第二章板殼理論學習教案

1、會計學1第二章板殼理論第二章板殼理論(lln)第一頁，共25頁。第1頁/共25頁第二頁，共25頁。xxyyzzxyxyxzxzzyzydUddddddxxyyxyxydUddd2xxyyxyxydWM dM dM dxyxyxyxyxyxyWWWdWddd12xxyyxyxyWMWMWM第2頁/共25頁第三頁，共25頁。2222222222 1()2(1)22xyxyxyDDwwwWwx yxy xMyMxyM,1xxyyyxxyxyMDMDMD 222222xyxywwwxyy x 2exxyyxyxyWWMMM2exxyyxyxydWdMdMdM第3頁/共25頁第四頁，共25頁。22362

2、 1exyxyxyWMMM MMEheeeexyxyxyxyWWWdWdMdMdMMMM1,2eeexyxyxyxyWWWMMM第4頁/共25頁第五頁，共25頁。0,wx yooiiiiVAUX udVFu dA iF第5頁/共25頁第六頁，共25頁。,wwwwnnnMnV1,2,.,lR lk1okoooSfSfnnlllAwWqwdxdyMdsV w dsR wn ,1,2,.,iiwwik第6頁/共25頁第七頁，共25頁。10ooSfnAkooSfnlllwWq wdxdyMdsnVw dsR w 2xxyyxyxyWMMM第7頁/共25頁第八頁，共25頁。012xxyyxyxyAAok

3、yooxSSnnlllAWdAMMMdAQQww dAMdsVw dsR wxyn 011oyxS SfSunAokkooooS SfSuSfSfnllnnllllQQwqw dAMdsxynwVw dsR wMdsVw dsR wn 第8頁/共25頁第九頁，共25頁。1oyoxSfnnAkooSfnnllllQQwqw dAMMdsxynVVw dsRRw 0,0oowwn0 ,oowwn0yxQQqxy在A域內(nèi)1,2,.nnnnfllMMVVSRRlk，在上第9頁/共25頁第十頁，共25頁。0e 0yxQQqxy在A域內(nèi)1,2,.uiiwwwwSnnwwik，在 上第10頁/共25頁第十一

4、頁，共25頁。l最小位能原理指出：在一切幾何可能解中，真實解使得薄板的位能取得最小值。假設真實解的表達式為：最小位能原理指出：在一切幾何可能解中，真實解使得薄板的位能取得最小值。假設真實解的表達式為：l其中其中 為滿足為滿足(mnz)(mnz)所有位移邊界條件的設定函數(shù)，而所有位移邊界條件的設定函數(shù)，而aiai是待定常數(shù)，它應該滿足是待定常數(shù)，它應該滿足(mnz)(mnz)：l因為因為 是任意的，故滿足是任意的，故滿足(mnz)(mnz)上式的條件是：上式的條件是：l如果如果 是完備函數(shù)族，且自由度是完備函數(shù)族，且自由度 ，則所得到的解是精確解。一般情況下，若給出合理的設定函數(shù)，則只需要幾項上

5、式就可以得到足夠精度的解。，則所得到的解是精確解。一般情況下，若給出合理的設定函數(shù)，則只需要幾項上式就可以得到足夠精度的解。1,niiiw x yax y10niiiaa n ia01,2,.,iinaii 方程變?yōu)榇鷶?shù)方程把求方程變?yōu)榇鷶?shù)方程把求w w的問題的問題(wnt)(wnt)轉(zhuǎn)化為求轉(zhuǎn)化為求aiai的問題的問題(wnt)(wnt)，第11頁/共25頁第十二頁，共25頁。l位能表達式寫成關于撓度位能表達式寫成關于撓度w w的形式：的形式：l如果每個邊都滿足如果每個邊都滿足(mnz)(mnz)至少下面邊界條件之一：至少下面邊界條件之一：l則有：則有：l得得222222211()2(1)(

6、)2.SfSfnnkkDwwwwdxdyxyx ywqwdxdyMdsV wdsR wR wn 222222()0wwwdxdyxyx y 211()2.SfSfnnkkDw dxdyqwdxdywMdsV wdsR wR wn 0,0wwn第12頁/共25頁第十三頁，共25頁。l例例1 1：四邊固支矩形薄板：四邊固支矩形薄板(bo bn)(bo bn)，利用，利用RitzRitz法求解，承受均布載荷法求解，承受均布載荷q q，撓度假設為：，撓度假設為：l滿足邊界條件滿足邊界條件l將撓度表達式帶入到位能表達式中，得到將撓度表達式帶入到位能表達式中，得到11221 cos1 cosmnijiji

7、 xi ywaab 0,0,00,0,0wxawxwybwy第13頁/共25頁第十四頁，共25頁。220 02112220 0114424244224cos1 cos222cos1 cos221 cos1 cos2332mna bijijmna bijijijDii xj yaaabjj yi xdxdybbai xj yqadxdyabijiDabaaba 2221144441111111122mnijm mnnmnmnirisrjsjijirsjrsijr sr sjbija aa aqabaab 第14頁/共25頁第十五頁，共25頁。laij應滿足：應滿足：l即：即：l這是關于這是關于(

8、guny)aij代數(shù)方程組，當代數(shù)方程組，當m=1, n=1, 時有時有01,2,., ,1,2,.ijim jna4422444224444114332220ijijmnirrjrjr jijijDab aaababijaaqabab41144242143 32qaaDaabb第15頁/共25頁第十六頁，共25頁。l對于方板對于方板a=b：l最大撓度發(fā)生在板的中點最大撓度發(fā)生在板的中點 l當當m=3, n=3時有時有l(wèi)只要位移函數(shù)取得合適只要位移函數(shù)取得合適(hsh)，Ritz法具有足夠的精度。增加法具有足夠的精度。增加m，n精度可以得到進一步改善。精度可以得到進一步改善。441140.00

9、0320832qaqaaDD4max0.001283qawD4max0.001266qawD第16頁/共25頁第十七頁，共25頁。l例例2：兩對邊簡支，一邊固定，一邊自由，承受均布載荷：兩對邊簡支，一邊固定，一邊自由，承受均布載荷q，撓度假設為：，撓度假設為：l滿足所有位移滿足所有位移(wiy)邊界條件邊界條件 l代入到位能的表達式代入到位能的表達式11,sinimiixi yw x yaab0,000,0ybwwxwx222222211()2(1)()2.SfSfnnkkDwwwwdxdyxyx ywqwdxdyMdsV wdsR wR wn 第17頁/共25頁第十八頁，共25頁。l真實解使

10、得真實解使得(sh de) ，若，若m=1，得到關于，得到關于a1的代數(shù)方程的代數(shù)方程 ：l求解得：求解得： l所以撓度為：所以撓度為：2410314122203103aaba Dq ababba40124241322310q aaaaDbb220242sin41322310yq a xbwaaDbb10a第18頁/共25頁第十九頁，共25頁。l在一切在一切(yqi)幾何可能解中，真實解應是使位能的變分為零的解。薄板小撓度彎曲的變分方程為：幾何可能解中，真實解應是使位能的變分為零的解。薄板小撓度彎曲的變分方程為： l如果幾何可能解在力的邊界上滿足所有力的邊界條件，則位能的變分可進一步表達為如果

11、幾何可能解在力的邊界上滿足所有力的邊界條件，則位能的變分可進一步表達為 ：10ooSfnAkooSfnlllwWq wdxdyMdsnVw dsR w Dw qwdxdy 第19頁/共25頁第二十頁，共25頁。l假設位移邊界條件和力的邊界條件均為齊次，假設位移邊界條件和力的邊界條件均為齊次，Galerkin法假設板的撓度為：法假設板的撓度為：l 滿足所有的邊界條件，滿足所有的邊界條件， ai是待定的系數(shù)，滿足變分方程，即：是待定的系數(shù)，滿足變分方程，即：l因為因為(yn wi) 是任意的所以有：是任意的所以有：l這是一個關于這是一個關于ai的代數(shù)方程組，求解可得的代數(shù)方程組，求解可得ai。1,

12、miiiw x yax y1,niiiwx yai10miiiDw qdxdy a ia01,2,.,iDwqdxdyim 第20頁/共25頁第二十一頁，共25頁。l物理含義：物理含義： 在域內(nèi)，近似的撓度不可能使得平衡方程在域內(nèi)，近似的撓度不可能使得平衡方程 l 處處精確滿足，但應該使殘差值處處精確滿足，但應該使殘差值l 在各個位移在各個位移(wiy)位移位移(wiy)函數(shù)所做的功在整個域上的積分為零。函數(shù)所做的功在整個域上的積分為零。0Dwq Dwq 01,2,.,iDwqdxdyim 第21頁/共25頁第二十二頁，共25頁。l例例1 1：仍以四邊固支矩形薄板為例，利用：仍以四邊固支矩形薄板為例，利用GalerkinGalerkin法求解，承受均布載荷法求解，承受均布載荷q q，撓度，撓度(nod)(nod)假設為：假設為：l滿足全部邊界條件滿足全部邊界條件11221 cos1 cosmnijiji xi ywaab 0,0,00,0,0wxawxwybwy第22頁/共25頁第二十三頁，共25頁。l若只?。喝糁蝗。簃=1, n=1m=1, n=1l代入代入l得到得到(d do)(d do)：11221 cos1 cosxywaab01,2,