線性代數(shù)期末試題同濟(jì)大學(xué)第五版附答案

1、線性代數(shù)試題(附答案)2 分，共 20 分)40=000kx + y -2z = 02.若齊次線性方程組x ky 2 0有非零解，且k2= 1，貝 U k 的值為_。kx y kz = 03 若 4X4 階矩陣 A 的行列式|A=3,A*是 A 的伴隨矩陣則 A =_。4. A 為n n階矩陣，且A2-3A 2E二：，貝UAJ_。5.3和1,2,3是 R3的兩組基，且1=3!瑕23,2 =223,3=2!邊3，若由基3到基1,2,3的基變換公式為(1,2,3) = (1,2,3)A，則 A=_6向量a = (-1,0,3,-5)=(4,-2,0,1),其內(nèi)積為 _。3111 1-17. 設(shè)A2

2、 12B = 2 10 則 AB 之跡 tr(AB)=_。.12 3_ JT 1 _8._ 若33 階矩陣 A 的特征值分別為 1,-2,3,則 A，的特征值分別為 _。2 2 29._ 二次型 f(X1,X2X)=為一 3%2-2 乂的正慣性指數(shù)為 _o42010._ 矩陣A2 4人 為正定矩陣，則 九的取值范圍是 _o【丸1一一、填空題(每題1231行列式234320500、單項(xiàng)選擇(每小題 2 分，共 12 分)a1b2agaA 1azda2b2a?b3a?b4asda3b2a3b3a3b4a4b2a4b3a4b4B、21矩陣 A二A、1其中 a =0,bi=0,i =1,2,3,4,則

3、 r(A)二 。C、32.齊次線性方程組丿X1-2乞X3x0的基礎(chǔ)解系中含有解向量的個(gè)數(shù)是（）2x 一 x? X3= 0B、2C、33.已知向量組a1= (1,1,1,0),a(0,k,0,1),a(2,2,0,1),a(0,0,2,1)線性相關(guān)，則 k 二( )A、-1B、-2C、04. A、B均為 n 階矩陣，且(A B)(A - B) = A2-B2,則必有5.已知B、A=E2a=(1, k,1)T是矩陣 A= 1JB=E6.下列矩陣中與矩陣B、-20-1 或-2)0-0-10-00-20C、-10-00-10三、計(jì)算題C、A=BD、AB=BA00一20101111 的特征向量，則 k

4、=2C、1 或-2D、-1 或 2合同的是_30000一52000101a。 bib2bnC1a100C20a20Cn00an（每小題 9 分,63 分)1 計(jì)算行列式（其中ai-0,i 72,n)x1+x2+ 2x3+ 3% = 12當(dāng) a 取何值時(shí),線性方程組X13X26X3X=3有解？在方程組有解時(shí)，% +5x2+10 x3X4=53 5X210X37X4= a用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示方程組的通解。3 給定向量組ai=(1,-1,0,4) =(2,1,5,6) =(1,-1,-2,0),a4=(3,0,7,k)。當(dāng) k 為何值時(shí)，向量組印忌忌且線性相關(guān)？當(dāng)線性組線性相關(guān)時(shí)，求出極大線性

5、無(wú)關(guān)組，并將其們向量用極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。3003 64.設(shè)矩陣A=01 -1，8=11且滿足 AX =2X + B,求矩陣 X。014 _2_3_5 .已知A 為 n階正交矩陣，且|A|0。(1)求行列式|A|的值；(2)求行列式|A+E|的值。10 16.已知實(shí)對(duì)稱矩陣A = 02 0J0 1一(1)求正交矩陣 Q,使 Q-1AQ 為對(duì)角矩陣；(2)求 A10。7.將二次型f(x1,x2,x3x122xfx22x1x22x1x34x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫 出相應(yīng)的可逆線性變換。四、證明題(5 分)A、B 均為 n 階矩陣，且 A、B、A+B 均可逆，證明：(A-1+B-1)-1=B (

6、A+B )-1A4.非齊次線性方程組Am nXn 1二 g!有唯一解的充分必要條件是5.向量a=(3,1)T在基！=(1,2)T,2=(2,1)T下的坐標(biāo)為6.若 n 階矩陣A、B、C 有 ABC=E,E 為n 階單位矩陣則 C7._ 若n階矩陣A有一特征值為 2,貝 U A-2E =_8.若 A、B 為同階方陣，則（A B）（A-B）二A2-B2的充分必要充分條件9正交矩陣 A 如果有實(shí)特征值，則其特征值等于 _2 2 2 _10.二次型 f (Xi,X2,X3)=2 為 3x2 tx32X1X22X1X3是正定的，則 t 的取值范圍是。_ 、單項(xiàng)選擇（每小題2 分, 共 10 分）a11a

7、12a122a1101 若=6,則a222a210 的值為（）a21a220_ 2-1A、12B、-12C、18D、0試題二2 分，共 20 分）00 0100 200n100n0 002.1_0（n 為正整數(shù)） 。3設(shè) A= 0，則（2A）、填充題 （每小題1.n2.設(shè) A、B 都是n 階矩陣且 AB 二 O,則下列一定成立的是（）B、A、B 都不可逆A、A=0 或 B=03.向量組ai,a a 線性相關(guān)的充分必要條件是（）A、 印忌,as中含有零向量B、aa2,as中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例C、ai,a2，as中每一個(gè)向量都可用其余 s-1 個(gè)向量線性表示D、ai,a2,as中至少有一個(gè)

8、向量可由其余 s-1 個(gè)向量線性表示4.由R3的基=a12a23a3,:a2,= a3到基 a1,a2,a3的過渡矩陣為()計(jì)算題（每小題9 分,共63 分）123n 1n1_10 001計(jì)算行列式02-2 000002 _ n0000n 11 n2 捲 + x2- x3十 x4= 12 線性方程組-X2X3x27% + 2x2_ 2x3+ 4x4= aC、A、B 中至少有一個(gè)不可逆D、A+B=O123A、0 2 00 3一1-2-3C、010001一5.若n 階矩陣 A 與 B 相似，則（）A、它們的特征矩陣相似1 0 0B、-210】-3 0 1一1 0 0D、2 103 0LB、它們具有

9、相同的特征向量D、存在可逆矩陣C,使 CTAC=B當(dāng)a、b 為何值時(shí)有解，在有解的7% _x2x35% = b情況下，求其全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系線性表示）3求向量組 印=(2,1,1,1),a2=( - 1,1,7,10)旦=(3,1,-1,-2) =(8,5,9,11)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用此極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。（1）求X；求可逆矩陣 P,使PAAP = B6.給定R3的 基 a, =（1,1,1）02=（-1,0,-1）丁忌=（1,2,-3）T，將其化為R3的一組標(biāo)準(zhǔn)正準(zhǔn)交基，并求向量a=（3,2,1）T在所求的標(biāo)準(zhǔn)正交基之下的坐標(biāo)。2 2 27. 化二次型 f 區(qū)

10、出必）5%2-X34x1X22x1X3為標(biāo)準(zhǔn)形，寫出相對(duì)應(yīng) 的非奇異線性變換。并指出二次型的秩、正慣性指數(shù)及符號(hào)差。四、證明題（7 分）如果 A 是n 階矩陣（n _ 2）,且 r（A）二 n1,試證 r （A”）二 1一、填空題（每小題 2 分，共 20 分）312311.1602.-23.274. E-A 5.2 216.-92 2 J 12一7.78.1, -1,19.110. - .3：、323二、單項(xiàng)選擇（每小題 2 分，共 12 分）1.A2.B3.C4.D5.C6.B三、計(jì)算題（每小題 9 分，共 63 分）1.將第 2 列的（-9）倍，第 3 列的（-鳥）倍，第（n 1）列的（

11、-9）倍統(tǒng)統(tǒng)加到第1a1a2an列上去，得5已知矩陣A二010111-111,B =2 0【一10-11 i5-3010 與 B= 03j衛(wèi)00,相似04.設(shè) AX B 二 X,其中 A 二求 X原式a。b2C2._ bnCnb1b2bna2an0a10000a20biC1a1000 an=印玄2an(a v匹)i丄a(2.先對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換-1 123；111123=1 11 361:30 24-2:2A =a*1 510-1:50 48-4:4L3 5107a:a24-2:a-3j1 23:1 10 04:002 4-2:201 2-1-: 1TaT-00 00:a-500

12、 00:a-5衛(wèi)0 00:0i i00 00:0所以，當(dāng)a =5寸，方程組有解，特解=(0,1,0,0),T其導(dǎo)出的基礎(chǔ)解系為!=(0,-2,1,0)丁 =( V,1,0,1)T,原方程組的全部解為XV% k! !k2 2,kk2為任意吊數(shù)。當(dāng) k =14 時(shí)，向量組a1, a2, a3, a4線性相關(guān)。向量組的極大線性無(wú)關(guān)組是a1, a2, a3,且a=2a1a2- a3,4.由 AX=2X+B 得，(A-2E) X=B100 仁6 1所以有 X=(A-2E)*B=0_111i012 _j2_3- 1213j-11-100A =05-27T0 460k一J0-1213-1T0101T0001

13、10-000k 14一J013 11213 103T0101-2700-22-4k 12一1100-4k 10一-1k 1-1k143.由向量組a!,a2,as,a4為列向量組作矩陣2 01 00 10 0235-2_1410036360 -2 -11 1-41.1 1一2一3一113-125由于 A =1,則 A=1,因?yàn)?，AcO，所以 | A = 1.A+E = A + AAT=A(E+AT)討人任+八卜A + E,所以，A + E = 06.卩 E-AM(九-2)2，所以 A 的 4 特征值為人=0,嘉=%=2。對(duì)應(yīng)與特征于33=(0,1,0)To7.二次型 f

14、 =(花公2山3)=(xX2X3)2X22x2X3222= (XX2X3)(X2X3)X3y X1X2X3y2 = X2+X3所作的可逆線性變換為“y3 =X32 2 2可將原二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型f=比y2一y3四、證明題(5 分)由此可得正父矩陣 Q =(ai,a2,a3)=-1石01.2012使得QAQ二QTAQ_00【0102二A 為對(duì)角矩陣。A10二 QA10Q 一2900210291029，1 =0的特征向量(1,0 -1)T，標(biāo)準(zhǔn)正交化1 1印.2,0,-2f；對(duì)應(yīng)于特征值3=2的特征向量(1,01)T，(0,1,0)T1 1標(biāo)準(zhǔn)正交化，a?=(-嚴(yán),0,)T，V2 42捲二- y2X

15、2二 y2- y3X3= y322證明：(AB)B(A B)= AB(A B)JA BJB(A B)JA=AJB(A B)二A AA(A B)JA111二 A (B A) (A B) A = E或 B(A B)JAJF =A(A B)B= AJAB=AJBJ試題二、填空題n(n .1)1.(-1)n!_1 1 1 1、3.卩 1當(dāng) a = 5 且 b = 8 時(shí)線性方程組有解231300a - 5b -8全部解為X=rc1 1c2 2C1,C2為任意常數(shù)。3. A =-1171031-1-28【5911100衛(wèi)1-36911-2-35【243130013133 3 2-302-30 O O03

16、31-1213301133(E - A)1 13 3 2 2 1-1-1 1-J-1212 5-5-J J1 1 - - 3 3 1 1 3 3 1 13 3X =(E -A)B 二13(-2,1,0,3)T且 a3a1a2,a匹 a1333-3234.由 AX+B=X，得(E-A)X=B , 即 X=(E _ A)B對(duì)于L-2=3,A 對(duì)應(yīng)的特征向量為a?= (0,0,1)對(duì)于3=2,A 對(duì)應(yīng)的特征向量為a(1,1,0)Ta 在這組標(biāo)準(zhǔn)正交基之下的坐標(biāo)為(2 3,02)2 2 2f(X1,X2,X3)5x2X34X1X22X1X37.222= (X1X2X3)(X2-2x3)-6x3治=力_2y?_5y3X2 y22y3y3二X32 2 2可將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f = y1 y26y3二次型的秩是 3，正慣性指數(shù)是 2，符號(hào)差是 1。四、證明題 證明：由