同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式課件

1、同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式要點梳理要點梳理1.1.同角三角函數(shù)的基本關系式同角三角函數(shù)的基本關系式 (1)(1)平方關系平方關系:_.:_. (2) (2)商數(shù)關系商數(shù)關系: .: . (3) (3)倒數(shù)關系倒數(shù)關系: . : . 3.2 3.2 同角三角函數(shù)的基本關同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式系及誘導公式基礎知識基礎知識 自主學習自主學習sinsin2 2+cos+cos2 2=1(=1(R R) )Z),(cossintan kk2 Z),(cottan kk21 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式2.2.六組誘導公式六組誘導公式 組數(shù)組數(shù)一一二二三三四四五五六六角角2 2k k+

2、( (k kZ Z) )+- -正弦正弦_余弦余弦_正切正切_口訣口訣函數(shù)名不變函數(shù)名不變符號看象限符號看象限函數(shù)名改變函數(shù)名改變符號看象限符號看象限 2 2sin sin -sin -sin -sin -sin sin sin cos cos cos cos cos cos -cos -cos cos cos -cos -cos sin sin -sin -sin tan tan tan tan -tan -tan -tan -tan 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式基礎自測基礎自測 1. 1. 的值是的值是_._. 解析解析 2 2. .已知已知為第二象限角為第二象限角, ,且且sin s

3、in = = 則則tan tan =_.=_. 解析解析 為第二象限角且為第二象限角且sin sin = = )cos(335 .cos)cos()cos()cos(213312335335 ,54,54.cossintan,sincos345312 2134 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式3.3.若若 則則 =_. =_. 解析解析 可得可得tan tan =3,=3,cossincossin2 )sin()sin( 235,cossincossin2 由由.tantancossincossin)cos)(sin()sin()sin(1031235222 103同角三角函數(shù)的基本關系及誘導

4、公式4.4.已知已知tan tan = = 且且 則則sin sin = = _. _. 解析解析 sin sin 0.0.,21),(23,),(23,.sin,cossin,cossintan5512122 得得由由55 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式【例例1 1】已知】已知 (1)(1)化簡化簡f f( ();); (2) (2)若若是第三象限角是第三象限角, ,且且 求求f f( () ) 的值的值. . 必然利用到誘導公式必然利用到誘導公式, ,可以根據(jù)需要從中選可以根據(jù)需要從中選 取取, ,注意先變符號比較好注意先變符號比較好, ,負化正負化正, ,大化小，化到銳大化小，化到銳

5、角為終了角為終了. .典型例題典型例題 深度剖析深度剖析;)sin()tan()tan()cos()sin()( 2f,)cos(5123 分析分析同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式解解.)(,)(cos,sin,sin)cos()(.cossintan)tan(cossin)()(6526525115123212 ff同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式跟蹤練習跟蹤練習1 1 化簡化簡 解解.)sin()cos()sin()cos()tan( 232.sincoscossinsincostansincos)cos(costansin)cos()sin()cos()tan()sin()cos()si

6、n()(cos)tan(122 原式原式同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式【例例2 2】(2010(2010無錫模擬無錫模擬) )已知已知tan tan =2,=2,求下列各式的值求下列各式的值: : (3)4sin (3)4sin2 2-3sin -3sin cos cos -5cos-5cos2 2. . tan tan =2,=2,即即 sinsin =2cos =2cos . . 結(jié)合結(jié)合sinsin2 2+cos+cos2 2=1,=1,可求可求sin sin 、cos cos ，代入，代入 即可即可, ,但此法運算復雜但此法運算復雜, ,關鍵在于能否同除某式出現(xiàn)關鍵在于能否同除某式出

7、現(xiàn) tan tan 形式形式. . ,cossin2 ;cossincossin)(;cossincossin)( 22229432294321 分析分析同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式解解 .tantantancossincoscossinsincoscossinsin,cossin)(.tantancossincossin)(.tantan)(1145234415345345341375924322943294322192432294321222222222222222222 原式原式同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式跟蹤練習跟蹤練習2 2 已知已知sin(sin( + +k k)=-2co

8、s()=-2cos( + +k k),),k kZ Z, , 解解 由已知得由已知得cos(cos( + +k k)0,)0,k kZ Z, , tan( tan( + +k k)=-2,)=-2,k kZ,Z,即即tan tan =-2.=-2.cossin)(;sincoscossin)( : 225241235241 求求.tantancossincossincossin)(.tantansincoscossin)(257152415241524121035243524122222222 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式【例例3 3】已知】已知 x x0,sin 0,sin x x+co

9、s +cos x x= = (1) (1)求求sin sin x x-cos -cos x x的值的值; ; (2) (2)求求 的值的值. . (1) (1)由由sin sin x x+cos +cos x x= = 及及sinsin2 2x x+cos+cos2 2x x=1=1可求可求 出出sin sin x x、cos cos x x的值的值, ,從而求出從而求出sin sin x x-cos -cos x x的值的值; ; 另外另外, ,由由 x x0,0,可求出可求出sin sin x x0,cos 0,0,從而判從而判 定定sin sin x x-cos -cos x x的符號的

10、符號, ,只需求只需求(sin (sin x x-cos -cos x x) )2 2即可即可. . (2) (2)由由(1)(1)可求出可求出tan tan x x，而，而 想法使分子分母都出現(xiàn)想法使分子分母都出現(xiàn)tan tan x x即可即可. . 2.51xx221sincos 2 51,sincossincosxxxx2222 xx221sincos分析分析同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式解解 (1)sin (1)sin x x+cos +cos x x= = (sin (sin x x+cos +cos x x) )2 2= = 即即1+2sin 1+2sin x xcos cos

11、x x= = 2sin 2sin x xcos cos x x= = (sin (sin x x-cos -cos x x) )2 2=sin=sin2 2x x-2sin -2sin x xcos cos x x+cos+cos2 2x x =1-2sin =1-2sin x xcos cos x x= = 又又 x x0,sin 0,sin x x0,cos 0,0,sin sin x x-cos -cos x x0 0,cos 0,cos 0,0,cos 0,cos 0,sin 0,0,sin sin -cos -cos = = (3)sin(3)sin3 3 +cos+cos3 3 =

12、(sin =(sin +cos +cos )(sin)(sin2 2 sin sin cos cos +cos+cos2 2 ) ).34 .57.)(2549251221 .57.)(125372512151 .12537同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式【例例4 4】(14(14分分) )是否存在是否存在 (0,), (0,), 使等式使等式 同時成立同時成立. .若存在若存在, ,求出求出, ,的值的值; ; 若不存在若不存在, ,請說明理由請說明理由. . 要想求出要想求出、的值的值, ,必須知道必須知道、的某的某 一個三角函數(shù)值一個三角函數(shù)值, ,因此因此, ,解決解決本題的關鍵是由兩

13、個等本題的關鍵是由兩個等 式式, ,消去消去或或得出關于得出關于或或的同角三角函數(shù)式的同角三角函數(shù)式. .),(22 分析分析)cos( 2 )cos(),cos()sin( 3223同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式解題示范解題示范解解 假設存在假設存在、使得等式成立使得等式成立, ,即有即有 22分分 由誘導公式可得由誘導公式可得2 2+ +2 2得得sinsin2 2+3cos+3cos2 2=2,cos=2,cos2 2= = )cos()cos(),cos()sin( 23223 232 coscossinsin.21同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式.,),(.,),(.cos.),(

14、分分滿足條件滿足條件存在存在綜上可知綜上可知分分可知不符合可知不符合代入代入又又得得代入代入將將分分可知符合可知符合代入代入又又代入代入將將分分或或又又146412.6023cos410.6023得484422 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式跟蹤練習跟蹤練習4 4 已知已知sin sin ,cos ,cos 是關于是關于x x的二次方程的二次方程 2 2x x2 2+( +1)+( +1)x x+ +m m=0=0的兩根的兩根, ,求求2tan 2tan 的值的值. . 先化簡三角函數(shù)式然后利用兩根之和與兩根先化簡三角函數(shù)式然后利用兩根之和與兩根 之積找關系或利用判別式之積找關系或利用判別式

15、. . 解解 由根與系數(shù)的關系可得由根與系數(shù)的關系可得sin sin +cos +cos = = 21tansincos sincoscossincossinsincoscossintansincostan 21212222分析分析212 2同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式.,)()cos(sincossin25232124122412281222121221222 故原式故原式所以所以且且mm 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式高考中主要以填空題的形式考查利用同角三角函數(shù)高考中主要以填空題的形式考查利用同角三角函數(shù) 關系式或誘導公式求某角的三角函數(shù)值或求某三角關系式或誘導公式求某角的三角函數(shù)值

16、或求某三角函數(shù)式的值函數(shù)式的值, ,或?qū)θ呛瘮?shù)式進行化簡或?qū)θ呛瘮?shù)式進行化簡, ,難度不大難度不大. . 1.1.由一個角的三角函數(shù)值求其它角的三角函數(shù)值要注由一個角的三角函數(shù)值求其它角的三角函數(shù)值要注 意角的范圍意角的范圍. .2.2.注意公式的變形使用及切化弦、三角代換注意公式的變形使用及切化弦、三角代換(“1”(“1”的的 代換代換) )、消元等三角變換方法的使用、消元等三角變換方法的使用, ,同時要慎重注同時要慎重注 意三角函數(shù)值的符號意三角函數(shù)值的符號. . 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高高考動態(tài)展望高考動態(tài)展望方法規(guī)律總結(jié)方法規(guī)律總結(jié)同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式3.3.

17、應用誘導公式應用誘導公式, ,重點是重點是“函數(shù)名稱函數(shù)名稱”與與“正負號正負號” ” 的正確判斷的正確判斷, ,一般常用一般常用“奇變偶不變奇變偶不變, ,符號看象限符號看象限” 的口訣的口訣. .4.4.已知三角函數(shù)值求角時已知三角函數(shù)值求角時, ,要特別注意角的范圍，慎要特別注意角的范圍，慎 重選取重選取“正負號正負號”. .5.5.證明恒等式常用的方法證明恒等式常用的方法: :化切割為弦，化切割為弦，由一邊由一邊 推證另一邊推證另一邊( (一般是由繁到簡一般是由繁到簡),),或由左右兩邊推證或由左右兩邊推證 等于同一個式子等于同一個式子. .6.6.熟悉熟悉sin sin +cos +

18、cos ,sin ,sin cos cos ,sin ,sin -cos -cos 這三個式子之間的關系這三個式子之間的關系, ,已知其中一個式子的值已知其中一個式子的值, ,可可 求出另外兩個式子的值求出另外兩個式子的值, ,但應注意其符號的選取但應注意其符號的選取. . 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式一、填空題一、填空題1.1.(2010(2010南通模擬南通模擬) ) 的值的值 為為_. _. 解析解析)sin()cos(417417 .sincos)sin()cos(sincos)sin()cos(22222444444417417417417 2定時檢測定時檢測同角三角函數(shù)的基本關

19、系及誘導公式2.2.（20102010江蘇鎮(zhèn)江一模）江蘇鎮(zhèn)江一模）設設tan(5+tan(5+)=)=m m，則，則 的值為的值為_._. 解析解析)cos()sin()cos()sin( 3.,tan,)tan(,)tan(.tantancossincossincossincossincossincos)sin(cossincos)sin()cos()sin()cos()sin(1151143 mmmmm原式原式又又 11 mm同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式3.3.(2009(2009遼寧沈陽四校聯(lián)考遼寧沈陽四校聯(lián)考) )已知已知 則則sin sin cos cos =_.=_. 解析解析

20、 由已知得由已知得:sin :sin +cos +cos =2(sin =2(sin -cos -cos ),), 平方得平方得 1+2sin 1+2sin cos cos =4-8sin =4-8sin cos cos , , sin sin cos cos = =,cossincossin2 .103103同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式4.4.（20082008浙江理浙江理,8,8）若若cos cos +2sin +2sin = = 則則 tan tan =_.=_. 解析解析.tan)tan(tanZ),(,)sin(),tan()sin(212222212155 所以所以所以所以即有

21、即有其中其中由已知得由已知得kkk2 2,5 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式5.5.(2008(2008四川理四川理,5),5)設設0022，若，若sin sin cos cos , ,則則的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析3.,sin,cos;,tan,cos;,tan,cos,cossin210342302330203 此時此時滿足條件滿足條件時時當當時時當當時時當當且且由由),(343同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式6.6.(2010(2010吉林長春調(diào)研吉林長春調(diào)研) )若若sin sin +cos +cos =tan =tan 則則的取值范圍是的取值范圍是_._. 解析解析

22、 由由sin sin +cos +cos =tan =tan ,0,0 tan tan2 2=1+2sin =1+2sin cos cos =1+sin 2=1+sin 2, , 0 0 02 02, 0sin 2 0sin 21,1tan1,1tan2 22,2, 0 0 tan 0,0, 1tan 10,0,則則cos cos = = _. _. 解析解析 sin sin = tan = tan 0,0, cos cos 0,0,54 ,54 .sincos5312 53 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式二、解答題二、解答題 10.10.(2010(2010泰州模擬泰州模擬) )化簡化簡:

23、 : 解解 方法一方法一 原式原式= = 方法二方法二 原式原式= =;sincossincos)( 6644111 ).cos()sin()(xx 46422 6632244222sincos)sin(sinsincos)sin(cos .)sin(cossincossincos3232222222 64224221111sin)coscos)(cos(sin)cos)(cos( )sincoscos(sin)sincos(sin 442222211 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式).cos()cos()cos(cos)sin(sin)cos()sin()(.coscossincoscoscos)sin)(cossin(coscoscos1222462246462242342122232321212222222222222 xxxxxx原式原式 同角三角函數(shù)的基本關系及誘導公式1 11.1.(2010(2010泰州模擬泰州模擬) )已知已知sinsin2 22 2+sin 2+sin 2cos cos -cos 2 -co