離散時間系統(tǒng)的Z域分析

1、第八章 Z變換、離散時間系統(tǒng)的Z域分析Z變換的定義和收斂 典型信號的z變換Z變換的性質(zhì)冪級數(shù)展幵求Z逆變換，部分分式法圍線積分法系統(tǒng)函數(shù) H(Zh 由零極點決定系統(tǒng)的時域特 由零極點決定系統(tǒng)的頻域特'由零極點決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性例題?例題1：求z變換 ?例題2：求逆變換 ?例題3：求系統(tǒng)的響應(yīng) ?例題4：求系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)等 ?例題5：零極點，初值定理例8-1利用性質(zhì)求序列的z變換 xn二n-2un方法一：利用典型序列的z變換及線性性質(zhì)求解Zn - 2 u n 1 = Z bu n -2u n 】 z 2z_ 2(z-1) z-1 3z2z2(z-仃方法二：利用z變換時移性質(zhì)直接求解若Z

2、x n丄X z則_iZx n m un 丄zx z z" x k zZxn-mun-m l-zX zm _1ZX n m u n 丄 znX z - zn、xkz，k=0Zx n m u n m 丄 znX z由上式可見， x n u n 的右移序列是 xn-mun-m 而不是 x n - m u n，只有當x n為因果序列時，二者才 相同；x n u n 的左移序列是 x n m u n m 而不是 x n m u n， 只有當x n為有始序列n ： m，x n = 0時，二者才相同。Zn-2un =z/z 2 zV-1)z zV 2)z2(z-1)3z - 2z2,2(z 1 )

3、方法三把原序列如下表示 n2 u n二n2 u n21-2： n i門n1所以-1zZln 2unF "3z-2z2例8-21 + zJX z 二r-1 - _zJ +-z6 6z1 2，求其逆變換。方法一：因為X(z)不是真分式，首先把X(z)寫成多項式與真分式兩相之和的形式，即11 1z -Xz 二Qz F1z=1625, 1z z '6 6其中11 1z_F1 z 二 65 寫251z z6 6A1A211z- z-一23(1)z -FNz)< 2丿9(1、1 =二人2 =z -FJz)zP 213丿81z 二§11 1z -25111 所以6623x

4、n i；= Z ' Q zZ ' Ft z 1二 nn J8n_J -|方法二觀察X(z)的分子多項式的根，其中含有一個零點為z=0，在這種情況下可寫成 紅的形式，使其變?yōu)檎娣?式，即C1 C2z25z 丄6 61z -2式中Ci1、X(z)C21、X(z)9z8zz所以原序列為Xz)】=I匯兩種方法求逆z變換，其結(jié)果完全一致。例8-3 描述某離散系統(tǒng)的差分方程為yn 3y 2y2 x n且yO =0,y1 =2；設(shè)激勵x n A 2n u n ；求響應(yīng)序列 yn 并指出零輸入響 應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)。對差分方程取單邊z變換Y z 3zY z y - 1 】2z z1 y - 1 y

5、 - 2 丄 X zYz13宀2Yzs zYzi z3y - 1 2y - 2 2y - z11 3z 1 2z 2式中Yzs-zf只與激勵有關(guān)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)的變換式；丫方z3y1 2y2 2y乙1 3z， 2z2僅僅與起始狀態(tài)有關(guān)，稱為零輸入響應(yīng)的變換式(1)式表明需要條件y-1,y-2,而已知條件是y0=0,y1=2,為此可用迭代法把y0 =01 =2代入原方程，即y(0 )= x(0 彳丫卜1 2y(-2 )、y(1 )=x(1 )-3y(0 )-2y(-1 ) 解得：13z-2 z 23 z 1yl-1 )=0, y(-2 )=?由Yzs z =X z1 21 3z 2zz3整理得Y

6、zs z 二z - 2_z1 3z_1 2z，z - 2 z2 3z 2Yzs zA1A2A3zz- 2z 2 z 1q-,A2 =1,A3求得系數(shù)A1 二33(a)求零狀態(tài)響應(yīng)z 1 z故得Yzs(z)r則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs n 二 Z 1 Yzs z 丄13 2n2n(b)求零輸入響應(yīng)1Yzi z 二_ 11 3z 1 2z2把yT =0, y-2 =-代入Yzi z的表達式，得用部分分式展開法，得丫沖一 2 土+1z+ 2 z + 1則系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)y/n )= Z 二 Yzi(z)】=一2漢(一2)n + ( 1 f Un)(c)求全響應(yīng)(1 f】u(n )十 L2(2)n+(1

7、)n】u(n)y n = yzi nyzs n=匸 X 2n 十(-2 )n - 1 江33 2 n n 1=x ( 1) + ( 2 n iu(n )+江 2nu(n ) 3自由響應(yīng)強迫響應(yīng)例8-4離散系統(tǒng)如圖（a）所示,（1）（2）（3）（4）（5）列寫系統(tǒng)差分方程的表示式；求系統(tǒng)函數(shù)H（z）；畫H（z）的零、極點分布圖并指出收斂域; 求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)；求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。xnzai 0.5（1）列寫系統(tǒng)差分方程的表示式 根據(jù)圖（a）可列寫出求和器的入、出關(guān)系y n 二xn 0.5yn1（2）對方程所以，系統(tǒng)函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù) H z1）取z變換并利用位移性質(zhì)，得Y z = X z i亠0

8、5zY z（3）畫 H 由（2）式得零點:（z）的零、極點分布圖并指出收斂域H z 二二亠X（z） z-0.51z = 0 極點：z = 2H z的零、極點分布如圖（b）1可見z 2，Hz收斂。（4）系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)對H（ z）進行逆變換求單位樣值響應(yīng)（5）求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H ejzz- 0.5ejej - 0.5cos j sincos - 0.5 j sin幅頻特性L1H (z »:(1.25 - cosw相頻特性arctan 0.5sin1 0.5coso根據(jù)三角公式tan©)tan。-tan卩1 + tan a tan P 可得.3 k x sin sin«二 arctanarctan 一cosrco夠-0.5其頻率響應(yīng)如圖（c）所示|h 佃）2 廠 1 :一一一丿 _丿1o2兀時0.15n毆）o2兀* 0.15 兀（C）沖響應(yīng)h(m的初值八jlm tz】例8-5一線性時不變離散時間系統(tǒng) H( z)的零、極點分布如圖 所示且已知其單位脈 h(0=1,試求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。先求系統(tǒng)函數(shù)z21由初值定理可知H z =A(z 1'z + 1)(1)°jReLzlh 0= l