高中數學函數的圖象及性質修改稿新人教A版必修Word版

1、函數的性質（奇偶性、單調性、周期性、對稱性）“定義域優(yōu)先”的思想是研究函數的前提，在求值域、奇偶性、單調性、周期性、換元時易忽略定義域，所以必須先考慮函數的定義域，離開函數的定義域去研究函數的性質沒有任何意義。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關于原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關系：f(-x)=f(x)為偶函數；f(-x)=-f(x)為奇函數；f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數.（1）若定義域關于原點對稱（2）若定義域不關于原點對稱 非奇非偶 例如：在上不是奇函

2、數常用性質：1是既奇又偶函數； 2奇函數若在處有定義，則必有； 3偶函數滿足； 4奇函數圖象關于原點對稱，偶函數圖象關于y軸對稱；5除外的所有函數的奇偶性滿足：（1）奇函數±奇函數=奇函數 偶函數±偶函數=偶函數 奇函數±偶函數=非奇非偶 （2） 奇函數×奇函數=偶函數 偶函數×偶函數=偶函數 奇函數×偶函數=奇函數6任何函數可以寫成一個奇函數和一個偶函數的和。2. 單調性定義：函數定義域為A，區(qū)間，若對任意且 總有則稱在區(qū)間M上單調遞增 總有則稱在區(qū)間M上單調遞減應用：（一）常用定義法來證明一個函數的單調性一般步驟：（1）設值（2）

3、作差（3）變形（4）定號（5）結論（二） 求函數的單調區(qū)間定義法、圖象法、復合函數法、導數法(以后學)注：常用結論（1） 奇函數在對稱區(qū)間上的單調性相同（2） 偶函數在對稱區(qū)間上的單調性相反（3） 復合函數單調性-同增異減  3. 周期性（1）一般地對于函數，若存在一個不為0的常數T，使得內一切值時總有，那么叫做周期函數，T叫做周期，kT（T的整數倍）也是它的周期（2）如果周期函數在所有周期中存在一個最小正數，就把這個最小正數叫最小正周期。注：常用結論（1）若，則是周期函數，是它的一個周期（自己證明）（2）若定義在R上的函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x =

4、 b成軸對稱 （ab），則y = f (x)是周期函數，且2| ab|是其一個周期。（自己證明）（推論）若定義在R上的偶函數的圖象關于直線對稱，則是周期函數，是它的一個周期 （3）若；則是周期函數，2是它的一個周期4對稱性一、函數自身的對稱性定理1.函數 y = f (x)的圖像關于點A (a ,b)對稱的充要條件是 f (x) + f (2ax) = 2b證明：（必要性）設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點，點P( x ,y)關于點A (a ,b)的對稱點P（2ax，2by）也在y = f (x)圖像上， 2by = f (2ax) 即y + f (2ax)=2b故f

5、 (x) + f (2ax) = 2b，必要性得證。（充分性）設點P(x0,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax0) =2b，即2by0 = f (2ax0) 。 故點P（2ax0，2by0）也在y = f (x) 圖像上，而點P與點P關于點A (a ,b)對稱，充分性得證。推論：函數 y = f (x)的圖像關于原點O對稱的充要條件是f (x) + f (x) = 0定理2. 函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (ax) 即f (x) =

6、f (2ax) （證明留給讀者）推論：函數 y = f (x)的圖像關于y軸對稱的充要條件是f (x) = f (x)定理3函數 y = f (x)的圖像關于直線x = a對稱的充要條件是 f (a +x) = f (ax) 或 f (x) = f (2ax) 定理4.若函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （ab），則y = f (x)是周期函數，且2| ab|是其一個周期。二不同函數對稱性定理5. 函數y = f (a+x)與y = f (bx)的圖像關于直線x = (b-a)/2成軸對稱定理6. 互為反函數的兩個函數關于直線y=x對稱【典

7、型例題】例1 判斷下列函數奇偶性（1）（且）（2）（3）（4）（5）解：（1）且 奇函數（2），關于原點對稱 奇函數    （3），關于原點對稱      既奇又偶（4）考慮特殊情況驗證：   ；     無意義  ；  非奇非偶（5）且，關于原點對稱  為偶函數例2（1），為何值時，為奇函數；（2）為何值時，為偶函數。答案：（1）（恒等定理） 時，奇函數（2）     

8、60;（恒等定理）    鞏固：已知定義域為的函數是奇函數。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；解析：（）簡 解：取特殊值法因為是奇函數，所以=0，即又由f（1）= - f（-1）知（）解法一：由（）知，易知在上為減函數又因是奇函數，從而不等式： 等價于，因為減函數，由上式推得：即對一切有：，從而判別式 例3 求函數的解析式（1）為R上奇函數，時，解：時，   （2）為R上偶函數，時，解：時，  例4 求下列函數的增區(qū)間（1）（2）答案：（1），   （2）作圖  

9、   例5若在區(qū)間，求取值范圍。答案：分類討論（1） 當在區(qū)間，符合題意 當時，要在區(qū)間，則有 例6 ，為偶函數，試比較的大小關系。解： 為偶函數    則函數關于直線x=2對稱 在（0，2）     (提示：看離對稱軸的遠近)例7 為偶函數，若，求取值范圍。解：      例8 求下列函數是否為周期函數（1），滿足（2），滿足（3），滿足（4），滿足答案：（1）令         T=

10、2周期函數（2） T=4周期函數（3）    T=4（4）     T=8 例9 ，偶函數，周期函數，T=2，則             ，求當時，          。答案：  例10 ，偶函數，奇函數，則      。答案：奇偶   &

11、#160;      奇   鞏固例1：定義在R上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ）(A)是偶函數，也是周期函數(B)是偶函數，但不是周期函數 (C)是奇函數，也是周期函數(D)是奇函數，但不是周期函數解：f (10+x)為偶函數，f (10+x) = f (10x).f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。故選(A)例2：設定義域為R的函數

12、y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x1)和g-1(x2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和y = g-1(x2)函數的圖像關于直線y = x對稱，y = g-1(x2) 反函數是y = f(x1)，而y = g-1(x2)的反函數是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有f(51) = 2 + g(5)=2001故f(4) = 2001,應選（C）例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(

13、1x),當1x0時，f (x) = x，則f (8.6 ) = _ 解：f(x)是定義在R上的偶函數x = 0是y = f(x)對稱軸；又f(1+x)= f(1x) x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3例4. 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= f(x),當0x1時，f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5(B)0.5(C) 1.5(D) 1.5解：y = f (x)是定義在R上的奇函數，點（0，0）是其對稱中

14、心； 又f (x+2 )= f (x) = f (x)，即f (1+ x) = f (1x)， 直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數。 f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故選(B)【作業(yè)】1. 兩位學生在思考一個開放題“滿足的點稱為函數的不動點，請你構造一個分段函數，使其具有無數個不動點，這些不動點構成一個公比不為1的等比數列”。兩位學生分別構造了一個函數（）：    請你判斷，正確的結論是（    ）   

15、; A. 都對    B. 對錯    C. 錯對    D. 都錯2. 函數與的圖像關于（    ）A. y軸對稱                         B. 原點對稱C. 直線x=1對稱   &#

16、160;            D. 關于y軸對稱且關于直線x=1對稱3. 若函數在（）上是減函數，則的取值范圍是（    ）    A.     B.     C.     D. 4. 函數在（）上存在，使，則的取值范圍是（    ）    A.

17、    B.     C. 或    D. 5. 若，則它們的大小關系為（    ）A.     B.     C.     D. 6. 如圖所示，點P在邊長為1的正方形的邊上運動，設M是CD邊的中點，則當點P沿著ABCM運動時，以點P經過的路程為自變量，三角形APM的面積函數的圖像形狀大致是（    ）7.

18、 函數（    ）A. 在（1，）內單調遞增                        B. 在（1，）內單調遞減C. 在（）內單調遞增                

19、0;        D. 在（）內單調遞減8. 函數的定義域為，值域為，其反函數為，則的（    ）A. 定義域為，值域為B. 定義域為，值域為C. 定義域為，值域為D. 定義域為，值域為9. 已知函數的圖象是由函數的圖像平移而得到的，如圖所示，則的值是（    ）A.                 

20、60;           B. C.                                  D. 10. 已知是偶函數，則圖像的對稱軸是（  &#

21、160; ）    A.     B.     C.     D. 11. 對任意，有，時，則（    ）    A.     B.     C.     D. 12. 方程的兩個根均大于1，則的取值范圍為（    ）  

22、;  A.     B.     C.     D. 13. 若函數的圖像與函數的圖像關于直線對稱，則（    ）A.                  B.     C.      

23、60;           D. 14. 把長為12cm的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（    ）A.     B.     C.     D. 15. 設函數的反函數為，且，則         。16. 函數的定義域是&#

24、160;     。17. 已知函數在上有定義，當且僅當時，且對任意都有，試證明：（1）為奇函數；（2）（）上單調遞減。18. 設是R上的偶函數，（1）求的值；（2）證明：在（0，+）上是增函數。 19. 設是定義在R上的奇函數，且對任意實數x恒滿足，當時求證：是周期函數；當時，求的解析式；計算：一、函數的單調性1單調性的證明定義法：例 判斷函數的單調性，并用定義證明。練習：已知函數，點在的反函數圖像上。（1）求的反函數；（2）證明在定義域內是減函數2單調性的簡單應用：例 1（1）函數的單調增區(qū)間是_（2）已知在是減函數，則的取值范圍是_練習：若函數在區(qū)間上是減函數，則實數的取值范圍是_高考真題：已知是上的減函數，那么的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C）（D）例2 已知函數的圖象與函數（且）的圖象關于直線對稱，記若在區(qū)間上是增函數，則實數的取值范圍是（）A B C D例3 設函數，給出下述命題：有最小值；當時，的值域為；當時，在區(qū)間上有反函數；若在區(qū)間上單調遞增，則實數的取值范圍是則其中正確的命題是_（要求：把正確命題的序號都填上）例4 函數對任意的，都有，并且當時， 求證：在上是增函數； 若，解不等式 二函數的奇偶性：例1 設