上海高中數(shù)學(xué)-復(fù)數(shù)講義(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上復(fù)數(shù)一、知識(shí)點(diǎn)梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=12、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：，叫實(shí)部，叫虛部，實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)。叫做復(fù)數(shù)集。NZQRC.3、復(fù)數(shù)相等：；4、復(fù)數(shù)的分類：虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是也沒(méi)有大小。5、復(fù)數(shù)的模：若向量表示復(fù)數(shù)z，則稱的模r為復(fù)數(shù)z的模， ；積或商的模可利用模的性質(zhì)（1），（2）6、復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)，7、復(fù)平面：這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的坐標(biāo)平面叫做復(fù)平面，其中x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)8

2、、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算復(fù)數(shù)z1與z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 復(fù)數(shù)z1與z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律數(shù)加法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di；= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)z1-z2的差(ac)+(bd)i對(duì)應(yīng)由于，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng).9. 特別地， zBzA.，為兩點(diǎn)間的距離。z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；， z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；

3、， z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓；， z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。10、顯然有公式：11、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律,在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.即對(duì)z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.復(fù)數(shù)的除法：(a+bi)(c+di)= ，分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)方法12、共軛復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；，兩共軛

4、復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)或向量關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。，13、熟記常用算式：，14、復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧：（1） （2）“1”的立方根的性質(zhì)： 15、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根問(wèn)題：（1）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)根 。（2）當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)共軛虛根，其中 。此時(shí)有 且。注意兩種題型： 虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問(wèn)題：不能用判別式法，一般用兩個(gè)復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，求的方法：（1）當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)， 已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)根，求的方法：（1）當(dāng)時(shí)，即，則 即，則 （2）當(dāng)時(shí)，二、典例分析：例1（1）復(fù)數(shù)等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 復(fù)數(shù)=，

5、選C（2）若復(fù)數(shù)同時(shí)滿足2，（為虛數(shù)單位），則 解：已知；（3）設(shè)a、b、c、dR，則復(fù)數(shù)(a+bi)(c+di)為實(shí)數(shù)的充要條件是A.adbc=0 B.acbd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0解析：（1）復(fù)數(shù)=為實(shí)數(shù)，選D；（4）已知（ ）(A)1+2i (B) 12i (C)2+i (D)2i 解析：，由、是實(shí)數(shù)，得，故選擇C。（5）設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則 。解析：，而 所以，解得x1，y5，所以xy4。點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)，基礎(chǔ)題。例2：（1）計(jì)算： 答案：（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系，求z；解：設(shè)z=a+bi（a,b為實(shí)數(shù)），由已知可得由復(fù)數(shù)相等可得：，解得，所以設(shè)z=a+

6、bi-x+yi（a,b為實(shí)數(shù)）復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化。（3）若，解方程解：設(shè)x=a+bi (a,bR)代入條件得:,由復(fù)數(shù)相等的定義可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。例3：(1)復(fù)數(shù)z滿足，則z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為（A）A直線 B圓 C橢圓 D拋物線解：令z=x+yi（x，yR），則x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故選A。（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：，求|z|的最大值與最小值；解：|z|的最大值為，最小值為；（3）已知zC，|z2|=1且復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在直線y=x上，求z。解：設(shè)z2=a+ai，|z2|=1，或?！舅季S點(diǎn)撥】從整體出發(fā)利用條件，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，本題也可設(shè)z=

7、a+bi再利用條件，但運(yùn)算復(fù)雜。(4)設(shè)，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的圖形面積為_(kāi)。解：|u|=|1+i|=|z|，|u|2，故面積S=?！舅季S點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b為實(shí)數(shù)，(1)若=z2+34,求|; (2)若，求a，b的值。解：（1）=(1+i)2+3(1i)4=1i，。（2）由條件，?！舅季S點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的充要條件解題。例5：設(shè)且是純虛數(shù)，求的最大值。 1PO1/2xy解：令z=x+yi（x，yR），則，是純虛數(shù)，即，由數(shù)形結(jié)合可知本題是求圓上的點(diǎn)到A(0,1)的最大距離。max=|PA|=。練習(xí)：12.若，其中a、bR，i是虛數(shù)單位，則=

8、（ D ）A0B2 CD53.設(shè)復(fù)數(shù)i，則1（ ） C（A）（B）2（C） （D）4.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（B ） ABCD5.若復(fù)數(shù)滿足方程，則 （ ） D A. B. C. D. 6. 設(shè)、，若為實(shí)數(shù)，則 ( C )(A) (B) (C) (D) 7.如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)（ ） BA B C D8.（ ） A A B CD9.滿足條件的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是（ ）C A. 一條直線 B. 兩條直線 C. 圓 D. 橢圓10.若 , ，且為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為 11.已知 C(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 12、復(fù)數(shù)的虛部為（A）3 （B）3 （C）2 （D）2 解析:復(fù)數(shù)=,所以它的虛部為2，選D.13、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限解：故選D；點(diǎn)評(píng)：復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)是高考對(duì)復(fù)數(shù)部分的一個(gè)考點(diǎn)，屬于比較基本的題目，主要考察復(fù)數(shù)的的分類和幾何性質(zhì)。14、求滿足條件:(i為虛數(shù)單位)的復(fù)數(shù)z 解原方程化簡(jiǎn)為, 設(shè)z=x+yi(x、yR),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, x2+y2=1且2x=-1