數(shù)學浙江省學業(yè)水平考試專題復習選修

1、知識點一空間向量的有關(guān)概念名稱概念表小零向量長度為0的向量0單位向量模為L的向量相等向量方向相同且模相等的向量a= b相反向量與向重a長度相等向方向相反的向重一a共線向量表示空間向量的的.向線段所在的直線互相平行或重合的向量a / b共向向量平仃于同一個平面的向重知識點二共線向量、共面向量定理和空間向量基本定理1 .共線向量定理對空間任意兩個向量a, b（bw。），a/b的充要條件是存在實數(shù)入，使a= 2.推論：如圖所示，對空間任意一點。，點P在l上的充要條件是存在實數(shù) t,使OP = OA+ta,其中a叫做直線l的方向向量.在l上取AB = a,則可化為OP=OA+tAB.2 .共面向量定理

2、的向量表達式： p = xa+yb,其中x, yC R, a, b為不共線向量，推論的表達式為 AP= xAB+yAC或?qū)臻g任 意一點 O,有OP= OA+xAB+yAC或5P = xOA+yOB+zOC,其中 x+y+ z= 1.3 .空間向量基本定理如果三個向量a, b, c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x, y, z,使得p= xa+yb+zc,把a, b, c叫做空間的一個基底.知識點三空間向量的數(shù)量積及運算律1 .數(shù)量積及相關(guān)概念(1)兩向量的夾角已知兩個非零向量a, b,在空間任取一點O,作OA=a, OB= b,則/ AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b>

3、,其范圍是0wa, b> <兀如果a,b> = 2,那么向量a,b互相垂宜，記作a± b.(2)兩向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a, b,則|a|b|cosa, b叫做a, b的數(shù)量積，記作 a .即a 扣|a|b|cosa, b>.2 .空間向量數(shù)量積的運算律(1)(啟)b= Xa(2)交換律：a 尋b a(3)分配律:a (b+ c) = a 在 a -.c知識點四空間向量的坐標運算設(shè) a = (a1, a2, a3), b=(bi, b2, b3),則：(1)a+b= (ai+bi, a2+ b2, a3 + b3).(2)a b= (ai bi, a2

4、b2, a3 b3).？3 (入i,入2,入3).(4)a b= aibi+ a2b2+ a3b3.若 a, b 為非零向量，則 a±b? a b=0? aibi + a2b2 + a3b3=0.(6)若 bw 0,則 a / b? a= ?b? ai =入 i, a2=入 2, a3=入 3.(7)|a|= Va-a = *2+ a2+ a2.(8)cosa,a b aibi + a2b2 + a3b3|a|b| W a2 + a2 + a3 /b2+ b2+ b2若 A(ai ,a2,a3),B(bi,b2,b3),則 AB =(bi ai,b2 a2,b3 a3),dAB =

5、|AB| =4bi ai2+ b2 a2 2+ b3a32.知識點五立體幾何中的向量方法1 .直線的方向向量與平面的法向量的確定(i)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量即可作為它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a, b是平面“內(nèi)兩不共線向量，n為平面a的法向n a= 0,量，則求法向量的方程組為n b= 0.2 .用向量證明空間中的平行關(guān)系(i)設(shè)直線li和12的方向向量分別為Vi和V2,則li / l2(或li與l2重合)? Vi II V2.(2)設(shè)直線l的方向向量為V,與平面”共面的兩個不共線向量為Vi和V2,則l/ "或1? Q存 在兩個實數(shù) x, y,

6、使 v= xvi+yv2.(3)設(shè)直線l的方向向量為V,平面a的法向量為U,則l / a或l? ? v±u.(4)設(shè)平面a和3的法向量分別為 U1 , U2,則a/ 3? U1"U2.3用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線11和12的方向向量分別為V1和V2,則11±12?V1 ±V2?V1V2=0.(2)設(shè)直線1的方向向量為V,平面a的法向量為u,則1，幺v/ u.(3)設(shè)平面a和3的法向量分別為 U1和U2,則 也 僅U1±u2? U1 U2=0.4 空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線11, 12的方向向量分別為m1, m2,則11與

7、12所成的角。滿足cos 0= |cosm1，m2 |.(2)設(shè)直線1的方向向量和平面a的法向量分別為 m, n,則直線1與平面a所成角。滿足sin 0=|cos m, n> |.(3)求二面角的大小如圖所示，AB, CD是二面角a13的兩個面內(nèi)與棱1垂直的直線，則二面角的大小0=<AB, CD.如圖所示，n1，n2分別是二面角 “13的兩個半平面 3的法向量，則二面角的大 小。滿足 cos 9= cosn1，n2> 或cos <m, n2>.題型一空間向量及其運算例 1已知空間中三點 A( 2,0,2), B( 1,1,2), C( 3,0,4),設(shè) a=AB,

8、 b = AC.(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值;(2)若ka + b與ka 2b互相垂直，求實數(shù) k的值.解 (1)a=AB=(1,1,0), b=AC= (-1,0,2), .-.a b=ix(-i)+ixo+ 0X2 = - 1.又 |a|= <12+ 12+02 = V2,1010 '|b|= 4 - 1 2+ 02+ 22 =乖, .cosa, b> =-F=|a|b| V2 奉即向量a與向量b的夾角的余弦值為一唔(2)ka+b=(k 1, k,2), ka-2b= (k+2, k, -4), ，(ka+b) ka-2b)=(k-1, k,2) kf2, k,

9、 4) = (k- 1)(k+2)+k28 = 2k2+k-10=0,5 ,k=-2或 k= 2.感悟與點撥(1)空間向量的運算法則及求解思想與平面向量相同，因此，可參照平面向量的運算法則和求解思想進行處理.(2)空間向量的問題可通過坐標運算和非坐標的線性運算兩種途徑來處理，另外，要抓住垂直與平行兩種特殊位置關(guān)系.跟蹤訓練1 (1)(2018年4月學考)在三錐O ABC中，若D為BC的中點，則AD等于()a.2<Oa+1(Oc-Ob11B.2OA+2OB+ OCc.2(Ob+1(Oc-OaD.2<OB+1(Oc + OA(2)(2016年4月學考)已知空間向量 a= (2, 1,5

10、), b= (4,2, x)(xC R),若a，b,則x等于()A. - 10 B. -2 C. 2 D. 10(3)已知向量a= (1,2,3), b=(x, x2+y-2, y),并且a, b同向，則x, y的值分別為 .答案(1)C (2)C (3)1,3解析(2)a，b,.a b = 2X (-4)+(-1)X2+5x=0,得 x=2.x x2+ y 2 y(3) a b, 1 =2= 3，x= - 2,x= 1,解得或y=- 6y= 3,x= - 2,1當時，a=-2b,不符合要求，舍去，x= 1當時，a=b,符合要求，V= 3x= 1,y= 3.題型二利用空間向量證明平行與垂直例2

11、如圖所示，已知在直三棱柱 ABCAiBiCi中，4ABC為等腰直角三角形，/BAC = 90°,且 AB = AAiD ， E ， F 分別為 B1A， C1C， BC 的中點求證：(1)DE/平面 ABC;(2)BiF，平面 AEF.證明 (1) 如圖建立空間直角坐標系 Axyz，令 AB = AAi = 4,則 A(0,0,0) ， E(0,4,2) ， F (2,2,0) ， B(4,0,0) ， B1(4,0,4) 設(shè)AB的中點為N,連接CN,則 N(2,0,0) ， C(0,4,0) ， D (2,0,2) ，- De = (-2,4,0), NC=(-2,4,0), -D

12、e = incDE / NC又NC?平面 ABC, DE?平面ABC,DE / 平面 ABC.，、 一 一 一 一 一(2)BiF = (2,2, 4), EF=(2, 2, 2), A F= (2,2,0).FT 一乙一 _. BiF EF = ( 2)X2+2X (2) + (4)X( 2)=0, > BiF AF = (-2)X2+ 2X2 + (-4)X 0=0. .Bi± EF, Bi F ± AF,即 BiF± EF, BiFXAF,X'.AF A FE = F, AF, FE?平面 AEF , BiF,平面 AEF.感悟與點撥(i)用向

13、量證明線面平行的方法： 證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直； 證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行； 證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示(2)用向量證明垂直的方法： 線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證明它們的數(shù)量積為零； 線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示； 面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎靖櫽柧? 在四樹t P ABCD中，PDL底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD = DC , E, F 分別是 AB， PB 的中點(i)求證：EFXCD;(2)

14、在平面PAD內(nèi)求一點G,使GFL平面PCB,并證明你的結(jié)論.證明如圖所示，以DA, DC, DP所在直線分別為 x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，設(shè) AD = a,則 D(0,0,0), A(a,0,0),aB(a, a,0), C(0, a,0), E a, 2, 0 ,a a aP(0,0, a), F 2, 2, 2 ,a- 2DC = (0, a,0).zrt. f a _ _ a _EF DC = - 2x 0+0x a + X 0= 0,EFXIDC,即 EFXCD.(2)解點G為AD的中點.證明如下：設(shè) G(x,0, z), ,f a a a則FG = x 2, 2,

15、z 2 .若使GF,平面PCB,則由 fG CB= x _2,a- 2 -Za- 2aa=a x 2 = 0,付 x = 2;，一一 a a a由 FG CP = x 2， 2， z 2 (0 - a, a)a2a=2- + a z 2 = 0,得 z= 0.a.點G的坐標為2, 0, 0 ,即點G為AD的中點.題型三 利用空間向量求空間角例3 如圖，在矩形 ABCD中，AB=2小,AD = #, M為DC的中點，將 DAM沿AM折 到' AM 的位置，AD' ± BM.(1)求證：平面 D' AM，平面 ABCM;(2)若E為D' B的中點，求二面角

16、 E-AM-D，的余弦值.證明 由題意知，在矩形 ABCD中，Z AMD= Z BMC = 45°,所以 ZAMB =90 °,即 AM IBM.又 D' A±BM , D' AAAM =A, D' A, AM?平面 AD' M ,所以BM,平面D' AM,又BM?平面ABCM ,所以平面 ABCM，平面D' AM.(2)解 由(1)知，在平面 D' AM內(nèi)過 M作直線 NM± MA,則NM,平面ABCM故以M為原點，MA, MBMN分別為x, y, z軸的正方向建立空間直角坐標系,則 M(0,0,

17、0),A(2,0,0),B(0,2,0), D'(1,0,1),是 E 2, 1IMA = (2,0,0),一 1ME= 2,設(shè)平面EAM的法向量為m=(x, y, z),2x=0, 則1令 y=1,得 z= - 2,2x+y + 2z=。，則平面EAM的一個法向量 m=(0,1, 2),顯然平面 D' AM的一個法向量為 n = (0,1,0),故 cosm, n> =古， 由圖知，二面角為銳角, 即二面角E AMD'的余弦值為害.感悟與點撥(1)用向量方法求兩條異面直線所成的角，是通過兩條直線的方向向量的夾角來 求解.(2)用向量法求線面角，是通過直線的方向向

18、量和平面的法向量來求解.(3)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.跟蹤訓練3 (1)如圖，在四棱錐 P ABCD中，四邊形 ABCD為平行四邊形，且 BC，平面PAB,PA，AB,M為PB的中點，PA = AD = 2.若AB=1,則二面角 B ACM的余弦值為()21C.6 D.6答案 A解析 因為BC，平面PAB, AD/BC,所以AD,平面PAB, PAXAD,又 FAXAB,且 ADA AB=A, AD, AB?平面 ABCD,所以FA,平面ABCD.以點A為坐標原

19、點，分別以AD, AB, AP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標一1系 Axyz.則 A(0,0,0), C(2,1,0), P(0,0,2), B(0,1,0), M 0,Yf c 1.所以AC = (2,1,0), AM= 0, 2，1 ,求得平面 AMC的一個法向量 n=(1, 2,1), 一_. 又平面ABC的一個法向量 AP = (0,0,2),一 n AP所以 cosn, AP=|n|A P|_2_ 1 _6M + 4+1 . 2 乖 6 .所以二面角B-AC-M的余弦值為 算.6(2)如圖所示，在四面體 ABCD中，AB, BC, BD兩兩垂直，AB = BC = BD

20、 = 4, E, F分別為 棱BC, AD的中點.求：異面直線AB與EF所成角的余弦值；點E到平面ACD的距離；EF與平面ACD所成角的正弦值.解 如圖所示，分別以直線 BC, BD, BA為x, V，z軸建立空間直角坐標系,則各相關(guān)點的坐標為A(0,0,4), B(0,0,0),ABiOQ, -4),->_ _ _E F= (-2,2,2),.,飛 一8V3 . |cosAB EF|=尸=,4X2.,33C(4,0,0), D(0,4,0), E(2,0,0), F(0,2,2)._33 . 異面直線AB與EF所成角的余弦值為設(shè)平面ACD的一個法向量為 n=(x, y,1), . AC

21、 =(4,0, 4), CD = (-4,4,0),n AC=0,4x 4=0,則一即n CD= 0,4x+4y=°, -x=y= 1, -=(1,1,1). FC 平面 ACD, EF= (-2,2,2),點E到平面ACD的距離為d =|n EF| 2|n| 一42,33EF與平面ACD所成角的正弦值為|cosn,21| = V3x2/3=3.題型四立體幾何中的探索性問題例4如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1 中，AA1=1,底面 ABCD 的周長為 4.若不存在,當長方體ABCD A1B1C1D1的體積最大時，求直線 BA1與平面A1CD所成的角; (2)線段A1C上是否存

22、在一點 P,使得AC,平面BPD?若存在，求出P點的位置， 請說明理由.解(1)根據(jù)題意，令AB = t,則長方體的體積為t + 2 t nV = t(2-t)X 1 = t(2-t)< - 2=1,當且僅當t=2 t,即t=1時體積V有最大值為1.所以當長方體 ABCDA1B1C1D1的體積最大時，底面四邊形ABCD為正方形.又 AA= 1.所以ABCD AiBiCiDi為正方體.如圖，連接 BiC,取BiC的中點O,連接 BO, AiO.由題意知，CD，平面CiBiBC,所以BOX CD,在等腰 RtBiBC 中，BOX BiC,又 BiCACD = C, BiC, CD?平面 Ai

23、BiCD,所以BOL平面AiBiCD,即/BAiO就是直線BAi與平面AiCD所成的角.2又 BO=，BAi=亞，所以 / BAiO=30 .即長方體 ABCDAiBiCiDi的體積最大時，直線 BAi與平面AiCD所成的角為30° .(2)根據(jù)題意可知，AAi, AB, AD兩兩垂直，以AB為x軸，AD為y軸，AAi為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.根據(jù)題意及 可得 B(t,0,0), C(t,21,0), D(0,2 1,0),若線段AiC上存在一點P滿足要求，不妨設(shè) AiP=瓜iC ,可得P(入,t X2-t), 1-/ BP=(入十 t, X2-t), 1九 BD=(-t

24、,2-t,0), >Ai C = (t,2-t, 1),BP 反C = 0,t 入個t + 入2t 2 1入=0,即Bd A1c = 0,-t2+ 2-t2=0,解得 t= 1, Q 2. 3即只有當?shù)酌嫠倪呅问钦叫螘r才存在符合要求的點P,位置是線段 A1C上A1P ： PC= 2 ： 1處.感悟與點撥 對于立體幾何中的探索性問題，可以凸顯坐標方法的優(yōu)勢，通常從假設(shè)存在入手，利用空間向量坐標建立方程，然后按部就班求解.跟蹤訓練4如圖所示，在三柱ABC AiBiCi中，AAiCiC是邊長為4的正方形，平面ABC， 平面 AA1C1C, AB=3, BC=5.(1)求證：AAi,平面 AB

25、C;(2)求二面角AiBCiBi的余弦值； BD.在線段BCi上是否存在一點 D,使得ADXAiB?若存在，求£:丁的值；若不存在，請說明BC i理由.證明 在正方形 AAiCiC中，AiAXAC.又,平面 ABC，平面 AAiCiC,且平面 ABCA 平面 AAiCiC = AC, AAi?平面 AAiCiC, /. AAi ±平面ABC.(2)解 在ABC 中，AC = 4, AB=3, BC=5,BC2=AC2+AB2, AB± AC,Axyz.以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系則 Ai(0,0,4), B(0,3,0), Ci(4,0,4), B

26、i(0,3,4), ACi = (4,0,0), 一 一h 一 一一 一AiB =(0,3, 4), BiCi = (4, 3,0), BB1 = (0,0,4).設(shè)平面AiBCi的法向量ni = (xi, yi, zi),4xi = 0,3yi - 4zi = 0,4x2 3y2= 0, 4z2= 0.平面 BiBCi 的法向量 n2=(X2, y2, Z2).AiCi ni = 0, 即士AiB ni = 0,，可取向量ni= (0,4,3)EhCi n2=0, 由即后請n2=0,，可取向量n2= (3,4,0),ni n2 i6 i6.cos nb n2> = |ni|n2|=53

27、c5 =25.由題意知二面角 Ai - BCi- Bi為銳角，i6一面角Ai BCiBi的余弦值為 .25(3)解假設(shè)在線段BCi上存在一點D,使ADAiB, 設(shè)D(x, y, z)是直線 BCi上一點，且bD=入&(x, y-3,z)= X4, 3,4),解得 x= 4 Z, y=3 3% z=4 入.AD = (4 入 3-3 Z, 44.又-. ADlAiB,一 9 BD 9 0+3(33?)16 上 0,則 入= .-.BD- = ''25， BCi 25.、選擇題1 .如圖所示，在直三棱柱 ABC AiBiCi中，若CA=a, CB=b,= c,則 AB等于（

28、）D. a + b c答案 D解析如圖所示，連接AiC,則在 AiCB 中，有 AiB = CBCAi =CB(CCi + CA)=b(a+c) = a + bc.2 .若向量 a=(1,1, x), b=(1,2,1), c=(1,1,1),滿足條件(c a) 應(yīng)=2,則 x 的值為(A. 4 B. 2 C. 4 D. 2答案 D解析-. a=(1,1, x), b=(1,2,1), c=(1,1,1),.c-a= (0,0,1-x), 2b=(2,4,2). .(c a) b>= 2(1-x) = - 2,x= 2.3.已知 A(2,3, 1), B(2,6,2), C(1,4, 1

29、),則向量 AB與AC的夾角為()A. 45° B. 90° C. 30° D. 60°答案 D解析 A(2,3, 1), B(2,6,2), C(1,4, 1),.AB=(033), AC=(1,1,0),，AB AC= 0X(-1)+3X1 + 3X0=3,且|AB|=3 ,2, |AC|= 2,岸一 域品 311 cos AB, AC=7=1=不,i 3&*6，AB與AC的夾角為604.已知 a=(2, 1,3), b=(-4,2, x), c= (1, -x,2),若(a+b)，c,則 x 等于()“c八 1rcA. 4 B. - 4 C

30、，2 D. 6答案 B解析(a+b)±c,(a+ b) c= 0.又 a+b=(2,1 , x+3),-2X 1 + 1X (-x) + (x+3)X2=0,解得 x=-4.故選B.5.如圖，在平彳T六面體 ABCD A1B1C1D1中，M為AiCi與BiDi的交點.若AB= a, AD=b,、一 . . . , ,_. 、 > _ » ， ,_.一AA 1 = c,則下列向量中與BM相等的向量是()1111A. - 2a+b+cB.a+b+c1 111C. -2a-2b+cD.2a-2b+c答案 A解析 由題意，得BM=BC+CC + CiM= BC+ CCi +

31、1C 1A1= BC+ CC1 2(AB+BC) = 1AB1 f >11+ /BC+ CCi = 2a + /b+ c.6.若直線l的方向向量為 a= (1,0,2),平面 ”的法向量為n=(-2, 0, 4),則()A. l / aB. l± aC. l? aD. l與a相交但不垂直答案 B解析 a= (1,0,2), n=( 2,0, 4), . n = - 2a,all n , l ± o.7.如圖，在長方體 ABCD A1B1C1D1 中，AA1 = AB=2, AD = 1,點 E, F, G 分別是 DD，AB,CC1的中點，則異面直線 AiE與GF所成

32、角的余弦值是()A.155C. 5b£D. 0答案 D解析以DA, dC, dcT1的方向為x,y, z軸正方向，建立空間直角坐標系（圖略）,則可得 A1(1,0,2), E(0,0,1), G(0,2,1), F(1,1,0).- A1E = (-1,0, 1), GF = (1, - 1, - 1),設(shè)異面直線AiE與GF所成的角為以則 cos 0= |cosA1E, GF > |= 0.8.正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為，, 一 1a,點 M 在 ACi 上且AM=/Ci,N為BiB的中點，則|MN網(wǎng)）A 3aA. 6 a6B.Ta15D.答案 A解析以D為原

33、點，分別以DA, DC, DDi所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則 A(a,0,0), Ci(0, a, a),aN a, a, 2設(shè) M(x, y, z),. _ ,，_ ，一 一1因為點 M在ACi上且AM = MCi, ,1所以(x a, y, z) = 2(-x, a-y, a-z),、2 a a所以 x= 3a? y = 3,z= 3,所以M券,a, a ,所以 |MN|=a-27 2+ a-a 2+ a-a 2 = 11a.332 369.在平行四邊形 ABCD中，AB=AC=1, /ACD = 90°,將它沿對角線 AC折起，使 AB和

34、CD成60°角（如圖），則B, D間的距離為（）A. 1 B. 2 C.m D. 2 或必答案 D解析 因為ZACD = 90°,所以AC cD = 0.同理 BA Ac=0,._.一 一 _ 一 一 一因為AB和CD成60角，所以BA, CD= 60或120.一， 因為 BD = BA+AC+CD,所以 |BD|2= |Ba|2+ |Ac|2+ |CD|2+2Ba CD + 2Ba Ao+2>AC Cd= |Ba|2+ |Ac|2+ |CD|2+2Ba cD7 尸I、nc= 3+2X 1X 1 XcosBA, CD=3 + 2cos 60 或 3 + 2cos 12

35、0 ,所以|bD|=2或*.即B, D間的距離為2或亞，故選D.10.如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形 ACB所在的平面互相垂直， 且AC=BC=2, / ACB = 90°, F, G分別是線段AE, BC的中點，則AD與GF所成角的余弦值為（）A.,3"6"B.D.3 63 3可答案 A解析 如圖，正方形 ACDE與等腰直角三角形 ACB所在的平面互相垂直，且 AC=BC=2, /ACB=90°, DC，AC,平面 ACDE n 平面 ACB = AC, DC?平面 ACDE,所以DC,平面ABC, F, G分別是線段 AE, BC的中點.以C為

36、原點建立空間直角坐標系如圖所示，則A(0,2,0), B(2,0,0), D(0,0,2), G(1,0,0), F(0,2,1).所以AD = (0, 2,2), GF = ( 1,2,1).3I".則直線AD與GF所成角的余弦值為嚕.故選A.所以 |啟|=2艱，|GF|=q6, AD GF = - 2. , 一 一 AD GF 所以 cosAD, GF> =|AD|GF|二、填空題11.已知。為空間任一點，A, B, CD四點滿足任意三點不共線， 但四點共面，且OA=2xBO+ 3yCO+4zDO,貝U 2x+ 3y+4z 的值為 答案 1解析 由題意知A, B, C, D

37、共面的充要條件是：對空間任意一點O,存在實數(shù)xi, yi, zi,使得OA = xiOB+yiOC+ziOD且 xi+yi+zi = 1,因此 2x+3y+4z= - 1.;若 a/ b,則 x=12 .已知向量 a=(2, -1,3), b=(4,2,x).若 a±b,則 x=10答案.-6313 .設(shè)O為坐標原點，向量OA= (1,2,3), OB =(2,1,2), OP = (1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當QA QB取得最小值時，點 Q的坐標為欣安4 4 8日于3' 3' 3解析 設(shè)OQ=入"Op ( 2上 故Q(入A 2?),故QA=(1

38、九 2入 3-2?), QB = (2入，1 入 2-2?).則QA QB = 6?216 計 10 = 6 卜4 2-|, 一1一 一 ,4當QA QB取最小值時， 壯小3此時Q點的坐標為4, 4, 8 . 3 3 314 .如圖，PAL平面 ABC, ACXBC, PA= AC=1, BC=V2,則二面角 APBC 的余弦值 為.答案£解析如圖所示，建立空間直角坐標系,則 C(0,0,0), A(1,0,0), P(1,0,1), B(0,啦，0), =(0,0,1), PB=(-1, V2, T), CB=(0, & 0). 設(shè)平面ABP的法向量為 m=(xi, yi, zi),平面PBC的法向量為n = (X2, y2, Z2),m AP= 0,zi = 0,則 即 廠m PB = 0,Xi + 42y1 zi=0,Z1 = 0,令 yi = 1,得 m=（或, 1,0）. xi =艱yi,nPB=0, x2 + 2y2 z2 = 0,由即n CB = 0,V2=0,X2= Z2,令 Z2=1 ,y2=0,得 n = (1,0,1).一，V2事 . |cosm, n> |=-=-=.2X 33由題意可知，所求二面角的平面角是銳角，故二面角A PB C的余