數(shù)值分析逐次超松弛迭代法(1)

1、精選ppt1 3 逐次超松弛迭代法（SOR方法）By alex精選ppt2精選ppt3精選ppt4 例1 方程組341085121045432143214324321xxxxxxxxxxxxxxxx精選ppt5圖表6.1圖表6.2精選ppt6 從表62得到461056. 5 xx算法63 應(yīng)用SOR方法解方程組bAx 精選ppt732 SOR方法的收斂性現(xiàn)在，我們來(lái)討論逐次超松弛迭代法的收斂性問(wèn)題 證明 由(35)式，有nUIUILIT)1 ()1det()1det()det()det(1精選ppt8 證明證明 精選ppt9iqiqq2222222)()(qqq精選ppt10 33 相容次序、

2、性質(zhì)A和最佳松弛因子精選ppt11 注意： 例34001041001411004A 定義3 精選ppt12 例4 圖6.1精選ppt13 在每一個(gè)內(nèi)部結(jié)點(diǎn)上，我們用二階中心差代替問(wèn)題(37)中的二階導(dǎo)數(shù) ),(222)(),(),(2),(iiyxiiiiiixuhyhxuyxuyhxu),(222)(),(),(2),(iiyxiiiiiixuhhyxuyxuhyxu則有 精選ppt142),(22),(22),(4),(),(),(),()()(hyxuhyxuhyxuyhxuyhxuyuxujijijiiiiiyxyxjiji041,1, 1, 1jijijijiijuuuuu (3.9

3、)圖6.2精選ppt15040404040404111302221221231232224042315141404221413120221131211012012111uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu由于邊界結(jié)點(diǎn)上問(wèn)題(37)的解的值已知為(3.10)5 , 1 , 0),0 ,(0iifui5 , 4 , 3),2 ,(2iifui, 3 , 2 , 1 , 0),3 ,(3iifui, 2 , 1), 0(ijfuij),1 , 5(51fu因此方程組(310)可寫成精選ppt16)2 , 0() 3 , 1 (4)2 , 3(4) 1 , 5()2 , 4()

4、0 , 4(4)2 , 3()0 , 3(4)0 , 2(4)0 , 1 () 1 , 0(4122211122221413141312122312111122111ffuuufuuufffuuffuuufuuuuffuuu(3.11)或?qū)懗?2 , 0()3 , 1 ()3 , 2()2 , 3() 1 , 5()2 , 4()0 , 4()2 , 3()0 , 3()0 , 2()0 , 1 () 1 , 0(410001140010004100001410010141100014122241312111ffffffffffffuuuuuu(3.12) 方程組(312)的系數(shù)矩陣是強(qiáng)優(yōu)對(duì)角

5、的，因而是非奇異的因此方程組(312)有唯一解 Tuuuuuuu122241312111,我們可以將它的分量作為問(wèn)題(37)的數(shù)值解，即問(wèn)題(37)的解在內(nèi)部結(jié)點(diǎn)處的近似值精選ppt17(39)是常用的所謂五點(diǎn)格式(參見(jiàn)圖63) 注意: 圖6.3精選ppt18例如 410001140010004100001410010141100014ATuuuuuuu122241312111,)2 , 0()3 , 1 ()3 , 2()2 , 3() 1 , 5()2 , 4()0 , 4()2 , 3()0 , 3()0 , 2()0 , 1 () 1 , 0(fffffffffffff圖6.4精選pp

6、t19定理4 若矩陣且具有相容次序，則它必具有性質(zhì)A精選ppt20 );,(,sriababababirisisirrisisiri;,rrssrssrsrrsssrrabababab),(srjiabijij精選ppt21 定理6 證明 精選ppt22 充分性 在例4中，如果將圖62的結(jié)點(diǎn)編號(hào)2與5對(duì)調(diào)，那么得到的方程組的系數(shù)矩陣是400011044111000100011400110040110004精選ppt23 它具有(3.13)的形式這個(gè)矩陣實(shí)際上又是交換方程組(3.12)的系數(shù)矩陣(具有性質(zhì)A)的第2行與第5行，第2列與第5列得到的，因此排列矩陣5 , 2IP 定理7 定理8 精選

7、ppt24證明 精選ppt25 定理9 證明 精選ppt26)(det() 1()det() 1()det()det(IBIBIBIBnn) 1(det()()1det()det()1()det()det(11IULLIUILIIUILIIT)1det()det(2121212IULITnn據(jù)定理8有)19. 3()1det(1det()det(212212IBIULITnnnn精選ppt270)1det(21IB0)1det(21IB 引理 02xbxx(320)精選ppt28的根的模小于l的充分必要條件是cbc1,1 (321)證明 精選ppt290)1)(1 ()(11212121xxx

8、xxxbc0)1)(1 ()11212121xxxxxxbc121xxc2121211, 1xxxxxx 定理10 精選ppt30 證明 B精選ppt31定理11 2212212)1 (11)1 (12b(323)那么 2, 10,2)1(4()(22122bbT若若(324) 證明 2212212)1(4(精選ppt322212222)1(4(221222)1(4(),( (3.25)精選ppt33 現(xiàn)在證明),()(T(327),(1),(精選ppt34精選ppt35從而，由(325)和(327)式，有22122)1(4()T（故(324)式成立 精選ppt362122212212)1(4

9、(2)1(4()1(4(dd (3.29) 而且44)2(224222以及222422212244)1(4(bbTT若),()(330) 而且，由(324)式，顯然有 1)bbT（(331) 精選ppt37因子為 212)(1 (12Bb例5 方程組243024410143034321xxx的系數(shù)矩陣410143034A04104104304301ADIB精選ppt3824. 185112b表一表二精選ppt3934 SOR方法的收斂速度 定理12 1)(2)(21101limTRTRb(335)精選ppt40證明 (1)在定理12的假設(shè)下，據(jù)定理11顯然有 21)()(BT(336) 因此)(2)(ln2)(ln)(11BRBTTR精選ppt41yyy211ln21212212212)2(2) 1(2)1 (2)1 (2eee(334)左邊不等式得證另一方面， 212212