二次根式知識(shí)講座

1、二次根式“a （a>0）”專題講座龍三中數(shù)學(xué)教師胡超一、教材內(nèi)容分析二次根式在教材（北師大版）中所占的比重不大，且知識(shí)結(jié)構(gòu)不是非常系統(tǒng)， 學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中往往抓不住重點(diǎn)，知識(shí)不過(guò)手。但二次根式在教學(xué)大綱明確要 求學(xué)生要了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān) 的實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算，且其本身在代數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)中占有相當(dāng)重要的比重。因此,我們有必要把教材中的二次根式內(nèi)容進(jìn)行系統(tǒng)的整理，讓學(xué)生真正了解二次根式 的概念，會(huì)進(jìn)行二次根式的四則運(yùn)算，達(dá)到知識(shí)過(guò)手的目的。二、二次根式的知識(shí)結(jié)構(gòu)（1）、二次根式的定義（判斷、舉例）1、二次根式的定義：Y （2）、最簡(jiǎn)二次根式的定義（判斷

2、、化簡(jiǎn)）（3）、同類二次根式的定義（判斷、求值：方程思想）（、ja （a> 0）的雙重非負(fù)性2、二次根式的性質(zhì):（2）、（Ta $ = a（a 啟0）、(a _0,b>0)K1）、二次根式的加減運(yùn)算（2）、二次根式的乘除運(yùn)算3、二次根式的運(yùn)算:（3）、二次根式的乘方運(yùn)算（零次方和負(fù)指數(shù)）（4）、二次根式的混合運(yùn)算 5）>分母有理化三、題型設(shè)計(jì):以“數(shù)一一字母一一單項(xiàng)式一一多項(xiàng)式一一綜合”的形式呈現(xiàn)知識(shí) 以“例題變式練習(xí)拓展”的結(jié)構(gòu)展開(kāi)練習(xí)四、學(xué)情、教法、學(xué)法分析學(xué)生在學(xué)習(xí)二次根式的過(guò)程中，往往對(duì)其概念認(rèn)識(shí)不清，對(duì)條件認(rèn)識(shí)不夠， 對(duì)其性質(zhì)掌握不牢，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)沒(méi)有形成系

3、統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在其四則 運(yùn)算中漏洞百出。要使學(xué)生知識(shí)過(guò)手，就要讓學(xué)生理解知識(shí)要點(diǎn)，通過(guò)大量練習(xí) 加深理解。因此，對(duì)每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，要讓學(xué)生對(duì)被開(kāi)方數(shù)從整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)、 單個(gè)字母、整式、整式的運(yùn)算等方面一一過(guò)手，就要用大量的練習(xí)來(lái)加以保證， 這就要求學(xué)生練習(xí)練習(xí)再練習(xí)。讓學(xué)生把他們的錯(cuò)誤通過(guò)練習(xí)暴露出來(lái)，再通過(guò) 練習(xí)把這些錯(cuò)誤消滅干凈。通過(guò)學(xué)習(xí)，也要培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思想和良好的數(shù) 學(xué)學(xué)習(xí)方法和習(xí)慣。五、教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)根據(jù)大綱要求，學(xué)生要求了解二次根式的基本概念及其加、減、乘、除運(yùn)算 法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算。因此制定以下目標(biāo)：a）知識(shí)與技能目標(biāo)：了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式、

4、同類二次根式的定義， 會(huì)對(duì)一個(gè)根式化簡(jiǎn)，會(huì)判別同類二次根式；掌握二次根式的四個(gè)主要性質(zhì)，會(huì)用 它們進(jìn)行二次根式的運(yùn)算。b）過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)對(duì)二次根式的學(xué)習(xí)過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)中數(shù)與式 的統(tǒng)一、和諧美及數(shù)學(xué)中的化歸思想、整體思想。c）情感態(tài)度目標(biāo)：重難點(diǎn)：二次根式的化簡(jiǎn)、根式的運(yùn)算及 .a2的化簡(jiǎn)六、教學(xué)課時(shí)安排本專題共三課時(shí)：第一課時(shí)：二次根式的基本概念；第二課時(shí)：二次根式的 主要性質(zhì)；第三課時(shí)：二次根式的運(yùn)算七、教學(xué)過(guò)程第一課時(shí)：二次根式的基本概念一、知識(shí)要點(diǎn)：1、二次根式：式子.a叫（a> 0）叫做二次根式（實(shí)質(zhì)就是非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方 根，a叫做“被開(kāi)方數(shù)”，讀作“根號(hào)a”或“二

5、次根號(hào)a”）強(qiáng)調(diào)：注意被開(kāi)方數(shù)a是非負(fù)數(shù)，即a>0這個(gè)重要條件2、最簡(jiǎn)二次根式：同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的二次根式叫最簡(jiǎn)二次根式：a被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（即被開(kāi)方數(shù)不含分母或小數(shù)）b、被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡的因數(shù)或因式（即不含象4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、289、324、361 等的因數(shù)或稱著完全平方數(shù)和x2、（x+y）2、（abc） 2、x4等的因式）3、同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，則這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式（注意步驟：1、化簡(jiǎn) 2、判斷）二、例題講解例1、（二次

6、根式定義的理解）下列各式中哪些是二次根式？習(xí)題練習(xí)（略）例2、（最簡(jiǎn)二次根式的判斷）在根式3、両、:8、J13、2.5、中，是最簡(jiǎn)二次根式的是。 3并說(shuō)明理由！變式訓(xùn)練：在根式 2xy、. 16a、 . 3x2y、，27x5、- a2 - b2 > . （a -b）3中是最簡(jiǎn)二次根式的是 。并說(shuō)明理由。習(xí)題練習(xí)1、在根式-5、 27、.90、1.3 105、.2.9 10；中，是最簡(jiǎn)二次根式的是。并說(shuō)明理由！2、 在根式-5abc、169a、3.2xy、2xy5、. a2 b2、（a4-b2）3 中是最簡(jiǎn)二次根式的是 。并說(shuō)明理由。例3、（二次根式的化簡(jiǎn)）把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式1

7、、后2、老3、2xy54、>/（a -b）3變式訓(xùn)練：把下列二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式：、169a2、2x y；(2xy5)3習(xí)題練習(xí)1、化簡(jiǎn)二次根式:12、18、- 27、.32、482、化簡(jiǎn)二次根式:3、3、乂5、3、化簡(jiǎn)二次根式:,12a2、16a3、.1.5(x- y)3、4x4y27例4、（同類二次根式的判斷）12與18是同類二次根式嗎？63 281呢?變式訓(xùn)練：-16a3與.12a2是同類二次根式嗎？48a3與12a5呢？習(xí)題練習(xí)：a）在下列根式中找出同類二次根式：18、. 12、3、27、32、48、,、. 2.5、. 3.28 3b）在下列根式中找出同類二次根式:四、,12

8、a2、16a3、.1.5(x-y)3、4x4y2722、3.(3 xy )歸納總結(jié)（略）拓展提高如果最簡(jiǎn)二次根式（a -b）. 3 -5b和-3b - 2a -1是同類二次根式,那么a、b的值是多少?定時(shí)練習(xí)(20分鐘)A組1 .下列運(yùn)算正確的是()A . . 52 -42 =、52 - -42 =5-4=1; B . J(-16)(-25) = J-16 X J -25 =-4 X( -5 ) =20C . . (5)2 (12)2+更=Zd ,亍=7 X - 7=4、7V 131313 13 132.下列化簡(jiǎn)錯(cuò)誤的是（）.J0.01 0.49 = ,0.01 x 0.49 =0.1 x 0

9、.7=0.07D14； = J=1x 1=13.169 196 =6.(_18)x(24)=; 7 . 70W =.3=.7 79.；(2?03 =10.( 1) J-(U)2 =；(2) 8.1 102 =11.指出下列各式中的最簡(jiǎn)二次根式:扌島(3)7481點(diǎn)6莎( J/ +y3 12.把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式:B組11 .計(jì)算:;12 化簡(jiǎn)： 心52 +302 =(1)屈厶皿伽嚼*13.?已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10cm,?腰為13cm,?則此等腰三角形的面積為 cm2.14.0.9 169：3.6 19615.在 ABC中，/ C=Rt/,若 AB=8 BC=1,貝U AC=.16.

10、在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn) A ( 1, -2 ) , B (5, -7 ), C ( 5, -2 )是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求AB的長(zhǎng).第二課時(shí)：二次根式的主要性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)Ja （a> 0）的雙重非負(fù)性二次根式的性質(zhì):(2)、(3)、a b = ab,a _ 0、b - 0)I（ 5）、( a0，b>0)重難點(diǎn)：a （a>0）的雙重非負(fù)性和a2的化簡(jiǎn)強(qiáng)調(diào)：特別注意性質(zhì)的條件二、例題講解例1、（二次根式雙重非負(fù)性的理解）如果U3x -1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是 注意：本題用的是a非負(fù)若 J3x_1 +2x_y =0，貝U 2x+3y的值=注意：本題用的是 a非負(fù)變式訓(xùn)練：

11、1、如果等式 口=±成立,那么x的取值范圍是 x Jx2、 如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式 J x -（y二y =0,求x, y的值習(xí)題練習(xí)1、如果：2.5x-；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是 2、如果等式.1X = x -1成立,那么x的取值范圍是* x Vx3、如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式 、1 x -（y -1）2 = 0,求x, y的值例2 ( J a2 = a和(ja2=a(aO )的理解)化簡(jiǎn)：J(-3)2 =F =,(xcO)、(亦2=_變式訓(xùn)練：若J(-a)2 = -a,則a_ _0,后=-a,則 a 0習(xí)題練習(xí)1、 化簡(jiǎn)：=丁25 =G/2a ) =2、若 x>0,y

12、<0,則 J(Xy)2 = ，釘xy$ =例3、(二次根式乘除法法則的理解)計(jì)算：.6 .8123變式訓(xùn)練：計(jì)算：1、x3x5、；(x y) (x y)5、 、2x38x52 v'x3yv8a3b2V xyJ2ab三、歸納總結(jié)(略)四、拓展提高：1、已知：0vx<3,化簡(jiǎn)J(2x+1)2 _x_5的結(jié)果是(2、化簡(jiǎn):Jx2 - 2x +1 - Jx2 - 4x +4 十(Jx - 2)2的結(jié)果是 3、若直角三角形的兩直角邊分別是 2cm和acm，貝U直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 24、 若正方形的面積是(b-3) cm,則正方形的邊長(zhǎng)是 。5、 若正三角形的面積是scm2則它的邊長(zhǎng)

13、是。26、求下列二次根式中字母a的取值范圍：(1 ) Ja + 3; (2 ) J；(3 ) Ja2 十 1.4 7、當(dāng)x = -4 時(shí)，求二次根式 1 _ 2的值&物體自由下落時(shí)，下落距離h (米1可用公式h=5t 2來(lái)估計(jì)，其中t (秒)表示 物體下落所經(jīng)過(guò)的時(shí)間.(1) 把這個(gè)公式變形成用h表示t的公式(2) 一個(gè)物體從54.5米高的塔頂自由下落，落到地面需幾秒(精確到 0.1秒)？定時(shí)練習(xí)(20分鐘)A組1.像J a2十4，”3 (b > 3) , 72s (s > 0),這種表示算術(shù)平方根的代數(shù)式，叫做2當(dāng)x取時(shí)，J4X有意義.3 如果 匸科三是二次根式，則 x的

14、取值范圍是4.當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式-1x的值為當(dāng)a取6當(dāng)x取時(shí)，.6x2有意義.7 .當(dāng)m=-2時(shí)，二次根式.m2 4的值為&判斷題(對(duì)的打“V” ，錯(cuò)的打“x” )(1) 二次根式.東 中字母x的取值范圍是x<0()3(2) 二次根式、4 - 3x中字母x的取值范圍是x< ()4(3) 當(dāng)x=-1時(shí)，二次根式4-2x2的值為、2()(4) 當(dāng)a=-4時(shí)，二次根式、1 -2a的值為、-9()B組9. 下列各式中，哪一個(gè)是二次根式()_2x10. 使代數(shù)式1 2x有意義的x的取值范圍是()x + 2111A . xm -2; B . xw且 x 工-2; C . x<

15、 且 x 工-2; D . x> 且 x工-222211 .求當(dāng)二次根式、4x2的值等于4時(shí)x的值.12 .若二次根式.-2x - 6有意義，化簡(jiǎn)|x-4 | - | 7-x | .第三課時(shí)分母有理化有理化因式' 1)有理化因式的定義：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式, 我們就稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.C2）有理化因式的方法 如果含有一-次糧譏的代數(shù)式是巾皿幕即開(kāi)方劃朋喬的式子，它的有理化因式就是晶（-：是最簡(jiǎn)二次根式）. 如果含有次根式的代數(shù)式是頂式.那么它的有亡化閤式也是哄式，其屮有-項(xiàng)與總 二項(xiàng)式中的一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)與原二項(xiàng)式中的另一項(xiàng)只差一個(gè)符號(hào)，即它們相乘恰好滿足平方差公式.i3）般常見(jiàn)的互為有理化因式有如下幾種類型龍與；與；】 二與鋰、二;丁 ':'與衛(wèi)一* ; Li與.上（其中、 二 都是最簡(jiǎn)二次根式）.3分母有理化的方法分母有毗的方法:般地，分胡有理化就是川分愆的尸理化因譏I瓦吋/；乘以分了和分埠 從而去掉分母中的根號(hào).2 _例i:分母有理化, - '變式：2-的有理化因式為.1 _ 分母有理化嬴-掃 .例2:化簡(jiǎn)：1-語(yǔ) 43+衍的近似值為.（精確到0 01 ）1 _分母有理化 5池-7注意：有些特殊的式子，也可通過(guò)約分達(dá)到分母有理化的目的.宀（同岡賺G屈-屁-遍 如：a+yb