2018高考復(fù)習(xí)極坐標(biāo)與參數(shù)方程-導(dǎo)學(xué)案(教師版)

1、精品資料極坐標(biāo)與參數(shù)方程環(huán)節(jié)1明晰高考要求高考對極坐標(biāo)與參數(shù)方程考查主要突出其工具性的作用，突出極坐標(biāo)以及參數(shù)方程的幾何用法，考查學(xué)生能根據(jù)實際問題的幾何背景選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題的能力，命題考查形式以極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，參數(shù)方程的消參以及極坐標(biāo)的幾何意義與參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用。主要考查四類題型：極坐標(biāo)系中，極坐標(biāo)的幾何意義的應(yīng)用真題示例題1 （2017年全國n）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為：:cos1 - 4.（1） M為曲線Ci上的動點，點P在線段OM上,且滿足|OM OP =16，求點P的軌跡C2的直角坐

2、標(biāo)方程； （冗）（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為.2, |,點B在曲線C2上,求&OAB面積的最大值. ,3【解析】設(shè) M （P。,% ）,P（P,日），則 |OM| = P0,OP =P,依題意 PP。=16, PoCOS，= 4p =備，22解得4 4 4cos 9 ,化為直角坐標(biāo)系萬程為（x2） + y =4（x=0）.常規(guī)方法：曲線 C1 ：x=4，設(shè) P（x, y ）, M （4,t），則 tx =4y且 Jx2 + y2 Jt2 +16 =16 ,將x2 +y2 =4x（ x #0）,即點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程為（x-2）2 + y2=4（x=0）.（2）連接AC?,易知AAOC

3、2為正三角形，OA為定值.所以當(dāng)邊AO上的高最大時，SzxAOb面積最大，如圖，過圓心C2作AO垂線，交AO于H點，交圓C于B點，此時SSJmax=-AO HB1,=一 AO HC + BC 2另 解:設(shè) B（P,日）（P>0）,由題意知 OA=2,P=4cosB,所以&OAB的面積S =1r .c 一OA，Psin/AOB =4cos日 sin 日一一) AOB3JT=2 sin . 2a -一 II 3 J<2+73，當(dāng)8 =點時，S取得最大值2+J3,所以&OAB面積的最大值為2 + 73 .題2 （2015年課標(biāo)n文理）選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程x =t

4、cos：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：4，(1是參數(shù)，1=0),其中0 Mo( <兀，在以O(shè)為極點，*軸正半軸為極軸y =tsin ;的極坐標(biāo)系中，曲線 C2： P=2sin e ,C3： P=2j3cose .(I )求C2與C3的交點的直角坐標(biāo);(n )若Ci與C2相交于點A,G與C3相交于點B，求AB的最大值.(I )曲線C2的直角坐標(biāo)方程為 x2 +y2 2y =0,曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2 + y2 2 J3x = 0 .聯(lián)立二22x y -2y =0l x2 y -2 3x = 0x = 0，解得 < 或y 二。.3x 二一23y =一2 1點3)所以C2與C3的

5、交點的直角坐標(biāo)為0,0)和 ,-.I2 2J(n )曲線Ci的極坐標(biāo)方程為日=u ( Pw R , P 00),其中0Wa . 因為A的極坐標(biāo)為(2sinct,ct ),B的極坐標(biāo)為(2j3cosu,a ),55n所以AB = 2sinu 2，3coss =4sinlu L當(dāng)口=時，AB取得最大值，且最大值為4.I 3/6直角坐標(biāo)系中，曲線參數(shù)方程的直接應(yīng)用真題示例x = 3cos1,題1 (2017年全國I)在直角坐標(biāo)系 xOy中，曲線C的參數(shù)方程為 ,(日為參數(shù)，直線l的參數(shù)方程為y = sini,lx =a 4t,y =1 -t,(t為參數(shù)).(i)若a = 1，求C與l的交點坐標(biāo)；(2

6、)若C上的點到l的距離的最大值為 后，求a. 2 x 9【解析】(l)a = 1時，直線l的方程為x+4y3=0，曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是 一 + y2=1,9聯(lián)立方程x 4y-3 =0x228 y =1x =3，解得 < 或y = 021x =- 一2524y 二一25，則C與l交點坐標(biāo)是(3,0)和_2j 24.25,25(2)直線l 一般式方程是x+4y 4a=0,設(shè)曲線C上點P(3cos6,sin9 ),3cos 8 +4sin ° -4 一a.175sin i口）i a . 4. 173，其中tan平=-4當(dāng) a+4 之0即 a 之 乂時，dmax =二9 = JT7,即

7、a+9 =17，解得 a = 8. J7a ：； 1當(dāng) a 十4<0即 a<S時，dmax =<17,解得 a = 16.<17綜上，a = 16或 a =8.x - -8 t題2 (2017年江蘇)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,已知直線l的參考方程為t t(t為參數(shù)，曲線C的參數(shù)方程為2x =2sLy =2 ,2sy = 2(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動點，求點P到直線l的距離的最小值【解析】直線l的普通方程為x2y+8 = 0，因為P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2j2s),故點P到直線l的距離d =2s2 -4底+812 +(-2 2，當(dāng) S = J2 時，dm.4.

8、5因此當(dāng)P的坐標(biāo)為(4,4 )時，曲線C上的點P到直線l的距離取得最小值4.55 直角坐標(biāo)系中，直線參數(shù)方程的參數(shù)t幾何意義的應(yīng)用真題示例題1【2018全國二卷22】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x = 2cos 0,：y=4sin。(°為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為! x =1 +t cos a ,、=2 +tsin a(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.22(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為人+匕=1.416當(dāng)cos豆00時，l的直角坐標(biāo)方程為 y=tana x +2 -tan« ,當(dāng)cos豆=0

9、時，l的直角坐標(biāo)方程為 x =1 .(2)將l的參數(shù)方程代入 C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程2 _2_.(1 +3cos2a)t2 +4(2cosa +sina)t-8 = 0 .因為曲線C截直線l所得線段的中點（1,2）在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為ti, t2 ,則ti+t2 = 0 .又由得ti匹=-4（2。0丁 ,故2COSa十加口 =0 , 1 3cos 二于是直線1的斜率k=tan" = -2廿一-x = cosfl,l題212018全國三卷22】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，。0的參數(shù)方程為W（ 9為參數(shù)），過點（0, -J2 ）且y =sin 1傾斜角為a的直線1與OO

10、交于A, B兩點.（1）求0（的取值范圍；（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.（1） O的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1.n當(dāng) = 一時1與|_O交于兩點.2當(dāng)口 # 2時記tana = k，則1的方程為y=kx J2. 1與|_0交 2兩點當(dāng)且僅當(dāng)'!號|<1,解得k<-11k2ti 3n(”于是 tA +tB =2V2sina ,tP=J2sina .又點P的坐標(biāo)x = tP cos，(x, y)滿足？ 廠y - -2 tP sin 二.n it或 k>1 ,即 aw(,一)或 aw 4 2n 3n綜上，口的取值范圍是（I）.4 4x=tcos：,二；二（2） 1的

11、參數(shù)方程為« 廠（t為參數(shù)，一<口 <）.y = -、2 tsin 二44ttR一設(shè) A, B, P 對應(yīng)的參數(shù)分別為 tA, tB, tP,則 tP="一B，且 tA, tB 滿足 t22j2tsina+1 = 0.2所以點P的軌跡的參數(shù)方程是ji3冗W <一、44)五x = sin 2a ,2廠廠.22y = - - - cos2"22儼為參數(shù), 通過互化或消參呈現(xiàn)幾何背景，利用相關(guān)的幾何法解決真題示例題5【2018全國一卷22】在直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C1的方程為y=k岡+ 2.以坐標(biāo)原點為極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極

12、坐標(biāo)方程為:2 2 7cos1-3=0(1)求C2的直角坐標(biāo)方程;(2)若Ci與C2有且僅有三個公共點，求 Ci的方程.(1)由X = Pcos8 , y = Psin日得C2的直角坐標(biāo)方程為(x +1)2+y2 = 4 .(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0),半徑為2的圓.由題設(shè)知，G是過點b(o,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.記 y軸右邊的射線為11, y軸左邊的射線為12 .由 于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于11與C2只有一個公共點且12與C2有兩個公共點，或12與C2只有一個公共點且11與C2有兩個公共點.Ik 21c4當(dāng)11與C2只有一個公共點時，A到1

13、1所在直線的距離為 2,所以r2 =2 故卜=一或k = 0.k2 134經(jīng)檢驗，當(dāng)k=0時，11與C2沒有公共點；當(dāng)k=-時，11與C2只有一個公共點，12與C2有兩個公共點.3|k 2|4當(dāng)12與C2只有一個公共點時，A到12所在直線白距離為2,所以r2=2,故卜=0或卜=一.,k2 134經(jīng)檢驗，當(dāng)k=0時，11與C2沒有公共點；當(dāng)k=一時，12與C2沒有公共點.3一 一，、，4綜上，所求C1的方程為y = | x|七.3工_2 t-題6 (2017年深圳二模)已知直線1的參數(shù)方程是jX=Tt(t是參數(shù))，圓C的極坐標(biāo)方程為P = 2cos(0 +-).y =-t +4v?J 2(1)求

14、圓心C的直角坐標(biāo)；(2)由直線1上的點向圓C引切線，求切線長的最小值.解析：(I) ; P =2 cos日一42 sin 日，（2分）二 P2 = <2 Pcos6 J2Psin8二圓C的直角坐標(biāo)方程為X2十y2 J2x+T2y=0, （ 3分）即（x 等）2十（y十等）2 =1 ,二圓心直角坐標(biāo)為（等，-壬. （ 5分）（II）方法1:直線l上的點向圓C引切線長是j（爭爭2 +（爭 +2 +4頁）2 -1 =Jt2 +8t +40 =（t +4）2 +24 2 266 ,（8 分），直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是 2，6 （ 10分）方法2 ：二直線l的普通方程為xy+4j，=

15、0, （ 8分）| 4 2 |圓心C到直線l距離是12=5 ,2，直線l上的點向圓C引的切線長的最小值是 <52 -12 =276環(huán)節(jié)2問題自主解決1回歸教材題組1人教A版選修4-4 P12課本習(xí)題編選：題1在極坐標(biāo)系中，（4二）,（4,空）,（4,竺）,（4,-/）表示的點有什么關(guān)系？你是如何刻畫這些點的 6666位置的？2 二二.3題2已知點的極坐標(biāo)分別為（3,一）,（2, ）,（4,一）,（四,陰，求它們的直角坐標(biāo) 4322題3已知點的直角坐標(biāo)分別為（3, J3）,（0, -，5）,（7,0）,（ 2, -2石），求它們的極坐標(biāo) 32問題自主探索： 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的區(qū)別與聯(lián)系

16、是什么？ 極坐標(biāo)的幾何意義是什么?題組2人教A版選修4-4 P15課本習(xí)題編選:題1說明下列極坐標(biāo)方程表示什么曲線？(1) P=5 (2) 9 = ( Ps R) (3) P=2sinH (4) Psin(6 -)=1 624(5) Psin2 =cos 日 (6) P2 cos 26=4題2將下列直角坐標(biāo)方程化成極坐標(biāo)方程22(1) x=4(2)2x+3y-2=0(3)(x-1)2+(y -73)2= 4(4)+-y- = 148題3在極坐標(biāo)系中，求適合下列條件的曲線的極坐標(biāo)方程(1)過極點，傾斜角是|的直線(2)圓心在(1,：),半徑為1的圓JT, -JT(3)過點(2=)，且和極軸垂直的

17、直線(4)過點(V2,-),且與2x + 3y-2 = 0垂直的直線34題4設(shè)點P的極坐標(biāo)為(4,斗),直線l過點P且與極軸所成的角為口 ,求直線l的極坐標(biāo)方程題5已知橢圓的中心為O,長軸、短軸的長分別2a,2b(a>b>0) , A, B分別為橢圓上的兩點，并且OA_LOB,求證:OA二為定值OB問題自主探索： 實現(xiàn)曲線極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的橋梁是什么？ 求解曲線極坐標(biāo)方程，你是怎么處理的？它跟直角坐標(biāo)求點軌跡方程的思路一樣嗎? 極坐標(biāo)的幾何意義是如何應(yīng)用的？題組3人教A版選修4-4 P25-34 課本例題編選題1把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線x =

18、 t 1(1) <L (t為參數(shù))y =1 -2 ,t(2)x = sin 二 cosu y =1 sin2i(8為參數(shù))題2把下列普通方程化為參數(shù)方程，并說明它們各表示什么曲線22(1) (x -1)2+(y -2)2 =4(2) +=116922題3在橢圓黃勺=1上求一點M，使點M到x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離22題3 (選講)已知橢圓 與+與=1上任意一點M (除短軸兩端點外)與短軸兩端點 B1,B2的連線分別 a b與x軸交于P,Q兩點，O為橢圓的中心，求證：OPOQ為定值問題自主探索： 用參數(shù)表達(dá)曲線的普通方程，意義何在？通過消參得到普通方程需要注意什么？常見圓

19、錐曲線的參數(shù)方程怎么表達(dá)？ 比較用圓錐曲線參數(shù)方程與幾何通法解決問題，優(yōu)劣勢在哪里？題組4人教A版選修4-4 P36-37 課本例1例2題1已知直線l : x+y -1 =0與拋物線y = x2交于A, B兩點，求線段AB的長和點M (-1,2)到A, B兩點 的距離之積。22題2經(jīng)過點M (2,1)作直線l,與交橢圓 巳+工=1于a,b兩點，如果M恰好為線段AB的中點，求直線 164l的方程問題自主探索： 直線參數(shù)方程如何求解？標(biāo)準(zhǔn)的直線參數(shù)方程指的是什么？ 參數(shù)t的幾何意義是什么？怎么證明？是不是所有直線參數(shù)方程 t都具備幾何意義? 參數(shù)t的幾何意義如何應(yīng)用? 比較用直線參數(shù)方程與幾何通法

20、解決問題，優(yōu)劣勢在哪里?2局考真題精編x = 2 t題1 （2017年全國出）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線li的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,直線12的參數(shù)方程為y-ktx - -2 mmy二（m為參數(shù)），設(shè)li與12的交點為P,當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3： P（cose+sin8 ）-J2 = 0,M為l3與C的交點，求M的極徑.1【解析】（1）將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為一般方程，得11 ： y = k x 212 ： y = x + 2k父消k可得x2 -y2 =4,即P的軌跡方程為x2 -y2 =4 .將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為

21、一般方程13：x+y J2 = 0聯(lián)立!x+y 一乏=0,消去y得2怎=6，解得x=32，所以M的坐標(biāo)為辿火,lx2 -y2 =42I 22 J所以 P=J32 j + 1 -2y =>/5,即乂 的極徑為 J5.冗題2已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為p2cos2 8=8,曲線C2的極坐標(biāo)方程為§十，曲線Ck C2相交0于A、B兩點.（pE）（I ）求A、B兩點的極坐標(biāo);(H)曲線C1與直線（t為參數(shù)）分別相交于M, N兩點，求線段MN的長度.f p 2COS2e3【解答】解：（I）由g工 得：R 2g吃二8,.p 2=16,即p =乜.A、B兩點的極坐標(biāo)為：A（4,3）.B（T,二

22、）或B14, 工）. 666（n ）由曲線Ci的極坐標(biāo)方程p 2cos2 0 =8化為p2 （cos2 0 sin2 0 ） =8 ,得到普通方程為x2y2=8.卜1+冬將直線 1代入x2y2=8, 1y整理得 t2+27st-14=0 -.|MN|=，（曬）2： 乂 （一=3x =5 t題3.（2015年湖南理）已知直線l : 2（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲y 八31t2線C的極坐標(biāo)方程為 p = 2cos日.（J將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（D）設(shè)點M的直角坐標(biāo)為（5,J3）,直線l與曲線C的交點為A,B,求MA MB的值.【解析】（）P=2

23、cos 日即 P2 =2PcosH ,即 x2 + y2 =2x,所以曲線 C：x2+y22x = 0.3x = 5 t_（D）將直線l ： 2 代入曲線 C中可得t2 + 5J3t+18 = 0，設(shè)這個方程的兩個實數(shù)根分別為ti,t2，則y = : 31t2MA MB =域2 =18.題4選彳4 -4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講 （2016年全國出理）x =、. 3 cos -在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為x（8為參數(shù)，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極y t sin 1軸,建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 Psin (e +,4乜 2、, 2.(I )寫出Ci的普通方程和C2

24、的直角坐標(biāo)方程;(n)設(shè)點P在G上，點Q在C2上,求PQ的最小值及此時 P的直角坐標(biāo).2X 2【解析】()Ci的普通方程為 一+y =1,C2的直角坐標(biāo)方程為x + y4 = 0.3(n )依題意，設(shè)P(V3cosa,sin a )，因為C2是直線，所以PQ的最小值即為P到C2的距離d的最小值,.3cos,二 sin ” 一4d =.、2金sin當(dāng)且僅當(dāng)a =2kn +-(ke Z )時,d取得最小值 J2,此時P的直角坐標(biāo)為 6環(huán)節(jié)3經(jīng)典考題選講題1在極坐標(biāo)系中，極點為坐標(biāo)原點O ,已知圓C的圓心坐標(biāo)為C 172, - I,半徑為J2 ,直線l的極坐標(biāo)方程為4(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;(2)

25、若圓C和直線l相交于A,B兩點，求線段 AB的長.(1) p = 2V2cos(9-)(2) 764一 x=acos中一.題2在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為3 m (a>b>0,華為參數(shù))，在以。為極點，x軸 y =bsin 中的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓.已知曲線Cl上的點M(1,=)對應(yīng)的JIJI參數(shù)中=一,射線日=一與曲線C2交于點D(1,一).333(I)求曲線C1, C2的方程；(II)若點人出用)，B(P2,8+三)在曲線C1上，求三 十=萬的值.2：- 12: 243.，一，(I)將M (1,)及對應(yīng)的參數(shù)2x

26、=a cos 中 j =bsin中311 = a cos得廠 3V3 , .=bsin 工23所以曲線C1的方程為，'x = 2cos邛，、x22(5為參數(shù))，或+ y =1.y =sin 中4222設(shè)圓C2的半徑為R,由題意，圓C2的方程為P = 2Rcos日，(或(x_R) +y = R ).將點 D(1, ±)代入 P = 2Rcos8 , 3. 豆得 1 =2Rcos ,即 R =1.3一 二 _ ,1 . 3、222(或由D(1q)，得叱2),代入(x-R) +y =R,得RE，所以曲線C2的方程為P =2cos9，或(x1)2 +y2 =1.(II)因為點A(P1

27、,8), B(P2,9 +-)在在曲線C上,2212 cos2 、22221 sin2 u 、22所以 1 sin 1-1, : 2 cos 1-1,44所以=(co£2.sin2)(Q cos2)=5444題3在直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線C: Psin28=2acos”aa 0),已知過點P(-2, Y )的直線l的參數(shù)方程為直線l與曲線C分別交于M ,N(1)寫出曲線C和直線l的普通方程；(2)若|PM|, |MN|, | PN |成等比數(shù)列，求a的值.2(1) y =2ax, y =x -2(2) a =1【解析】(1)對于直線l兩式相減，

28、直接可消去參數(shù)t得到其普通方程，.2 .|2 =|垃2|,借助對于曲線C ,兩邊同乘以P,再利用P2 = x2 + y2 ,x = P cos, y = Psin 8可求得其普通方程.(2)將直線l的參數(shù)方程代入曲線 C的普通方程可知，| PM |PN |二|廿2 |,| MN付t2 -t1 |,V|t2 -t韋達(dá)定理可建立關(guān)于 a的方程，求出a的值.,2x=3t,題4在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為xOy取相2(t為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系y = .5 32同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為P = 2<'5sine .()求圓C

29、的直角坐標(biāo)方程；(。設(shè)圓C與直線l交于點A , B .若點P的坐標(biāo)為(3, 75),求PA +| PB與| PA - PB| . 解：()由 p =2 55 sin。，得 p 2=2 而 p sin 0 ,x2+y2=2 底 y,222- 2所以 x +(y _2M5y+5)=5=x +(y-V5) =5.(小直線的一般方程為x 3 = y J5 u x y +芯3=0,容易知道P在直線上，又32 + (J5 J5)2 a 5 ,所以P在圓外，聯(lián)立圓與直線方程可以得到：A(2,屈-1), B(1, J5 -2),所以|PA|+|PB|=|AB|+21PA尸& + 2<2 = 3/

30、2同理，可得 PA - PB = J2.x = 4cos ;題5在直角坐標(biāo)系中，曲線 C1的參數(shù)方程為(中為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸y=3sin3T 的極坐標(biāo)系中.曲線 C2的極坐標(biāo)方程為Psin(6+-)=5V2.4(I)分別把曲線Ci與C2化成普通方程和直角坐標(biāo)方程；并說明它們分別表示什么曲線.(n)在曲線Ci上求一點Q,使點Q到曲線C2的距離最小，并求出最小距離.R 1_1 4=1.i 11 116 9'#+y-19=表示在k軸和y軸上的截距都是10的直瑞16 9、，一 _22題6 (2015年課標(biāo)I現(xiàn)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1:x = 2,/C2：(x1

31、) +(y2) =1,以坐標(biāo)原點為極點 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(J求Ci,C2的極坐標(biāo)方程；3T 若直線C3的極坐標(biāo)方程為9 =-(R R R ),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求AC2MN的面積.4【解析】()因為x = Pcose , y = Psin日，所以C1的極坐標(biāo)方程為 PcosQ = 2 .C2：x2 , y2-2x-4y 4 =0，對應(yīng)極坐標(biāo)方程為 ；22 P cosi - 4 isin i , 4 = 0 .(n)將 8 =工代入 P2 -2 PcosQ -4Psin 0 +4 = 0，得 P2 3V2P+4 = 0, 4解得R =2應(yīng)，2=拒,故自-2=/,即叫兇=7

32、2,由于C2的半徑為1,所以AC2MN的面積為-.2環(huán)節(jié)4規(guī)律總結(jié)1.2.3.4.環(huán)節(jié)5考題精選精做口 ”上題1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線Ci:餐+子丁一，以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點O為極點,x軸正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系.已知直線 l: p (2cos 0 sin 0 ) =6.(I )試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線Ci的參數(shù)方程;(n)在曲線Ci上求一點巳使點P到直線I的距離最大，并求出此最大值.【解答】解：(I)曲線Ci：設(shè) 0 為參數(shù)，令 x=/3cos 0 , y=2sin 0 ,則曲線Ci的參數(shù)方程為r k=V3cos 8y=2sin 0為參數(shù))；又直線

33、 I: p (2cos 0 sin 0 ) =6,即 2 P cos 0 -p sin 0 6=0,化為直角坐標(biāo)方程是2xy6=0;(n )在曲線 Ci 上求一點 P,設(shè) P (V3cos 9 , 2sin 9 ),則P到直線l的距離為d二|26皿日-2%日間|4848 -61. cos ( 0 +7T)=1,即 P (,1)時,點P到直線l的距離最大，最大值為題2在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為3sinCt（a為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（I ）求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程;（n ）已知直線l上一點M的極坐標(biāo)為（2,

34、8 ）,其中9 E 3,）.射線OM與曲線C交于不同于極點的點N,求|MN|的值.【解答】解：（I ）直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線的普通方程為 什«尸2«, 極坐標(biāo)方程為口心口39+仃口擊口8二2傷.曲線C的普通方程為 d）W，極坐標(biāo)方程為日二26二口5日|（5分）（n ） .點M在直線l上，且點M的極坐標(biāo)為（2, 9 ）.,|2cos 8 +2/in6 =2b,工 JT:射線0M的極坐標(biāo)方程為5P=2乃cos 6解得p =3. |MN|=| p NT)m|=1 .題3在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是宜二”又駐口（ 口為參數(shù)）,以坐標(biāo)原點O為極點，I 產(chǎn) 4

35、+ Ssin 口x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)白彳，L2： 9-y,若11, 12與曲線C分別交于異于原點的A, B兩點，求4AOB的 面積.【解答】解：（1） 曲線C的參數(shù)方程是空一升."（a為參數(shù)），Ly=4-F5sin 口將C的參數(shù)方程化為普通方程為（x3） 2+ （y4） 2=25,即 x2+y2 6x 8y=0 .（2 分）. C的極坐標(biāo)方程為 p =6cos 0 +8sin 0 .（4分）（2）把 代入 p =6cos 9 +8sin 8 ,得 p =4+3近，X蟻4+313，三）（6分）兀把 代入 p =6cos 9 +8sin 8

36、 ,得 p 滬3+4北,B（3+4v3 ，） .（8 分）. S/AOB = ； p p 2sinA0=T"（4+3V3）（S+4V3）sin（-5-） =12+- .（10 分）Z 1ZJ o4題4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為-u=3cosCLjFsi 門口（a為參數(shù)），在以原點為極點，x 兀 L軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線1的極坐標(biāo)方程為P后i口（日一）=歷.（1）求C的普通方程和1的傾斜角;(2)設(shè)點 P (0, 2), 1和 C 交于 A, B 兩點,求 |PA|+|PB|.【解答】解:（1）由廠用口：“消去參數(shù)a,得4+產(chǎn)二12即C的普通方程為5tt由

37、P si n( 6,得 p sin 0 -p cos 0 代入得y=x+2所以直線1的斜率角為卷.(2)由(1)知，點P (0, 2)在直線l上，可設(shè)直線l的參數(shù)方程為TVx=tccs-47T y=2+tsm(t為參數(shù))r V2tr- (t為參數(shù))，產(chǎn)2+冬L金代入并化簡得 5-t2H蚯t+ 27=01A=(182)2-ax5X27=103>C設(shè)A, B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為ti, t2.則 j + tq=所以 t1<0, t2<0所以 |PA| + |PB |二 111 |+11£.題5在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點P (2, 0),其傾斜角為a ,在以原點O為

38、極點，x軸非 負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中(取相同的長度單位)，曲線C的極坐標(biāo)方程為p 4cos 8=0.(I )若直線l與曲線C有公共點，求傾斜角a的取值范圍；(H)設(shè)M (x, y)為曲線C上任意一點，求篁K將型的取值范圍.【解答】解：(I )由曲線C的極坐標(biāo)方程得p 2 4 P cos 0 =0 ,又x= p cos 0 , y= p sin 8 ,曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y24x=0,即(x2) 2+y2=4-(1分)曲線C是圓心為C (2, 0),半徑為2的圓.二.直線l過點P (2, 0),當(dāng)l的斜率不存在時，l的方程為x=2與曲線C沒有公共點，直線l的斜率存在，設(shè)直線l： y=k

39、 (x+2),即kxy+2k=0 .直線l與圓有公共點，則圓心C到直線l的距離dJ0±M<2,Vk2Ha觀，冗），；a的取值范圍是0,冗）6（II）法一：由（I ）曲線C的直角坐標(biāo)方程為（x2） 2+y2=4,故其參數(shù)方程為-z=24-2eos 8:y=2sin 6- M （x, y）為曲線C上任意一點,田正盧+2(：口0 9 -2V3sin6=2+4sin(9 +)22+4sin(0)6因此，9ay的取值范圍是2, 6.題6在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為雷（小為參數(shù)）以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， A, B為C上兩點，且OAJOB,設(shè)射線OA: 8

40、 = a ,其中0V兀Y'（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程;（2）求|OA|?|OB|的最小值.【解劄解：（D曲線C的參數(shù)方程為Lsin0 （ °為參數(shù)）化為直角坐標(biāo)方程為：亍+內(nèi)97再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程為：P 2二1+sin2 8JT _7T（2）根據(jù)題意：射線O的極坐標(biāo)方程為日二口4丁或8二a所以:|OA|二所以：|OA|OB|= p 1 p 2=$>2V(HsinZCI ) (1 + cos2CL ) 1+sin +1+4。營。2當(dāng)且僅當(dāng)sin2 a =cos2 a ,即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為一.43題7已知曲線C的參數(shù)方程為1/c口5cl ，其中a為參數(shù)，且口上二&quo

41、t;，在直角坐標(biāo)系xOy I y=l+sinCT22中，以坐標(biāo)原點。為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)T是曲線C上的一點，直線OT與曲線C截得的弦長為擊，求T點的極坐標(biāo).【解答】解：(1)曲線C的參數(shù)方程為卜：口：5 r ,其中a為參數(shù)，且u E T，；, y=l-bsinCI2/轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為：x2+ (y1) 2=1 (0401).TT所以曲線C的極坐標(biāo)方程為：P =2sin 9 , ( 9 e 0,)(2)由題意知：0T71令倔2口8 ,TT解得：6天,所以：點T的極坐標(biāo)為：(叮，?).題8在平面直角坐標(biāo)系中，以 O為極點，x軸正半軸為極軸

42、建立極坐標(biāo)系，取相同的長度單位，若曲線C1的極坐標(biāo)方程為p sin8=1,曲線C2的參數(shù)方程為卜二2。日曰9 (y=-2+2sin 0(9為參數(shù))，設(shè)P是曲線C1上任一點，Q是曲線C2上任一點.(1)求C1與C2交點的極坐標(biāo)；(2)已知直線l: xy+2=0，點P在曲線C2上，求點P到l的距離的最大值.【解答】解：(1)曲線C1的極坐標(biāo)方程為psin 9=1,轉(zhuǎn)化為C1的直角坐標(biāo)方程為y=1,曲線C2的參數(shù)方程為 一門.口( 0為參數(shù))，轉(zhuǎn)化為C2的普通方程為x2+ (y+2) 2=4 I y=-2+2sm由產(chǎn)T-"+（獷2產(chǎn)二得產(chǎn)方或產(chǎn)飛加-1 加-1又W&V2 +（7）2

43、=2, 營李加（管）,孟二條tan（兀所以Ci與C2的交點極坐標(biāo)為 d）與電，二元） 68（2）圓C2的圓心（0,2）至IJ直線l的距離為d二修二2«,圓半徑為2所以點P到l的距離的最大值為2V2+2.題9在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知曲線 C:2,P ,4l+si n2 6,9 qo,九,直線I：小5-2備ty=t（t是參數(shù)）（1）求出曲線C的參數(shù)方程，及直線I的普通方程;（2） P為曲線C上任意一點，Q為直線I上任意一點，求|PQ|的取值范圍.【解答】解析：（1）曲線C的普通方程為：,二1 （y冷）,曲線C的參數(shù)方程產(chǎn)叩口1日（8為參

44、數(shù)，oqo,冗）y=sin o直線I:=5-2V3t（t是參數(shù)）轉(zhuǎn)化成普通方程為：肝2e¥-5二0,(2)設(shè) P (2cos 9 , sin 8 )P至I直線I的距離d=|2cos 8 4 3V3sin® 一5 |7137T14Bint 6 +-51 = 一V13v9 qo,兀兀廣五 yjrr r兀1r貝u：rT > ib Z+-)-5 | E 1, 7%in- 13，|pqIE1H +8).題10在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 尸1+個（小參數(shù)）以o為極點x軸的非負(fù)尸 in/半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線 kl的極坐標(biāo)方程為P Qi口曰+/3cos 0 ） =3/3.（1）求C的極坐標(biāo)方程;射線OM : 8 = 8 1 （ 8 < 8 1<胃）與圓C的交點為O,巳與直線Ll的交點為Q,求|OP|?|OQ| 士1的范圍.【解答】（1）圓C的參數(shù)方程為f