實變函數(shù)與泛函分析教學大綱

1、實變函數(shù)與泛函分析-教學大綱實變函數(shù)與泛函分析教學大綱Functions of Real Variables and Functional Ana lysis一、基本信息適用專業(yè)：信息技術(shù)專業(yè)課程編號：教學時數(shù)：72學時學 分：4課程性質(zhì)：專業(yè)核心課開課系部：數(shù)學與計算機科學院使用教材：實變函數(shù)論與泛函分析（上、下冊）第2版曹廣福,高等教育出版社參考書1夏道行實變函數(shù)論與泛函分析（上、下冊）第2版修訂本.高等教育出版社；2 W. Rudin, Real and Complex Analysis, 3rd Edition ;3 W. Rudin , Functional Analysis, 3r

2、d Edition ;周民強實變函數(shù)論第2版.北京大學出版社.二、課程介紹實變函數(shù)與泛函分析以掌握Lebesgue測 度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach 空間的基本知識，培養(yǎng)學生從幾何、拓撲上來認 識抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來研究、解 決實際問題的能力。三、考試形式考試課程，考試成績由平時成績和期末考試組成，平時作業(yè)占百分之二十， 期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點考察學生的解題能力和基礎(chǔ)理論。四、課程教學內(nèi)容及課時分配第一章集合與點集 要求1、掌握集合的勢，可數(shù)集2、熟悉歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原主要內(nèi)容集合的勢，可數(shù)集,歐氏空間上的拓

3、撲,Canchy收斂原理重點集合的勢，可數(shù)集課時安排（4學時）1、集合的勢，可數(shù)集 2學時2、歐氏空間上的拓撲，Cauchy收斂原理2學時第二章Lebesgue測度 要求1、熟練掌握外測度、可測集以及它們的性 質(zhì)2、掌握可測函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負可測函 數(shù)的構(gòu)造3、熟練掌握可測函數(shù)的收斂性 主要內(nèi)容：Lebesgue外測度，可測集（類），可測 函數(shù)及其性質(zhì)，可測函數(shù)的收斂性 重點外測度、可測集以及它們的性質(zhì)、可測函數(shù) 的收斂性課時安排（12學時）1、外測度、可測集以及它們的性質(zhì)4學時2、可測函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負可測函數(shù)的構(gòu)造 4學時3、可測函數(shù)的收斂性4學時第三章 Lebesgue積分要求:

4、1、熟練掌握可測函數(shù)的積分及性質(zhì)2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件、3、弄清重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理 主要內(nèi)容：可測函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極 限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累 次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理重點可測函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的 極限定理課時安排：（16學時）1、可測函數(shù)的積分及性質(zhì)6學時2、Lebesgue積分基本定理,Fatou引理,Riemann可積的充要條件6學時3、重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理 4學時第四章Lp空間 要求：1、熟練掌

5、握空間的范數(shù)、完備性、收斂 性、可分性2、熟悉“空間的內(nèi)積，標準正交基3、了解卷積與Fourier變換 主要內(nèi)容：空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性， 空間的內(nèi)積，標準正交基，卷積與Fourier變換 重點空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性 課時安排（io學時）1、”空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可 分性 4學時2、空間的內(nèi)積，標準正交基，正交化方法 4學時3、卷積與Fourier變換 2學時第五章Hilbert空間理論 要求：1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義,Riesz表示定理2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性3、熟悉共粗算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜主要內(nèi)容:距離

6、空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線 性算子的有界性和連續(xù)性,共輾算子、投影算子, 緊算子性質(zhì)及其譜。課時安排（16學時）1、距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理4學時2、Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性 6學時3、共輾算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜6學時第六章Banach空間理論要求：1、掌握Banach空間的定義，模等價，有界 線性算子2、熟悉開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理;、熟悉連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach 定理4、弄清弱收斂、弱收斂，弱列緊、弱*列 緊性主要內(nèi)容：范數(shù)、Banach空間的定義，模等價，有界 線性算子，開映象定

7、理，逆函數(shù)定理，閉圖像定 理，共鳴定理，Hahn-Banach定理，弱收斂、弱 *收斂，弱列緊、弱*列緊性重點Banach空間的定義、模等價、有界線性算 子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱*收斂課時安排（14學時）1、Banach空間的定義，模等價，有界線性算子4學時2、開映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理 6學時3、連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach4學時實變函數(shù)與泛函分析考試大綱院 系：數(shù)學與計算機科學學院課程名稱：實變函數(shù)與泛函分析（第二學期）使用專業(yè)：數(shù)學與信息科學專業(yè)學 時：72其中，理論學時：72 實踐學時：0學 分：4一、設課目的：實變函數(shù)與

8、泛函分析以掌握Lebesgue測度空間,Lebesgue積分,Hilbert 空間和Banach空間的基本知識，培養(yǎng)學生從幾何、拓撲上來認識抽象函數(shù)空間, 以抽象空間為工具來研究、解決實際問題的能力.二、課程教學內(nèi)容和教學目標：通過本門課程的教學，使學生了解函數(shù)理論的基本體系，理解實變函數(shù)的基 本概念、基本原理，使學生較好的掌握集合論基礎(chǔ)、Lebesgue測度與Lebesgue 積分、線性賦范空間與Hilbert空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定 程度上掌握集合的分析方法，為進一步學習分析數(shù)學中的一些專門理論，如函 數(shù)論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調(diào)和分析等提供必要的測度和積分 論

9、基礎(chǔ)，為從事中學數(shù)學教育提供知識儲備.三、課程考核的基本形式、內(nèi)容和要求：本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試（一）形成性考核形成性考核部分分為：平時考勤（占20%）、作業(yè)（占70%）、課堂提問情況 （占10%）這三個部分。要求隨時檢查學生考勤，批改作業(yè)，敦促學生邊學邊做。學生應按時完成各階段的平時作業(yè)。對于抄襲作業(yè)的或不按時完成的應給 予說服教育，嚴重者應給予扣分處理。（二）課程期末考試期末考試采用筆試閉卷形式?？荚嚸}由教研室集體討論，任課教師可參 與命題。本課程期末考試的命題依據(jù)是專業(yè)教學計劃、課程教學大綱以及使用 教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關(guān)知識內(nèi)容及練習，其中重點

10、內(nèi)容為： 集合的勢，可數(shù)集；外測度、可測集以及它們的性質(zhì)、可測函數(shù)的收斂性；可 測函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理；”空間的范數(shù)、完備性、收 斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和 連續(xù)性，共枕算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜；Banach空間的定義、模等 價、有界線性算子、開映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：本課程的平時作業(yè)由任課教師根據(jù)學生完成情況進行批閱、評分。課程期 末考試教研室統(tǒng)一組織，以集體流水作業(yè)的方式進行批閱。根據(jù)班級學生的學 習情況形成性考核成績可占總成績的30%,期末考試成績可占總成績的70%。五、教材1夏道行實變函數(shù)論