最新201X學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五章投影與視圖知識(shí)講解及例題演練（新版）北師大版

1、投影與視圖知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.在觀察、操作、想象等活動(dòng)中增強(qiáng)對(duì)空間物體的把握和理解能力；2.通過(guò)實(shí)例了解中心投影與平行投影；3.會(huì)畫(huà)直棱柱、圓柱、圓錐和球的三種視圖；4.能根據(jù)三種視圖描述簡(jiǎn)單的幾何體.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、投影1. 投影現(xiàn)象物體在光線的照射下，會(huì)在地面或其他平面上留下它的影子，這就是投影現(xiàn)象.影子所在的平面稱為投影面.2. 中心投影手電筒、路燈和臺(tái)燈的光線可以看成是從一點(diǎn)發(fā)出的，這樣的光線照射在物體上所形成的投影，稱為中心投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：(1)等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在燈光下，離點(diǎn)光源近的物體它的影子短，離點(diǎn)光源遠(yuǎn)的物體它的影子長(zhǎng).(2)等長(zhǎng)

2、的物體平行于地面放置時(shí)，如圖2所示.一般情況下，離點(diǎn)光源越近，影子越長(zhǎng)；離點(diǎn)光源越遠(yuǎn)，影子越短，但不會(huì)比物體本身的長(zhǎng)度還短.在中心投影的情況下，還有這樣一個(gè)重要結(jié)論：點(diǎn)光源、物體邊緣上的點(diǎn)以及它在影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在同一條直線上，根據(jù)其中兩個(gè)點(diǎn)，就可以求出第三個(gè)點(diǎn)的位置.要點(diǎn)詮釋： 光源和物體所處的位置及方向影響物體的中心投影，光源或物體的方向改變，則該物體的影子的方向也發(fā)生變化，但光源、物體的影子始終分離在物體的兩側(cè).太陽(yáng)光線可看成平行光線，平行光線所形成的投影稱為平行投影.相應(yīng)地，我們會(huì)得到兩個(gè)結(jié)論：等高的物體垂直地面放置時(shí)，如圖1所示，在太陽(yáng)光下，它們的影子一樣長(zhǎng).等長(zhǎng)的物體平行于地面放置時(shí)

3、，如圖2所示，它們?cè)谔?yáng)光下的影子一樣長(zhǎng)，且影長(zhǎng)等于物體本身的長(zhǎng)度.2. 物高與影長(zhǎng)的關(guān)系在不同時(shí)刻，同一物體的影子的方向和大小可能不同.不同時(shí)刻，物體在太陽(yáng)光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚，物體影子的指向是：西西北北東北東，影長(zhǎng)也是由長(zhǎng)變短再變長(zhǎng).在同一時(shí)刻，不同物體的物高與影長(zhǎng)成正比例.即：.利用上面的關(guān)系式可以計(jì)算高大物體的高度，比如旗桿的高度等.注意：利用影長(zhǎng)計(jì)算物高時(shí)，要注意的是測(cè)量?jī)晌矬w在同一時(shí)刻的影長(zhǎng).要點(diǎn)詮釋：1平行投影是物體投影的一種，是在平行光線的照射下產(chǎn)生的.利用平行投影知識(shí)解題要分清不同時(shí)刻和同一時(shí)刻.2物體與影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線是平行的就

4、說(shuō)明是平行光線.4、正投影如圖所示，圖(1)中的投影線集中于一點(diǎn)，形成中心投影；圖(2)(3)中，投影線互相平行，形成平行投影；圖(2)中，投影線斜著照射投影面；圖(3)中投影線垂直照射投影面(即投影線正對(duì)著投影面)，我們也稱這種情形為投影線垂直于投影面.像圖(3)這樣，當(dāng)平行光線與投影面垂直時(shí)，這種投影稱為正投影. 要點(diǎn)詮釋：正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影.要點(diǎn)二、中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別：（1）太陽(yáng)光線是平行的，故太陽(yáng)光下的影子長(zhǎng)度都與物體高度成比例；燈光是發(fā)散的，燈光下的影子與物體高度不一定成比例.（2）同一時(shí)刻，太陽(yáng)光下影子的方向總是在同一方向，而燈光下的影子

5、可能在同一方向，也可能在不同方向. 2.聯(lián)系：（1）中心投影、平行投影都是研究物體投影的一種，只不過(guò)平行投影是在平行光線下所形成的投影，通常的平行光線有太陽(yáng)光線、月光等，而中心投影是從一點(diǎn)發(fā)出的光線所形成的投影，通常狀況下，燈泡的光線、手電筒的光線等都可看成是從某一點(diǎn)發(fā)射出來(lái)的光線.（2）在平行投影中，同一時(shí)刻改變物體的方向和位置，其投影也跟著發(fā)生變化；在中心投影中，同一燈光下，改變物體的位置和方向，其投影也跟著發(fā)生變化.在中心投影中，固定物體的位置和方向，改變燈光的位置，物體投影的方向和位置也要發(fā)生變化.要點(diǎn)詮釋：在解決有關(guān)投影的問(wèn)題時(shí)必須先判斷準(zhǔn)確是平行投影還是中心投影，然后再根據(jù)它們的具

6、體特點(diǎn)進(jìn)一步解決問(wèn)題.要點(diǎn)三、視圖（1）視圖 用正投影的方法繪制的物體在投影面上的圖形，稱為物體的視圖主視圖，從左面得到的視圖叫做左視圖，從上面得到的視圖叫做俯視圖.主視圖、左視圖、俯視圖叫做物體的三視圖.（1）位置關(guān)系一般地，把俯視圖畫(huà)在主視圖下面，把左視圖畫(huà)在主視圖右面，如圖(1)所示.（2）大小關(guān)系三視圖之間的大小是相互聯(lián)系的，遵循主視圖與俯視圖的長(zhǎng)對(duì)正，主視圖與左視圖的高平齊，左視圖與俯視圖的寬相等的原則.如圖(2)所示.要點(diǎn)詮釋：三視圖把物體的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方面反映到各個(gè)視圖上，具體地說(shuō)，主視圖反映物體的長(zhǎng)和高；俯視圖反映物體的長(zhǎng)和寬，左視圖反映物體的高和寬，抓住這些特征能為畫(huà)物體的

7、三視圖打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖時(shí)，要從三個(gè)方面觀察幾何體，具體畫(huà)法如下：(1)確定主視圖的位置，畫(huà)出主視圖；(2)在主視圖的正下方畫(huà)出俯視圖，注意與主視圖“長(zhǎng)對(duì)正”；(3)在主視圖的正右方畫(huà)出左視圖，注意與主視圖“高平齊”，與俯視圖“寬相等”.幾何體上被其他部分遮擋而看不見(jiàn)的部分的輪廓線要畫(huà)成虛線.要點(diǎn)詮釋：畫(huà)一個(gè)幾何體的三視圖，關(guān)鍵是把從正面、上方、左邊三個(gè)方向觀察時(shí)所得的視圖畫(huà)出來(lái)，所以，首先要注意觀察時(shí)視線與觀察面垂直，即觀察到的平面圖是該圖的正投影；其二，要注意正確地用虛線表示看不到的輪廓線；其三，要充分發(fā)揮想象，多實(shí)踐，多與同學(xué)交流探討，多總結(jié)；最后，按三視圖的位置和大小

8、要求從整體上畫(huà)出幾何體的三視圖.由三視圖想象幾何體的形狀，首先應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象主體圖的前面、上面和左側(cè)面，然后綜合起來(lái)考慮整體圖形.要點(diǎn)詮釋：由物體的三視圖想象幾何體的形狀有一定的難度，可以從如下途徑進(jìn)行分析：(1)根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀以及幾何體的長(zhǎng)、寬、高；(2)根據(jù)實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)和看不見(jiàn)的輪廓線；(3)熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖會(huì)對(duì)復(fù)雜幾何體的想象有幫助；(4)利用由三視圖畫(huà)幾何體與由幾何體畫(huà)三視圖為互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.【典型例題】類型一、投影的作圖與計(jì)算1如何才能使如圖所示的兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分

9、別與它們的原長(zhǎng)相等，試畫(huà)圖說(shuō)明【答案與解析】(1)如圖所示可在同一方向上畫(huà)出與原長(zhǎng)相等的影長(zhǎng)，此時(shí)為平行投影(2)如圖所示，可在兩樹(shù)外側(cè)不同方向上畫(huà)出與原長(zhǎng)相等的影子，連結(jié)影子的頂點(diǎn)與樹(shù)的頂點(diǎn)相交于點(diǎn)P此時(shí)為中心投影，P點(diǎn)即為光源位置 【總結(jié)升華】連結(jié)物體頂點(diǎn)與其影長(zhǎng)的頂點(diǎn)，如果得到的是平行線，即為平行投影；如果得到相交直線，則為中心投影，這是判斷平行投影與中心投影的方法，也是確定中心投影光源位置的基本做法但若中心投影光源在兩樹(shù)同側(cè)時(shí)，圖中的兩棵樹(shù)的影長(zhǎng)不可能同時(shí)與原長(zhǎng)相等，所以點(diǎn)光源可以選在兩樹(shù)之間特別提醒：易錯(cuò)認(rèn)為只有平行投影才能使兩棵樹(shù)在同一時(shí)刻的影長(zhǎng)分別與它們的原長(zhǎng)相等，從而漏掉上圖這

10、一情形舉一反三：【變式】與一盞路燈相對(duì)，有一玻璃幕墻，幕墻前面的地面上有一盆花CD和一棵樹(shù)AB晚上，幕墻反射路燈，燈光形成那盆花的影子DF，樹(shù)影BE是路燈燈光直接形成的，如圖所示，你能確定此時(shí)路燈光源的位置嗎? 【答案】作法如下： 連結(jié)FC并延長(zhǎng)交玻璃幕墻于O點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)O作直線OG垂直于玻璃幕墻面；在OC另一側(cè)作POGFOG且交EA延長(zhǎng)線于點(diǎn)PP點(diǎn)即此時(shí)路燈光源位置，如圖所示 2.如圖，小明與同學(xué)合作利用太陽(yáng)光線測(cè)量旗桿的高度，身高的小明落在地面上的影長(zhǎng)為BC=（1）請(qǐng)你在圖中畫(huà)出旗桿在同一時(shí)刻陽(yáng)光照射下落在地面上的影子EG；（2）若小明測(cè)得此刻旗桿落在地面的影長(zhǎng)EG=16m，請(qǐng)求出旗桿DE的高

11、度【思路點(diǎn)撥】（1）連結(jié)AC，過(guò)D點(diǎn)作DGAC交BC于G點(diǎn)，則GE為所求；（2）先證明RtABCRtDGE，然后利用相似比計(jì)算DE的長(zhǎng)【答案與解析】解：（1）影子EG如圖所示；（2）DGAC，G=C，RtABCRtDGE，即，解得DE=，旗桿的高度為m【總結(jié)升華】本題考查了平行投影，也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)舉一反三：【變式】如圖，小亮利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量某旗桿AB的高度（1）請(qǐng)你根據(jù)小亮在陽(yáng)光下的投影，畫(huà)出旗桿AB在陽(yáng)光下的投影（2）已知小亮的身高為1.72m，在同一時(shí)刻測(cè)得小亮和旗桿AB的投影長(zhǎng)分別為0.86m和6m，求旗桿AB的高 【答案】解：（1）如圖所示： （2）如圖，因?yàn)镈E

12、，AB都垂直于地面，且光線DFAC，所以RtDEFRtABC，所以，即，所以AB=12（m）答：旗桿AB的高為12m類型二、三視圖3如圖，分別從正面、左面、上面觀察該立體圖形，能得到什么平面圖形【答案與解析】從正面看該幾何體是三角形，從左面看該幾何體是長(zhǎng)方形，從上面看該幾何體是一長(zhǎng)方形中帶一條豎線如圖： 【總結(jié)升華】本題考查了幾何體的三視圖的判斷舉一反三：【變式】如圖，畫(huà)出這些立體圖形的三視圖 【答案】（1）如圖： （2）如圖： （3）如圖：（4）如圖： 類型三、三視圖的有關(guān)計(jì)算4某工廠要對(duì)一機(jī)器零件表面進(jìn)行噴漆，設(shè)計(jì)者給出了該零件的三視圖(如圖所示)，請(qǐng)你根據(jù)三視圖確定其噴漆的面積【思路點(diǎn)撥】首先要根據(jù)立體圖形的三視圖，想象出物體的實(shí)際形狀，然后再計(jì)算表面積.【答案與解析】解：長(zhǎng)方體的表面積為(3040+4025+2530)25900(cm2)，圓柱體的側(cè)面積為3.1420322010(cm2)，其噴漆的面積為5900+20107910(cm2)【總結(jié)升華】由該機(jī)械零件的三視圖，可想象它是一個(gè)組合體，是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)圓柱體組成其表面積是一個(gè)長(zhǎng)方體的六個(gè)面與圓柱