連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性72199

1、09高數(shù)高數(shù)第九節(jié)第九節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性p 四則運算的連續(xù)性p 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性p 初等函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)要求教學(xué)要求 了解連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性； 反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)及初等函數(shù)的連續(xù)性概念； 會判別函數(shù)的連續(xù)性，會判別分段函數(shù)的連續(xù)性； 會用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限。一、四則運算的連續(xù)性一、四則運算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)處也連續(xù)在點在點則則處連續(xù)處連續(xù)在點在點若函數(shù)若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在xx.csc,

2、sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 2 嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連嚴格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)續(xù)反函數(shù). .例如例如,2,2sin上單調(diào)增加且連續(xù)上單調(diào)增加且連續(xù)在在 xy. 1 , 1arcsin上也是單調(diào)增加且連續(xù)上也是單調(diào)增加且連續(xù)在在故故 xy;1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xy.,cot,arctan上單調(diào)且連續(xù)上單調(diào)且連續(xù)在在 xarcyxy反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).定理定理3 3).(lim)

3、()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)若若證證,)(連續(xù)連續(xù)在點在點auuf .)()(, 0, 0成立成立恒有恒有時時使當使當 afufau,)(lim0axxx 又又,0, 0, 00時時使當使當對于對于 xx.)(成立成立恒有恒有 auax將上兩步合起來將上兩步合起來:,0, 0, 00時時使當使當 xx)()()()(afxfafuf .成立成立 )()(lim0afxfxx 0lim( ).xxfx意義意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;.)(. 2的理論依據(jù)的理論依據(jù)變量代換變量代換xu

4、例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時時當當yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx .)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點在點而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.例如例如,),

5、0()0,(1內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 xy三、初等函數(shù)的連續(xù)性三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討論

6、(均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xd這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在在0點的鄰域內(nèi)沒有定義點的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間注意注意注意注意2. 初等函數(shù)求極限的方法初等函數(shù)

7、求極限的方法代入法代入法.例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx四、小結(jié)四、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個定理兩個定理; 兩點意義兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.作作 業(yè)業(yè)p70頁vex 3vex 4vex 6思考題思考題 設(shè)設(shè)xxfsgn)( ，21)(xxg ，試試研研究究復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))(xgf與與)(xfg的的連連續(xù)續(xù)性性.sinxlim2.xx求思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2x