2012_2018全國卷圓錐曲線(理科)

1、2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(理科)1. (2012年全國高考新課標(biāo)I卷理科第20題)設(shè)拋物線C:x 4. (2015年全國高考新課標(biāo)I卷理科第 20題)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C : y 4與直線 y kx a(a 0)交于M , N兩點(diǎn).(I )當(dāng)k 0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(II) y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有 OPM OPN ?說明理由. 2py(p 0)的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線 為l, A C.已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B, D兩點(diǎn).(I )若 BFD 90 , ABD的面積為4版 ,求p的值及圓F的方程.(H)若A, B,F三點(diǎn)在同一直線

2、m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求 坐標(biāo)原點(diǎn)到m , n距離的比值.2. (2013全國高考新課標(biāo)I卷理科第20題)已知圓M:(x 1)2 y2 1 ,圓N :(x 1)2 y2 9 ,動(dòng)圓P與M外切并且與圓N切，圓心P的軌跡為曲線C .(I )求C的方程；(H)l是與圓P,圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí), 求| AB|.2 yW 1(a b 0) b23. (2014年全國高考新課標(biāo)I卷理科第 20題)已知點(diǎn)A(0, 2),橢圓E :3a的離心率為？F是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為當(dāng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).(I )求E的方程；(II)設(shè)過點(diǎn)A的直線l

3、與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.5. （2016年全國高考新課標(biāo)I卷理科第 20題）（本小題滿分12分）設(shè)圓x2 y2 2x 15 0的圓心為A,直線l過點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E .證明|EA |EB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線Ci,直線l交Ci于M,N兩點(diǎn)，過B且與 l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的 取值圍.6. （2017年全國高考I卷理科第20題）（本小題滿分12分）已知橢圓C2y2=1 (a>b>0),四 b23、,點(diǎn) P1 (1,1),

4、P2 (0,1), P3 ( - J, - ), P4 (12中恰有三點(diǎn)在橢圓 C上.2（1）求C的方程;（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn)。若直線 P2A與直線P2B的斜率的和為-證明：l7. （2018年全國高考I卷理科第19題）庫小題滿分12分）設(shè)橢圓C 十./=1的右焦點(diǎn)為F ,過 齊的直線1與C交于A ,出兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2, 0） .當(dāng)，與工軸垂直時(shí)，求直線 AAi的方程；設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： / OMA=/ OMB .2012-2018全國卷圓錐曲線解答題(參考答案)1. (2012年全國高考新課標(biāo)I卷理科第20題)設(shè)拋物線C:x2 2py(p 0)的焦點(diǎn)為F

5、 ,準(zhǔn)線 為l, A C.已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B, D兩點(diǎn).(I )若 BFD 90 , ABD的面積為4版,求p的值及圓F的方程.(H)若A, B,F三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求 坐標(biāo)原點(diǎn)到m , n距離的比值.【解析】(I)由對稱性知 BFD是等腰直角三角形，斜邊|BD| 2p,點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d|FA| |FB| 缶,1由 S ABD 2 |BD| d圓F的方程為x2 (y0),則 F(0,-p).2(n)由對稱性設(shè)a(xo , x-) (xo2p由點(diǎn)A, B關(guān)于點(diǎn)F對稱得B(Xo , p2也)，從而p2p2 Xo 2p旦所以23P

6、_p因此 A(V3p,3p),直線 m: y 22 x2,3p3p p 0 .2又 x2 2 py yx2,求導(dǎo)得y' 2p又直線n: y -613(X泰0,故坐標(biāo)原點(diǎn)到直線m,n距離的比值為3.3pWp_2<3【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，涉及到簡單的面積和點(diǎn)到直 線的距離等基本計(jì)算問題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力.2. (2013全國高考新課標(biāo)I卷理科第20題)已知圓M:(x 1)2 y2 1 ,圓N :(x 1)2 y2 9 ,動(dòng)圓P與M外切并且與圓N切，圓心P的軌跡為曲線C .(I )求C的方程；(H ) l是與圓P ,圓M都相切的一條直線，l

7、與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長時(shí),求 | AB |.【解析】由已知得圓M的圓心為M( 1,0),半徑n 1 ,圓N的圓心為N(1,0),半徑r2 3.設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(x,y),半徑為R .(I )因?yàn)閳AP與圓M外切且與圓N切，所以 |PM| | PN | (R ri) (r2 R) n 2 4,且 4 |MN|.由橢圓的定義可知，曲線C是以M , N為左，右焦點(diǎn)，長半軸長為2 ,短半軸長為/3的橢圓(左頂點(diǎn)除外),22其方程為土 L i(x 2).43(H)對于曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),由于|PM| |PN | 2R 2 2 ,所以R 2.當(dāng)且僅當(dāng)圓P的圓心為(2,0)時(shí)，R

8、 2 .當(dāng)圓P的半徑最長時(shí)，其方程為(x 2)2 y2_22 當(dāng)k”時(shí)，將y x V2RA上1(x2) 443整理得 7x2 8x 8 0.(*)8設(shè) A(x1，y1)，B%, y?),則 x1，x?是(*)方程的兩根.所以 x x?7, x也| AB | /k2|x1x2|v1k7(x1x)24%x23 .t12 r 八當(dāng)k 時(shí)，由對稱性知4 4.當(dāng)l的傾斜角為90時(shí)，l與y軸重合，可得|AB| 273 .當(dāng)l的傾斜角不為90時(shí)，由ri R知l不平行x軸.設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q ,則叵！ R,可求得Q(4,0), |QM | ri18 |AB|綜上，|AB| 2、一3 或 |AB|187設(shè)l:

9、y k(x 4),由l與圓M相切得善匚1,解得k . J k24【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、圓、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解 能力和方程思想.23. (2014年全國圖考新課標(biāo)I卷理科第 20題)已知點(diǎn)A(0, 2),橢圓E : 丁 a1 1(a b 0) b2的離心率為 立，F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn)，直線AF的斜率為亞，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 23(I )求E的方程；(n)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.【解析】(I )設(shè)F c,0 ,由條件知2 次3 ,得c V3.c 3c3 2 4.4k2 32-1 k 1+4kk2 1c又c火，所以a 2 ,

10、b2 a2 c2 1 ,故E的方程y2 1 .a 24(n)由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k,方程為y kx 2,2x 21聯(lián)立直線與橢圓方程：了 y 1,化簡得：(1 4k2)x2 16kx 12 0.y kx 222316(4k3) 0 , k -.416k12設(shè) P(x1，y1)，Q(x2, y2),貝 1 x x> 2 , x x2 2，1 4k1 4k22 4,4k2 3PQ = V1 k x1 x2 =V1 k 1+4k2且坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為d -J=.因止匕S OPQ1+4k2令 t J4k2 3(t 0),貝U SOPQ4tt2 44"&qu

11、ot;4 ,t tt0.k2 14 ，一 . ，4, t 4 4,當(dāng)且僅當(dāng)t 即t 2時(shí)，等號成立，. Sopq 1 .故當(dāng)t 2,即，4k2 3 2, k ，時(shí) OPQ的面積最大.此時(shí)，直線l的方程為y227x 2.【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、橢圓、函數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、 運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識和方程思想.4 (2015年全國高考新課標(biāo)I卷理科第 20題)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C : y 上與直線4y kx a(a 0)交于M , N兩點(diǎn).(I )當(dāng)k 0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(II) y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有 OPM OPN ?說明

12、理由.【解析】(I)由題設(shè)可得M(2后a),N( 2內(nèi)e)或M( 2后且)小(2西田).x - x2 .又y = 5，故y 1在x 2內(nèi)處的導(dǎo)數(shù)值為ja.在點(diǎn)(2所,a)處的切線方程為y a Va(x 2后)，即Tax y a 0 .2y上在x24處的導(dǎo)數(shù)值為品.4在點(diǎn)(2點(diǎn),a)處的切線方程為y aVa(x 2Ta),即、隔 y a 0 .故所求切線方程為后x y a 0和JOx y a 0.(H)存在符合題意的點(diǎn)P.證明如下：設(shè)P(0,b)為符合題意的點(diǎn)，M(xi,yi), N(x2,y2),直線PM , PN的斜率分別為ki,k2.將y kx a代入C的方程，消去y整理得x2 4kx 4

13、a 0 , 則xi,x2是該方程的兩根.2kxix2 (a b)(xi x2) k(a b)*xix2a,則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ),故 x1 x2 4k,x1x24a.yi b y2 bzAHu ki 先 xix2當(dāng)b a時(shí)，有ki k2 0故 OPM OPN .所以點(diǎn)P(0, a)符合題意.【考點(diǎn)分析】本小題主要考查直線、拋物線和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查推理論證 能力、運(yùn)算求解能力和方程思想.5. （2016年全國高考新課標(biāo)I卷理科第 20題）（本小題滿分12分）設(shè)圓x2 y2 2x 15圓心為A,直線l過點(diǎn)B（0,1）且與x軸不重合，l交圓A于C,D兩點(diǎn)，過B作AC的

14、平行線交AD于點(diǎn)E .證明EAEB為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程;（II）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線Ci,直線l交Ci于M,N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P,Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的x取值圍.【解析】因?yàn)锳DAC故 EBD ACDADC 所以EBEDEAEBEAEDAD又圓A標(biāo)準(zhǔn)方程為16,從而AD4,所以|EAEB由題設(shè)得A 1,0 ,B 1,0由橢圓的定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為(y0)；(II)（法一）當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)X1, y1,N X2, y2y k x 1x2y2 得 4k2 322x 8k x4k2120.所以過點(diǎn)X2MN8k24k2 3J k2X1gX2xx24k2 12

15、4k2 312 k2 124k2 34yBMN. xO_ _ 1B 1,0且與l垂直的直線m: y - x 1 k2A到m的距離為/.41 k2 '所以PQ 2J4222.1 k24 4k2 3 k2 1故四邊形MPNQ的面積為S-|MN | PQ121 4k1 3當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ的面積的取值圍為12,873當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，具方程為MN3,PQ四邊形MPNQ的面積12.綜上，四邊形MPNQ的面積的取值圍為12,873 .22(法二)C1:亍占1;設(shè) l : x my1,因?yàn)镻Q± l ,設(shè)PQ : y聯(lián)立l與橢圓Cix2 x4my2 y31得3m216my

16、 90；m2 36 3m2 43m2 4212 m2 13m2 4，1 m2 |yM2則 |MN |yN I2 x已知橢圓C： x- a【考點(diǎn)分析】主要考查直線與圓的位置關(guān)系、橢圓的定義、韋達(dá)定理、弦長公式等解析 幾何常用知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和方程思想.j=1 (a>b>0),四點(diǎn) P1 (1,1), P2 (0,1), P3 ( - 1 ), P4 (1,)中恰有b222三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A, B兩點(diǎn)。若直線 P2A與直線P2B的斜率的和為-證明：l 過定點(diǎn).【考點(diǎn)】：圓錐曲線?！舅悸贰浚?1)根據(jù)橢圓的對稱性

17、可以排除P1 (1,1)。(2)聯(lián)立方程即可，此時(shí)有兩種方法聯(lián)立，第一種,假設(shè)直線AB的方程，第二種假設(shè)直線P2A和P2B?！窘馕觥浚?1)根據(jù)橢圓對稱性可得，P1 (1,1) P4 (1,)不可能同時(shí)在橢圓上,2P3 ( - 1費(fèi)),P4(1,費(fèi))22定同時(shí)在橢圓上,因此可得橢圓經(jīng)過P2 (0,1), P3一,巴2P4 (1，與2代入橢圓方程可得:1b 1, 2a2,故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:(2)由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在,不妨設(shè)直線P2A 為:y kx 1 ,P2B 為:1 k x 1 .聯(lián)立kx8k4k2 11 4k24k2 1224k 1 x8kx0，假設(shè) A x1, y1 , Bx2, y2此時(shí)可得:,B4k214 1k2-,此時(shí)可求得直線的斜率為:1kABy2X2y14 1 k 18nk4k21八一/口,化簡可得8k 4k2 1AB1一2 ,此時(shí)滿足2k當(dāng)k1 i一時(shí), 2AB兩點(diǎn)重合,不合題意。x 2時(shí),19.答案(1) y解答:直線方程為:22k8k4k2 11 4k2 日02一，即 y4k 1.2.,4k 4k 1 x 當(dāng)2，口1 2k1,因此直線恒過定點(diǎn)(x 2) ; (2)略.2(1)如圖所示，將x2, 1