二階變系數(shù)線性微分方程的一些解法

1、第九節(jié)二階變系數(shù)線性微分方程的一些解法常系數(shù)線性齊次方程和某些特殊自由項的常系數(shù)線性非齊次方程的解法已在第七節(jié)中 介紹，而對于變系數(shù)線性方程， 要求其解一般是很困難的。本節(jié)介紹處理這類方程的二種方法§9.1降階法在第五節(jié)中我們利用變量替換法使方程降階，從而求得方程的解，這種方法也可用于二階支系數(shù)線性方程的求解。辱忠階線性齊次方三d2ydy+p(x) 、+q(x)y=0(9.1)dx2dx設(shè)已知其一個非零特解y咋變量替換，令y =uyi(9.2)dy=yidu+udyi dx dx dx22_ d y d u求二階導(dǎo)數(shù)有一Z=yidx2dx2代入(9.i)r；斗d2udy1y 12 +

2、 (2+p(x)y 1)dxdx(9.3)這是一個關(guān)于u的二階線性齊次:所以其中其中u=u(x)為未虹函數(shù)，求今數(shù)未du dy1d2yl2dx dx "dx2dud2yldy1十 (2 + p(x) + q(x)y 1)u = 0dxdxdx號程， 各項系數(shù)是x的已知函數(shù)，因為yi是(9.1)的解,d2yidyi-+ p(x) + q(x)y i三 0dx2dx故(9.3)式憶為一d2udyiduy i 2 +(2 -2+p(x)y i) =0dxdxdx公 人dy -再作變量替換，令一 = z仔dxy總+ (2皈dx dx+ p(x)y i)z = 0分離變量dz = F p(x)

3、 dxzyi兩應(yīng)枳分，存其逋肥C22yi一P p(x)dx e其中C2為fl意:常'數(shù)1積分得u = C2 / 2yie-p(x)dxdx + Ci代回原變量得(9.1)的通解1y =yi G+G/ep(x)dx dx y2此式稱為二階線性方程的劉維爾 (Liouville )公式。綜k所述,對于一階線件齊次于二,若已怔其一一寸零特解,作一次變指 附作變換 y= yi / zdx可將其降為一階線性齊次方程，從而求得通解。對于二階線性非齊次方程， 若已知其對應(yīng)的齊次方程的一個特解，用同樣的變換，因為這種變換并不影響方程的有端，所以也鈴便非齊次方程降低一階O2sinx 、 d y 2 dy

4、、例1. 已知 y i =是方程 2 + y = 0的一個解，試求方程的通解解作變換 y = y1 / zdx則有 -= y1z + '丫1 / zdx曲”上+22+必/zdx22dx dx dx dx代入原方程，并注意到 y1是以方程的鐘：江dzy 1 dx+ 化 W=0dx dxdz =2 ctanx zdx積分得zC12sin xf-dx+G sin x日 sinx 是 y =yi/zdx=/xsinx(Cictanx +C2)x1= (C 2sinx Ccosx)x這就是原方程的逋解。§9.2常觸易法在第三節(jié)求一階線性非齊方程通解時,我們曾對其對應(yīng)的齊次方程的通解，利

5、用常數(shù)變易法求杼V齊次方程的迪解。對于一階線性T.齊次方程d2y之 十 p(x) dx2其中 p(x),q(x)d2y:+ p(x)dx的通解 ydy=-+ p(x)y = f(x) (9.4)dx,f(x) i1某區(qū)間上迎續(xù),如用匯應(yīng)的產(chǎn)次方起dy n+ q(x)y = 0dx=Cy i + C2y2匚經(jīng)求解。那么也可速過如卜的常數(shù)變易法求得非齊次方一程的逋解。 設(shè)非齊次方程(9.4)通行形式y(tǒng)=uy+u2y2(9.5)的特解，其中U=U(x) , u2= u(x)是兩個待定函數(shù)，對 y求導(dǎo)數(shù)得y' = u1y' 1 + u2y7 2+yU i + y2/2由于用(9.5)代

6、入(9.4),可確定ui, U2的一個方程，為了同時確定這兩個函數(shù)，還須添加一個條件,為計算方便，我們補(bǔ)充一個條件:y i u i + y2u' 2= 0這樣y' = u1y z + u2y' 21y1 + u' 2y" 2+u1y' 1+u2y' 2代入方程(9.3),并注意到y(tǒng)i, y2是齊次方程曲解，整二.邛得 u ' V' 1+u' N 2 = f(x)y1u'1 y2u'2 = 0與補(bǔ)充條件聯(lián)列得方程組y'iu'i y'2 yiu” f(x)因為yi, 丫2徙性王

7、美，叮y2 W常數(shù)，所以(y2 )，= y1y2 2y 2y1 豐 0yiyiyi二 - y2f (x)w(x)= yf(x) w(x)設(shè)w(x) =yiy' 2y2y，1,則有w(x) W0所以上述方程組有堆一解。 磐得y2f (x)ui 一 , T丫42一丫2丫 i川.y1f (x)u 2 一yy'2 y2y'i枳分并垠其一個原函數(shù)得y2 f (x) dxw(x)_ . yi f(x)u 2 jdxw(x)y2 f(x) yi f(x)則所求特解為 y = yi /d dx + y2/ d dxw(x) w(x)- y2 f (x)-所求方程的通斛 y =Y+ y = Ciyi + C2y2 + yi / -dx+y2/w(x)9Mxw(x)上述求特解的方法也適用于常.系數(shù)非齊次方程情形。d2y i dy例i. 求方程 工=x I向通解d2y_1dy=0dx2 x dx的通解，由d2y 1 dydx2 x dx1- d(dydy" dx xdx得ln | In | x | I In即 dy = Cx得通解y=Cx2+Gdx所以對應(yīng)齊次方程的兩個線性無關(guān)的特解是x2和1Cl為求非齊次方程的一個解y將Ci,。換成待定函數(shù)ui, U2,且ui, U2湎足