高考函數(shù)部分經(jīng)典大題解析

1、1.( 2009江蘇卷)(本小題滿分16分)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x) = 2x2+(x a) |xa|.(i)若f (0)之1,求a的取值范圍；(2)求f (x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x) = f (x),xw (a,+),直博寫出(不需給出?M算步驟)不等式h(x) > 1的解集.解 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分,'a <0(1)若 f(0)之 1,則a|a巨 1=49 二 a<-1 a2 .1(2)當(dāng) xa 時(shí)，f (x) = 3x2

2、2ax+a2, f (x), -' 2一f (a),a_02a ,a .02a2,a ： 0-a- ,a <0,3min«-,2當(dāng)x Ma時(shí),2 c2f (x) =x 2ax -a , f (xf (-a),a -0 _ -2a ,a -0f (a),a :二 0 2a2,a :二 0-2a2,a -0綜上 f (x)min = 2a2,a <0,3(3) xW(a,+s)時(shí)，h(x)，得 3x22ax + a2-1 20 ,222，=4a -12(a -1) =12-8a當(dāng)a M6或a之一6時(shí)， M0, x三(a,十安)； 2266當(dāng)-2<a<油時(shí)，

3、a。,得:22討論得：當(dāng)aW(Y2,Y6)時(shí)，喬22a - 3 -2a2a3 -2a2(x)(x)_033x a春為(a, ,二)；6- 2a -、3-2a a 3 -2a2當(dāng)a=(，)時(shí)，解集為(a,u2233當(dāng) a w §, §時(shí)，解集為a+ 3-2a ,收).2.(2007廣東)已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x )=2ax2+2x 3 a,如果函數(shù) y=f(x近區(qū)間L 1,1 上有零點(diǎn)，求a的取值范圍解析 若a=0 , f(x)=2x3，顯然在1-1,1上沒有零點(diǎn)，所以a#0.,23二、一7令 =4+8a(3 + a ) = 8a +24a+4 = 0， 斛佝 a=當(dāng) a

4、 = -3時(shí),y = f (x )恰有一個(gè)零點(diǎn)在 一1,1上；當(dāng) f(1) f(1)=(a11a5)<0,即 1ca <5時(shí)，y=f(x)在1-1,1上也恰有一個(gè)零點(diǎn).a : 0 - 8a2 24a 4 01-1 :二一：12af 1 <0f -1 <0當(dāng)y = f (x)在1,1上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則a >0 =8a2 +24a+4>01«-1 < <12af (1 爛 0,91 義0解得a皂5或a <- 2綜上所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是 a>1或a < 323.(2007 年安徽省六校 )已知函數(shù)f (x) , g(x)在

5、R上有定義，對(duì)任意的 x,yw R有f (x-y)= f(x)g(y)-g(x)f (y)且 f(1)#0(1)求證：f(x)為奇函數(shù)(2)若 f(1) = f(2),求 g(1)+g(1)的值解(1)對(duì) x 亡 R ,令 x=u-v 則有 f(-x)=f(v-u)=f(v)g(u)-g(v)f(u)=f(u-v)=-f(u)g(v)-g(u)f(v)=-f(x)4分(2) f(2)=f1-(-1)=f(1)g(-1)-g(1)f(-1)=f(1)g(-1)+g(1)f(1)=f(1)g(-1)+g(1).f(2)=f(1) W0g(-1)+g(1)=1a4 .(07 上海)已知函數(shù) f (x

6、 )=x2 十一(x ¥0,a W R) x(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)若f(x )在區(qū)間2,依)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍。解析(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2為偶函數(shù)；當(dāng)a#0時(shí)，f(x)既不是奇函數(shù)也不是 偶函數(shù).(2)設(shè) x2 > x1至 2,f (x1f (x2)= x12+ - x|- =1x2 lx1x2(x1+ x2)a,xi又2x由 x2 >x1 ±2 得 x1x2(x1 +x2 )a16, x1 -x2 < 0,x1x2 > 0要使f(x而區(qū)間是增函數(shù)只需f (x1 )-f (x2 )<0,即 x1x2(x1

7、+x2 )a>0恒成立，則 a < 16°另解(導(dǎo)數(shù)法)：f'(x)=2x告，要使f(x)在區(qū)間2,+道)是增函數(shù)，只需當(dāng)x之2時(shí), x儀)之0恒成立，即2x3之0,則a M 2x3 w 16,")恒成立， x故當(dāng)a £16時(shí)，f(x)在區(qū)間2+徒增函數(shù)。2x b 一一已知定義域?yàn)?R的函數(shù)f(x) = b是奇函數(shù).2x a(1)求a,b的值；(2)若對(duì)任意的twR,不等式f(t2 2t) + f (2t2 k) <0恒成立，求k的取值范圍解 (1)因?yàn)閒(x)是R上的奇函數(shù)，所以 f (0) = 0，即、-2x . 1 一一 . 一從而

8、有 f(x) = F-.又由 f(1)=f(1)知2 a(2)解法一：由(1)知 f(x)=-2x 1-2 14 a1-LbA-_b = 0W#b = 12 a-1,解得 a = 21 a2x 1 22 2x 1由上式易知f (x)在R上為減函數(shù)，又因 f(x)是奇函數(shù)，從而不等式f (t2 2t) + f (2t2 -k) <0等價(jià)于 f(t2 -2t) < - f (2t2 k) = f (-2t2 + k).因f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2 -2t >-2t2 +k.1即對(duì)一切 t u R有3t2 -2t -k >0,從而 4 =4 +12k <0,

9、解得 k < -3一 ,右-2x 1解法二：由(1)知 f (x)=2二 +；,_2t2 -t 1_ 22t2- . 1又由題設(shè)條件得 二21二41 ： 02產(chǎn) Nt 1222t2 41,2即(22tj 1 2)( -2t2 2 1) (2t2 2 1 2)( -22tj1):二 02整理得23>1,因底數(shù)2>1,故3t2 2t k A01上式對(duì)一切tR均成立，從而判別式 =4+12k <0,解得k <-一325 . (2009廣東二校一模) 設(shè)函數(shù) f (x )=(1+x ) 2ln(1+x).(1)求f (x )的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)xw1,e1 I時(shí),(其中

10、e = 2.718一)不等式f(x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)試討論關(guān)于x的方程：f(x)=x2+x+a在區(qū)間0,2】上的根的個(gè)數(shù).解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?_1戶)(x)=2(x+1=2xx + 2). 1 分_ x 1 x 1由 f '(x)A0 得 x>0；2 分由 f '(x )<0 得 一1 < x< 0,3則增區(qū)間為(0,收),減區(qū)間為( 1,0).4分(2)令 f '(x)=2x(x+2)=0，得 x=0，由(1)知 f(x )在 I- -1,0 I 上遞減，在 he1 x 1_e上遞增，6分,1、1.2 一 21

11、,由 f 一1 |=t+2, f(e1)=e 2,且 e -2>-2 + 2,8 分<eJ eexI1x _ef(x)的最大值為e2 2 ,故m >e2 2時(shí)，不等式f(x)< m恒成立.(3)方程 f(x) = x2+x+a,即 x 十1 一2ln(1 + x )= a .記 g(x )= x+ 1 2ln(1 十x),則2 x -1g (x )=1 =.由 g (x)>0 得 x>1;由 g(x)<0得一 1<x<1.1 x x 1所以g(x)在0,1上遞減，在1 , 2上遞增.10而 g(0)=1 , g(1)=2-2ln2 , g(

12、2)=3-2ln3 , . . g(0) >g(2) >g(1)所以，當(dāng)a>1時(shí)，方程無解;當(dāng)3-2ln3 < a<1時(shí)，方程有一個(gè)解，當(dāng)2-2ln2 vawaw3-2ln3時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)a=2-2ln2時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)a2-2ln2 時(shí)，方程無解.13分字上所述，aw(l,七t)U(v2 _2ln 2)時(shí)，方程無解；a三(3_2ln 3,1或a=2-2ln2時(shí)，方程有唯一解；a三(2 _2ln 2,3-2 ln 3時(shí)，方程有兩個(gè)不等的解.14 分6.(陜西長安二中2008屆高三第一學(xué)期第二次月考)定義在R上的函數(shù)y=f(x) ,f(0) w 0,當(dāng) x

13、>0 時(shí)，f(x)>1 ,且對(duì)任意的 a、bC R,有 f(a+b尸f(a)f(b),(1)求證：f(0)=1 ;(2)求證：對(duì)任意的xCR,恒有f(x)>0 ;(3)證明：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x) - f(2x-x 2)>1 ,求x的取值范圍。解 (1)令 a=b=0,則 f(0)=f(0)2 . f(0) w0f(0)=11(2)令 a=x, b=-x 貝U f(0)=f(x)f(-x)f(-x)=f(x)由已知 x>0 時(shí)，f(x)>1>0 ,當(dāng) x<0 時(shí)，-x>0 , f(-x)>0 1 一 一. f (x)

14、 = >0 又 x=0 時(shí)，f(0)=1>0 f(-x)對(duì)對(duì)任意xC R f(x)>0f(x2)T()(3)任取 X2>Xi,則 f(x 2)>0 , f(x 1)>0 , x2-x 1>0=f (X2) f ( -Xi) = f (X2 -Xi) 1 f(x 2)>f(x 1)f(x)在 R上是增函數(shù)(4) f(x) f(2x-x 2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又 1=f(0), f(x)在R上遞增.由 f(3x-x 2)>f(0) 得：3x-x 2>00Vx<37. (2009上海卷文)(本題滿分16分)本題

15、共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分x < 6,60.1 15ln10分.有時(shí)可用函數(shù)f(x)二x -4.4x -4 ,描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度.其中x表示某學(xué)科知識(shí)白勺學(xué)習(xí)次數(shù)( xWN ), f(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有關(guān)(1)證明：當(dāng)x之7時(shí)，掌握程度的增長量f (x+1) - f(x)總是下降；(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115, 121 ,(121,127 (127,133 .當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí) 6次時(shí)，掌握程度是 85%請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科.、一 ，.一0 4證明(1)當(dāng) x 2 7 時(shí)，f(x+1) f(x)=(

16、x-3)(x-4)而當(dāng)x之7時(shí)，函數(shù)y =(x 3)(x4)單調(diào)遞增，且(x3)(x 4)>0故函數(shù)f (x+1) - f (x)單調(diào)遞減當(dāng)x27時(shí)，掌握程度的增長量f(x+1)-f (x)總是下降(2)有題意可知0.1十151n一 =0.85 a - 6整理得一a =e0.05 a - 60.05e解得 a 6 =20.50x6 = 123.0,123.0 w (121,127.13 分 e . -1由此可知，該學(xué)科是乙學(xué)科 .14分8. ( 2009福州八中)某造船 公司年造船 量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)=3700x+45x 2-10x 3 (單位：萬元)，成本函數(shù)

17、為 C(x)=460x+5000 (單位：萬元)，又 在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù) f(x)的邊際函數(shù) Mf(x)定義為Mf(x)=f(x+1)-f(x)。(I)求利潤函數(shù) P(x)及邊際利潤函數(shù) MP(x);(提示：利潤=產(chǎn)值成本)(n)問年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大？(出)求邊際利潤函數(shù) MP(x)單調(diào)遞減時(shí)x的取值范圍，并說明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意 義是什么？解 (I ) P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3240x-5000,(xW N*,且 1 w x w 20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3275 , (x eN*,l. 1&

18、lt;x<19)(n) P(x)=T0x2 90x 3240 = T0(x12)(x 9).當(dāng) 0vx<12 時(shí) P(x) >0,當(dāng) x< 12 時(shí)，P(x) <0. .x=12, P (x)有最大值.即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤最大.(出) MP(x) =-30x2+60x+3275=-30(x-1) 2+3305, .一一 . 一 . . *所以，當(dāng)x>1時(shí)，MP(x)單倜遞減，x的取值范圍為1,19,且xWNMP(x)是減函數(shù)的實(shí)際意義：隨著產(chǎn)量的增加，每艘船的利潤在減少.9. (2009福建省)已知某企業(yè)原有員工 2000人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利潤3.5萬元.為應(yīng)對(duì)國際金融危機(jī)給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)實(shí)施“優(yōu)化重組，分流增效”的策略，分流出一部分員工待崗.為維護(hù)生產(chǎn)穩(wěn)定，該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過原有員工的5%,并且每年給每位100x待崗員工發(fā)放生活補(bǔ)貼 O.5萬元.據(jù)評(píng)估，當(dāng)待崗員工人數(shù)