立體幾何綜合大題20道(理)

1、立體幾何綜合大題(理科)40道及答案1、四棱錐 P ABCD 中，PA，底面 ABCD , PA 26，BC CD 2 ,ACB ACD . 3(I )求證：BD，平面PAC ；(II)若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF 7FC ,求三棱錐P BDF的體積?！敬鸢浮?I)證明：因?yàn)锽C=CD即 BCD為等腰三角形，又 ACB ACD,故BD AC .因?yàn)镻A 底面ABCD ,所以PA BD ,從而BD與平面PAC內(nèi)兩條相交直線 PA, AC都垂直，故BD，平面PAC o(H)解：SBCD -BC ?CD ?sin BCD - 2 2sin V3.223由 PA 底面 ABCD知VPBDC - SBCD

2、 PA - 33 243 2.33由PF 7FC,得三棱錐F BDC的高為-PA,故：VF BDCS bcd PA 3 2 k 3383817VP BDF VP BCD V F BCD 2442、如圖，四棱錐P ABCD中，四邊形ABCD為矩形，PAD為等腰三角形，APD 90,平面 PAD 平面 ABCD,且 AB 1,AD 2 , E, F 分別為 PC 和 BD 的中點(diǎn).(I )證明：EF P平面PAD ;(II)證明：平面PDC 平面PAD ;(m)求四棱錐P ABCD的體積.4B【答案】(I )證明：如圖，連結(jié)AC .二.四邊形ABCD為矩形且F是BD的中點(diǎn).F也是AC的中點(diǎn).又E是

3、PC的中點(diǎn)，EF P APv EF 平面PAD , PA 平面PAD ,所以EF P平面PAD ；(H )證明：二.平面PAD 平面 ABCD , CD AD,平面PAD I 平面 ABCD AD ,所以平面CD 平面PAD ,又PA 平面PAD ,所以PA CD又PA PD , PD,CD是相交直線，所以PA 面PCD又PA 平面PAD ,平面PDC 平面PAD ;(田)取AD中點(diǎn)為O .連結(jié)PO, PAD為等腰直角三角形，所以PO AD ,因?yàn)槊鍼AD 面ABCD且面PADI面ABCD AD ,所以，PO 面ABCD,即PO為四棱錐P ABCD的高.由 AD 2 得 PO 1 .又 AB

4、1 .12四棱錐P ABCD的體積V 1 PO AB AD 233考點(diǎn)：空間中線面的位置關(guān)系、空間幾何體的體積 .3、如圖，在四棱錐P ABCD中，PD 平面ABCD , CD PA, DB平分 ADC , E為PC的中點(diǎn)， DAC 45°, AC 五.(I )證明：PA /平面BDE ;(H)若PD 2,BD 2后求四棱錐E ABCD的體積【答案】(I )設(shè)AC BD F ,連接EF,PD 平面 ABCD ,CD平面 ABCD, PD CD又 CD PA, PDPAP, PD, PA 平面 PADAD平面 PAD CD ADDAC 45，.二 DA DC,DB平分 ADC, F為A

5、C中點(diǎn)，E為PC中點(diǎn),.EF為CPA的中位線. EF / PA,EF平面BDE , PA 平面BDEPA / 平面 BDE .(H)底面四邊形ABCD的面積記為S;S S ADCS ABC1 72匹1 6芻石2.2222點(diǎn)E為線段PC的中點(diǎn)，、，1 _ 1 112Ve ABCD S PD -2-2 -.32323考點(diǎn)：1.線面平行的證明；2.空間幾何體的體積計(jì)算4、如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD為菱形，其中PA PD AD 2,BAD 60 , Q為AD的中點(diǎn).(1)求證：AD 平面PQB；ABCD的體(2)若平面PAD 平面ABCD ,且M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐 M 積.【答案】

6、(1) QPA PD , Q 為中點(diǎn)，AD PQ連 DB ,在 ADB 中，AD AB , BAD 60 ,ABD為等邊三角形，Q為AD的中點(diǎn)，AD BQ ,PQ BQ Q, PQ 平面 PQB , BQ 平面 PQB ,AD 平面PQB .(2)連接QC,作MH QC于H .Q PQ AD , PQ 平面 PAD ,平面PAD 平面ABCD AD ,平面PAD 平面ABCDPQ 平面 ABCD ,QC 平面 ABCD ,PQ QCPQ/MHMH 平面 ABCD ,又 PM 2PC, MH工PQ 1卷23 2222Sb形ABCD2S ABD2 3.11一 AB AD sin 600 二一222

7、在菱形ABCD中，BD 2,S ABDABCDP【答案】（1）證明：由題可知,DEF中ABE中ED DFED DFAE ABAE ABDEF 45EF BEAEB 45平面ABE 平面BCDE平面ABEI平面BCDE BE EF 平面PBE 3右 3不平面PBE 平面PEF EF BEEF 平面PEF一一一一一一11 一一 SbefcSabcdSabeSdef6444 2214,則221 一1-28 2V Sbefc h 14 2,2.3336、已知四棱錐P ABCD中，PD 平面ABCD,ABCD是正方形，E是PA的中點(diǎn),若PD AD ,求PC與面AC所成的角(2)求證：PC 平面EBD求證

8、：平面PBCL平面PCD【答案】(1) Q PD 平面ABCD , DC是直線PC在平面ABCD上的射影，PCD是直線PC和平面ABCD所成的角。又Q PD DA ,四邊形ABCD是正 方形， DA DC, PD DC , PCD 450; 直線PC和平面ABCD所成 的角為450(2)連接AC交BD與。，連接EO, /B O分別為PA AC的中點(diǎn)EO/ PC. PC 平面 EBD,EO 平面 EBD . . PC/平面 EBD(3) v PD 平面 ABCD, BC 平面 ABCD PD BC. ABC時(shí)正方形 BC CDPDH CD=D, PD CD 平面 PCD BC 平面 PCD又;

9、BC 平面PBC平面PBC平面PCD7、在邊長(zhǎng)為4cm的正方形 ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，M、N分 別為AB、CF的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使R C、D三點(diǎn)重合，重合后 的點(diǎn)記為B ,構(gòu)成一個(gè)三棱錐.(1)請(qǐng)判斷MN與平面AEF的位置關(guān)系，并給出證明;(2)證明AB 平面BEF ;(3)求四棱錐E AFNM的體積.【答案】(1) MN平行平面AEF證明：由題意可知點(diǎn)M、N在折疊前后都分別是AB、CF的中點(diǎn)(折疊后B、C 兩點(diǎn)重合)所以MN平行AFMN 面AEF因?yàn)?AF 面AEF ,所以MN平行平面AEFMN平行AF(2)證明：由題意可知AB BE的關(guān)系在折疊前后都沒有

10、改變因?yàn)樵谡郫B前AD DF ,由于折疊后AD與AB重合，點(diǎn)D與F重合，所以AB BFAB BEAB BF因?yàn)?BE 面BEF ,所以AB 平面BEF .BF 面 BEFBE BF=B(3) VEAFNMVEABFVEMBNVABEFVMBEN1 -S BEN MB38、在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD是正方形，MA，平面ABCD , PD / MA, E、G、F 分別為 MB、PB、PC 的中點(diǎn)，且 AD= PD= 2MA. 求證：平面EFG，平面PDC ; 求三棱錐P MAB與四棱錐P- ABCD的體積之比.【答案】（1）證明：V MA 平面ABCD , PD / MA , PD 平面

11、 ABCD ,又 BC 平面 ABCD , p PD BC ,ABCD為正方形，；BC DC.v PDI DC=D ,BC 平面 PDC .在 PBC中，因?yàn)镚、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，. GF / BC ,. GF 平面 PDC .又GF 平面EFG ,.平面EFG 平面PDC . 不妨設(shè)MA=1 , ABCD為正方形，；PD=AD=2,又PD 平面ABCD,所以VP abcd1SS正方形ABCD3PD由于DA 平面MAB，且PD / MA ,所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離,二棱錐 VP_M1AB = °x 1 1 2 x2=2. 323所以 VP MAB: VP-ABCD

12、=1 4 .9、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐 S-ABCD,ABC 90, SA 面 ABCD, SA AB BC 1, AD 一2求四棱錐S-ABCD勺體積;求證：面SAB面SBC;(3)求SC與底面ABC所成角的正切值?！敬鸢浮?1)解：1Sh32(AD八111BC) AB SA - (- 1) 1 162(2)證明:SA 面ABCD, BC 面ABCD, SA BC又 AB BC, SA AB A, BC 面SABBC 面SAB 面SAB 面SBC(3)解：連結(jié)AC,則SCA就是SC與底面ABC所成的角在三角形 SCA中，SA=1,AC=12 122,x -SA 12tan SCA -

13、AC 2210.如圖，四棱錐S ABCD中，底面ABCD為矩形，SD 底面 ABCD, AD V2, DC SD 2,點(diǎn) M 在側(cè)棱 SC 上,o/ ABM=60。(I)證明：M是側(cè)棱SC的中點(diǎn)；求二面角S AM B的大小?！敬鸢浮糠謩e以DA DC DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz , 則 A(72,0,0),B(V2,2,0),C(0,0,2), S(0,0,2)。rz(X1,y1,z1)，n2ni?MA0 口n2?MA0 目口2xi y1乙 0 口 2x2、2z20一 一 且_ 一 ，即且、222(I )設(shè) SM MC ,則 M(0,),MB (<2,)J22n1

14、?AS 0 n1?AB 02x1 2乙 0 2y2 0分別令xi X2 行得z11,y11,y20z 2,即n;（血,1,1）,nz （四,0,2）,2 0 26cos n1, n22636一面角S AM B的大小arccos 。311、如圖，直三棱柱 ABCA1BG中，AB!AC D> E分別為AA、BC的中點(diǎn)，DE1(H)設(shè)二面角 ABDC為60° ,求BC與平平面BCC (I)證明：ABAC面BCD9T成的角的大小【答案】(I)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角 坐標(biāo)系A(chǔ) xyz。1 b設(shè) B 1, 0,0),C 0,b,0),D 0, 0,c),

15、則Bi1, 0, 2c) ,E -,一22c）1 b于是 DE = ( , , 0) , BC = (-1 , b,0).由 DE,平面 BCC1知 DE± BC DE BC 22=0,求得b=1,所以AB=AG(n)設(shè)平面BCD的法向量AN(x,y,z),則 AN BC 0, AN BD 0.又 BC= (-1 , 1, 0),BD = (-1 , 0, c),故x y 0x cz 0.一.11令 x=1,貝U y=1,z=-, AN =(1,1,一)。cc又平面ABD的法向量AC = (0, 1, 0)由二面角 A BD C 為 60° 知，：AN",AC =

16、60AN ACAN AC cos60 ° ,求得 c于是 AN (1,1 ,J2), 國 (1, 1,J2)cos麗,CK'f普魯工，AN CBi 2.AN ,CBi) 60 °所以BiC與平面BCD所成的角為30°12、如圖,DC平面 ABC , EB/DC , AC BC EB 2DC 2, ACB 1200,P,Q分別為AE,AB的中點(diǎn).(I)證明：PQ/平面ACD ； (II )求AD與平面ABE所成角的正弦【答案】（I ）證明：連接DP,CQ , 在ABE中，P,Q分別是AE, AB的中點(diǎn)，1 _1 _所以 PQ/ -BE , 又 DC BE ,

17、所以 PQ/ DC ,又 PQ 平面 ACD, DC 平 22面ACD所以PQ /平面ACD（U ）在 ABC 中，AC BC 2, AQ BQ ,所以 CQ AB而DC平面ABC EB/ DC ,所以EB 平面ABC而EB 平面ABE 所以平面ABE平面ABC 所以CQ 平面ABE由（I）知四邊形DCQP1平行四邊形，所以DP/CQ所以DP 平面ABE所以直線AD在平面ABE內(nèi)的射影是AP,所以直線AD與平面ABE所成角是 DAP在 Rt APDAD . AC2 DC 222 12 .5DP CQ 2 sinCAQ所以sin DAPDPAD 5513、如圖，四棱錐P ABCD的底面是正方形，

18、PD 底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（I）求證：平面中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PD所成的角的大小AEC 平面 PDB ;(H)當(dāng) PD 72AB 且 E 為 PB 的【答案】(I)二四邊形ABCM正方形，AC!BD: PD 底面 ABCD ,/.PD!AC .ACL平面 PDB平面AEC 平面PDB .(n)設(shè) ACnbd=o,連接 oe由(I )知ACL平面PDBT O,/AEO AE與平面PD所的角，.O, E分別為DR PB的中點(diǎn)，1 一、一. OE/ PD OE PD , 乂 . PD 底面 ABCD ,.OEL底面 ABCD OELAQ1、.2在 RtzXAOE中，OE -PD AB AO

19、 , 22. AOE 45 ,即AE與平面PD所成的角白大小為45 .14、如圖，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA 平面ABCD ,BD為直徑的PA AD 4 , AB 2 .以BD的中點(diǎn)。為球心、 球面交PD于點(diǎn)M .(1)求證：平面ABM，平面PCD ;(2)求直線PC與平面ABM所成的角；(3)求點(diǎn)O到平面ABM的距離.【答案】(1)證：依題設(shè)，M在以B D為直徑的球面上，則BMLPD .因?yàn)镻A，平面ABCD,則PALAB,又ABLAD,所以AB，平面PAD, 則ABLPD, 因此有PD，平面ABM, 所以平面A C D .(2 )設(shè)平面ABM與P C交于點(diǎn)N, 因

20、為AB/CD,所以AB/平面PCD, 則 A B / MN /CD,由(1)知，PDL平面ABM,則 MN PN在平面ABMi的射影，所以 PNM就是PC與平面ABM所成的角，且 PNM PCD八 PD -tan PNM tan PCD 2.2DC所求角為arctan2-、2(3)因?yàn)?。是BD的中點(diǎn)，則。點(diǎn)到平面ABM勺距離等于D點(diǎn)到平面ABME離的 一半，由(1)知，PDL平面ABM于 M則|DM就是D點(diǎn)到平面ABkJg離.因?yàn)樵?RtzXPAD中，PA AD 4 , PD AM ,所以 M 為 PD 中點(diǎn)，DM 2J2 ,則。點(diǎn)到平面ABM勺距離等于21。15、如圖，正方形ABCD所在平面

21、與平面四邊形 ABEF所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形，AB AE,FA FE, AEF 45(1)求證：EF 平面BCE ;(II )設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M ,求證： PM / 平面BCE(III )求二面角F BD A的大小?！敬鸢浮?I )因?yàn)槠矫?ABEFL平面 ABCD BC 平面 ABCD BCLAB,平面 ABEF n 平面 ABCDAB,所以BC1平面ABEF所以BC± EF因?yàn)?，ABE為等腰直角三角形，AB=AE,所以ZAEB=45O ,又因?yàn)? AEE45,所以/ FEB=90° ,即 EF± BE因?yàn)锽C 平面ABCD

22、BE 平面BCEBCn BE=B所以EF 平面BCE(II)取be的中點(diǎn)n連結(jié)cnmn則mN 1AB幺pc PMNCJ平行四邊形，所以PM/ CN: CN在平面BCE內(nèi),PMTP在平面BC時(shí),PM/平面 BCE(III )由EM AB平面ABE巳平面ABCD易知EA，平面ABCD作FG，AB交BA的延長(zhǎng)線于G,則FG/ EA從而FGL平面ABCQ作GHL BD于H,連結(jié)FH則由三垂線定理知 BD± FH/ FHG為二面角F- BD A的平面角. FA=FE, / AEF=45° ,ZAEF=90° , /FAG：45° .FAG設(shè) AB=1,則 AE=1

23、,AF= 2，則 FG AF sin,。1 3在 Rt/BGIH , /GB=45 , BG=ABfAO1+-=-GH BG sin GBH 3 224 ,在 Rt/FGIH , tan FHGFGGH2,3 ,而角FBDA的大小為arc tan16、如圖，四棱錐 SABCD勺底面是正方形，SDL平面ABCDSA AD= a,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn)，且D9a（0< 三 1）.對(duì)任意的(0、1）,者B有 ACL BE(I)求證:(n )若二面角c AE- D的大小為600C,求 的值【答案】(I )證發(fā)1:連接BD由底面是正方形可得 AC BDSD 平面A B C D ,BD® BE在

24、平面ABCDk的射影，由三垂線定理得 AC BE(II) SD 平面 ABCDCD 平面A BCD, SD CD又底面ABCD是正方形， CD AD,又S D AD=D, CD平面SAD過點(diǎn)D在平面SADWft DF AE于F,連接CF,則CF AE,故 CFD二面角CAE D的平面角，即 CF=60°在 RtzXADE中， AD=a, DE= a, AE=a V 2 1 。DF=AD ?DEAEa在 RtzXCDF中，由 cot 600 =DF CD17、如圖3,在正三棱柱 ABC AB1cl中，AB=4,AA J7,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且DE A1E. ( I )證明

25、：平面ADE 平面ACC1A ;( n)求直線AD和平面ADE所成角的正弦值?！敬鸢浮?I)如圖所示，由正三棱柱 ABC ABQi的性質(zhì)知AAi平面ABC.又 DE 平面 ABC 所以 DE AA1.而 DE A1E, AA1I AE A1,所以DE1平面ACC1A .又DE 平面ADE ,故平面 ADE，平面ACC1A1 .(H) 過點(diǎn)A作AF垂直AE于點(diǎn)F ,連接DF由(I )知，平面AQE，平面ACCiA ,所以AF平面ADE ,故 ADF是直線AD和平面A1DE所成的角。因?yàn)镈E ACC1A ，所以DE AC.而 ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，于是 AD=273, AE=4-CE=4-1

26、CD =3.2又因?yàn)?AA "，所以 AiE=AE Jaa2 ae2 J(J7)2 32 = 4,218AE AA13.7.AFAF , sin ADFae4AD即直線ad和平面ade所成角的正弦值為 叵818、如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形 ABEF所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形， AB ae, FA FE, AEF 45(I )求證：EF 平面BCE ;(II )設(shè)線段CD、AE的中點(diǎn)分別為P、M ,求證：PM /平面BCE(III )求二面角F BD A的大小?！敬鸢浮?I)因?yàn)槠矫?ABEFL平面 ABCD bc 平面 ABCD bclab,平面 abef

27、?平面 abcdab所以BC1平面ABEF所以BC± EF因?yàn)?，ABE為等腰直角三角形，AB=AE,所以/AEB=45° ,又因?yàn)? AEE45,所以/ FEB=90° ,即 EF± BE因?yàn)锽C 平面ABCD BE 平面BCEBCA BE=B所以EF 平面BCE（II）取be的中點(diǎn)N連結(jié)CNMN則mN 1AB幺pc PMNCz平行四邊形，所以PM/ CN CN在平面BCE內(nèi)，PM在平面 BCEft, . PM/ 平面 BCE(III )由EALAB平面ABEFL平面ABCD易知EA,平面ABCD作FG, AB交BA的延長(zhǎng)線于G,則FG/ EA從而FGL

28、平面ABCD作GHL BD于H,連結(jié)FH則由三垂線定理知 BD! FH / FHG為二面角F- BD A的平面角. FA=FE, ZAEF=45° , ZAEF=90° , / FAG=45° . 21設(shè) AB=1,則 AE=1, AF=2-,則 FG AF sin FAG 2 -1 3在 Rt/BGIH , /GBH45 , BG=ABfA(G=1+-=-,323.2GH BG sin GBH 224在 Rt/FGIH , tan FHG而角F BD A的大小為arc tan19、如題（18）圖，在五面體 ABCDEF 中，AB / DC , BAD , CD

29、AD 2, 2四邊形ABFE為平行四邊形，F(xiàn)A 平面ABCD, FC 3,ED V7 .求:(I )直線AB到平面EFCD的距離；(H)二面角F AD E的平面角的正切值.【答案】(I ) Q AB PDC , DC 平面EFCD, AB到面EFCD的距離等于點(diǎn) A到面EFCD 的距離，過點(diǎn) A 作 AG FD 于 G,因 BAD AB / DC ,故 CD AD ;2又Q FA 平面ABCD ,由三垂線定理可知，CD FD ,故CD 面FAD ,知CD AG ,所以AG為所求直線AB到面EFCD的距離。在 RD ABC 中，F(xiàn)D .FC2 CD2 V9-4 疾由FA 平面ABCD，得FA AD , 從而在RtA FAD中，F(xiàn)A . FD2 AD2.54 1FA ADAGFD-2= 逑o即直線AB到平面EFCD的距離為勾5 。,555(H)由己知，F(xiàn)A 平面ABCD,得FA AD又由 BAD 萬，知AD AB, 故AD 平面ABFEDA