四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)講義-競(jìng)賽專題：第五講-倍數(shù)問題(含答案解析)人教版

1、求這兩個(gè)數(shù)知識(shí)概述從而找到解題倍數(shù)問題就是已知兩個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)的和或差以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系,或幾個(gè)數(shù)的問題。而解題的關(guān)鍵就是要確定 1倍的量，其次要弄清具體數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系，并確定這些倍數(shù)關(guān)系相對(duì)應(yīng)的數(shù)量之間的和與差的大小,思路倍數(shù)關(guān)系基本常用公式如下：總和+ （幾倍+1）=較小數(shù)；兩數(shù)差一 （幾倍1）=較小數(shù)；（和+差）+2=較大數(shù);（和一差）+2 =較小數(shù)。掌握基本的和倍、差倍、和差的基本解法，學(xué)會(huì)處理多個(gè)量之間的和差倍問題，學(xué)會(huì)分析較為隱藏的和差倍問題，進(jìn)一步掌握畫線段圖的方法，學(xué)會(huì)利用不變量進(jìn)行分析的方法，根據(jù)數(shù)量關(guān)系逆向推理，列綜合算式解答，找出幾個(gè)數(shù)量的和、差或（和+差）、（和-

2、差）對(duì)應(yīng)的份數(shù)，通過除法計(jì)算先求出標(biāo)準(zhǔn)量，再算出其它相關(guān) 數(shù)量?；A(chǔ)闖關(guān)例1某超市進(jìn)貨，進(jìn)了一些白糖與紅糖。已知白糖比紅糖多220袋，當(dāng)天賣出白糖 60袋，紅糖沒人買，這時(shí)白糖的總袋數(shù)是紅糖的 3倍，求白糖和紅糖各進(jìn)貨多少袋？【解析】從圖3-3中可以看出，賣出60袋白糖后，白糖比紅糖多的袋數(shù)正好是紅糖的2份。可以先求出紅糖。An*-1口 . ,（220ft紅糖：（220 60） + （3 1） = 80 （袋）陽 37白糖：80+220=300 （袋）答：白糖進(jìn)貨300袋，紅糖進(jìn)貨80袋。把一個(gè)減法算式里的被減數(shù)，減數(shù)與差相加，得數(shù)是592,已知減數(shù)比差的 2倍還大2,問減數(shù)是多少?【解析】已

3、知減數(shù)比差的2倍還大2,根據(jù)減法的運(yùn)算關(guān)系我們又知：被減數(shù)=減數(shù)+差，因此被減數(shù)必定比差的3倍還大2。根據(jù)三者的關(guān)系我們作圖如圖3-5,可以看出592包含了 6份差和2個(gè)2,由此從592中減去2個(gè)2可以得到6份差，可以先求出差，那么減數(shù)也就迎刃而解了。圖37差：（592 22）寸1+2+3）=98。減數(shù)：98>2 + 2=198。答：減數(shù)是198。例3在書架上擺放著三層書共275本，第三層比第二層的書的 3倍多2本，第一層比第二層的2倍少3本，問:第三層擺放著多少本書？【解析】畫線段圖幫助講解第二層：（275-2+3） + （3+2+1 ） =46 （本）第三層：46X3+2=140 （

4、本）答：第三層擺放著 140本書十一X + 十一 X + +- X 與十一X +斗一X + + X + +一M + 十一X + + X + + X【鞏固拓展】120,而減數(shù)是差的3倍，那么差等于多少?1、在一個(gè)減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于【解析】這是一個(gè)和倍問題。減數(shù)是差的3倍，那么被減數(shù)就是差的 4倍，所以被減數(shù)、減數(shù)與差的和就是差的8倍，應(yīng)該等于120,所以差=120刊=15。120 + (1 + 3+ 1 + 2) = 152、甲、乙、丙3數(shù)之和是183,乙比丙的2倍少4,甲比丙的3倍多7,求甲、乙、丙三數(shù)各是多少? 我們把丙數(shù)看作一份，畫出線段圖如下：【解析】丙數(shù)：II1乙數(shù)：

5、iTj”和是1招3倍 少4甲數(shù)：r :1 I,j - JT第7三個(gè)數(shù)的總和為：183+4-7=180,和對(duì)應(yīng)的份數(shù)為：1+2+3=6。所以，一份數(shù)即丙數(shù)為：180田=30;乙數(shù)為：30X2-4=56;甲數(shù)為：30X3+7=97 o3、兩組學(xué)生參加義務(wù)勞動(dòng)，甲組學(xué)生人數(shù)是乙組的3倍，而乙組的學(xué)生人數(shù)比甲組的3倍少40人,求參加義務(wù)勞動(dòng)的學(xué)生共有多少人？【解析】甲二3X乙而乙二3X甲-40人，通過線段圖很容易看出，40人對(duì)應(yīng)的為“9K-乙”因止匕乙：40+ (9-1) =40y=5人甲：5刈=15人務(wù)仁招展培優(yōu)例1甲、乙、丙三所小學(xué)的學(xué)生人數(shù)的總和為1999。已知甲校學(xué)生人數(shù)的 2倍等于乙校學(xué)生人

6、數(shù)減去 3人也等于丙校學(xué)生人數(shù)加上 4人都相等。問甲、乙、丙各校學(xué)生人數(shù)是多少？【解析】把甲校學(xué)生人數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)，畫出線段圖：甲校：I1乙校:1Ifj 找1。翼人I丙校11J4A把甲校人數(shù)看作1份，乙校人數(shù)就是 2份多3,丙校就是2份少4。我們把乙校人數(shù)減去 3,丙校人數(shù) 加上4,都湊成2份，則總?cè)藬?shù)變成：1999-3+4=2000 （人）。所以甲校人數(shù)為：2000+ （1+2+2） =400 （人）；乙校人數(shù)為：400X2+3=803 （人）；丙校人數(shù)為：400X2-4=796 （人）。+ X-r + -X-r4X -r 4X 十十一X一十一乂 + 十一X + HX-r + -X-r + X【

7、鞏固拓展】商店運(yùn)來橘子、蘋果、香蕉共 53千克，橘子的重量是蘋果的3倍少3千克，香蕉的重量是蘋果的 2倍多2千克，橘子重多少千克？【解析】蘋果：（53+3-2） + （1+3+2）=54與=9千克橘子：9必-3=24千克例2（第五屆中環(huán)杯”四年級(jí)）甲筐中有蘋果400個(gè)，乙筐中有蘋果240個(gè)，現(xiàn)在從兩筐中取出數(shù)目相等的蘋果，剩下蘋果的個(gè)數(shù)，甲筐恰好是乙筐的5倍，甲筐剩下的蘋果是 個(gè)?！窘馕觥扛鶕?jù)差不變?cè)恚暗牟钆c取出后的差相同，400-240=160這時(shí)再來做差倍問題160 + （5-1） =40 個(gè)乙還剩40個(gè)，甲還剩：40X5=200個(gè)+ -X + + X 號(hào) H+ + X + + X

8、+ HX + + -X【鞏固拓展】（第12屆中環(huán)杯初賽）有A、B、C三輛貨車，C車裝的貨物是 B車的一半，B車裝的貨物比 A車少180千克，A車裝的貨物是C車的4倍。A、B兩輛車共裝貨物 千克?！窘馕觥坎浑y發(fā)現(xiàn)，在本題中，設(shè) C車貨物為標(biāo)準(zhǔn)量比較合適。由于 A車是C車的4倍，B車是C車的 2倍，而A車比B車多180千克，可知C車為：180 + (4-2) =90 (千克)A、B兩車共為：90 X (2+4) =540 (千克)例3亞洲杯決賽中，中國(guó)記者的數(shù)量是外國(guó)記者數(shù)量的3倍。比賽結(jié)束后中國(guó)記者有 180人離場(chǎng)，外國(guó)記者有40人離場(chǎng)，剩下的中、外記者數(shù)量相等。原來中、外記者各有多少人？ 【解

9、析】選外國(guó)記者數(shù)量為 “1；用一條小線段表示，如圖：40人離去/'>外國(guó)記者 一TI中國(guó)記者： *_7V130人離去由線段圖知，原來中國(guó)記者比外國(guó)記者多：180-40 = 140人，由兩條小線段表示那么每條小線段表示：140+2 = 70人即外國(guó)記者原有 70人，那么中國(guó)記者原有：70父3 = 210人+ X -r dX -T HX-r + -X-r+ x-rdX + + 乂 + + 乂 + HX -r HX【鞏固拓展】甲、乙兩個(gè)數(shù)，如果甲數(shù)加上320就等于乙數(shù)，如果乙數(shù)加上460就等于甲數(shù)的3倍。求兩個(gè)數(shù)各是多少？ 分析：用一條小線段表示甲數(shù)，如圖加上320甲：*-1： *&g

10、t;、，Y加上460根據(jù)線段圖可以看出：320 +460 = 780由兩條小線段表示那么每條小線段表示：780 2 = 390即甲為390,那么乙為：390+320 = 710例4有一堆黑白棋子，黑子個(gè)數(shù)是白子個(gè)數(shù)的2倍?，F(xiàn)在從這堆棋子中，每次取出黑子 4個(gè)、白子3個(gè)。若干次后白子取盡，而黑子還剩16個(gè)，原來黑、白棋子各有多少個(gè)？【解析】假設(shè)每次取出黑子 4個(gè)、白子2個(gè)，由于黑子和白子原來是 2倍關(guān)系，所以按照 2倍關(guān)系取子最后剩下的子也必定是2倍關(guān)系。這樣當(dāng)黑子剩下16個(gè)時(shí)，白子剩下16攵=8 （個(gè)），由于白子實(shí)際是每次拿 3個(gè)且沒有剩余的，所以剩下的 8個(gè)白子實(shí)際經(jīng)過8+（4-3） =8

11、（次）拿完。那么顯而易見黑子和白子共拿了8次。黑子：16+8X4=48 （個(gè)），白子：48攵=24 （個(gè)）。答：原來黑棋子有 48個(gè)，白棋子有24個(gè)。+ -X-r + -X-rHX-r + -X-r+-X4* + -X-r + -X-r+-X-r + -X-r + -X【鞏固拓展】（第六屆 中環(huán)杯”四年級(jí)復(fù)賽）某果園工人帶一筐蘋果和一筐梨去慰問住院病人，已知梨的個(gè)數(shù)是蘋果的3倍，每次取出5個(gè)梨和2個(gè)蘋果分給一個(gè)病人，最后還剩11個(gè)梨，蘋果正好分完。那么，蘋果有 個(gè)，梨有 個(gè)。【解析】11+ （20-5） =11 （次）蘋果：11X2=22 （個(gè)）梨：22X3=66 （個(gè)）第天才競(jìng)技四年級(jí)有4個(gè)

12、班，不算甲班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是131人；不算丁班其余三個(gè)班的總?cè)藬?shù)是134人；乙、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)藬?shù)少1人，問這四個(gè)班共有多少人？【解析】用131 + 134=265,這是1個(gè)甲、丁和2個(gè)乙、丙的總和，因?yàn)橐?、丙兩班的總?cè)藬?shù)比甲、丁兩班的總?cè)?數(shù)少1人，所以用2651=264就剛好是3個(gè)乙、丙的和，264+3= 88,就是說乙丙的和是 88,那么甲1 和是88+ 1=89,所以四個(gè)班的和是 88+ 89= 177人。（第13屆中環(huán)杯初賽）4倍。過了一段時(shí)間后，一些小兔子長(zhǎng)成了大兔養(yǎng)兔場(chǎng)有一些大兔子和小兔子，小兔子的數(shù)量是大兔子的子。結(jié)果有60只小兔子長(zhǎng)成了大兔子，且這時(shí)大兔子

13、和小兔子一樣多。那么原來共有大兔子（一段時(shí)間后，小兔子少了 60只，大兔子多了 60只;差為120，這120對(duì)應(yīng)了原來大兔子的 41=3倍;故原來大 兔子的數(shù)目為1203=40（只）有兩個(gè)炮兵營(yíng)參加軍事演習(xí)，它們各準(zhǔn)備了若干枚炮彈.開始一營(yíng)比二營(yíng)多準(zhǔn)備了5枚炮彈.后來因?yàn)檠萘?xí)需要，一營(yíng)給了二營(yíng)20枚炮彈.這時(shí)二營(yíng)炮彈數(shù)量就比一營(yíng)的3倍還多3枚.一營(yíng)最開始準(zhǔn)備了幾枚炮彈？【解析】根據(jù)線段圖知，一營(yíng)給二營(yíng) 20枚后，二營(yíng)比一營(yíng)多 20 + （20-5）=35枚又此時(shí)二營(yíng)比一營(yíng)的 3倍還多3枚，如圖多35枚一營(yíng):*二營(yíng)；*根據(jù)線段圖知，此時(shí)一營(yíng)的兩倍為：35-3 =32枚，那么一營(yíng)的數(shù)量為：32+2

14、 = 16枚，那么一營(yíng)最開始有：16+20 =36 枚例4（第11屆中環(huán)杯決賽）有一筆獎(jiǎng)金，要把它分成一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)來頒發(fā)。每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍,每個(gè)二等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是每個(gè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的2倍。如果一、二、三等獎(jiǎng)各設(shè)置兩人，那么，每個(gè)一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金是616元。如果設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)、兩個(gè)二等獎(jiǎng)、三個(gè)三等獎(jiǎng)，那么每個(gè)一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是多少元？【解析】若一二三等獎(jiǎng)各設(shè)置兩人，設(shè)三等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是1份，那么二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金是 2份，一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為 4份。所以 1 份是 616X=154 元，總獎(jiǎng)金：154X （1+2+4） X2=2156 元若設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)，兩個(gè)二等獎(jiǎng)，三個(gè)三等獎(jiǎng)，那么共4+2X2+3=1

15、1份，1份是2156 T1=197元，那么一等獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金為：196 >4=784元小琪問陳老師今年多少歲，陳老師說：當(dāng)我像你這么大時(shí)，你才 4歲；當(dāng)你像我這么大時(shí)，我已經(jīng) 43歲了?！蹦隳芩愠鲫惱蠋?、小琪今年的年齡各是多少嗎？像陳裝U臀幺大時(shí)小琪廣| 二y小琪今年年齡J : >,像小琪這么大時(shí)J陳老師訴年靜兩人的年齡差：（43-4）與二13 （歲）小琪的年齡：13+4=17 （歲）陳老師年齡：17+13=30 （歲）答：陳老師今年的年齡是30歲，小琪17歲。甲乙兩個(gè)書架，甲書架上書的冊(cè)數(shù)是乙書架上的7倍，如果從甲書架上取出19冊(cè)，而往乙書架上放 15冊(cè)，這時(shí)甲書架上的書的冊(cè)數(shù)是乙書架

16、上的3倍。甲乙兩書架上原來各有書多少冊(cè)？【解析】根據(jù)線段圖，書架上的書調(diào)整后不難看出甲書架現(xiàn)有的書是乙書架的3倍，而乙書架上的書實(shí)際是原有書加上 15冊(cè)書后組成的。因此甲書架現(xiàn)在上面的書實(shí)際包含了3份乙書架原有的書和3X15=45 （冊(cè)）書，如果這些書再加上之前拿走的19冊(cè)書就和甲書架原有的書冊(cè)數(shù)相等了，從中不難看出3M5+19=64 （冊(cè)）書正好是 4份乙書架原有的書。甲書架原有書的冊(cè)數(shù)乙書架原有書：（3M5+19） + （7-3） =16 （冊(cè)）甲書架原有書：16X7=112 （冊(cè)）答：甲書架原有書 112冊(cè)，乙書架原有書16冊(cè)。上實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練，W）1、用中國(guó)象棋的車，馬，炮分別表示不同的自然

17、數(shù)。如果：車T =2,炮/ =4,炮一馬=56,那么軍+馬+炮”等于多少？【解析】這是一個(gè)差倍問題。依題有，馬是 1倍，車是馬的2倍，炮是車的4倍，所以炮與馬的倍數(shù)差是（2M1） 7倍，而炮與馬的兩數(shù)差是56,根據(jù)差倍問題的公式就可分別求出車、馬、炮的值。馬.I_|車炮；I1111車的4倍56 + （81） = 8 馬；8X2= 16車16 >4= 64炮8+ 16 + 64=88車+馬+炮車、馬、炮的和是 882、三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比第三小組多20人，第一小組比第二小組少2人，求第一小組的人數(shù)。化三為二”即把三個(gè)要點(diǎn)：先把一，二小組看成一個(gè)整體！把第三小組看成

18、一個(gè)整體，我們把這種方法叫 問題轉(zhuǎn)換成二個(gè)問題，先求出第一，二小組的人數(shù)，再求出第一小組的人數(shù)。這也是一個(gè)和差問題。解：（180+ 20）吆=100 （人）一一第一，二小組的人數(shù)（100 2）攵=49 （人）一一第一小組的人數(shù)答：第一小組的人數(shù)是 49人。3、兩個(gè)自然數(shù)相除，商是 4,余數(shù)是1。如果被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)的和是56,那么被除數(shù)等于多少？【解析】被除數(shù)=除數(shù) 而+余數(shù)，根據(jù)題意知被除數(shù)比除數(shù)的4倍還多1,且被除數(shù)與除數(shù)的和為：56-4-1=51,畫出線段圖：除數(shù) 被除數(shù)5條小線段共為：511=50每條小線段表示：50-：-5 =10即除數(shù)為10,那么被除數(shù)為：51-10=414、如下圖，4個(gè)一樣大的長(zhǎng)方形和 1個(gè)小正方形拼成了 1個(gè)大正方形。大正方形的面積是64平方分米,小正方形的面積是 4平方分米，問長(zhǎng)方形的寬是幾分米？對(duì)64和4分解因數(shù)：64=8X8; 4=2X2。所以，大正方形的邊長(zhǎng)為8,即長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬的和為8