反常積分的幾種計算方法

1、摘 要 1關鍵詞1Abstract 1Keywords10前言11反常積分的定義1L1無窮積分的定義11.2瑕積分的定義22反常積分的計算方法32.1 利用NewtonLeibniz公式計算反常積分32.2 利用變量替換法計算反常積分32.3 利用分部積分法計算反常積分52.4 利用分段積分自我消去法計算反常積分72.5 利用方程法計算反常積分72.6 利用級數法計算反常積分92.7 利用待定系數法計算反常積分10結束語11參考文獻11反常積分的幾種計算方法摘要:該文主要對反常積分的計算方法進行歸納、總結.重點描述了在進行計算時 各種方法的靈活使用.關鍵詞：反常積分；變量替換；分部積分；級數法

2、;待定系數法Several calculation methods of abnormal integralAbstract: This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.Keywords： Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral;

3、Series method; the method of undetermined coefficient。前言反常積分是微積分學中一類重要的積分，反常積分的計算是學習積分計算中的重 難點。本文不僅介紹了常見的三大根本方法：NewtonLeibniz公式、利用變量替換、 利用分部積分法，還介紹了分段積分自我消去法、方程法、級數法和待定系數法等一 些在解決問題時較適用的方法，通過引用一些經典例題使我們對這些方法有更加深刻 的認識。但是在解決具體問題時要求我們注意各種方法的靈活性與相互滲透，這樣可 以簡便計算。1反常積分的定義L1無窮積分的定義定義1設函數/定義在無窮區(qū)間2）上，且在任何有限區(qū)間上

4、可積，如果存 在極限lim f f（x）dx = J ,（1）Ja '那么稱此極限J為函數/在卜2）上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分），記作并稱公收斂.如果極限不存在，為方便起見，亦稱公發(fā)散.類似地，可定義/在（-8,川上的無窮積分：/ f (xclx = lim J f(x)dx.(2)對于/在(-8,+S)上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：匚/(X0X = L f(xlx+jf(xix .(3)12瑕積分的定義定義2設函數f定義在區(qū)間上，在點。的任一右領域上無界，但在任何內閉區(qū) 間展目u上有界且可積.如果存在極限limf (x)dx = J ,(4)Ju那么稱此極限為無界函

5、數/在伉句上的反常積分，記作J = ( f(x)dx,(4Z)并稱反常積分f/QMx收斂.如果極限(4)不存在，這時也說反常積分，/(x)公發(fā)散.在定義中，被積函數/在點。近旁是無界的,這時點。稱為/的瑕點,而無界函數反 常積分j /(用公乂稱為瑕積分.類似地，可定義瑕點為人時的瑕積分：j /(xMx=limj f(x)dx.(5)其中/在鼠)有定義，在點八的任一左領域上無界，但在任何a,u /)上可積. 假設/的瑕點cu("/),那么定義瑕積分£ y(x>/x=£ f(x/x+f(x)c/x=lim f(x)dx+ lim f(x)dx.(6)“f - J

6、(tvH* 人其中/在a,c)u(c,Z?上有定義，在點c的任一領域上無界，但在任何a,c)和 限u (c上都可積.當且僅當式右邊兩個瑕積分都收斂時，左邊的瑕積分才是收 斂的.乂假設兩點都是/的瑕點,而/在任何限上可積，這時定義瑕積分£/(xMx = £ f(xlx+f(x)d.xlim f f(x)dx+ lim f(x)dx, “f b J"Jr其中c為伍口上任一實數洞樣地，當且僅當(7)式右邊兩個瑕積分都收斂時，左邊的瑕 積分才是收斂的.2反常積分的計算方法在計算反常積分時有三大根本方法：Newton-Leibniz公式、利用變量替換、利 用分部積分法.設(

7、xk/x是反常積分，b為唯一的奇點(為有限數，或+ 8),計算f/(xMx：2.1利用Newton一Leibniz公式計算反常積分假設在)連續(xù)，且F(x)為/(%)的原函數挪么f(xMx = F(x) t°= F(b-0)-F(a).例1計算”的值.解：fM = 5一7在(。，“上連續(xù)，從而在任何上可積，x = 4為其瑕點，故 *一。心 dx . cb dx=lim J。(x-a)P (x-a)"(產1一.6，P w 1,U1 一,p W 1,ln(x-a)，p = Lln(/? - a) - ln(z/ - «), p = 1.0 (x - ay - J” *

8、- a)pd產八-，P<1，1- P2.2利用變量替換法計算反常積分假設。在奴上單調,有連續(xù)的導數09(4)=4 9(4-0)=。(/為有限數或無窮大)，那么(9)例2計算： =2修=的值.，-7(X-6/)(Z7-X)解：令xrcos? e + Osiif 8 那么小= -2ccos sin<9 + 2/?sincos x a =6/cos2 0 + bsin2 0-a =a(co5 -l) + /?sin2 8 =-asin? O + bsxn1 0 = (b-a)shr 0 b-x = b-aco 0-bsin2 夕=(1 - sin。8) a cos2 = /?cos2 -

9、6/cos2 0 = (b-a)co 02dxa «¥一)(> 7)=2P竺二33竺二.4回 2冗.M (一 a)sin8cos8 八例3證明等式=J_/(7P'n了辿，其中a,/?>0(假設二積分有意 X CI義).分析:比擬該等式的兩邊，我們必須使得ax + = y/r +4ab ,x因a,Z?,x >0,此即要求b ax + =/ +4ad亦即x)I X)因此我們選取的變換如下:證明：令ax _ = i, x此時ax + - = ylr +4ab成立，因此可得x = (r + ylt2 +4ab),2a于是/("+紗=景二+1”(火

10、可，：力,在上式的右邊的第一個積分里，令/= TJL302 W廣+4a/?-C,/ » a" / + ir +4abL /(v« +4")一、 、 du + J jGh +4a")- dtJ(>+ 4ab 川ylr+4ab再將改寫成/，二積分合并，得f (ax + lx = /(J) +4aZ? lt.因此該式得證.2.3利用分部積分法計算反常積分設 = W(A-),V = V(X)在L力)上有連續(xù)的導數，那么j (x)M(x)4x = j udv =(10)例4計算In xdx的值.解:1/11 11 7 '=(Inx 尸-x

11、- -1lx) 2 o o x=計算積分，cos 2nx In cos xdx .解：(困難在于被積函數中有對數符號"n”,用分部積分法消去n”)2 IncosA/Z sin 2nx Jo1 .iy 1 jsin2 幾 v(sinx)=sin 2nxln cosx 3ax2n10 2nJo cosx1 rv sin 2nxsin x f=2ax2n % cosx(我們看到，這里如果被積函數沒有分母的cosx,用積化和差公式，立即可以算出積分值. 因此，我們希望設法應用公式sin(2/z + l)r = 1+ - cqsWsinr仁將被積函數拆開),因為sin 2nx - sin x

12、= cos2alvcosx - cos(27z + l)x,1 fv sin27?xsinx f 1 r三fycos(2n + l)x ,2dx =f2 CQslnxilx- 2clx,2n cosx InJoJ() cosx第一個積分為。，第二個積分令.上,sin 27?xsin _1 j cos(2 + l)x.(cosxcosx2n J。 cosx包邙 sg2 + X(-1嚴2；1 + Zcos2K dt4n例6計算匚F"解.r空_ J-8 + 2x + 2)dxe+1產=Ldt-X分部積分可建立/的遞推公式：/” = £x(WEL -Inrdt。一 J。2n J()

13、 sin t12= 2”2M 出,即2nj = r 衛(wèi)_=£1 t2 +12(2n-3)! 7t2n - 3 272-51I , 2/i 2 2 - 42在計算1“時我們也可以利用變量替換法進行求解，令，=lan氏I =Yf4(cos6嚴 M再直接引用Was公式=四二2匹，.J。(r +1) J。(2«-2)! 2利用分部積分法我們常?？梢缘玫竭f推公式從而簡化運算.除了上述的三種根本方法外，根據具體情況，經常用的還有以下幾種方法:2.4 利用分段積分自我消去法計算反常積分在這種方法的計算中主要分為兩步：第一步：將所需計算的積分區(qū)間進行分段;第二步：進行變量替換，通過變量替換

14、可以將分段后的某些積分區(qū)間與其中的某些區(qū) 間相抵消或者合并.例7計算廣芝4心的值.J。1 +尸解：睜r群+廣冷Inx劉:表寸廠1nx . r° In/ ,、=2（ -一/v+J -一W。）J。1 + 廠 5 1 +廣二 2（fE號/） =0通過上述計算我們可以發(fā)現這種方法可以省略很多計算，關鍵在于對積分區(qū)間的分段 和變量替換要找到最適宜的，否那么適得其反.2.5 利用方程法計算反常積分使用方程法計算反常積分是分為兩步：第一步：通過變量替換，將原積分進行變 形;第二步：將原積分與變形后的積分相加,通過計算相加后的積分從而求出原積分.例 8 計算積分 I = 2j2 In sin xcl

15、x .，x-2z /解：I = 2J2 In sin az£v = 4jlnsin2rJr=4 P In 2 sin r cos tdtJo£ £ £= 4(，In 2dt + j In sin tdt +In cos tdt)= ln27r +“二尸££=4 In 2 + 4（E In sin tdt jjln sin udii）2=In 2 + 4 2 In sin tdtJo= ln2 + 4/通過解方程得：/ = -三吧.3-9例9計算積分/=不ZjJ。1 + x4解：/ =2TdX =J。1 + x42-dx廠/=-1 y

16、Xr + 尸 AT=r主g二J 1 + x4那么=rJo=rJo-dx12+廣廠-j-d(x-)1,2 X-+ x尸產 1=1)-r- (x-)2+2Xr-x.11x f+x 1.=-dtLx+ 2L 1=2f -dtJ。產+2TOT-2.6利用級數法計算反常積分在運用級數法求反常積分時，關鍵在于積分區(qū)間進行分段，使所求的反常積分可以表示成級數的求和運算，從而簡化運算.例10證明廣< 3一，)心.=1山/1 +，+.+證明：(1)當x2時，工I kJ幻<!，由于°!公積分收斂，故(x- l)x(x-l)x收斂.Xdx = lim f一>枚 Ji-dx +品斗+工fl

17、 - 11一 1因此： -Inn.-1 ；=瑞-駟+般4,1=1 + + +2,1=1 + + +22.7利用待定系數法計算反常積分在使用待定系數法時通常先將有理分式化為局部分式,再通過待定系數求解，在使用這種方法時通常結合多種方法求解.例11計算積分/dx解：(拆為局部分式)設J= & +工+ 3 +_(4，a，A為待定系數).x(x + l)(x + ) x x+1 x + K x + n將x(x+l)(x + )同乘等式兩邊.然后工=-攵，得A =!+1)(-1) 1 2 =(-1)'、!kl(n-k)lck= (T)(4 =0,12 ，辦n其中于是k!(7? -K)!.+8 91Ck 11 nln(x + A”li- I注意到 £(-l)y ln(x + k) =力(l)y Ink=0A=0L k= lnx.£(l)y += lnx-(l-l)n + C； Ini +( . 0 (當 x .沖時), D x)1因此F鏟）y好）.結束語反常積分的計算方法靈活多變，對于任一問題都存在多種計算方法,我們在計算時 要提取最簡便的方法，除了上述的兒種計算方法還有很多的計算方法需要我們去探究、歸納、總結，更重要的是我們要學會這些方法的靈活使用.參考文獻：1費定輝等，基米多繼奇數學分析