反常積分的幾種計(jì)算方法

1、摘 要 1關(guān)鍵詞1Abstract 1Keywords10前言11反常積分的定義1L1無窮積分的定義11.2瑕積分的定義22反常積分的計(jì)算方法32.1 利用NewtonLeibniz公式計(jì)算反常積分32.2 利用變量替換法計(jì)算反常積分32.3 利用分部積分法計(jì)算反常積分52.4 利用分段積分自我消去法計(jì)算反常積分72.5 利用方程法計(jì)算反常積分72.6 利用級(jí)數(shù)法計(jì)算反常積分92.7 利用待定系數(shù)法計(jì)算反常積分10結(jié)束語11參考文獻(xiàn)11反常積分的幾種計(jì)算方法摘要:該文主要對(duì)反常積分的計(jì)算方法進(jìn)行歸納、總結(jié).重點(diǎn)描述了在進(jìn)行計(jì)算時(shí) 各種方法的靈活使用.關(guān)鍵詞：反常積分；變量替換；分部積分；級(jí)數(shù)法

2、;待定系數(shù)法Several calculation methods of abnormal integralAbstract: This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.Keywords： Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral;

3、Series method; the method of undetermined coefficient。前言反常積分是微積分學(xué)中一類重要的積分，反常積分的計(jì)算是學(xué)習(xí)積分計(jì)算中的重 難點(diǎn)。本文不僅介紹了常見的三大根本方法：NewtonLeibniz公式、利用變量替換、 利用分部積分法，還介紹了分段積分自我消去法、方程法、級(jí)數(shù)法和待定系數(shù)法等一 些在解決問題時(shí)較適用的方法，通過引用一些經(jīng)典例題使我們對(duì)這些方法有更加深刻 的認(rèn)識(shí)。但是在解決具體問題時(shí)要求我們注意各種方法的靈活性與相互滲透，這樣可 以簡(jiǎn)便計(jì)算。1反常積分的定義L1無窮積分的定義定義1設(shè)函數(shù)/定義在無窮區(qū)間2）上，且在任何有限區(qū)間上

4、可積，如果存 在極限lim f f（x）dx = J ,（1）Ja '那么稱此極限J為函數(shù)/在卜2）上的無窮限反常積分（簡(jiǎn)稱無窮積分），記作并稱公收斂.如果極限不存在，為方便起見，亦稱公發(fā)散.類似地，可定義/在（-8,川上的無窮積分：/ f (xclx = lim J f(x)dx.(2)對(duì)于/在(-8,+S)上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：匚/(X0X = L f(xlx+jf(xix .(3)12瑕積分的定義定義2設(shè)函數(shù)f定義在區(qū)間上，在點(diǎn)。的任一右領(lǐng)域上無界，但在任何內(nèi)閉區(qū) 間展目u上有界且可積.如果存在極限limf (x)dx = J ,(4)Ju那么稱此極限為無界函

5、數(shù)/在伉句上的反常積分，記作J = ( f(x)dx,(4Z)并稱反常積分f/QMx收斂.如果極限(4)不存在，這時(shí)也說反常積分，/(x)公發(fā)散.在定義中，被積函數(shù)/在點(diǎn)。近旁是無界的,這時(shí)點(diǎn)。稱為/的瑕點(diǎn),而無界函數(shù)反 常積分j /(用公乂稱為瑕積分.類似地，可定義瑕點(diǎn)為人時(shí)的瑕積分：j /(xMx=limj f(x)dx.(5)其中/在鼠)有定義，在點(diǎn)八的任一左領(lǐng)域上無界，但在任何a,u /)上可積. 假設(shè)/的瑕點(diǎn)cu("/),那么定義瑕積分£ y(x>/x=£ f(x/x+f(x)c/x=lim f(x)dx+ lim f(x)dx.(6)“f - J

6、(tvH* 人其中/在a,c)u(c,Z?上有定義，在點(diǎn)c的任一領(lǐng)域上無界，但在任何a,c)和 限u (c上都可積.當(dāng)且僅當(dāng)式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕積分才是收 斂的.乂假設(shè)兩點(diǎn)都是/的瑕點(diǎn),而/在任何限上可積，這時(shí)定義瑕積分£/(xMx = £ f(xlx+f(x)d.xlim f f(x)dx+ lim f(x)dx, “f b J"Jr其中c為伍口上任一實(shí)數(shù)洞樣地，當(dāng)且僅當(dāng)(7)式右邊兩個(gè)瑕積分都收斂時(shí)，左邊的瑕 積分才是收斂的.2反常積分的計(jì)算方法在計(jì)算反常積分時(shí)有三大根本方法：Newton-Leibniz公式、利用變量替換、利 用分部積分法.設(shè)(

7、xk/x是反常積分，b為唯一的奇點(diǎn)(為有限數(shù)，或+ 8),計(jì)算f/(xMx：2.1利用Newton一Leibniz公式計(jì)算反常積分假設(shè)在)連續(xù)，且F(x)為/(%)的原函數(shù)挪么f(xMx = F(x) t°= F(b-0)-F(a).例1計(jì)算”的值.解：fM = 5一7在(。，“上連續(xù)，從而在任何上可積，x = 4為其瑕點(diǎn)，故 *一。心 dx . cb dx=lim J。(x-a)P (x-a)"(產(chǎn)1一.6，P w 1,U1 一,p W 1,ln(x-a)，p = Lln(/? - a) - ln(z/ - «), p = 1.0 (x - ay - J” *

8、- a)pd產(chǎn)八-，P<1，1- P2.2利用變量替換法計(jì)算反常積分假設(shè)。在奴上單調(diào),有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)09(4)=4 9(4-0)=。(/為有限數(shù)或無窮大)，那么(9)例2計(jì)算： =2修=的值.，-7(X-6/)(Z7-X)解：令xrcos? e + Osiif 8 那么小= -2ccos sin<9 + 2/?sincos x a =6/cos2 0 + bsin2 0-a =a(co5 -l) + /?sin2 8 =-asin? O + bsxn1 0 = (b-a)shr 0 b-x = b-aco 0-bsin2 夕=(1 - sin。8) a cos2 = /?cos2 -

9、6/cos2 0 = (b-a)co 02dxa «¥一)(> 7)=2P竺二33竺二.4回 2冗.M (一 a)sin8cos8 八例3證明等式=J_/(7P'n了辿，其中a,/?>0(假設(shè)二積分有意 X CI義).分析:比擬該等式的兩邊，我們必須使得ax + = y/r +4ab ,x因a,Z?,x >0,此即要求b ax + =/ +4ad亦即x)I X)因此我們選取的變換如下:證明：令ax _ = i, x此時(shí)ax + - = ylr +4ab成立，因此可得x = (r + ylt2 +4ab),2a于是/("+紗=景二+1”(火

10、可，：力,在上式的右邊的第一個(gè)積分里，令/= TJL302 W廣+4a/?-C,/ » a" / + ir +4abL /(v« +4")一、 、 du + J jGh +4a")- dtJ(>+ 4ab 川ylr+4ab再將改寫成/，二積分合并，得f (ax + lx = /(J) +4aZ? lt.因此該式得證.2.3利用分部積分法計(jì)算反常積分設(shè) = W(A-),V = V(X)在L力)上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，那么j (x)M(x)4x = j udv =(10)例4計(jì)算In xdx的值.解:1/11 11 7 '=(Inx 尸-x

11、- -1lx) 2 o o x=計(jì)算積分，cos 2nx In cos xdx .解：(困難在于被積函數(shù)中有對(duì)數(shù)符號(hào)"n”,用分部積分法消去n”)2 IncosA/Z sin 2nx Jo1 .iy 1 jsin2 幾 v(sinx)=sin 2nxln cosx 3ax2n10 2nJo cosx1 rv sin 2nxsin x f=2ax2n % cosx(我們看到，這里如果被積函數(shù)沒有分母的cosx,用積化和差公式，立即可以算出積分值. 因此，我們希望設(shè)法應(yīng)用公式sin(2/z + l)r = 1+ - cqsWsinr仁將被積函數(shù)拆開),因?yàn)閟in 2nx - sin x

12、= cos2alvcosx - cos(27z + l)x,1 fv sin27?xsinx f 1 r三fycos(2n + l)x ,2dx =f2 CQslnxilx- 2clx,2n cosx InJoJ() cosx第一個(gè)積分為。，第二個(gè)積分令.上,sin 27?xsin _1 j cos(2 + l)x.(cosxcosx2n J。 cosx包邙 sg2 + X(-1嚴(yán)2；1 + Zcos2K dt4n例6計(jì)算匚F"解.r空_ J-8 + 2x + 2)dxe+1產(chǎn)=Ldt-X分部積分可建立/的遞推公式：/” = £x(WEL -Inrdt。一 J。2n J()

13、 sin t12= 2”2M 出,即2nj = r 衛(wèi)_=£1 t2 +12(2n-3)! 7t2n - 3 272-51I , 2/i 2 2 - 42在計(jì)算1“時(shí)我們也可以利用變量替換法進(jìn)行求解，令，=lan氏I =Yf4(cos6嚴(yán) M再直接引用Was公式=四二2匹，.J。(r +1) J。(2«-2)! 2利用分部積分法我們常?？梢缘玫竭f推公式從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.除了上述的三種根本方法外，根據(jù)具體情況，經(jīng)常用的還有以下幾種方法:2.4 利用分段積分自我消去法計(jì)算反常積分在這種方法的計(jì)算中主要分為兩步：第一步：將所需計(jì)算的積分區(qū)間進(jìn)行分段;第二步：進(jìn)行變量替換，通過變量替換

14、可以將分段后的某些積分區(qū)間與其中的某些區(qū) 間相抵消或者合并.例7計(jì)算廣芝4心的值.J。1 +尸解：睜r群+廣冷Inx劉:表寸廠1nx . r° In/ ,、=2（ -一/v+J -一W。）J。1 + 廠 5 1 +廣二 2（fE號(hào)/） =0通過上述計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)這種方法可以省略很多計(jì)算，關(guān)鍵在于對(duì)積分區(qū)間的分段 和變量替換要找到最適宜的，否那么適得其反.2.5 利用方程法計(jì)算反常積分使用方程法計(jì)算反常積分是分為兩步：第一步：通過變量替換，將原積分進(jìn)行變 形;第二步：將原積分與變形后的積分相加,通過計(jì)算相加后的積分從而求出原積分.例 8 計(jì)算積分 I = 2j2 In sin xcl

15、x .，x-2z /解：I = 2J2 In sin az£v = 4jlnsin2rJr=4 P In 2 sin r cos tdtJo£ £ £= 4(，In 2dt + j In sin tdt +In cos tdt)= ln27r +“二尸££=4 In 2 + 4（E In sin tdt jjln sin udii）2=In 2 + 4 2 In sin tdtJo= ln2 + 4/通過解方程得：/ = -三吧.3-9例9計(jì)算積分/=不ZjJ。1 + x4解：/ =2TdX =J。1 + x42-dx廠/=-1 y

16、Xr + 尸 AT=r主g二J 1 + x4那么=rJo=rJo-dx12+廣廠-j-d(x-)1,2 X-+ x尸產(chǎn) 1=1)-r- (x-)2+2Xr-x.11x f+x 1.=-dtLx+ 2L 1=2f -dtJ。產(chǎn)+2TOT-2.6利用級(jí)數(shù)法計(jì)算反常積分在運(yùn)用級(jí)數(shù)法求反常積分時(shí)，關(guān)鍵在于積分區(qū)間進(jìn)行分段，使所求的反常積分可以表示成級(jí)數(shù)的求和運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.例10證明廣< 3一，)心.=1山/1 +，+.+證明：(1)當(dāng)x2時(shí)，工I kJ幻<!，由于°!公積分收斂，故(x- l)x(x-l)x收斂.Xdx = lim f一>枚 Ji-dx +品斗+工fl

17、 - 11一 1因此： -Inn.-1 ；=瑞-駟+般4,1=1 + + +2,1=1 + + +22.7利用待定系數(shù)法計(jì)算反常積分在使用待定系數(shù)法時(shí)通常先將有理分式化為局部分式,再通過待定系數(shù)求解，在使用這種方法時(shí)通常結(jié)合多種方法求解.例11計(jì)算積分/dx解：(拆為局部分式)設(shè)J= & +工+ 3 +_(4，a，A為待定系數(shù)).x(x + l)(x + ) x x+1 x + K x + n將x(x+l)(x + )同乘等式兩邊.然后工=-攵，得A =!+1)(-1) 1 2 =(-1)'、!kl(n-k)lck= (T)(4 =0,12 ，辦n其中于是k!(7? -K)!.+8 91Ck 11 nln(x + A”li- I注意到 £(-l)y ln(x + k) =力(l)y Ink=0A=0L k= lnx.£(l)y += lnx-(l-l)n + C； Ini +( . 0 (當(dāng) x .沖時(shí)), D x)1因此F鏟）y好）.結(jié)束語反常積分的計(jì)算方法靈活多變，對(duì)于任一問題都存在多種計(jì)算方法,我們?cè)谟?jì)算時(shí) 要提取最簡(jiǎn)便的方法，除了上述的兒種計(jì)算方法還有很多的計(jì)算方法需要我們?nèi)ヌ骄?、歸納、總結(jié)，更重要的是我們要學(xué)會(huì)這些方法的靈活使用.參考文獻(xiàn)：1費(fèi)定輝等，基米多繼奇數(shù)學(xué)分析