《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固(知識(shí)講解及例題演練)

1、因式分解全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1 .理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運(yùn)算；2 .掌握提公因式法和公式法（直接運(yùn)用公式不超過(guò)兩次）這兩種分解因式的基本方法；3 . 了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運(yùn)用這些方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.要點(diǎn)二、提公因式法把多項(xiàng)式 海。ME +那c分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式m ,另一個(gè)因式是 （點(diǎn)+

2、 3 +白），即冷町4-mb + me =胎，（曰+ 3,而（/+ 5 +G正好是閥門+玻上+也 除以m所得的商，提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律要點(diǎn)三、公式法1 .平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：2 .完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方.II22922即 a 2ab b a b , a 2ab b a b .2222形如a 2ab b , a 2ab b的式子叫做完全平萬(wàn)式.要點(diǎn)詮釋：（1）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊 是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積（2）完全

3、平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方 .（3）套用公式時(shí)要注意字母 a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以 是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.要點(diǎn)四、十字相乘法和分組分解法十字相乘法利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法對(duì)于二次三項(xiàng)式x2 bx c,若存在 pq c ，則x2 bx c x p x qp q b分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解一一分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分

4、組，然后再分解因式.要點(diǎn)五、因式分解的一般步驟因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分組分解法，十字相乘法，添、拆項(xiàng)法等.因式分解步驟(1)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，先提取公因式；(2)如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式那就嘗試用公式法；(3)如用上述方法也不能分解，那么就得選擇分組或其它方法來(lái)分解.(4)結(jié)果要徹底，即分解到不能再分解為止.【典型例題】類型一、提公因式法分解因式1、分解因式：_ 2.2_2.(1) 2a bc 8ac 4abc ;,、3,、2,、，、(2)m(m n) m(m n) m(m n)(m n).【答案與解析】解：(1)2a2bc2 8ac2 4acb 2ac(abc 4c 2

5、b).3，、2(2)m(m n) m(m n) m(m n)(m n)【總結(jié)升華】 在提取公因式時(shí)要注意提取后各項(xiàng)字母，指數(shù)的變化，另外分解要徹底，特別是因式中含有多項(xiàng)式的一定要檢驗(yàn)是否能再分，分解因式后可逆過(guò)來(lái)用整式乘法驗(yàn)證其正確與否.22、利用分解因式證明：257 512能被120整除.【思路點(diǎn)撥】25 = 52,進(jìn)而把257整理成底數(shù)為5的哥的形式，然后提取公因式并整理為含有120的因數(shù)即可.【答案與解析】證明：257 512 = 52 7 512_ 712 .255能被120整除.【總結(jié)升華】 解決本題的關(guān)鍵是用因式分解法把所給式子整理為含有120的因數(shù)相乘的形式.類型二、公式法分解因

6、式O 3、放學(xué)時(shí)，王老師布置了一道分解因式題：x y 4 x y 4 x2 y2 ,小明思考了半天，沒(méi)有答案，就打電話給小華，小華在電話里講了一句，小明就恍然大悟了， 你知道小華說(shuō)了句什么話嗎？小明是怎樣分解因式的.【思路點(diǎn)撥】 把x y、x y分別看做一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式解答.【答案與解析】解：把x y、x y看作完全平方式里的 a, b ；原式=x【總結(jié)升華】本題主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把 x y、x y看作完全平方式里的a, b是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式x2 4x 2 x2 4x 6 4進(jìn)行因式分解的過(guò)程.解：設(shè)x2 4x y原式=y 2

7、y 64 （第一步）=y2 8y 16 （第二步） 2,=y 4 （第三步）=（x2 4x 4）2 （第四步）回答下列問(wèn)題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的（）.A、提取公因式B.平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D.兩數(shù)差的完全平方公式（2）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底 .（填 徹底”或不徹底”）若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果 .（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式x2 2x x2 2x 2 1進(jìn)行因式分解.【答案】解：（1）運(yùn)用了 C,兩數(shù)和的完全平方公式；24（2） x2 4x 4還可以分解，分解不徹底；結(jié)果為 x 2 . p 4 p 1 3p.【思路點(diǎn)撥】（1）直接提取

8、公因式，進(jìn)而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括號(hào),利用平方差公式分解因式即可 .【答案與解析】解：（1） 6xy2 9x2 y y3 p 4 p 1 3p【總結(jié)升華】 此題主要考查了公式法分解因式，熟練掌握乘法公式是解題關(guān)鍵.舉一反三：2 2_2 _ 222【變式】設(shè)ai 3 1 , a2 5 3 , , an 2n 1 2n 1 （ n為大于0的自然數(shù)）.（1）探究an是否為8的倍數(shù)，并用文字語(yǔ)言表述你所獲得的結(jié)論；（2）若一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)自然數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)試找出a1, a2,，an,這一列數(shù)中從小到大排列的前 4個(gè)完全平方數(shù)，并指出當(dāng) n滿足什么條件時(shí)，an為完

9、全平方數(shù)（不必說(shuō)明理由）【答案】一 .2 一 .22.2.一斛：（1）an2n 1 2n 1 4n 4n 1 4n 4n 1 8n ,又n為非零的自然數(shù)，an是8的倍數(shù).這個(gè)結(jié)論用文字語(yǔ)言表述為：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)（2）這一列數(shù)中從小到大排列的前4個(gè)完全平方數(shù)為16, 64, 144, 256.n為一個(gè)完全平方數(shù)的 2倍時(shí)，an為完全平方數(shù)類型三、十字相乘法和分組分解法分解因式5、分解因式:（1 ）X22 2X222222（2）x4xx4x 20(3) 4a2 4ab b2 6a3b 4第6頁(yè)【答案與解析】解：(1)原式x2 2 2 x2 2 1x 2 x 2 x 1 x 1222

10、_ _(2)原式=x 4x (x 4x) 2022x 4x 5 x 4x 4,、一，、2(3)原式=2ab 3 2ab4 2ab 4 2abi【總結(jié)升華】做題之前要仔細(xì)觀察，注意從整體的角度看待問(wèn)題.舉一反三：【變式】（x- y） 2+5 （x- y） - 50.【答案】解：將（x-y）看成一個(gè)整體，原式=（x-y+10） （x-y-5）.6、已知長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為 300厘米，兩鄰邊分別為 x厘米、y厘米，3223且x x y 4xy 4y =0,求長(zhǎng)萬(wàn)形的面積.【思路點(diǎn)撥】 把x3 x2y 4xy2 4y3 = 0化簡(jiǎn)成x y x 2y x 2y由題意可得x y 150,解方程組 x 2y 即可.x y 150【答案與解析】解：- x3 x2y 4xy2 4 y3 = 022x x y 4yxy=0x y x 2y x 2y = 0，x 2y, x y, x 2y （不合題意，舍去）又由題意可得x y 150解方程組x 2yx y 150解之得，x = 100, y =50，長(zhǎng)方形的面積=100X50= 5000平方厘米.提取公因式法【總結(jié)升華】 本題是因式分解在學(xué)科內(nèi)的綜合運(yùn)用，主要考查了分組分解法,和運(yùn)用平方差公式法.舉一反三：【變式】因式分解：1 4x2 4y2 8xy ,