：截取的信號長度（

24、數(shù)據(jù)長度）據(jù)長度） 、抽樣頻率、抽樣頻率 （或采樣間隔（或采樣間隔 ）、）、點(diǎn)數(shù)點(diǎn)數(shù)N N及選擇什么樣的窗口函數(shù)等。及選擇什么樣的窗口函數(shù)等。mfF)(smsmf1TsfT五、譜分析時五、譜分析時DFT參數(shù)的選擇參數(shù)的選擇v參數(shù)選擇總原則：參數(shù)選擇總原則：v盡可能減少混疊、頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)等項(xiàng)誤差，盡可能減少混疊、頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)等項(xiàng)誤差，保證信號處理的精度和可靠性。在實(shí)際分析中，保證信號處理的精度和可靠性。在實(shí)際分析中，根據(jù)這個原則，采用以下的步驟來選定相應(yīng)的根據(jù)這個原則，采用以下的步驟來選定相應(yīng)的DFTDFT參數(shù)。參數(shù)。五、譜分析時五、譜分析時DFT參數(shù)的選擇參數(shù)的選擇v 1 1）估計(jì)

25、待分析信號中頻率范圍和頻率上限）估計(jì)待分析信號中頻率范圍和頻率上限 。v 2 2）選定抽樣頻率）選定抽樣頻率 。v 3 3）根據(jù)分析精度，確定數(shù)據(jù)有效長度）根據(jù)分析精度，確定數(shù)據(jù)有效長度 。v4 4）確定點(diǎn)數(shù)）確定點(diǎn)數(shù)N N。v5 5）選窗口。）選窗口。v 1 1）若需要，可以先對信號進(jìn)行濾波，去掉高頻分量；）若需要，可以先對信號進(jìn)行濾波，去掉高頻分量；v 2 2）可以估計(jì)最高頻率，按抽樣定理選取抽樣頻率；）可以估計(jì)最高頻率，按抽樣定理選取抽樣頻率；v 3 3）頻譜分辨率小，）頻譜分辨率小，T1T1要加長，但點(diǎn)數(shù)要加長，但點(diǎn)數(shù)N N不增加，則不增加，則T T增加，采樣頻率下降，造增加，采樣頻率

26、下降，造成頻譜混迭。成頻譜混迭。v 4 4）高分辨率下增加）高分辨率下增加T1T1，T T不變不變，N增加，加大數(shù)據(jù)量，增加，加大數(shù)據(jù)量，N不增加，加大不增加，加大T，引起，引起混迭，因此混迭，因此F N fm之間必須滿足之間必須滿足5-12v 5）常用窗口特性見第七章第三節(jié)。）常用窗口特性見第七章第三節(jié)。mfsf1TNfF六、頻譜細(xì)化技術(shù)六、頻譜細(xì)化技術(shù)v數(shù)字譜分析時，合理選擇相關(guān)參數(shù)，可以得到需數(shù)字譜分析時，合理選擇相關(guān)參數(shù)，可以得到需要的頻譜分辨率，增采樣數(shù)量，可以提高分辨率，要的頻譜分辨率，增采樣數(shù)量，可以提高分辨率，但對于不能加大但對于不能加大N N的場合，只能采用頻譜細(xì)化技術(shù)的場合

27、，只能采用頻譜細(xì)化技術(shù)來改善頻譜分辨率，獲得比較精細(xì)的頻譜結(jié)構(gòu)。來改善頻譜分辨率，獲得比較精細(xì)的頻譜結(jié)構(gòu)。v怎么樣細(xì)化頻譜呢？v簡單的頻譜細(xì)化技術(shù)之一簡單的頻譜細(xì)化技術(shù)之一v加零法加零法: :即在原有即在原有N N點(diǎn)有限長序列后面，人為地增點(diǎn)有限長序列后面，人為地增加零點(diǎn)，使總的序列長為加零點(diǎn)，使總的序列長為L(LN)L(LN)，然后進(jìn)行譜分，然后進(jìn)行譜分析。析。v注意注意: :補(bǔ)零不能提高頻率分辨率。補(bǔ)零不能提高頻率分辨率。六、頻譜細(xì)化技術(shù)六、頻譜細(xì)化技術(shù)v補(bǔ)零的補(bǔ)零的好處好處： v1 1）可使數(shù)據(jù)）可使數(shù)據(jù)N N為為2 2的整數(shù)次冪，以便于使用的整數(shù)次冪，以便于使用FFTFFT。v2 2）

28、補(bǔ)零起到對）補(bǔ)零起到對DFTDFT的的 做插值的作用，一方面做插值的作用，一方面克服克服“柵欄柵欄”效應(yīng)，使譜的外觀得到平滑；另一效應(yīng)，使譜的外觀得到平滑；另一方面，由于數(shù)據(jù)截?cái)嗟倪^短，頻譜泄漏將嚴(yán)重影方面，由于數(shù)據(jù)截?cái)嗟倪^短，頻譜泄漏將嚴(yán)重影響對原頻譜的辨認(rèn)，甚至可能在頻譜中出現(xiàn)一些響對原頻譜的辨認(rèn)，甚至可能在頻譜中出現(xiàn)一些難以確定的峰值，而插值可以在一定程度上克服難以確定的峰值，而插值可以在一定程度上克服這一現(xiàn)象。這一現(xiàn)象。( )X 六、頻譜細(xì)化技術(shù)六、頻譜細(xì)化技術(shù)vZoomFFTZoomFFT法法: :或稱選帶傅里葉分析法（或稱選帶傅里葉分析法（Band Band Select Four

29、ier AnalysisSelect Fourier Analysis），以下簡稱），以下簡稱ZFFTZFFT法。法。它是在頻率分析范圍內(nèi)它是在頻率分析范圍內(nèi)任何感興趣的頻率點(diǎn)附近，任何感興趣的頻率點(diǎn)附近，選擇一個窄的頻帶，以高分辨率集中分析這一窄選擇一個窄的頻帶，以高分辨率集中分析這一窄帶帶，從而獲得這一段頻譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。，從而獲得這一段頻譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。六、頻譜細(xì)化技術(shù)六、頻譜細(xì)化技術(shù)圖5-7 ZFFT法的基本步驟ZFFT法的原理見圖：法的原理見圖：六、頻譜細(xì)化技術(shù)六、頻譜細(xì)化技術(shù)v步驟：步驟：v1 1）對被分析信號）對被分析信號 ，按，按 進(jìn)行采樣，采樣進(jìn)行采樣，采樣點(diǎn)數(shù)為點(diǎn)數(shù)為 ，則可獲

30、得分辨率為，則可獲得分辨率為 的頻的頻譜譜 ，如圖，如圖5-7a5-7a、b b所示。所示。v2 2）選擇感興趣的中心頻率）選擇感興趣的中心頻率 及帶寬及帶寬B B。v3 3）對頻譜）對頻譜 作數(shù)字頻移處理，得頻移作數(shù)字頻移處理，得頻移 后的后的信號頻譜信號頻譜 ，如圖，如圖5-7c5-7c所示。所示。v4 4）對）對 作數(shù)字低通濾波，得帶寬為作數(shù)字低通濾波，得帶寬為 的的窄帶頻譜窄帶頻譜 ，如圖，如圖5-7d5-7d所示。所示。( )x t2smff2mFfNN( )X f0f( )X f0f0()X ff0()X ff2B)(1fY六、頻譜細(xì)化技術(shù)六、頻譜細(xì)化技術(shù)v5 5）對）對 進(jìn)行傅里

31、葉反變換（進(jìn)行傅里葉反變換（IDFTIDFT），得窄帶），得窄帶信號信號 。v6 6）對）對 進(jìn)行重新采樣，設(shè)采樣頻率進(jìn)行重新采樣，設(shè)采樣頻率 ，采樣點(diǎn)數(shù)為采樣點(diǎn)數(shù)為 ，得，得 ，如圖，如圖5-7e5-7e所示。則該所示。則該信號的傅里葉變換結(jié)果如圖信號的傅里葉變換結(jié)果如圖5-7f5-7f所示。所示。v7 7）對重新采樣序列）對重新采樣序列 作作FFTFFT，可獲得細(xì)化頻，可獲得細(xì)化頻譜譜 ，如圖，如圖5-7g5-7g所示。細(xì)化后的頻率分辨率所示。細(xì)化后的頻率分辨率為為 。當(dāng)。當(dāng) 時，時， ，表明分辨率提高，表明分辨率提高K K倍。倍。)(1fY2( )y t2( )y tssffKM2( )

32、y n2( )y n2( )Y mssFfMfKMNF KMMN/FF K第二節(jié)第二節(jié) 用用FFT計(jì)算線卷積和相關(guān)運(yùn)算計(jì)算線卷積和相關(guān)運(yùn)算 v圓卷積計(jì)算速度快，線卷積有明確的物理意義，圓卷積計(jì)算速度快，線卷積有明確的物理意義，建立兩者之間關(guān)系，可以用圓卷積代替線卷積。建立兩者之間關(guān)系，可以用圓卷積代替線卷積。v討論兩有限長序列的圓卷積與線卷積的等價(jià)條件，討論兩有限長序列的圓卷積與線卷積的等價(jià)條件，將圓卷積的快速算法應(yīng)用于線性卷積和相關(guān)的快將圓卷積的快速算法應(yīng)用于線性卷積和相關(guān)的快速算法中。速算法中。 主要內(nèi)容主要內(nèi)容圓卷積的計(jì)算方法圓卷積的計(jì)算方法一圓卷積與線卷積的關(guān)系圓卷積與線卷積的關(guān)系二用

33、用FFT計(jì)算有限長序列的線卷積計(jì)算有限長序列的線卷積三分段快速卷積分段快速卷積重疊相加法重疊相加法四離散時間序列的相關(guān)運(yùn)算離散時間序列的相關(guān)運(yùn)算五一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v兩個長度均為兩個長度均為 （如長度不等，將短序列補(bǔ)零至（如長度不等，將短序列補(bǔ)零至等長）的有限長序列等長）的有限長序列 、 ，其圓卷積，其圓卷積 定義為定義為 N)(nx)(nh)(ny110( )( )()( )( )()( )NNpNpNmm py nx m h nm Rnh m xnm Rn1010)()()()()(NmNNmNmnxmhmnhmxny或或 (5-13)(5-14) 計(jì)算圓卷積的方法主

34、要有公式法、圖解法、矩陣法、計(jì)算圓卷積的方法主要有公式法、圖解法、矩陣法、時域卷記定理。時域卷記定理。 一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v1 1公式法（解析法）公式法（解析法） 直接利用圓卷積的上述定義式來求解。直接利用圓卷積的上述定義式來求解。例例5-1 5-1 設(shè)設(shè) ， ，計(jì)算，計(jì)算5 5點(diǎn)點(diǎn)長圓卷積長圓卷積 。解：解： 為為4 4點(diǎn)長序列，在其尾部補(bǔ)零使其成為點(diǎn)長序列，在其尾部補(bǔ)零使其成為5 5點(diǎn)長點(diǎn)長序列序列 ，然后進(jìn)行圓卷積。，然后進(jìn)行圓卷積。 根據(jù)卷積定義式，根據(jù)卷積定義式，5 5點(diǎn)長序列的圓卷積為點(diǎn)長序列的圓卷積為5 , 4 , 3 , 2 , 1)(nx9 , 8 ,

35、7 , 6)(nh)(ny)(nh0 , 9 , 8 , 7 , 6)(nh450( )( ) (),(0,1,2,3,4)my nx m h 一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v則 時0n45055555(0)( ) (0) (0) (0)(1) ( 1)(2) ( 2)(3) ( 3)(4) ( 4) (0) (0)(1) (4)(2) (3)(3) (2)(4) (1) 1 6 2 0 3 9 4 8 5 7 100myx m hmxhxhxhxhxhxhxhxhxhxh v則 時1n45055555(1)( ) (1) (0) (1)(1) (0)(2) ( 1)(3) ( 2)

36、(4) ( 3) (0) (1)(1) (0)(2) (4)(3) (3)(4) (2) 1 72 63 04 95 895myx m hmxhxhxhxhxhxhxhxhxhxh 一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v同理同理 ； ； 。 因此，因此， 。 85)2(y70)3(y100)4(y100,70,85,95,100)(一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v2 2圖形法圖形法v先變量置換，然后保持其中的一個序列不動，將先變量置換，然后保持其中的一個序列不動，將另外一個序列進(jìn)行反折、圓移位，最后將兩個序另外一個序列進(jìn)行反折、圓移位，最后將兩個序列對應(yīng)的元素相乘、求和。列對應(yīng)的

37、元素相乘、求和。一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v 由于圓移位的特點(diǎn)，還可以利用由于圓移位的特點(diǎn)，還可以利用同心圓法同心圓法求圓卷積，如圖求圓卷積，如圖5-85-8所示。將所示。將 、 分別分別分布在兩個同心圓上，分布在兩個同心圓上，內(nèi)圓按順時針方向內(nèi)圓按順時針方向刻度刻度 ，外圈按逆時針方向外圈按逆時針方向刻度刻度 ，并，并 使使 與與 對齊。然后將兩個圓上的對對齊。然后將兩個圓上的對應(yīng)值相乘并相加，則得到應(yīng)值相乘并相加，則得到 。再將。再將外圓外圓按順時針方向旋轉(zhuǎn)一位按順時針方向旋轉(zhuǎn)一位，對應(yīng)值相乘并相，對應(yīng)值相乘并相加，得到加，得到 ，如此下去，直到求，如此下去，直到求出出 。

38、)(nx)(nh)(nx)(nh)(nx)(nh)0(y) 1 (y) 1(N一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法 圖圖5-8 5-8 用同心圓作圖求圓卷積用同心圓作圖求圓卷積 一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v3 3矩陣法矩陣法v利用矩陣相乘來計(jì)算圓卷積。根據(jù)圓卷積的定義，利用矩陣相乘來計(jì)算圓卷積。根據(jù)圓卷積的定義，式（式（5-145-14）可用矩陣表示為）可用矩陣表示為 即即HXY ) 1() 2 () 1 () 0 () 0 () 3() 2() 1() 3 () 0 () 1 () 2 () 2 () 1() 0 () 1 () 1 () 2() 1() 0 () 1()

39、2 () 1 () 0 (NxxxxhNhNhNhhhhhhNhhhhNhNhhNyyyy（5-15）一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v注意注意: :式（式（5-155-15）表示序列）表示序列 不動，序列不動，序列 對對 進(jìn)行了求模運(yùn)算。進(jìn)行了求模運(yùn)算。H H為循環(huán)矩陣，其元為循環(huán)矩陣，其元素排列是有規(guī)律的，第一行表示的是原點(diǎn)（素排列是有規(guī)律的，第一行表示的是原點(diǎn)（ ）不動時，序列的反折（倒序）；接下來的各行分不動時，序列的反折（倒序）；接下來的各行分別是上一行序列的循環(huán)右移。別是上一行序列的循環(huán)右移。 )(nx)(nx)(nh()N一、圓卷積的計(jì)算方法一、圓卷積的計(jì)算方法v4 4時

40、域圓卷積定理法時域圓卷積定理法v利用利用DFTDFT的一個重要性質(zhì)的一個重要性質(zhì)時域圓卷積定理來計(jì)時域圓卷積定理來計(jì)算圓卷積。若算圓卷積。若 ， 則則)()(nxDFTkX)()(nhDFTkH)()(IDFT()(IDFT)(kHkXkY二、二、 圓卷積與線卷積的關(guān)系圓卷積與線卷積的關(guān)系 v線卷積具有明確的物理意義，直接計(jì)算比較復(fù)雜。線卷積具有明確的物理意義，直接計(jì)算比較復(fù)雜。對于兩個有限長序列求線卷積能否用圓卷積來代對于兩個有限長序列求線卷積能否用圓卷積來代替，即替，即采用采用FFTFFT計(jì)算線卷積而使兩者結(jié)果又完全相計(jì)算線卷積而使兩者結(jié)果又完全相同呢？同呢？v答案是肯定的，但需要滿足一個

41、條件：就是將進(jìn)答案是肯定的，但需要滿足一個條件：就是將進(jìn)行線卷積的兩序列的長度（設(shè)兩序列的點(diǎn)數(shù)分別行線卷積的兩序列的長度（設(shè)兩序列的點(diǎn)數(shù)分別為為 ）均通過補(bǔ)零的辦法，加長）均通過補(bǔ)零的辦法，加長至至 ，然后再進(jìn)行點(diǎn)的圓卷積，則圓，然后再進(jìn)行點(diǎn)的圓卷積，則圓卷積的結(jié)果與線卷積的結(jié)果相同。卷積的結(jié)果與線卷積的結(jié)果相同。21NN 和121NNN二、二、 圓卷積與線卷積的關(guān)系圓卷積與線卷積的關(guān)系v設(shè)設(shè) 分別由點(diǎn)通過補(bǔ)零，加長至分別由點(diǎn)通過補(bǔ)零，加長至N N點(diǎn)，其線點(diǎn)，其線卷積為，可表示為卷積為，可表示為 計(jì)算結(jié)果的長度要多出一些零值，但非零值長度計(jì)算結(jié)果的長度要多出一些零值，但非零值長度仍為仍為 點(diǎn)。

42、點(diǎn)。 其圓卷積為其圓卷積為 ，可表示為，可表示為)(),(nhnx101)()()()()(Nmmnhmxnhnxny121 NN)(2ny)()()()()()()()()(10102nRmnxmhnRmnhmxnhnxnyNNmpNN二、二、 圓卷積與線卷積的關(guān)系圓卷積與線卷積的關(guān)系v而而 可得可得 （5-165-16） 式中，下標(biāo)式中，下標(biāo)p p表示序列的周期化；表示序列的周期化； 是指對線是指對線卷積卷積 進(jìn)行周期為進(jìn)行周期為N N的延拓后得到的周期序的延拓后得到的周期序 列；列； 兩序列的圓卷積的結(jié)果，是兩序列的圓卷積的結(jié)果，是的主值序列。的主值序列。 rprNmNmrNmpnyrN

43、nymrNnhmxmrNnhmxmnhmx)()()()( )()()()(11101010)()()(12nRnynyNp)(1nyp)(1ny)()()(1p2nRnynyN二、二、 圓卷積與線卷積的關(guān)系圓卷積與線卷積的關(guān)系v上述過程說明上述過程說明: :加長至加長至N N點(diǎn)長的點(diǎn)長的 、 兩序列的兩序列的圓卷積圓卷積 與與 線卷積作周期延拓所得到的序線卷積作周期延拓所得到的序列列 的主值序列相同。在這個條件下（兩序列的主值序列相同。在這個條件下（兩序列均加長至均加長至N N點(diǎn)），就可以通過計(jì)算序列的圓卷積來點(diǎn)），就可以通過計(jì)算序列的圓卷積來求解線卷積。從式（求解線卷積。從式（5-165-

44、16）的推導(dǎo)過程還可以看）的推導(dǎo)過程還可以看出，如果兩序列不加長至出，如果兩序列不加長至N N，其線卷積的周期延拓，其線卷積的周期延拓序列將發(fā)生重疊或混疊現(xiàn)象（因?yàn)樾蛄袑l(fā)生重疊或混疊現(xiàn)象（因?yàn)?線卷積長線卷積長度為度為 ），相應(yīng)計(jì)算出的圓卷積也將產(chǎn)生），相應(yīng)計(jì)算出的圓卷積也將產(chǎn)生失真，圓卷積的主值序列和線卷積就不相同。失真，圓卷積的主值序列和線卷積就不相同。( )x n( )h n)(2ny)(1ny)(1nyp121 NN)(三、三、 用用FFT計(jì)算有限長序列的線卷積計(jì)算有限長序列的線卷積v 根據(jù)上述圓卷積與線卷積的關(guān)系，可以得出用根據(jù)上述圓卷積與線卷積的關(guān)系，可以得出用FFTFFT求解兩

45、求解兩序列線卷積的原理框圖，如圖序列線卷積的原理框圖，如圖5-9 5-9 所示。其計(jì)算的所示。其計(jì)算的具體步具體步驟如下驟如下v 1 1）若兩序列）若兩序列 、 的長度為的長度為N N，將序列加長至，將序列加長至2N2N1 1，并應(yīng)修正為，并應(yīng)修正為2 2的冪次（基的冪次（基2 2算法）；算法）；v 2 2）計(jì)算）計(jì)算 、 ；v 3 3）計(jì)算）計(jì)算 ；v 4 4）計(jì)算）計(jì)算 。)(nx)(nh)(FFT)(nxkX)(FFT)(nhkH)()()(kHkXkY)(IFFT)(kYny圖圖5-9 5-9 用用FFTFFT求線性卷積求線性卷積三、三、 用用FFT計(jì)算有限長序列的線卷積計(jì)算有限長序列

46、的線卷積v在在MATLABMATLAB中直接實(shí)現(xiàn)線卷積計(jì)算的函數(shù)有中直接實(shí)現(xiàn)線卷積計(jì)算的函數(shù)有 conv, conv, conv2, convnconv2, convn。其中。其中conv2conv2和和 convnconvn分別用于分別用于2 2維、維、n n維的卷積運(yùn)算。維的卷積運(yùn)算。convconv則用于向量卷積與多項(xiàng)式乘則用于向量卷積與多項(xiàng)式乘的計(jì)算，調(diào)用的格式為的計(jì)算，調(diào)用的格式為c cconvconv（a a，b b）。式中，）。式中，a a、b b表示兩個序列，表示兩個序列，c ca a* *b b。在。在MATLABMATLAB中，序列中，序列可用向量來表示，若向量可用向量來表

47、示，若向量a a的長度為的長度為nana，向量，向量b b的的長度為長度為nbnb，則向量，則向量c c的長度為的長度為nananbnb1 1。 四、分段快速卷積四、分段快速卷積重疊相加法重疊相加法vFFTFFT作線卷積，需要兩次正變換，一次反變換，因作線卷積，需要兩次正變換，一次反變換，因此對于短序列，圓卷積與線卷積優(yōu)勢不明顯；此對于短序列，圓卷積與線卷積優(yōu)勢不明顯；v對于長序列，才能顯示優(yōu)越性，對于一長一短，對于長序列，才能顯示優(yōu)越性，對于一長一短，短序列補(bǔ)零太多，反而導(dǎo)致計(jì)算量增加。短序列補(bǔ)零太多，反而導(dǎo)致計(jì)算量增加。v分段快速卷積的方法分段快速卷積的方法: :將長序列分成若干小段，每將

48、長序列分成若干小段，每小段分別與短序列作卷積運(yùn)算，然后將所有的分小段分別與短序列作卷積運(yùn)算，然后將所有的分段卷積結(jié)果相疊加，就是線卷積的最后結(jié)果，這段卷積結(jié)果相疊加，就是線卷積的最后結(jié)果，這種方法又稱為重疊相加法。種方法又稱為重疊相加法。 四、分段快速卷積四、分段快速卷積重疊相加法重疊相加法v設(shè)設(shè) 的長度為的長度為M M， 為一長序列，將為一長序列，將 進(jìn)行分進(jìn)行分段，每段的長度為段，每段的長度為 ，將每一段分別與，將每一段分別與 進(jìn)行進(jìn)行線卷積，然后將結(jié)果重疊相加，如圖線卷積，然后將結(jié)果重疊相加，如圖5-105-10所示。所示。 圖5-10 疊加相加法的分段以及的重疊情況 )(nx)(nx1

49、N)(nh)(四、分段快速卷積四、分段快速卷積重疊相加法重疊相加法v設(shè)將設(shè)將 分為分為 第第 段段 表示為表示為 （5-175-17）v則則 （5-185-18）)(nx,),(),(10nxnxk)(nxk其他01) 1()()(11NknkNnxnxk0)()(kknxnx000)()(*)()(*)()()()(四、分段快速卷積四、分段快速卷積重疊相加法重疊相加法v由于由于 長度為長度為 ， 的長度為的長度為M M，故，故 的長度的長度為為 ，即的范圍為，即的范圍為 （5-195-19）v將式（將式（5-195-19）與式（）與式（5-175-17） 的范圍比較，的范圍比較， 顯顯然然

50、比長點(diǎn)，而比長點(diǎn)，而 的范圍是的范圍是 （5-20）)(nxk1N)(nh)(nyk11MNN2) 1(11111MNkMNkNnkN)(nxk)(nyk)(nxk)(1nyk2)2(2) 1() 1(1111MNkMNNknN四、分段快速卷積四、分段快速卷積重疊重疊相加法相加法v將式（將式（5-195-19）與式（）與式（5-205-20）比較，可知）比較，可知 的后的后部分與的部分與的 前部分，有前部分，有 個點(diǎn)發(fā)生重疊。個點(diǎn)發(fā)生重疊。這樣，對于在此范圍的每一個這樣，對于在此范圍的每一個 值，原序列值，原序列 和和 的卷積的卷積 之值應(yīng)為之值應(yīng)為 （5-215-21）v這就是說，式（這就是

51、說，式（5-185-18）中的求和并不是將各段線）中的求和并不是將各段線卷積的結(jié)果簡單地拼接在一起，在某些點(diǎn)上是需卷積的結(jié)果簡單地拼接在一起，在某些點(diǎn)上是需要前后兩段的結(jié)果重疊相加的。要前后兩段的結(jié)果重疊相加的。)(nyk)(1nyk1M)(nh)(nx)(ny)()()(五、離散時間序列的相關(guān)運(yùn)算五、離散時間序列的相關(guān)運(yùn)算v設(shè)序列設(shè)序列 ， ，（，（ ），稱下述運(yùn)算），稱下述運(yùn)算 為序列為序列 和和 的線性相關(guān)。的線性相關(guān)。 v對對 和和 均為實(shí)序列的情形，由式（均為實(shí)序列的情形，由式（5-225-22）可以得到可以得到 ( )x ny( )nn )(*)()(mymnxnRmxy(5-22

52、) ( )x ny( )n( )x ny( )n)()()()()(nynxmymnxnRmxy（5-23） 自相關(guān)函數(shù)與卷積的關(guān)系。自相關(guān)函數(shù)與卷積的關(guān)系。五、離散時間序列的相關(guān)運(yùn)算五、離散時間序列的相關(guān)運(yùn)算v若序列若序列 和和 是不同的兩個序列，則稱相關(guān)為是不同的兩個序列，則稱相關(guān)為互相關(guān)，若互相關(guān)，若 ，則稱相關(guān)為，則稱相關(guān)為自相關(guān)自相關(guān)。v注意：注意：相關(guān)和卷積是兩個不同的概念，它相關(guān)和卷積是兩個不同的概念，它們的區(qū)別是明顯的。除了形式上的差異，們的區(qū)別是明顯的。除了形式上的差異，它們還有一些其他的不同。例如，對相關(guān)它們還有一些其他的不同。例如，對相關(guān)運(yùn)算來說，既不具有交換性，也不具有

53、結(jié)運(yùn)算來說，既不具有交換性，也不具有結(jié)合性。一般來說，合性。一般來說，( )x ny( )ny( )n( )x n)()(nRnRyxxy)()()(nRnRyzxxyz， v第一章 緒論v基本概念：測試技術(shù) 測試過程 信號分析與處理。以信號獲取、處理和利用為目的的技術(shù)稱為測試技術(shù)。針對被測對象特點(diǎn)，利用相應(yīng)傳感器，將被測物理量轉(zhuǎn)變成電信號，然后按一定目的對起分析和處理，以探明被測對象內(nèi)在規(guī)律的過程稱為測試過程。而信號分析與處理是測試技術(shù)的重要研究內(nèi)容。v信號分析與處理技術(shù)分為模擬信號分析和處理以及數(shù)字信號分析與處理v信號、信號的表示和描述、信號的分類；信號分析與信號處理、基本信號或者典型的連

54、續(xù)時間信號、離散時間信號的描述v系統(tǒng)及系統(tǒng)的分類和系統(tǒng)的特性。v周期性的判別及周期的確定；v系統(tǒng)特性的判別：線性、時變、因果、穩(wěn)定、記憶等。v連續(xù)時間信號與分析v周期信號的分析、非周期信號的頻域分析、周期信號的傅立葉變換、采樣信號分析。v譜的概念與特點(diǎn)，卷積積分的計(jì)算、采樣定理與采樣頻率離散時間系統(tǒng)與特性、離散時間信號與序列、Z正變換和反Z變換、離散信號Z變換 利用Z變換分析信號與系統(tǒng)。卷積和的概念和計(jì)算、Z變換的定義域、反Z變換的計(jì)算方法等。v離散傅立葉變換及其快速算法：序列的傅立葉變換、離散傅立葉級數(shù)、離散傅立葉變換、離散傅立葉變換與快速傅立葉變換、頻域采樣理論。v離散傅立葉變換計(jì)算公式及

55、其性質(zhì)。v濾波及濾波器的概念、濾波器的分類和設(shè)計(jì)要求、常用模擬濾波器及其設(shè)計(jì)方法、數(shù)字濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)；vIIR濾波器的設(shè)計(jì)方法，雙線性和沖激響應(yīng)不變法。第三節(jié)第三節(jié) 倒頻譜分析倒頻譜分析倒頻譜的定義倒頻譜的定義一倒頻譜的應(yīng)用倒頻譜的應(yīng)用對語言信號的分析對語言信號的分析二一、倒頻譜的定義一、倒頻譜的定義v設(shè)時域連續(xù)信號設(shè)時域連續(xù)信號x(tx(t) )的傅里葉變換為的傅里葉變換為 其功率譜為其功率譜為( )( )j tXx t edt2( )( )( )( )PXXX一、倒頻譜的定義一、倒頻譜的定義v定義定義 （5-255-25） 為連續(xù)信號為連續(xù)信號x x(t(t) )的的倒頻譜倒頻譜，它實(shí)質(zhì)

56、是，它實(shí)質(zhì)是“信號對數(shù)信號對數(shù)功率譜的功率譜功率譜的功率譜”。1( )F log( )aCP2( )Flog( )xCPv實(shí)際工程中常用幅值倒頻譜，其表達(dá)式為實(shí)際工程中常用幅值倒頻譜，其表達(dá)式為 （5-265-26）一、倒頻譜的定義一、倒頻譜的定義v在實(shí)際數(shù)字信號處理時，對有限長序列的倒譜計(jì)在實(shí)際數(shù)字信號處理時，對有限長序列的倒譜計(jì)算算步驟為步驟為v(1)(1)對時域信號對時域信號 作作DFTDFT： ；v(2)(2)對頻域信號對頻域信號 取對數(shù)：取對數(shù)： ；v(3)(3)求倒譜：求倒譜： 。( )x n10( )( )NnkNnX kx n W( )X k( )ln( )X kX k101(

57、 )( )NnklNkx nX k WN對功率譜密度函數(shù)取對數(shù)的目的是再變換之后，對功率譜密度函數(shù)取對數(shù)的目的是再變換之后，信號的能量更加集中。信號的能量更加集中。二、倒頻譜的應(yīng)用二、倒頻譜的應(yīng)用對語言信號的分析對語言信號的分析v元音元音“a”a”的對數(shù)譜和倒頻譜表示在圖的對數(shù)譜和倒頻譜表示在圖5-115-11上。從上。從圖中可以看到有兩個特點(diǎn)：一是有大量的諧波分圖中可以看到有兩個特點(diǎn)：一是有大量的諧波分量，諧波間距等于語音音調(diào)；二是有許多共振峰，量，諧波間距等于語音音調(diào)；二是有許多共振峰，即所謂的構(gòu)形成分，它由聲道的形狀決定，并確即所謂的構(gòu)形成分，它由聲道的形狀決定，并確定了特定的元音聲。定

58、了特定的元音聲。 二、倒頻譜的應(yīng)用二、倒頻譜的應(yīng)用對語言信號的分析對語言信號的分析圖圖5-11 5-11 元音元音“a”a”的對數(shù)譜和倒頻譜分析的對數(shù)譜和倒頻譜分析二、倒頻譜的應(yīng)用二、倒頻譜的應(yīng)用對語言信號的分析對語言信號的分析v為分析方便，用為分析方便，用 代替代替 ，則可用，則可用 表示原來聲道內(nèi)發(fā)出的語音信號的功率譜，用表示原來聲道內(nèi)發(fā)出的語音信號的功率譜，用 表示共振嗓音成分的功率譜，兩者合成的元音聲表示共振嗓音成分的功率譜，兩者合成的元音聲的功率譜為的功率譜為/(2 )f)( fPv)( fPf)()()(fPfPfPfvxv若以對數(shù)形式表達(dá)，上式可改寫成若以對數(shù)形式表達(dá)，上式可改寫

59、成lg( )lg( )lg( )xfvPfPfP 二、倒頻譜的應(yīng)用二、倒頻譜的應(yīng)用對語言信號的分析對語言信號的分析v因?yàn)楦道锶~變換的線性特性，所以在倒頻譜中仍因?yàn)楦道锶~變換的線性特性，所以在倒頻譜中仍保持相加的關(guān)系。保持相加的關(guān)系。 v并簡寫成并簡寫成Flg( )Flg( )Flg( )xfvPfPfP f)()()(vfxCCC二、倒頻譜的應(yīng)用二、倒頻譜的應(yīng)用對語言信號的分析對語言信號的分析v從圖從圖5-115-11中還可以看出，有聲道產(chǎn)生的構(gòu)形成分中還可以看出，有聲道產(chǎn)生的構(gòu)形成分與嗓音產(chǎn)生的語音特征，在倒頻譜中處于完全不與嗓音產(chǎn)生的語音特征，在倒頻譜中處于完全不同的地方，可以明顯地加以區(qū)

60、別。同的地方，可以明顯地加以區(qū)別。第四節(jié)第四節(jié) 系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)分析及確定系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)分析及確定v系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)直接對應(yīng)被測對象的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)直接對應(yīng)被測對象的數(shù)學(xué)模型，從而設(shè)計(jì)出符合性能要求的控制系統(tǒng)；通過頻率從而設(shè)計(jì)出符合性能要求的控制系統(tǒng)；通過頻率響應(yīng)可以得到系統(tǒng)的頻率特性，進(jìn)行系統(tǒng)識別和響應(yīng)可以得到系統(tǒng)的頻率特性，進(jìn)行系統(tǒng)識別和性能分析，理解系統(tǒng)功能，改善系統(tǒng)特性，滿足性能分析，理解系統(tǒng)功能，改善系統(tǒng)特性，滿足實(shí)際設(shè)計(jì)要求。實(shí)際設(shè)計(jì)要求。v本節(jié)主要介紹系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的基本特性、基本節(jié)主要介紹系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的基本特性、基本測定方法，并以傳感器的頻率特性分析為例，本