信號處理中的奇異值分解

1、信號處理中的奇異值分解學(xué)生姓名：學(xué)號：專業(yè)：指導(dǎo)老師： 學(xué)院：完成日期： 目錄摘要 錯誤！未定義書簽第一章 奇異值分解的概念錯誤！未定義書簽第二章 奇異值分解的步驟： 錯誤！未定義書簽第三章 信號處理中奇異值分解的應(yīng)用 錯誤！未定義書簽第四章 結(jié)語 錯誤！未定義書簽參考文獻(xiàn)： 錯誤！未定義書簽摘要奇異值分解(Singular value decomposition, SVD)H一種正交變換，對于任一個行或列線性相關(guān)的矩陣，通過對其左、右分別相乘一個正交矩陣進(jìn)行變換，可以 將原矩陣轉(zhuǎn)化為一個對角陣，而得到的奇異值個數(shù)又反映了原矩陣中獨(dú)立行(列)矢量的個數(shù)。奇異值分解是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解

2、，在信號處理的很多領(lǐng)域有重要 應(yīng)用。本文主要介紹的奇異分解的基本理論以及在信號處理上的應(yīng)用。關(guān)鍵字：奇異值分解SVD 信號處理正文第一章奇異值分解的概念奇異值分解(Singular value decomposition, SVD)H：一種正交變換，對于任一個行或列線性相關(guān)的矩陣，通過對其左、右分別相乘一個 正交矩陣進(jìn)行變換，可以將原矩陣轉(zhuǎn)化為一個對角陣，而得到的奇異值 個數(shù)又反映了原矩陣中獨(dú)立行(歹U)矢量的個數(shù)。奇異值分解是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，在信號處理、統(tǒng)計(jì)學(xué)等 領(lǐng)域有重要應(yīng)用。首先，設(shè)A為m*n階矩陣，nsd特征值的非負(fù)平方根叫作 A的奇 異值。記為(A)。則HA(1/2)。

3、奇異值分解：設(shè)A為m*n階復(fù)矩陣，則存在 m階酉陣U和n階酉陣V,使得：A = U*S*V其中 S=diag( er i, er 2,cr r) , c i0 (i=1,)，r=rank(A)。其推論為：設(shè)A為m*n階實(shí)矩陣，則存在 m階正交陣U和n階正交陣V,使得A = U*S*V其中 S=diag( er i, er 2,cr r) , cr i0 (i=1,)，r=rank(A)。我們可以看到奇異值分解非常有用，對于矩陣A(m*n),存在U(m*m), V(n*n) , S(m*n),滿足 A = U*S*V。U和 V 中分別是 A 的奇異 向量，而S是A的奇異值。AA的正交單位特征向量

4、組成 U,特征值組成1SS, AA的正交單位特征向量組成 V,特征彳1 （與AA相同）組成SS。 因此，奇異值分解和特征值問題緊密聯(lián)系。其次奇異值分解提供了一些關(guān)于 A的信息，例如非零奇異值的數(shù)目 （S的階數(shù)）和A的秩相同，一旦秩r確定，那么U的前r列構(gòu)成了 A 的列向量空間的正交基。關(guān)于奇異值分解中當(dāng)考慮的對象是實(shí)矩陣時:S對角元的平方恰為AA特征值的說明.（對復(fù)矩陣類似可得）第二章 奇異值分解的步驟：1、求 AHA AAH2、求AHA AAH勺特征值及特征向量x1,x2，xr , r個特征值組成3、U=（x1,x2，xr）地4、V1=AU1Xr-1 ,取 V2 與其正交，則 V=（V1,

5、V2）奇異值的計(jì)算是一個難題，是一個 O（N”）的算法。在單機(jī)的情況下 當(dāng)然是沒問題的，matlab在一秒鐘內(nèi)就可以算出1000 * 1000的矩陣的 所有奇異值，但是當(dāng)矩陣的規(guī)模增長的時候，計(jì)算的復(fù)雜度呈3次方增長，就需要并行計(jì)算參與了。其實(shí)SVC是可以用并行的方式去實(shí)現(xiàn)的， 在解大規(guī)模的矩陣的時候，一般使用迭代的方法，當(dāng)矩陣的規(guī)模很大（比 如說上億）的時候，迭代的次數(shù)也可能會上億次。第三章 信號處理中奇異值分解的應(yīng)用此方法近年來在數(shù)據(jù)降維和壓縮1，2,濾波器設(shè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)估計(jì)3、 小波變換結(jié)果的后續(xù)處理4，5等很多領(lǐng)域都獲得了重要的應(yīng)用。在濾波器設(shè)計(jì)方面，VOZALI濤6將SVD1于協(xié)同濾波，

6、他們的研 究結(jié)果表明，SVDI高了協(xié)同濾波過程中預(yù)測的質(zhì)量和精度。而在消噪方面，LEHTOL暗禾I用SVD和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)相結(jié)合，對心電信號（Electrocardiogram , ECG進(jìn)行處理，消除了噪聲的影響，提高2了心電圖診斷的準(zhǔn)確性。同時奇異值分解已用于從孕婦皮膚測量信號中 提取胎兒心電信號。在另一些研究中SVD則被利用來實(shí)現(xiàn)特征提取和弱信號分離，如LIU 等7利用SVDR背景噪聲強(qiáng)烈的振動信號中提取周期性沖擊信息。SVD在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中也獲得了應(yīng)用，如TEOH? 8利用SV俊現(xiàn)了對隱 層空間中模式的線性獨(dú)立性分析，進(jìn)而決定了隱層神經(jīng)元節(jié)點(diǎn)的數(shù)目。SVD 的正交化特性在對小波和小波包變換結(jié)果

7、的后續(xù)處理中也得到 了有效的應(yīng)用4,5 ,如XIE等4利用SVD對小波包分解后的肌電信號進(jìn)行 正交化處理，以獲得代表肢體運(yùn)動模式的最優(yōu)特征，進(jìn)而對肌電信號進(jìn) 行分類，用于對假肢的控制。小波多分辨分析的本質(zhì)就是把信號在一系列不同層次的空間上進(jìn)行 分解，獲得相應(yīng)的近似和細(xì)節(jié)信號，從而以不同的層次顯示信號的各種 概貌和細(xì)節(jié)特征9 ,這種多分辨思想使得小波分析在很多領(lǐng)域獲得了極 為廣泛的應(yīng)用?；谶@種多分辨分析思想的思考，趙學(xué)智在SVD中提出了一種矩陣二分遞推構(gòu)造方法，根據(jù)該方法得到的SVM解結(jié)果將分屬于不同層次的空間，而且下一層次空間的基矢量是利用上一層次的近似 基矢量而獲得的，實(shí)現(xiàn)了利用 SVD以

8、不同的層次來展現(xiàn)信號的概貌和細(xì) 部特征。這種多分辨SVD的分解結(jié)果具有二階消失矩特性，可以實(shí)現(xiàn)對 信號中Lip指數(shù)a=0和a=l的奇異點(diǎn)位置的精確定位，這種定位不隨分 解層數(shù)的改變而發(fā)生任何偏移，遠(yuǎn)優(yōu)于小波變換的奇異性檢測效果，多 分辨SVD具有優(yōu)良的消噪效果，其本質(zhì)是基于正常信號和噪聲的相關(guān)性 不同，從而造成了它們的奇異值分布不同，結(jié)果使得噪聲被分離到SVD細(xì)節(jié)中，而正常信號則保留在 SVD近似信號中，消噪結(jié)果無相位偏差， 是一種零相移消噪方法。最后，這種多分辨 SVD可以提取到微弱的故障 特征信息。第四章結(jié)語奇異值分解是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，現(xiàn)已經(jīng)在在信號處 理中有著重要應(yīng)用。隨著

9、計(jì)算機(jī)科學(xué)的不斷發(fā)展，奇異值分解這一數(shù)學(xué) 手段將結(jié)合各個學(xué)科取得重大的突破，信號處理只是其廣泛應(yīng)用中的一 小部分，但是將會對現(xiàn)代生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域做出巨大貢獻(xiàn)。3參考文獻(xiàn):1 .PHILLIPS R D.WATSON L T.WYNNE R H Feature reduction using a singular value decomposition for the iterative guided spectral class rejection hybrid classifier 2009(1)2 .VANLANDUIT S.CAUBERGHE B.GUILLAUME P Reduction

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