三角函數(shù)總結(jié)大全(整理好的)

1、三角函數(shù)1(一)任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形。一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點0按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置0B，就形成角：。旋轉(zhuǎn)開始時的射線 OA叫做角的始邊，0B叫終邊，射線的端點0叫做叫：.的頂點。為了區(qū)別起見，我們規(guī)定：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。2. 象限角、終邊相同的角、區(qū)間角角的頂點與原點重合，角的始邊與X軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。要特別注意：如果角

2、的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限，稱為非象限角。終邊相同的角是指與某個角a具有同終邊的所有角，它們彼此相差2k n (k Z)，即 3 |3 =2k n + a , k Z,根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。區(qū)間角是介于兩個角之間的所有角，女口a a |一 <a< 乞=,。6 6 6 63. 弧度制長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作1rad，或1弧度，或1(單位可以省略不寫)。角有正負(fù)零角之分，它的弧度數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零之分，如-n , -2 n等等，一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0,角的正

3、負(fù)主要由角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。角a的弧度數(shù)的絕對值是：a =-，其中，|是圓心角所對的弧長，r是半徑。r角度制與弧度制的換算主要抓住180rad。弧度與角度互換公式：lrad= 180° 57.30° =57° 18；1 1 21° = 二 0.01745 (rad)?；￠L公式：l =| r (是圓心角的弧度數(shù))； 扇形面積公式：S l r p | r2。180 2 24三角函數(shù)的定義：以角:的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一個異于原點的點P(x, y)，點P到原點的距離記為r(r二,| x |2 | y | '

4、x2 y2 - 0)，那么yx 丄y丄 xrrsin ； cos ； tan ；(cot ； sec ； csc )rrxyxy利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè):-是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x, y),那么:(1) y叫做的正弦，記做sin :,即sin- y ；(2) x叫做的余弦，記做COS，即COS，- x ；(3) -叫做的正切，記做tan，即tan = (- 0)。xx5三角函數(shù)的符號：由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：正弦值必 對于第一、二象限為正r(y > 0,r a 0 ),對于第三、四象限為負(fù)( y v 0,r > 0 )

5、；aIn出IVsi na+一一cos 口+一一+ta+一+一cota+一+一余弦值-對于第一、四象限為正(xA0,r>0 ),對于第二、三象限為負(fù)( x£0,r0 )；正切值、對于第rx三象限為正(x, y同號)，對于第二、四象限為負(fù)(x,y異號)說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數(shù)值。6 三角函數(shù)線三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方 法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題 時，十分方便。以坐標(biāo)原點為圓心，以單位長度1為半徑畫一個圓，這個圓就叫做單位圓（注意：這個單位長度不一定就是1厘米或1米）。當(dāng)角：

6、.為第一象限角時，則其終邊與單位圓必有一個交點 P（x, y），過點P作PM _ x軸交x軸于點M，根據(jù)三角函數(shù)的定義：|MP|=|y|#si| ； |0M |=| x| =| cos|。我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān)當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時，以O(shè)為始點、M為終點，規(guī)定：當(dāng)線段0M與x軸同向時，0M的方向為正向，且有正值 x ;當(dāng)線段0M與x軸反向時，0M的方向為負(fù)向， 且有負(fù)值x ;其中x為P點的橫坐標(biāo)這樣，無論那種情況都有 OM =x=cos同理，當(dāng)角的終邊不在x軸上時，以M為始點、P為終點，規(guī)定：當(dāng)線段MP與y軸同向時，MP的方向為正向，且有正值 y ;當(dāng)線段MP與y軸反

7、向時，MP的方向為負(fù) 向，且有負(fù)值y ;其中y為P點的橫坐標(biāo)。這樣，無論那種情況都有 MP二y二sin :。像MP、OM這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。如上圖，過點A（1，0）作單位圓的切線，這條切線必然平行于y軸，設(shè)它與的終邊交于點T，請根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識，借助有向線段 OA、AT，我們有tan二AT二丿x我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM、AT，分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。6同角三角函數(shù)關(guān)系式sin? a +cos? a =1 （平方關(guān)系）；s" =tan a （商數(shù)關(guān)系）； tana cot a =1 （倒數(shù)關(guān)系）c

8、os。使用這組公式進行變形時，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。幾個常用關(guān)系式： sin a +cos a , sin a -cos a , si na cos a ；（三式之間可以互相表示 ）設(shè)sin CL +cosa = t卜邁，V2,兩邊平方，得2.t3 - 11 + 2stn a * cosCL = t => sin Cl cos Q =-.又1 - 2 sin a * cosCL = 2 -t3 => sma - cos Cl = ta .同理可以由sin a COSa或sin a cos a推出其余兩式。7 誘導(dǎo)公式可用十個字概括為

9、“奇變偶不變，符號看象限”。誘導(dǎo)公式一：si n（-：i ' 2k二）二 si n： , cos（二、2k二）二 cos：，其中 k Z誘導(dǎo)公式二：sin（180g）二-sin ： ； cos（1 80：=）pos：誘導(dǎo)公式三： sin（ -： ） - -sin： ；cos（-）=cos：Q<5誘導(dǎo)公式四：sin （180 - ：）二si n： ； cos（180 - cos 九誘導(dǎo)公式五：sin（360 - -sin ： ;cos（360 - ：）= cos-an -aji2兀-a2k兀 +a(k Z )31一 -a2sinsi nasin asin asi notsi not

10、cosacoscos acos acos acos acos asi not（1）要化的角的形式為 k180l（ k為常整數(shù)）；(2) 記憶方法：“奇變偶不變，符號看象限”；(3) sin(k n + a )=( 1)ksin a ; cos(k n + a )=( 1)kC0Sa (k Z);(4)sin（、a 、廠兀）x + |=cosx= cosx < 4丿<4J<4丿（二）三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像cos x+二 |=sin< 4丿y=ta nxi j 1 f fyt f J /it./-.機-專/o Qx2” 2z22/ff/

11、rfJJJi2三角函數(shù)的定義域、值域及周期如下表:y：iy=cotxI1i11It-JI210 加 T2竺 2丁2l I I函數(shù)定義域值域周期y =sin xRL,12兀y =cosxR7,12兀y =ta nx*丄江Mx| X 式kx +y,k ZR3三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： 二二二3:y=sinx的遞增區(qū)間是 2k,2k二一 （k Z），遞減區(qū)間是 2k： 一,2k（k Z）；_ 2 2 - 2 2y =cosx的遞增區(qū)間是 2也-叫2k二】（k Z），遞減區(qū)間是 2k二，2k： 八（kZ）;y =tan x的遞增區(qū)間是k兀一 ,k兀+ = i（k e Z）,I 22丿4. 對稱軸與對稱中心：

12、y =sinx的對稱軸為x=k T，對稱中心為（k二,0） k Z ；y =cosx的對稱軸為x =k二，對稱中心為（k二4,0）；對于y = Asin（，x J和y = Acos（，x '）來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。5. 函數(shù) y = Asin（ x:） B （其中 A 0,門 > 0）最大值是A B，最小值是B - A，周期是T = ，頻率是f，相位是 x v :-,初相是;其圖象的對©2兀稱軸是直線即（k Z），凡是該圖象與直線 y =B的交點都是該圖象的對稱中心。26. 由y= sinx的圖象變換出y= sin（ w x+ ：:）的圖象一般

13、有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）1先將y= sinx的圖象向左（>0）或向右（:< 0=平移丨：丨個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮╳ >0）,CD便得y= sin（ w x+ ：:）的圖象。途徑：先周期變換（伸縮變換）再平移變換。先將y= sinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮╳ > 0）,再沿x軸向左（>0）或向右（

14、v 0 =平移|一!個單位，coco便得y= sin（ w x+ ：:）的圖象。三角函數(shù)圖象的平移和伸縮函數(shù)y二Asin（x k的圖象與函數(shù) y = sin x的圖象之間可以通過變化A , k 來相互轉(zhuǎn)化.A， 影響圖象的形狀，: k影響圖象與x軸交點的位置.由 a引起的變換稱振幅變換，由引起的變換稱周期變換，它們都是伸縮變換；由1-引起的變換稱相位變換，由 k引起的變換稱上下平移變換，它們都是平移變換.既可以將三角函數(shù)的圖象先平移后伸縮也可以將其先伸縮后平移.變換方法如下：先平移后伸縮_ 向左丄®>0）或向右（上0）y = sin x的圖象平移|個單位長度*得y二sin（x:

15、）橫坐標(biāo)伸長（0<皎<1）或縮短（國>1）y=sin（x）的圖象到原來的1（縱坐標(biāo)不變）'得y = sin（x）co+縱坐標(biāo)伸長（AM）或縮短（0<A<1）、八-/八 丄m y二sinf x:）的圖象為原來的a倍（橫坐標(biāo)不變）'得y AsinC x ）_向上丄k£）或向下（匕0y = AsinC ）的圖象平移|k|個單位長度得y二Asin（） k圖象先伸縮后平移_ 縱坐標(biāo)伸長CA>1）或縮短!0空£1）_.廠sinx的圖象為原來的a倍（橫坐標(biāo)不變）得廠AsinxAsin x的圖象Asin( x)的圖象橫坐標(biāo)伸長（01）或縮

16、短G. I）到原來的1（縱坐標(biāo)不變）得y 一 Asin（ ' x）co向左（）.0）或向右（1：0）平移#個單位co得 y = Asinx( x )Asin x( x )的圖象 平移f個單位長;。'得y = Asin（ ） k圖象例1將y二sin x的圖象怎樣變換得到函數(shù)y =2s in解：（方法一）把y=sinx的圖象沿x軸向左平移n個單位長度，得y =sin x n的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮4I 4丿小到原來的1，得 sin 2x - n的圖象；將所得圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得y=2sin 2x n的圖象；2I 4）I 4丿f n最后把所得圖象沿 y軸向上平移1個單

17、位長度得到y(tǒng)=2sin 2x nV 4（方法二）把y =si nx的圖象的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得y = 2si nx的圖象；將所得圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的1,得y =2sin2 x的圖象；將所得圖象沿 x軸向左平移n個單位長度得y = 2sin2 x，-的圖象；最后把圖象沿2 8.8y軸向上平移1個單位長度得到= 2sin 2x的圖象.8#說明：無論哪種變換都是針對字母x而言的由y二sin2x的圖象向左平移 丄個單位長度得到的函數(shù)圖象的解析式是8y =sin2lx - n而不是y =sin I2x n，把y =sin lx - n的圖象的橫坐標(biāo)縮小到原來的，得到的函數(shù)圖象的解析式I 8丿

18、丫 I 8丿丫 I 4丿2是 y =sin 2x - n 而不是 y =sin 2 x - n .I 4丿I 4丿對于復(fù)雜的變換，可引進參數(shù)求解.例2將y=sin2x的圖象怎樣變換得到函數(shù)"跡2-寸的圖象.分析：應(yīng)先通過誘導(dǎo)公式化為同名三角函數(shù).解：y 二sin 2x =cos 2x（2丿二cos 2x -nI 2丿，在 yF2.x_n 中以 x-a 代 x，"cos2（xa）一亍fn二cos 2x - 2a -I2丿根據(jù)題意，有 2x 2an = 2xn，得 a = - .248所以將y=sin2x的圖象向左平移 上個單位長度可得到函數(shù) y二cos2x-上的圖象.8 I

19、4丿5. 由y = Asin（ wx+ '）的圖象求其函數(shù)式：cp給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin （ w x+:）的題型，有時從尋找"五點”中的第一零點（ 一，0）作為突破口，要從圖象 co的升降情況找準(zhǔn).第一個零點的位置。&求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù)，并且在同一單調(diào)區(qū)間；9. 求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“y =As in （x）、y二Acos（，xJ ”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。五點法作 y=Asin （ w x+）的簡圖：9五點取

20、法是設(shè) x= w x+ ，由x取0、n23nn、巴、2n來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的2y值，再描點作圖。(三)三角恒等變換1兩角和與差的三角函數(shù)10#tan ,旦歸。1 + tanot tan Psin(.二丨)=sin ： cos I-二cos： sin -cos(.二 I ) = cos： cos l sin ： sin -#2.二倍角公式sin 2： = 2sin ： cos： ； cos2： = cos sin 2cos 1 = 1 - 2sintan - 2t彎。1 - t a na3.三角函數(shù)式的化簡 常用方法：直接應(yīng)用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同角；化簡要求：能求

21、出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡 量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。(1) 降幕公式1 2sin ： cos sin 2： ； sin :-=2(2) 輔助角公式1 -cos2：21 cos 2：；cos a =。三角公式的逆用等。(2)a sin x b cosx 二.a2 b2 sin x :,其中sin =4三角函數(shù)的求值類型有三類(1) 給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角， 轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；(2) 給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于

22、"變角”:- ,2(二；)(：)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；(3) 給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求 得角。，如5.三角等式的證明(1) 三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右同一等方法，使等 式兩端化“異”為“同”；(2) 三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進 行證明。(四)解三角形1直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在 ABC 中，C= 90°, AB= c, AC= b, BC

23、 = a。a2 + b2= c2。(勾股定理)(1)三邊之間的關(guān)系:C對 邊銳角之間的關(guān)系: 邊角之間的關(guān)系:A + B= 90°；(銳角三角函數(shù)定義)ab 丄 八 asin A = cosB=, cosA = si nB=, tanA =ccb2.斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在 ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，(1)三角形內(nèi)角和：A+ B+ C = n。(2)(3)b、c分別表示A、B、C的對邊。11J = 2R。sin A sin B sinC(2)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等。即:(R為外接圓半徑)(3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他

24、兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。 a2= b2+ c2 2bccosA； b2= c2 + a2 2cacosB; c2= a2 + b2 2abcosC。3三角形的面積公式：(1)=(2)=111 一 亠 aha=bhb= chc (ha、hb、he分別表示 a、b、c上的咼)；2 2 2111absinC= bcsinA = acsinB;( 3)222(4)=22R sinAsinBsinC。( R為外接圓半徑)2 2a sinBsinC b sinCsinA = =si n(B C)2s in(C A)abc(5)A=-；4R2c sin Asin B .;2si n(A B)(6)=.s(s -a)(s-b)(s -c);1s (a b c)；2(7)= r s求其他未知元4解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個內(nèi)角)中的三個元素(其中至少有一個是邊)素的問題叫做解三角形廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外 接圓半徑、面積等等解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角 三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。解斜三角形的主要依據(jù)是:設(shè)厶ABC的三邊為a、b、c,對應(yīng)的三個角為 A、B、C。(1) 角與角關(guān)系：A+B+C = n